小升初总复习数学归类讲解及训练(含答案)-共享资料网
小升初总复习数学归类讲解及训练(含答案)
小学数学总复习归类讲解及训练 （一）主要内容求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题学习目标1、使学生在现实情境中，理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的基本思考方 法，并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多（少）百分之几”方法的过程中，进一步加深对百分 数的理解，体会百分数与日常生活的密切联系，增强自主探索和合作交流的意识，提高分析 问题和解决问题的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率，理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识，继续感知数学就在身边，提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力，体会生活中处处有数学。考点分析1、一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率，应纳税额 = 收入 × 税率典型例题例 1、 （解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。实际比计划多生产百分之几？ 分析与解：要求“实际比计划多生产百分之几” ，就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百分 之几，把原计划产量看作单位“1” 。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 实际产量 5500 辆 解答：方法 1： 5500 C 5000 = 500（辆） 500 ÷ 5000 = 0.1 = 10％ 方法 2： 5500 ÷ 5000 = 110％ 110％ - 100％ = 10％ 答：实际比计划多生产 10％。 ?? 实际比计划多生产 500 辆 ?? 实际比计划多生产百分之几 ?? 实际产量相当于原计划的 110％ ?? 实际比计划多生产百分之几 实际比计划多的例 2、 （解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。计划比实际少生产百分之几？第 1 页 共 98 页分析与解：要求“计划比实际少生产百分之几” ，就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百分 之几，把实际产量看作单位“1” 。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 计划比实际少的 实际产量 5500 辆 解答：方法 1： 5500 C 5000 = 500（辆） 500 ÷ 5500 ≈ 9.1％ 方法 2： 5500 ÷ 5500 ≈ 90.9％ 100％ - 90.9％ ≈ 9.1％ 答：计划比实际少生产 9.1％。 ?? 计划比实际少生产 500 辆 ?? 计划比实际少生产百分之几 ?? 计划产量相当于实际的 90.9％ ?? 计划比实际少生产百分之几点评：想一想，在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式： “单位 1 × 分率 = 分率对应的 量” ，如果和百分数应用题结合起来，求一种量比另一种量多（少）百分之几，实际上就 是求分率。就用“多（少）的量 ÷ 单位 1” 。 例 3、 （难点突破） 一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 20％ 分析与解：苹果比梨重 20％，表示苹果比梨重的部分占梨的 20％，把梨的质量看作单位“1” ；而梨 比苹果轻 20％则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20％，把苹果的质量看作单位“1” ，两 个单位“1”不同，切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重 20％，是把梨看作单 位“1” ，梨有 100 份，苹果就是 100 + 20 = 120 份；一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一 筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = （120 - 100）÷ 120≈16.7％ 答：一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7％ 点评：在求一个数比另一个数多（少）百分之几的百分数应用题中，关键还是要找准单位“1” 的量。 从结论可以得出 “一个数比另一个数多百分之几， 另一个数就比一个数少百分之几。 ” 这句话是错的。为什么呢？把两个百分之几比较一下，就可以得出这两个百分之几对应的 量是一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量，而这两种说法是相同的，也就 表示的是同一个量；而单位“1”一个是梨，一个是苹果，所以这两个百分之几是不可能 相等的。 例 4、 （考点透视） 一种电子产品，原价每台 5000 元，现在降低到 3000 元。降价百分之几？ 分析与解：降低到 3000 元，即现价为 3000 元，说明降低了 2000 元。求降价百分之几，就是求降低 的价格占原价的百分之几。第 2 页 共 98 页5000 C 3000 = 2000（元） 2000 ÷ 5000 = 40％ 答：降价 40。 例 5、 （考点透视） 一项工程，原计划 10 天完成，实际 8 天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之几？分析与解：根据“原计划 10 天完成” ，可以得到：原计划每天完成这项工程的 完成” ， 可以得到： 实际每天完成这项工程的1 ；根据“实际 8 天 101 。 用 “实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原 8计划每天完成的量” ，就可以求出实际每天多修百分之几。 （1 1 1 ） ÷ = 25％ 8 10 10答：实际每天比原计划多修 25％。 点评： 找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键， 题目中要求的是每天完成的任务量， 而不能用 10 和 8 去求，因为 10 和 8 是工作时间，在解答时容易发生错误。 例 6、 （应纳税额的计算方法） 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3％缴纳营业税，去年应缴纳营业 税多少万元？ 分析与解：如果按营业额的 3％缴纳营业税，是把营业额看作单位“1” 。 缴纳营业税占营业额的 3％，即 400 万元的 3％。求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。计算时可将百分 数化成分数或小数来计算。 400×3％ = 400×3 = 12（万元） 100或 400×3％ = 400×0.03 = 12（万元） 答：去年应缴纳营业税 12 万元。 点评：在现实社会中，各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之 几是多少。例 7、 （和应纳税额有关的简单实际问题） 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳 10％的车辆购置税。王叔叔 买这辆摩托车一共要花多少钱？ 分析与解：王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10％的车辆购置税两部分，而车辆购置税 是占摩托车购买价的 10％，可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想：车辆购置税 占购买价的 10％，把购买价看作单位“1” ，王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价 的（1 + 10％） ，即求 16000 元的 110％是多少，也用乘法计算。