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& （全国通用）2016届高考数学文科二轮复习训练：专题一 第5讲 导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题
（全国通用）2016届高考数学文科二轮复习训练：专题一 第5讲 导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题
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资料概述与简介
第5讲　导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题
一、选择题
1.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所(　　)
A.a>0，b0，d>0B.a>0，b<0，c0
C.a<0，b0，d>0
D.a>0，b>0，c>0，d0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A.
2.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
C.(－∞，2]
D.(－∞，2)
解析　f′(x)＝x2－4x，
由f′(x)＞0，得x＞4或x＜0.
∴f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，
∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4).
∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.
3.若存在正数x使2x(x－a)＜1成a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞)
B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析　∵2x(x－a)＜1，
令f(x)＝x－，
∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
4.当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－5，－3]
C.[－6，－2]
D.[－4，－3]
解析　当x∈(0，1]时，得a≥－3－4＋，
令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，
令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)·(9t－1)，显然在[1，＋∞)g′(t)＜0，g(t)单调递减，
所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2，0)时，得a≤－2.
由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立.
故实数a的取值范围为[－6，－2].
5.(2015·长沙模拟)已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)
A.af(b)≤bf(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)
D.bf(b)≤f(a)
解析　因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
所以′＝≤≤0，
则函数在(0，＋∞)上单调递减.
由于0<a<b，则≥，
即af(b)≤bf(a).
二、填空题
6.(2015·合肥模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.
解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
令g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x＜0时，即x∈[－1，0)时，
同理a≤－.
g(x)在区间[－1，0)上
所以g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.
7.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.
解析　作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有
解得－＜m＜0.
8.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.
解析　由于f′(x)＝1＋＞0，因此函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以x∈[0，1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1，2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
三、解答题
9.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2＞0；
(1)解　根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，
当a＞0时，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间.
(2)证明　当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1).
即f(x)＞－2，所以f(x)＋2＞0.
10.(2015·唐山期末)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sin ＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲y＝g(x)切于点(1，g(1)).
(1)求a，b的值和直线l的方程；
(2)证明：f(x)＞g(x).
(1)解　f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cos x＋b，
f(0)＝a，f′(0)＝a，g(1)＝1＋b，g′(1)＝b.
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，
曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为：
y＝b(x－1)＋1＋b，
即y＝bx＋1，
依题意有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1，
(2)证明　由(1)知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin x＋x，
设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，
则F′(x)＝ex＋2x－1，
当x∈(－∞，0)时，F′(x)＜F′(0)＝0，
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞F′(0)＝0.
F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故Fx)≥F(0)＝0，
设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin x，
则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1(k∈Z)时等号成立，
由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，
因此f(x)＞g(x).
11.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)＞1.
(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.
故a＝1，b＝2.
(2证明　由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)＞1等价于xln x＞xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)＜0；
当x∈时，g′(x)＞0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x).
所以当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.
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Copyright &2006 - 2016 高考学习网版权所有. All Rights Reserved.如何证明一个函数 在（a,b）开区间可导同济第六版没有明确指出 只说了 如果在ab区间处处可导 导数存在这2个是否互为充要条件?是否可逆?如何证明ab区间内处处可导?如果（a,b）“导函数”存在 是不是就是该区间可导呢？我还是想要证明可导的具体条件 最好是书上的什么教材有具体说明 主要是用来解决变上限积分的证明问题 等式的证明我知道 就是不知道怎么证 ab区间的可导 连续
分类：数学
证明处处可导,先要证明连续.连续定义为在某点邻域,左趋近等于右趋近等于函数值.证明时取区间内任意一点,取任意小量a,令随着x->x0即x-x0->0时,绝对值f(x）-f(x0)可以小于任意小的a,证明a存在就可以,同时可以得到的是极限值与改点函数值可以小于任何小量（这是相等的定义）.再加上x=x0可以取到,就能证明连续.连续加上导数存在,就是处处可导.也许不是写得很清楚,但是考试这么证明应该就没问题了.我似乎就这样混过来的.要看书的话,应该是数学分析,第几册想不起来了,反正总共就3本.PS：一楼的回答像是高中数学.
求使下列函数取得最大值,最小值的自变量x的集合,并写出最大值和最小值是什么 y=1-(1/2)cos(π/3)x x属于R y=3sin[2x+（π/4)] x属于R y=(-3/2)cos[(1/2x)-(π/6)] x属于R y=(1/2)sin[(1/2)x+(π/3)] x属于R
1、cos(π/3)x=1时最小值1/2(π/3)x=2kπ ,x=6k (k∈Z)cos(π/3)x=-1时最大值3/2(π/3)x=2kπ＋π ,x=3（2k＋1） (k∈Z)2、sin[2x+（π/4)] x＝－1时最小值－3[2x+（π/4)] x＝2kπ-π/2,x=kπ-3/8×π (k∈Z)3sin[2x+（π/4)] x=1时最大值3[2x+（π/4)] x＝2kπ＋π/2,x=kπ＋π /8 (k∈Z)3、cos[(1/2x)-(π/6)] ＝1时最小值－3/2(1/2x)-(π/6)=2kπ,x=4kπ+π/3 (k∈Z)cos[(1/2x)-(π/6)] ＝-1时最大值3/2(1/2x)-(π/6)=2kπ＋π,x=4kπ+7/3×π (k∈Z)4、sin[(1/2)x+(π/3)] ＝－1时最小值－1/2(1/2)x+(π/3)=2kπ-π/2,x=4kπ-3/5×π (k∈Z)sin[(1/2)x+(π/3)] ＝1时最大值1/2(1/2)x+(π/3)=2kπ＋π/2,x=4kπ＋π/3 (k∈Z)
A^3-I-3A（A-I）=-I,(A^2+A+I-3A)（A-I）=-I,（A-I）^3=-I,所以（A-I）可逆并且：（I-A）^（-1）==-（A-I）^2,
以x1、x2为两根的一元二次方程是:x?－(x1+x2)x+(x1·x2)=0
已知:tanA=1/3,试求代数式4cosA-3sinA/2sinA+5cosA的值thanks
分子分母同除以cosA因为sinA/cosA=tanA所以原式=(4-3tanA)/(2tanA+5)=9/17
f(x)=4x/(3x^2 +3)怎么求导数?求f'(x),最好给我一个通用的公式,微积分我都忘了的,
已知关于x的一元二次方程x2+4x+k2+2k-3=0的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根．
∵方程x2+4x+k2+2k-3=0的一个根为0，∴k2+2k-3=0，解得k1=1，k2=-3，∴原方程为x2+4x=0，解得 x1=0，x2=-4，∴k的值为1或-3，方程的另一个根为-4．
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已知函数，（其中常数）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）依题意，只需在上成立，故转化为求函数在区间的最小值问题．的根，得，并讨论根定义域的位置，当，将定义域分段，并考虑导数的符号，判断函数大致图象，求函数的最小值；当时，函数单调性，利用单调性求函数的最小值，并列不等式，求参数的取值范围．试题解析：（1）定义域当时，，，曲线在处的切线方程为：.（2），令，在递减，在递增..若存在实数使不等式成立，只需在上成立，①若，即时，，即，.10分②若，即时，，解得，故综上所述：的取值范围．考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求函数的极值、最值.【题型】解答题【适用】较难【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆过定点.&
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷
分析与解答
习题“已知函数，（其中常数）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方程求切线方...”的分析与解答如下所示：
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已知函数，（其中常数）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方...
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