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关于微积分 lim （2x-3）^20(3x+2)^30————————————x趋向无穷 （5x+1）^50求极限
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上下同时除以x的50次方,极限为6/5
其他类似问题
分母分子次数相等，所以多项式里的常数项可以直接去掉了，展开后次数低直接忽略了只算X的系数，结果是6/5的50次方
当x趋于无穷时，2x-3 ~ 2x, 3x+2~3x, 5x+1 ~5x带入得到极限为(2x)^20 * (3x)^30 / (5x)^50 = 2^20 3^30/5^50
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微积分-各种求极限的方法
&&单调有界准则 夹逼准则 无穷小代换 罗密达法则 泰勒定理
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微积分-函数、极限和连续及经典例题
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微积分-函数、极限和连续及经典例题
官方公共微信微积分知识梳理1——极限 - 为程序员服务
微积分知识梳理1——极限
最近在复习微积分，于是在这里把相关的知识点整理一下。因为博主并不是数学专业，所以本文更倾向于直观的理解而不是精确的数学推导。虽然如此，但本文尽量从最基本的定义和已知的定理出发，推导出其他定理。
极限的概念是整个微积分的基础，理解极限的概念十分重要。
函数极限的定义
在微积分发展的早期，极限的定义是描述性的。
假设函数 y=f(x) 在一点x0附近有定义，当x不断的接近x0的时候，如果函数值f(x)也不断接近一个
A，那么我们说x趋于x0时，f(x)趋于A。
A是由 x不断接近x0时的f(x)得到的，但是x不等于x0 ，也就是说，
极限A和函数在x0这一点的值没有关系
。（有关系的是x0附近的函数值。）
例如，下面两个函数
$$f(x)=x+1$$
\begin{cases}
(x \neq 0) \\
\end{cases}$$
他们在x趋向1时的极限都是2 。虽然g(2) = 1 但是这和在2处的极限无关。
描述性的定义非常直观，我们理解起来也非常容易。但是当函数越来越复杂时，大家意识到不能依赖于直观，必须要有精确的定义，这样才能支撑更复杂函数的研究。
函数极限的准确定义是这样的，使用了所谓的
\(\epsilon-\delta\)
定义1.1.1 函数极限的定义：
设f(x)定义于点a的某个空心邻域，A是一个确定的常数。
如果 \(\forall \epsilon&0, \exists \delta &0\)，使得\(\forall x: 0&|x-a|&\delta\)，都有 \(|f(x)-A|&\epsilon\)，则称\(x \to a\)时f(x)以A为极限，记作
$$\lim_{x \to a} f(x)=A$$
当x在a的某个邻域(\(\exists \delta &0\))，\(\forall x: 0&|x-a|&\delta\)时，f(x) 的函数值是小于\(\epsilon\) 的，因为\(\epsilon\) 是任意的，可以足够小。这也就是说，f(x) 在a的某个邻域内与A的差可以任意小。要注意\(\delta\)我们关注的是存在性，对于任意的\(\epsilon\)，只要我们找到1个\(\delta\)就可以了。一般来说\(\delta\)的取值会和\(\epsilon\)有关。
用极限的定义证明 \(\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15\)。
对比极限的定义，要证明的f(x) = 3x + 9 ，x趋向于2时，f(x)趋向于15，这里2就是定义中的a，15就是定义中的A。
我们要证明\(\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15\)，按照定义，只需要找到一个数\(\delta\)，当\(0&|x-2|&\delta\)时，有
$$|f(x)-15|&\epsilon$$
把f(x)用3x+9带进去，可以得到x关于\(\epsilon\)的不等式。
$$|(3x+9)-15| = |3x-6| = 3|x-2| & \epsilon$$
$$|x-2|&\frac{\epsilon}{3}$$
上面的推导不但可以从上到下推，从下倒上也是能推导回去的。我们发现\(|x-2|&\frac{\epsilon}{3}\)和\(0&|x-a|&\delta\)非常相似，\(\delta\)不就可以取作这里的\(\frac{\epsilon}{3}\)吗，这样，\(\forall x: 0&|x-2|&\delta\)，都有 \(|f(x)-15|&\epsilon\)，所以$$\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15$$这就证明完毕了。
用极限的定义证明 \(\lim_{x \to 0}cosx=1\)。
要证明\(\lim_{x \to 0}cosx = 1\)，按照定义，只需要找到一个数\(\delta\)，当\(0&|x-0|&\delta\)时，有
$$|cosx-1|&\epsilon$$