第 3 页 共 98 页方法 1：16000 ×10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600（元） 方法 2：16000 ×（1 + 10％） = 16000 ×1.1 = 17600（元） 答：王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次，门票收入达 270 万元。按门票的 5％缴纳营业税计算， “十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解：营业税是按门票的 5％缴纳，是占门票收入的 5％，而不是占游客人数的 5％ 答： “十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。模拟试题一、填空。 1、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ 比篮球少（ ）％。 2、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ ）％。 3、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％， （ ）球个数最多， （ ）球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树，其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ ）％，其余的果树占总 棵数的（ ）％。 5、女生人数占全班的百分之几 = （ 杨树的棵数比柏树多百分之几 = （ 实际节约了百分之几 = （ 比计划超产了百分之几 = （ 6、20 的 40％是（ 是（ ）米。 ）元。 ）÷ （ ）÷ （ ）÷ （ ）÷ （ ） ） ） ，50 千克的 60％是（ ）千克，800 米的 25％ ） ） ）％，足球个数是篮球的（ ）％，足球个数） ，36 的 10％是（7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的 10％，这批货物的成本是（ 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只，灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几？2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几？3、小明家八月份用电 80 千瓦时，小亮家比小明家节约 10 千瓦时，小亮家比小明家八月份节约第 4 页 共 98 页用电百分之几？4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨，比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几？5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元，按国家的税率规定，应缴纳 17％的增值税。一共要 缴纳多少万元的增值税？6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共 需花多少钱？（二）主要内容：应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题学习目标：1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法，会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。考点分析1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的 百分率叫做利率。 2、利息=本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。四、典型例题例 1、 （解决税前利息）李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息多少元？ 存期（整存整取） 一年 二年 三年 年利率 3.87％ 4.50％ 5.22％第 5 页 共 98 页分析与解：根据储蓄年利率表，三年定期年利率 5.22％。 税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元） 答：到期后应得利息 78.3 元。 例 2、 （解决税后利息） 根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按 5％的税率缴纳利息税。例 1 中纳税 后李明实得利息多少元？ 分析与解：从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（1 - 5％） 500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元） ?? 应得利息 78.3 × 5％ = 3.915（元） ?? 利息税 78.3 C 3.915 = 74.385 ≈ 74.39（元） ?? 实得利息 或者 500 × 5.22％ × 3 × （1 - 5％） = 74.385（元）≈ 74.39（元） 答：纳税后李明实得利息 74.39 元。例 3、方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50％。两年后方明取款时要按 5％缴纳 利息税，到期后方明实得利息多少元？ 错误解答：1500 × 4.50％ ×（1 - 5％） = 64.125（元）≈ 64.13（元） 分析原因：税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（1 - 5％） ，这里漏乘了时间。 正确解答：1500 × 2 × 4.50％ ×（1 - 5％） = 128.25（元） 答：到期后方明实得利息 128.25 元。 点评：求利率根据实际情况有时要扣掉利息税，根据国家规定利息税的税率是 5％，所以利息 分税前利息和税后利息，在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的，比如： 国家建设债券、教育储蓄等。 例 4、 （求折扣）一本书现价 6.4 元，比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的？ 分析与解：打了几折是求实际售价是原价的百分之几，只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8（元） 6.4 ÷ 8 = 80％ = 八折 答：这本书是打八折出售的。 点评：几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，同一商品打的折数越低，售价也就越 低。在折数的题目中，打几折就是按原价的百分之几十出售，它并不代表增加或减少的 数额。 例 5、 （已知折扣求原价） “国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是 1020 元，这套西服原价多少元？ 分析与解：打八五折出售，即实际售价相当于原价的 85％。已知原价的 85％是 1020 元，要求 原价是多少，可以列方程解答。 原价 × 85％ = 实际售价 解：设这套西服原价ｘ元。第 6 页 共 98 页ｘ × 85％ = 1020 ｘ = 1020 ÷ 85％ ｘ = 1200 检验： （1）用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85％ （2）看原价的 85％是不是 1020 元。 1200 × 85％ = 1020（元） 经检验，答案符合题意。 