$$|cosx-1|=1-cosx=2sin^2\frac{x}{2}&2(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2}&\epsilon$$
只需要 \(|x| & \sqrt{2\epsilon}\) ，因此我们取 \(\delta = \sqrt{2\epsilon}\)，这样\(0&|x-0|&\delta\)时，有
$$|cosx-1|&\epsilon$$
函数极限的定义中，\(\forall x: 0&|x-a|&\delta\)，x是在a的两侧的。有时候从a的左边和右边接近a，极限是不一样的。因此有了单侧极限的概念：
定义1.1.2 左、右极限
设f(x)定义于点a的某个右邻域\(O^+(a)\)，A是一个确定的常数。
如果 \(\forall \epsilon&0, \exists \delta &0\)，使得\(\forall x: 0&x-a&\delta\)，都有 \(|f(x)-A|&\epsilon\)，则称A为f(x)当\(x \to a\)时的右极限，记作
$$\lim_{x \to a^+} f(x)=A
还可以记作f(a^+)$$
类似的可以定义左极限：$$\lim_{x \to a^-} f(x)=A 还可以记作 f(a^-)$$
显然，根据极限和左右极限的定义，极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
考察函数\(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
在x趋于0时，左极限为-1，右极限为1 。 极限不存在。
定义1.1.3 自变量趋于无穷时函数的极限
设函数f(x)对于|x|充分大的一切x有定义，A为常数。
如果 \(\forall \epsilon&0, \exists X &0\)，使得\(\forall x: |x|&X\)，都有 \(|f(x)-A|&\epsilon\)，则称\(x \to \infty\)时f(x)的极限是A，记作
$$\lim_{x \to \infty} f(x)=A$$
和左右极限类似，也有趋向负无穷和正无穷的概念。
这个定义的几何意义：任意给一个\(\epsilon\)，总能找到一个X，当|x|大于X时，函数的图像被夹在\(A-\epsilon和A+\epsilon\)之间。
定义1.1.4 函数值趋于无穷时的极限
设f(x)定义于点a的某个空心邻域
如果 \(\forall G&0, \exists \delta &0\)，使得\(\forall x: 0&|x-a|&\delta\)，都有 \(|f(x)|&G\)，则称\(x \to a\)时f(x)的极限是无穷大，记作
$$\lim_{x \to a} f(x)=\infty$$
例如，函数f(x)=1/x
在x趋于0时，函数值趋于无穷。
类似的，无穷大分为两种：负无穷大和正无穷大。
注意：若函数值趋于无穷，根据极限的定义，属于极限不存在的情况。
极限的性质
极限反应的是函数值在一个点附近的性质，而不是这个点上面的性质。通过下面5个极限的性质可以体会到这一点。
定理1.1.1 唯一性
若极限\(lim_{x \to a}f(x)\)存在，则极限值唯一。
这个应该是很显然的。假设有两个不同的极限A、B 。我们取A和B之间的一个点C 。当x趋向于a的时候，f(x)既从C接近A，又从C接近B，这显然是错误的。严格的证明如下：
假设当\(x \to a\)时，f(x)趋向于两个不同的极限A和B，不妨设A&B
取\(\epsilon=frac{B-A}{2}&0\),则根据极限的定义，有
$$\exists \delta_1 &0，使得0&|x-a|&\delta_1时，有 |f(x)-A|&\epsilon 即 f(x)&A+\epsilon=\frac{A+B}{2}$$
$$\exists \delta_2 &0，使得0&|x-a|&\delta_2时，有 |g(x)-B|&\epsilon 即 f(x)&B-\epsilon=\frac{A+B}{2}$$
这样，当\(0&|x-a|&\delta\)时，有
$$f(x)&frac{A+B}{2}&f(x)$$
产生了矛盾，因此假设是错误的，证毕。
定理1.1.2 局部有界性
若极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)存在，则 f(x) 在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\)上有界。
假设极限是A，根据极限的定义，我们只要取\(\epsilon=1\)，就可以得到在某个邻域内
$$|f(x)-A|&1 \Rightarrow |f(x) & 1 + |A|$$
定理1.1.3 局部保号性
若极限\(\lim_{x \to a}f(x)=A&0\)，则存在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\)，使得\(\forall x \in O_0(a,\delta)\)，有
$$f(x)&r&0$$ 。
这个定理可以理解为：极限为正，则去心邻域函数值为正；极限为负，则去心邻域函数值为负。
假设x趋向于a时f(x)趋向于A ，A&0的时候，f(x)趋于A的时候肯定会无限接近A，也就大于r大于0了。
但是，当极限是0的时候，我们得不出邻域内函数值的正负。这在图中也是很明显的，假设A=0，那么f(x)在A的两侧，符号无法判断。因此，这个定理中的不等号是严格的，不能使用小于等于0.
设A&0，根据极限的定义，
$$\exists \delta &0，使得0&|x-a|&\delta时，有 |f(x)-A|&\epsilon $$
我们取\(\epsilon=A-r\)，则
$$ |f(x)-A|&\epsilon = A-r$$
$$r&f(x)&2A-r$$
定理1.1.4 极限不等式
设极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)与\(\lim_{x \to a}g(x)\)都存在，且在a的某去心邻域内有\(f(x) \le g(x)\)，则
$$\lim_{x \to a}f(x) \le \lim_{x \to a}g(x)$$
证明思路：
$$A-\epsilon&f(x)&A+\epsilon$$
$$B-\epsilon&g(x)&B+\epsilon$$
$$A-\epsilon&f(x) \le g(x)&B+\epsilon$$
$$A&B+2\epsilon$$
定理1.1.5 夹逼定理
设\(\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = A\)，且存在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\)，使得\(\forall x \in O_0(a,\delta)\)，有
$$f(x) \le h(x) \le g(x)$$
$$\lim_{x \to a}h(x) = A$$
根据极限的定义，
$$\exists \delta_1 &0，使得0&|x-a|&\delta_1时，有A-\epsilon & f(x)$$
$$\exists \delta_2 &0，使得0&|x-a|&\delta_2时，有 g(x)&A+\epsilon$$
取\(\delta = min(\delta_1, \delta_2)\)，那么\(0&|x-a|&\delta\)时，上面
两个不等式
都满足。有
$$A-\epsilon & f(x) \le h(x) le g(x) & A + \epsilon$$
$$A-\epsilon &h(x) & A + \epsilon$$
$$-\epsilon &h(x)-A & \epsilon$$
$$|h(x)-A|&\epsilon$$
这表明 \(\lim_{x \to a}h(x)=A\)
极限的运算法则
极限的四则运算法则直观上很容易理解，不过为了严谨，我们还是给出证明。
定理1.2 极限的四则运算法则
设f和g是两个函数，并设函数极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)与\(\lim_{x \to a}g(x)\)都存在，则
$$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$
$$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$$
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} \qquad (设\lim_{x \to a}g(x) \neq 0)$$
先看看已知条件：不妨设\(\lim_{x \to a}f(x)=A\)， \(\lim_{x \to a}g(x)=B\)，根据极限的定义，任意取一个\(\epsilon\)，有
$$\exists \delta_1 &0，使得0&|x-a|&\delta_1时，有 |f(x)-A|&\epsilon$$
$$\exists \delta_2 &0，使得0&|x-a|&\delta_2时，有 |g(x)-B|&\epsilon$$
我们取\(\delta = min(\delta_1, \delta_2)\)，那么\(0&|x-a|&\delta\)时，上面
两个不等式
下面先证明加法。
$$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = A + B$$
按照定义，左边f(x)+g(x)看做一个函数，我们要证明f(x)+g(x)在a处极限为A+B，也就是
$$|f(x)+g(x)-(A+B)| & \epsilon$$
我们再看看已知条件中的两个不等式，它们是关于f(x)-A和g(x)-B的，要证的式子\(|f(x)+g(x)-(A+B)| & \epsilon\)很容易写成这种形式
$$|f(x)+g(x)-(A+B)| = |f(x)-A + g(x)-B|$$
然后我们把两个不等式代入，得到
$$|f(x)+g(x)-(A+B)| = |f(x)-A + g(x)-B| \le |f(x)-A| + |g(x)-B| & \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$$
$$|f(x)+g(x)-(A+B)| &
2\epsilon$$
由于\(\epsilon\)可以任意小，显然2倍的\(\epsilon\)也可以任意小。证明完毕。
下面证明乘法
$$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$$
就是要证明f(x)g(x)在x趋向于a时极限是AB，也就是
$$|f(x)g(x)-AB|&\epsilon$$
根据已知的两个不等式，我们的思路是把上式的形式向不等式凑。
$$|f(x)g(x)-AB| = |f(x)g(x) – Bf(x) + Bf(x) – AB| = |f(x)||g(x)-B|+|B||f(x)-A|$$
我们观察4个绝对值，|g(x)-B| 和 |f(x)-A|都可以任意小，|B|是一个有限的常数，而根据定理1.1.2 极限的局部有界性, |f(x)|也是有限的，不妨设上界为M，因此整个表达式都是可以任意小的。