答：这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元，若打七五折出售，可降价 2000 元。 分析原因：6000 元为原价，打七五折出售，要先算出实际售价再相减，或者先算出降价部分占 原价的 25％。 正确解答：6000 - 6000×75％ = 1500（元） 或 6000×（1 - 75％） = 1500（元） 答：可降价 1500 元。 例 7、 （和应纳税额有关的简单实际问题） 一批电冰箱，原来每台售价 2000 元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打九折，如 果能够成交，售价是多少元？ 分析与解： “促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售，用“原价×90％” ， “再打九折” 是在促销价的基础上打九折，要用促销价乘 90％。 2000× 90％ × 90％ = 1800× 90％ = 1620（元） 答：如果能够成交，售价是 1620 元。 点评：题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折，单位“1”的 量是促销价，即原价打九折后的价钱，这是易错点，要多加注意。 例 8、 （考点透视） 商店以 40 元的价钱卖出一件商品，亏了 20％。这件商品原价多少元，亏了多少元？ 分析与解：以 40 元的价钱卖出，说明实际售价是 40 元；亏了 20％，即亏了原价的 20％，因此 实际售价相当于原价的（1 - 20％） 。 解：设这件商品原价ｘ元。 ｘ × （1 - 20％） = 40 ｘ × 80％ = 40 ｘ = 50 50 × 20％ = 10（元） 答：这件商品原价 50 元，亏了 10 元。 例 9、 （考点透视） 某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20％，另一件亏本 20％。这个商店 卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 分析与解：盈利 20％，即售出价是成本价的（1 + 20％） ；亏本 20％，即售出价是成本价的（1 20％） 。两件商品的售出价都是 30 元，可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷（1 + 20％）= 25（元）第 7 页 共 98 页30 ÷（1 - 20％）= 37.5（元） 25 + 37.5 = 62.5（元） 62.5 C 60 = 2.5（元） 答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本 2.5 元。模拟试题1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元，如果每月的利率是 0.165％，存款 三个月时，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元?2、叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到 的利息能买一台 6000 元的电脑吗？3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在 400-600 元的，每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%，在 600-800 元的应缴纳 1%，在 800-1000 元的，应缴纳 1.5%，在 1000 以上的 应缴纳 2%，小华妈妈的工资为 2400 元，她这一年应缴纳党费多少元？4、填空： 八折=（ 40% =（ ）% ）折 九五折=（ 75% = （ ）% ）折5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫，原价 80 元，如果打八折出售是多少元？第 8 页 共 98 页②有一种型号的手机，原价 1000 元，现价 900 元，打几折出售？③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤 原价多少元？ 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分 别打几折吗？每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元，现价 3 元。②食品原价 5 元，现价 4 元。③食品原价 10 元，现价 7 元。7、常熟新开了一家永乐生活电器，“十?一”节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3，原价 280 元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？ ①现价多少元？②现价比原价便宜了多少元？改编：（1）有一种款式的 MP3，打三折出售是 84 元，原价多少元？（2）有一种款式的 MP3，打三折出售比原价便宜了 196 元，原价多少元？8、一种矿泉水，零售每瓶卖 2 元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展“买四赠一” 大酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。)第 9 页 共 98 页9、一辆自行车 200 元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车 花了多少钱？10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了 12 元，小红买这两本书便宜了多少钱。（三）主要内容列方程解稍复杂的百分数实际问题学习目标1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上，引出列方程解一些稍复杂的百分 数实际问题的方法。 2、能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生的分析解题能力。 3、通过练习，沟通百分数和分数的联系，提高学生解决相关问题的能力。考点分析1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一个数 的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。 3、 “已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的 相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识， 、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间 的联系。典型例题例 1、 （列方程解答和倍问题） 一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的 60％。甲、乙两绳各长多少米？ 分析与解：乙绳长度是甲绳的 60％，把甲绳长度看作单位“1” 。ｘ米甲绳第 10 页 共 98 页（ ）米? ?48 米乙绳乙绳是甲绳的 60％等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答：设甲绳长ｘ米，则乙绳长 60％ｘ米。 ｘ + 60％ｘ = 48 1.6ｘ = 48 ｘ = 30 60％ｘ = 30 × 60％ = 18 答：甲绳长 30 米，则乙绳长 18 米。 检验：30 + 18 = 48（米） ，符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 ÷ 30 = 60％，符合乙绳长度是甲绳的 60％。 例 2、 （列方程解答差倍问题） 体育馆内排球的个数是篮球的 75％，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个？ 分析与解：排球的个数是篮球的 75％，是把篮球个数看作单位“1” 。ｘ个篮球（）个? ?多 6 个排球排球的个数是篮球的 75％等量关系式：篮球 C 排球 = 6 个 解答：设篮球有ｘ个，则排球有 75％ｘ个。 ｘ - 75％ｘ = 6 0.25ｘ = 6 ｘ = 24 75％ｘ = 24 × 0.75 = 18 答：篮球有 24 个，排球有 18 个。 你会自己检验吗？ 检验：24 - 18 = 6（个） ，符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75％，符合排球的个数是篮球的 75％。 点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下设单位 “1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一个量， 最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140％，六年级男生有多 少人？ 错误解法：设：女生有ｘ人，男生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4ｘ = 40 ｘ = 100 140％ｘ = 100 × 1.4 = 140第 11 页 共 98 页分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140％” ，可以把男生人数看作单位“1” 的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是 140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生少 40 人” ，可以得出数量关系式： “女生人数 C 男生人数 = 40” ，根据此数量关系式 列出方程。 正确解答：设男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4ｘ = 40 ｘ = 100 答：男生有 100 人。 点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要去找分率 （百分率） ，因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比” ，而“比”后面的那个 量就是单位“1”的量。 例 4、 （列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题） 白兔有 36 只，比灰兔少 20％。灰兔有多少只？ 分析与解：白兔比灰兔少 20％，把灰兔看作单位“1” 。?只灰兔36 只? ?比灰兔少 20％白兔等量关系式：灰兔的只数 C 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有ｘ只。 ｘ - 20％ｘ = 36 0.8ｘ = 36 ｘ = 45 答：灰兔有 45 只。 检验：45 C 45 × 20％ = 36 或 （45 C 36）÷ 45 = 20％，符合题意。 例 5、 （列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题） 白兔有 48 只，比灰兔多 20％。灰兔有多少只？ 分析与解：白兔比灰兔多 20％，把灰兔看作单位“1” 。?只灰兔 ?比灰兔多 20％ ? 白兔48 只等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有ｘ只。第 12 页 共 98 页ｘ + 20％ｘ = 48 1.2ｘ = 48 ｘ = 40 答：灰兔有 40 只。 检验：40 + 40 × 20％ = 48 或 （48 C 40）÷ 40 = 20％，符合题意。 点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量，看 问题求什么，确定用什么方法计算。 例 6、 （难点突破） 某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25％，原来成本是多少元？如果想盈利 25％，应按多少 元出售该商品？ 分析与解：不管是亏 25％，还是盈利 25％，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件 商品的成本。18 元亏 25％，说明 18 元比成本少 25％，即是成本的（1 - 25％） 。盈 利 25％，说明盈利的是原来成本的 25％，实际售价是原来成本的（1 + 25％） 。 解答：设原来成本是ｘ元。 ｘ - 25％ｘ = 18 0.75ｘ = 18 ｘ = 24 24 × （1 + 25％） = 30（元） 答：原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。 点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定 好单位“1” ，这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、 （考点透视） 水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22％，第二次运进 1.5 吨，两次共运进这批水 果的 62％，这批水果一共有多少吨？ 分析与解：根据题意可以画出下面的线段图：62％第一次 22％1.5 吨“1”? 吨从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“1”的量是这批水 果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了 62％ｘ吨，第一次运进了 22％ｘ吨。 解：设这批水果一共有ｘ吨。 62％ｘ - 22％ｘ = 1.5 40％ｘ = 1.5 ｘ = 3.75 答：这批水果一共有 3.75 吨。第 13 页 共 98 页点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变得简洁， 找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一根线段表示出单位“1” 的量之后，再去表示其他的量。模拟试题一、基本训练： 1、找出下列各题中的单位“1”。 ①男生人数占女生人数 60%。②男生人数比女生人数多 20%。③女生人数比男生人数少 25%。④加工一批零件，已完成了 80%。⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。2、根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的 60%②一种彩电，现价比原价降低 10% 1 ③松树的棵数比柏树多3 3、看图列式。用去 30% 灰兔 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 30 只 ? 只 比灰兔多 25%4、列式计算：第 14 页 共 98 页（1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。（2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。 二、解决问题： 1、对比练习 （1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？（2）某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？2、一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单价各是 多少元？3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵？4、一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元？5、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条绳子共 长多少米？6、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米， 这条绳子长多少米？