$$|f(x)g(x)-AB|& M\epsilon + |B| \epsilon$$
最后证明除法
只需要证明 \(\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}\)，也就是要证
\(|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}|\)可以任意小。
$$|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}| = |\frac{|B-g(x)|}{g(x)B}|$$
根据定理1.1.3 极限的局部保号性，可以取一个邻域让g(x)&B/2 ，而|B-g(x)|&\(\epsilon\)。可以放缩：
$$|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}| = |\frac{|B-g(x)|}{g(x)B}| & \frac{\epsilon}{\frac{1}{2}B^2}$$
定理1.3 极限的复合运算法则
设\(\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0\)，\(\lim_{u \to u_0}f(u)=A\)，并且当\(x \neq x_0 时，g(x) \neq u_0\)，则
$$\lim_{x \to x_0}f(g(x)) = A$$
这个定理从直观上比较好理解，内层函数值趋近于u0,而f(u)当u趋近于u0的时候趋近于A，结果当然趋近于A。
极限的复合运算法则是十分重要的，它是微积分中经常用到的变量代换的理论基础。
\(x \neq x_0 时，g(x) \neq u_0\)这个条件，是为了在极限过程中不会涉及到u0这一个点的函数值。因为条件中只告诉了极限，没有告诉这一点的函数值。
我们要证的结论是\(\lim_{x \to x_0}f(g(x)) = A\)，也就是证明
能不能找到一个\(\delta&0\)，当\(0&|x-a|&\delta\)时，有
$$|f(g(x))-A| & \epsilon$$
然后看已知条件，根据外层已知的极限
$$\exists \delta_1 &0，当0&|u-u_0|&\delta_1时，有 |f(u)-A|&\epsilon$$
我们只需要让\(0&|g(x)-u_0|&\delta_1\)就可以了。根据内层的极限，我们取这时候的\(\epsilon= \delta_1\)，就有
$$\exists \delta &0，当0&|x-x_0|& \delta时，有 |g(x)-u_0|&\delta_1$$
在递推回去，就有
$$|f(g(x))-A| & \epsilon$$
两个重要极限
$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$
很容易可以得出0&x&π/2时 \(sinx & x & tanx\)
$$同时除以sinx得 \qquad 1\le\frac{x}{sinx}\le\frac{1}{cosx}$$
$$取倒数 得\qquad cosx \le \frac{sinx}{x} \le 1$$
根据例2 我们使用定义1 极限的定义证明了 \(\lim_{x \to 0}cosx = 1\)
因此 根据 定理1.1.5 夹逼定理 就得到了
$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$
$$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$
其实这也是自然对数e的一个定义。
先来证明n为自然数时，
\(\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \)是存在的。
设数列\(x_n=(1+\frac{1}{n})^n (x=1,2,\cdots)\)
根据单调有界收敛，只需要证明两个条件
条件一:单调。
使用比较\(x_n和x_{n+1}\)的方法：
使用二项式定理展开。然后把分母中的n的n次方分到各个分子，相当于每个分子除以n
$$x_n=(1+\frac{1}{n})^n\\=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-(n-1))}{n!}\frac{1}{n^n}\\=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})$$
再看\(x_{n+1}\)，使用同样的方法展开
$$x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots\\+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{n}{n+1})$$
比较，\(x_{n+1}\)的前n+1项都要比\(x_n\)大或者相等，此外还多了一项。所以有\(x_n \le x_{n+1}\)，即单调增加。
条件二：有界
把展开式中1减一个分数的全部放大到1，这样有
$$x_n \le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$
把分母的阶乘放大到前两项。
$$x_n \le 1+1+\frac{1}{2*1}+\frac{1}{3*2}+\cdots+\frac{1}{n*(n-1)}\\=1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots-\frac{1}{n} \le 1+1+1-\frac{1}{n} & 3$$
因此可见数列有界。根据 定理1.0.2 单调有界收敛定理 可知，数列的极限存在，记该极限的值为e ，即