第 15 页 共 98 页7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵， ①200÷ 20% ②200× 20% ③200÷ （1+20%） ④200÷ （1-20%） ⑤200× （1-20%） ⑥200× （1+20%） ，梨树有多少棵？（四）主要内容圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积学习目标1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底面、 侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣 和学好数学的信心。第 16 页 共 98 页考点分析1、 圆柱上、 下两个面叫做圆柱的底面， 它们是完全相同的两个圆。 形成圆柱的面还有一个曲面， 叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、 把圆柱的侧面展开得到一个长方形， 这个长方形的长等于圆柱底面的周长， 宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2典型例题例 1、 （圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？ 分析与解：长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形） ，而圆柱和圆锥除了底面 是平面图形（圆）外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。圆 底 面 柱 圆 锥两个底面完全相同， 都是圆 形。 曲面，沿高剪开，展开后是 长方形。 两个底面之间的距离， 有无 数条。一个底面，是圆形。 曲面， 沿顶点到底面圆周上的一条线 段剪开，展开后是扇形。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。侧面高例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。半径 3 厘米直径 10 米分析与解：根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱：底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84（厘米） 底面积 3.14 × 3 ? = 28.26（平方厘米） 圆锥：底面周长 3.14 × 10 = 31.4（米） 底面积 3.14 ×（10÷2）? = 78.5（平方米）点评：圆柱和圆锥的底面都是圆，在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算 公式进行计算。 例 3、判断：圆柱和圆锥都有无数条高。第 17 页 共 98 页错误解法：正确 分析与解：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 正确解答：错误 点评：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数 条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所 以圆锥只有一条高。 例 4、 （圆柱的侧面积）体育一个圆柱，底面直径是 5 厘米，高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解：高 底面周长沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆 柱底面的周长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方 形的面积，即圆柱的侧面积。 解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评：圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化 的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面 积就是这个圆柱的侧面积。例 5、 （圆柱的表面积） 做一个圆柱形油桶， 底面直径是 0.6 米， 高是 1 米， 至少需要多少平方米铁皮？ （得数保留整数） 分析与解：求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。解答：底面积：3.14 ×（0.6÷2）? = 0.2826（平方米） 侧面积：3.14 × 0.6 × 1 = 1.884（平方米） 表面积：0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492（平方米）≈ 3（平方米） 答：至少需要铁皮 3 平方米。 点评：这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多 一些。因此这儿保留整数，十分位上虽然是 4，但也要向个位进 1。 例 6、 （辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是 30 厘米，高是 50 厘米。做这样一个水桶， 至少需用铁皮 6123 平方厘米。第 18 页 共 98 页分析与解：题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆 柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答：底面积：3.14 ×（30÷2）? = 706.5（平方厘米） 侧面积：3.14 × 30 × 50 = 4710（平方厘米） 表面积：706.5 + 4710 = 5416.5（平方厘米） 答：做这样一个水桶，至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、 （考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面积 是多少平方厘米？ 分析与解：圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据圆柱 的底面周长可以算出底面积。 解答：底面半径：15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5（厘米） 底面积：3.14 × 2.5 ? = 19.625（平方厘米） 侧面积：15.7 × 15.7 = 246.49（平方厘米） 表面积：19.625 × 2 + 246.49 = 285.74（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。例 8、 （考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部涂 水泥，每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥？ 分析与解：要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂 水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答： 侧面积：3.14 × 10 × 4 = 125.6（平方米） 底面积：3.14 × （10 ÷ 2）? = 78.5（平方米） 涂水泥的面积：125.6 + 78.5 = 204.1（平方米） 水泥的质量：204.1 ÷ 5 = 40.82（千克） 答：共需 40.82 千克水泥。 例 9、 （考点透视）把一个底面半径是 2 分米，长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段 圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？ 分析与解：锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段，要锯两次， 每锯一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 ? × 4 = 50.24（平方分米） 答：表面积增加了 50.24 平方分米。 点评：这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个 面。但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分， 增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。第 19 页 共 98 页模拟试题下面()图形旋转会形成圆柱。3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（） 。4、求下列圆柱体的侧面积 （1）底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米。（2）底面直径是 4 厘米，高是 5 厘米。（3）底面周长是 12.56 厘米，高是 4 厘米。5、求下列圆柱体的表面积 （1）底面半径是 4 厘米，高是 6 厘米。第 20 页 共 98 页（2）底面直径是 6 厘米，高是 12 厘米。（3）底面周长是 25.12 厘米，高是 8 厘米。6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米）7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？第 21 页 共 98 页参考答案：(一)一、填空。 1、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ 25 ）％，足球个数是篮球的（ 80 ）％，足球个数 比篮球少（ 20 ）％。 2、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ 118 ）％。 3、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％， （ 排 ）球个数最多， （ 足 ）球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树，其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ 60 ）％，其余的果树占总棵 数的（ 40 ）％。 5、女生人数占全班的百分之几 = （ 女生人数 ）÷ （ 全班人数 ） 杨树的棵数比柏树多百分之几 =（ 杨树比柏树多的棵数 ）÷ （ 柏树棵数 ） 实际节约了百分之几 = （ 节约的数量 ）÷ （ 计划数量 ） 比计划超产了百分之几 = （ 超产产量 ）÷ （ 计划产量 ） 6、20 的 40％是（ 8 ） ，36 的 10％是（ 3.6 ） ，50 千克的 60％是（ 30 ）千克，800 米的 25％是（ 200 ）米。 7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的 10％，这批货物的成本是（ 1.2ａ ）元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只，灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几？ （30 - 25）÷ 25 = 20 ％ 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几？ （480 - 450）÷ 450 ≈ 6.7％ 3、小明家八月份用电 80 千瓦时，小亮家比小明家节约 10 千瓦时，小亮家比小明家八月份节约用电 百分之几？ 10 ÷ 80 = 12.5 ％ 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨，比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几？ 500 ÷ （5000 C 500） ≈ 11.1％ 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元，按国家的税率规定，应缴纳 17％的增值税。一共要缴纳 多少万元的增值税？ 900 × 17％ = 153（万元） 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共需花 多少钱？ 方法 1：12 ×10％ + 12 = 1.2 + 12 = 13.2（万元） 方法 2：12 ×（1 + 10％） = 12 ×1.1 = 13.2（万元）参考答案（二） ：1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元，如果每月的利率是 0.165％，存款三个 月时，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元? 税后利息：1000 × 0.165％ × 3 ×（1 - 5％）= 4.7025（元）≈ 4.70（元） 本金和利息：1000 + 4.70 = 1004.70（元）第 22 页 共 98 页2、叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到的 利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 税后利息：100000 × 4.50％ × 2 ×（1 - 5％）= 8550（元） 8550 & 6000 答：得到的利息能买一台 6000 元的电脑。 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在 400-600 元的，每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%，在 600-800 元的应缴纳 1%，在 800-1000 元的，应缴纳 1.5%，在 1000 以上的 应缴纳 2%，小华妈妈的工资为 2400 元，她这一年应缴纳党费多少元？ 2400 × 2％ × 12 = 576（元） 4、填空： 八折=（ 80 ）% 40% =（ 四 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫，原价 80 元，如果打八折出售是多少元？ 80 × 80％ ②有一种型号的手机，原价 1000 元，现价 900 元，打几折出售？ 900 ÷ 1000 ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤 原价多少元？ 56 ÷ 70％ 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分别 打几折吗？每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元，现价 3 元。3 ÷ 4 = 0.75 = 75％ = 七五折 ②食品原价 5 元，现价 4 元。4 ÷ 5 = 0.8 = 80％ = 八折 ③食品原价 10 元，现价 7 元。7 ÷ 10 = 0.7 = 70％ = 七折 7、常熟新开了一家永乐生活电器， “十?一”节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3，原价 280 元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？ ①现价多少元？ 三折 = 30％ 280 × 30％ = 84（元） ②现价比原价便宜了多少元？ 280 C 84 = 196（元） 改编： （1）有一种款式的 MP3，打三折出售是 84 元，原价多少元？ 84 ÷ 30％ = 280（元） （2）有一种款式的 MP3，打三折出售比原价便宜了 196 元，原价多少元？ 196 ÷ （1 - 30％）= 280（元） 8、一种矿泉水，零售每瓶卖 2 元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展“买四赠一”大 酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。) 