$$e = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$$
下面证明x是实数时的一般情况：
先证明\(x \to +\infty\)
设\(n \le x & n+1\)，n为自然数。则有
$$(1+\frac{1}{n+1})&(1+\frac{1}{x})\le(1+\frac{1}{n})$$
$$(1+\frac{1}{n+1})^n&(1+\frac{1}{x})^x\le(1+\frac{1}{n})^{n+1}$$
$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} = e $$
$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n})=e$$
根据 定理1.1.5 夹逼定理 可知
$$\lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$
再考虑\(x \to -\infty\)
做一个简单的代换，根据 定理1.3 极限的复合运算法则 令t=-x，则\(t \to +\infty\)
$$\lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x =\lim_{t \to +\infty}(1-\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t-1}{t})^{-t}=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t}{t-1})^{t}\\=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t-1+1}{t-1})^{t}=\lim_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^t=\lim_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1})=e$$
根据 定义1.1.2
左右极限和极限的关系
$$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$
根据 定理1.3 极限的复合运算法则 这个重要极限还有一种常用形式：
$$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
常用极限公式
根据两个重要极限，可以推导出许多常用的极限。
根据 定理1.3 极限的复合运算法则 ，两个重要极限中的自变量x，可以是其他表达式，只要表达式趋于0就可以了。
$$\lim_{x \to 0}\frac{tanx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{sin}{x}\frac{1}{cosx}=1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{arctanx}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{arctsinx}{x} = 1$$
令\(t = arcsinx，则x = sint\)
$$\lim_{x \to 0}\frac{arctsinx}{x} = \lim_{t \to 0}\frac{t}{sint} = 1$$
类似的。令\(t = arctanx，则x = tant\)
$$\lim_{x \to 0}\frac{arcttanx}{x} = \lim_{t \to 0}\frac{t}{tant} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x} = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2} = \frac{2sin^2(\frac{x}{2}^2)}{x^2}=\frac{2sin^2(\frac{x}{2}^2)}{(\frac{x}{2})^2 * 4}=(\frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1+x) = \lim_{x \to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x} }= ln e = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=ln a$$
令\(t=e^x-1，则 x = ln(t +1)\)
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{t \to 0}\frac{t}{ln(t+1)} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x ln a}-1}{x ln a}ln a = ln a$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{a ln(1+x)}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{a ln(1+x)}-1}{aln(1+x)} a \frac{ln(1+x)}{x} = a$$
\(\lim_{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3}\)