4 ÷ （4 + 1） = 0.8 = 80％ 1 - 80％ = 20％ ）折 九五折=（ 95 ）% 75% = （ 七五 ）折第 23 页 共 98 页9、一辆自行车 200 元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车花了 多少钱？ 200 × 80％ × 90％ = 144（元） 10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了 12 元，小红买这两本书便宜了多少钱。 12 ÷ 2 ÷ 80％ = 7.5（元） 7.5 × 2 C 12 = 3（元） 或 12 ÷ 80％ C 12 = 3（元）参考答案（三） ：一、基本训练： 1、找出下列各题中的单位“1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 把女生人数看作单位“1”②男生人数比女生人数多 20%。 把女生人数看作单位“1” ③女生人数比男生人数少 25%。 把男生人数看作单位“1” ④加工一批零件，已完成了 80%。 把一批零件看作单位“1”⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“1” 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的 60% ②一种彩电，现价比原价降低 10% 1 ③松树的棵数比柏树多3 全长 × 60% = 已修 原价 × 10% = 降价 原价 ×（1-10%）= 现价 1 柏树 × = 松树比柏树多的棵数 3 1 柏树 ×（1+3 ）= 松树 3、看图列式。用去 30% 灰兔 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 ? 只 比灰兔多 25%28 ÷（1 - 30%）×30% = 12（吨）30 只 ｘ + 25％ｘ = 30 ｘ = 244、列式计算： （1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。75％ｘ C 30 × 25% = 1.5 ｘ = 12第 24 页 共 98 页（2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。75％ｘ C 25%ｘ = 30 ｘ = 60 二、解决问题： 1、对比练习 （1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 解：设五月份用煤ｘ吨。 ｘ C 25%ｘ = 60 ｘ = 80 （2）某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 60 + 60 × 25% = 75（吨） 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单价各是 多少元？ 解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 60%ｘ元。 ｘ C 60%ｘ = 10 ｘ = 25 25 × 60% = 15（元）或 25 C 10 = 15（元） 答：课桌的单价是 25 元，椅子的单价是 15 元。 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵？ 解：设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是 20%ｘ棵。 ｘ + 20%ｘ = 360 ｘ = 300 300 × 20% = 60（棵）或 360 C 300 = 60（棵） 答：梨树的棵树是 300 棵，苹果树的棵树是 60 棵。 4、一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元？ 解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 30%ｘ元。 ｘ + 30%ｘ = 78 ｘ = 60 60 × 30% = 18（元）或 78 C 60 = 18（元） 答：课桌的单价是 60 元，椅子的单价是 18 元。 5、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条绳子共 长多少米？ 解：设这条绳子共长ｘ米。 25%ｘ + 35%ｘ = 6 ｘ = 10第 25 页 共 98 页答：这条绳子共长 10 米。 6、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米， 这条绳子长多少米？ 解：设这条绳子共长ｘ米。 35%ｘ - 25%ｘ = 1 ｘ = 10 答：这条绳子共长 10 米。7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 25 ÷ 20 = ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 20 ÷ 25 = 125% 80% 25% 20%③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ （25 C 20） ÷ 20 = ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵， ①200÷ 20% ②200× 20% ③200÷ （1+20%） ④200÷ （1-20%） ⑤200× （1-20%） ⑥200× （1+20%） ，梨树有多少棵？ （25 C 20） ÷ 25 =苹果树是梨树的 20% 梨树是苹果树的 20% 苹果树比梨树多 20% 苹果树比梨树少 20% 梨树比苹果树少 20% 梨树比苹果树多 20%参考答案（四） ：第 26 页 共 98 页上图上面从左到右依次是：底面、侧面积 中间从左到右依次是：高、高 下面从左到右依次是：底面、底面周长、底面周长 下面( A )图形旋转会形成圆柱。3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（④） 。4、求下列圆柱体的侧面积 （1）底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米。 （2）底面直径是 4 厘米，高是 5 厘米。 3.14×3×2×4 = 75.36（厘米） 3.14×4×5 = 62.8（厘米）（3）底面周长是 12.56 厘米，高是 4 厘米。12.56×4 = 50.24（厘米） 5、求下列圆柱体的表面积 （1）底面半径是 4 厘米，高是 6 厘米。 底面积：3.14 × 4 ? = 50.24（平方厘米） 侧面积：3.14 × 4 × 2 × 6 = 150.72（平方厘米） 表面积：50.24 × 2 + 150.72 = 251.2（平方厘米） （2）底面直径是 6 厘米，高是 12 厘米。 底面积：3.14 × （6÷2）? = 28.26（平方厘米） 侧面积：3.14 × 6 × 12 = 226.08（平方厘米） 表面积：28.26 × 2 + 226.08 = 282.6（平方厘米） （3）底面周长是 25.12 厘米，高是 8 厘米。 底面积：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（厘米） 3.14 × 4 ? = 50.24（平方厘米）第 27 页 共 98 页侧面积：25.12 × 8 = 200.96（平方厘米） 表面积：50.24 × 2 + 200.96 = 301.44（平方厘米） 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 侧面积：3.14 × 3 × 15 = 141.3（平方分米）≈ 142（平方分米） 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。