$$\lim_{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{tanx(1-cosx)}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{tanx}{x}\frac{(1-cosx)}{x^2} =1*\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $$
\(lim_{x \to \infty}(\frac{x+5}{x+2})^{x+3}\)
$$lim_{x \to \infty}(\frac{x+5}{x+2})^{x+3} = lim_{x \to \infty}(1+\frac{3}{x+2})^{x+3}\\lim_{x \to \infty}(1+\frac{3}{x+2})^{\frac{x+2}{3}(x+3)\frac{3}{x+2}}=e^{\lim_{x \to \infty}(x+3)\frac{3}{x+2}}=e^3$$
定义1.3.1 无穷小
如果函数f(x)在\(x \to a\)时的极限为0，则称函数f(x)是\(x \to a\)时的无穷小。使用 ?-δ 语言来描述就是
如果 \(\forall \epsilon&0, \exists \delta &0\)，使得\(\forall x: 0&|x-a|&\delta\)，都有 \(|f(x)|&\epsilon\)，则称f(x)是\(x \to a\)时的无穷小量，简称无穷小。
类似的，可以定义x趋向正负无穷，趋向于a+，a-等时候的无穷小。
从定义可以看出，无穷小是一个函数在自变量的极限过程中定义的，是极限值为0的变量。
定理1.5.1 极限和无穷小的关系
\(x \to a\)时f(x)极限是A的 充要条件 是 \(\alpha(x)=f(x)-A\)在\(x \to a\)时是无穷小。即
$$\lim_{x \to a}f(x) = A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x) ，\alpha(x)是x \to a时的无穷小$$
\(x \to a\)时f(x)极限是A，则有
$$|f(x)-A|&\epsilon$$
\(\alpha(x)=f(x)-A\)显然是无穷小。
\(\alpha(x)=f(x)-A\)在\(x \to a\)时是无穷小，则
$$|f(x)-A|&\epsilon$$
这说明f(x)极限是A。
定义1.3.2 无穷小的比较
设\(x \to x_0\)时，f(x)和g(x)均为无穷小，\(g(x)\neq 0\)
1. 若\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\)，则称\(x \to x_0\)时，f(x)为比g(x)
高阶的无穷小
，g(x)为f(x)的
低阶无穷小
。记作\(f(x) = o(g(x)), (x \to x_0)\)
2. 若\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c \neq 0\)，则称\(x \to x_0\)时，f(x)和g(x)是
同阶无穷小
。记作\(f(x) \sim c g(x), (x \to x_0)\)
特别的，c=1时，称f(x)和g(x)是
等价无穷小
。记作\(f(x) \sim g(x), (x \to x_0)\)
并不是任意两个无穷小都能比较。例如xsin(1/x)和x就不能比较。
若\(x \to x_0\)时，f(x)和\((x-x_0)^k\)是同阶无穷小，则称f(x)是k阶无穷小。\(c (x-x_0)^k\)成为f(x)的主部。
定理 1.5.2
无穷小的运算
无穷小 + 无穷小 = 无穷小
无穷小 – 无穷小 = 无穷小
常数 * 无穷小 = 无穷小
无穷小 * 无穷小 = 无穷小
这里的=反应的是性质，而不是严格的数值关系相等。
定理1.5.3 有界量与无穷小的乘积是无穷小
设\(x \to a时，f(x) = o(1) ，|g(x)| \le M\)
$$0 \le |f(x)g(x)| \le M|f(x)$$
根据 定理1.1.5 夹逼定理
\(|f(x)g(x)| \to 0\)
定理 1.5.4 等价无穷小代换
设在同一个极限过程中，变量\(\alpha\)和\(\alpha’\)，\(\beta\)和\(\beta’\)都是无穷小，且\(\alpha \sim \alpha’\)，\(\beta \sim \beta’\).若极限\(\lim\frac{\beta’}{\alpha’}\)存在，则
$$\lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim\frac{\beta’}{\alpha’}$$
$$\lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim\frac{\beta}{\beta’}\frac{\beta’}{\alpha’}\frac{\alpha’}{\alpha}=\lim\frac{\beta}{\beta’} \lim\frac{\beta’}{\alpha’} \lim\frac{\alpha’}{\alpha}= \lim\frac{\beta’}{\alpha’}$$
常用的等价无穷小
根据两个重要极限和常用极限，可以得到常用的无穷小。极限过程都是\(x \to 0\)
1. \(x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim e^x-1 \sim ln(1+x)\)
2. \(1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2\)
3. \((1+x)^a-1 \sim ax\)
发现互联网好东东
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