解法一：选择①和④ 底面积：3.14 × （3÷2）? = 7.065（平方分米） 侧面积：9.42 × 2 = 18.84（平方分米） 表面积：7.065 × 2 + 18.84 = 32.97（平方分米） 解法二：选择②和③ 底面积：3.14 × （4÷2）? = 12.56（平方分米） 侧面积：12.56 × 5 = 62.8（平方分米） 表面积：12.56 × 2 + 62.8 = 87.92（平方分米） 8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 底面积：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（米） 3.14 × 4 ? = 50.24（平方米） 侧面积：25.12 × 4 = 100.48（平方米） 表面积：50.24 + 100.48 = 150.72（平方米） 水泥质量： 150.72 × 20 = 3014.4 千克小学数学总复习专题讲解及训练（五）模拟试题一、圆柱体积 1、求下面各圆柱的体积。 （1）底面积 0.6 平方米，高 0.5 米第 28 页 共 98 页（2）底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米。（3）底面直径是 8 米，高是 10 米。（4）底面周长是 25.12 分米，高是 2 分米。2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7。第一个圆柱的体积是 24 立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？3、在直径 0.8 米的水管中，水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方米？4、牙膏出口处直径为 5 毫米，小红每次刷牙都挤出 1 厘米长的牙膏。这支牙膏可用 36 次。该 品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为 6 毫米， 小红还是按习惯每次挤出 1 厘米长的 牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？5、一根圆柱形钢材，截下 1.5 米，量得它的横截面的直径是 4 厘米。如果每立方厘米钢重 7.8 克，截下的这段钢材重多少千克？（得数保留整千克数。 ）6、把一个棱长 6 分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分 米？第 29 页 共 98 页7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短 3 厘米，它的表面积减少 94.2 平方厘米。这个圆柱 体积减少多少立方厘米？二、圆锥体积 1、选择题。 （1）一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是( ① )1 a 立方米 3② 3a 立方米③ 9 立方米（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是( )立 方米 ① 6 立方米 ② 3 立方米 ③ 2 立方米 2、判断对错。 （1）圆柱的体积相当于圆锥体积的 3 倍 ???（ ） （2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是 2 ： 1 ???（ ） （3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差 21 立方厘米，圆锥的体积是 7 立方厘米 ???（ ） 3、填空 （1）一个圆柱体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。 （2）一个圆锥的体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。 （3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是 144 立方厘米。圆柱的体积是（ 厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 4、求下列圆锥体的体积。 （1）底面半径 4 厘米，高 6 厘米。）立方（2）底面直径 6 分米，高 8 厘米。（3）底面周长 31.4 厘米，高 12 厘米。第 30 页 共 98 页5、一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重多少吨？6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米，如果每立方米小麦重 750 千克，这 堆小麦重多少千克？7、一个长方体容器，长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米，装满水后将水全部倒入一个高 6 厘米的 圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？参考答案：一、圆柱体积 1、求下面各圆柱的体积。 （1）底面积 0.6 平方米，高 0.5 米 0.6 × 0.5 = 0.3（立方米）（2）底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米。 3.14 ×3 ? × 5 = 141.3（立方厘米） （3）底面直径是 8 米，高是 10 米。 3.14 ×（8÷2）?×10 = 502.4（立方米）（4）底面周长是 25.12 分米，高是 2 分米。 3.14 ×（25.12÷3.14÷2）? × 2 = 100.48（立方分米）2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7。第一个圆柱的体积是 24 立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？ 底面积相等的两个圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7，第一个圆柱的体积也就是是 第二个圆柱的 4/7。 24 ÷ 4/7 C 24 = 18（立方厘米） 答：第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多 18 立方厘米。 3、在直径 0.8 米的水管中，水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方米？ 3.14 ×（0.8÷2）? × 2 × 60 = 60.288（立方米） 答：那么 1 分钟流过的水有 60.288 立方米。第 31 页 共 98 页4、牙膏出口处直径为 5 毫米，小红每次刷牙都挤出 1 厘米长的牙膏。这支牙膏可用 36 次。该 品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为 6 毫米， 小红还是按习惯每次挤出 1 厘米长的 牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？ 牙膏体积：1 厘米 = 10 毫米 3.14 ×（5÷2）? × 10 × 36 = 7065（立方毫米） 7065 ÷ [3.14 ×（6÷2）? × 10] = 25（次） 答：这样，这一支牙膏只能用 25 次。 5、一根圆柱形钢材，截下 1.5 米，量得它的横截面的直径是 4 厘米。如果每立方厘米钢重 7.8 克，截下的这段钢材重多少千克？（得数保留整千克数。 ） 1.5 米 = 150 厘米 3.14 ×（4÷2）? × 150 × 7.8 = 14695.2（克）= 14.6952（千克）≈15（千克） 答：截下的这段钢材重 15 千克。6、把一个棱长 6 分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分 米？3.14 ×（6÷2）? × 6 = 169.56（立方分米） 答：这个圆柱的体积是 169.56 立方分米。 7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短 3 厘米，它的表面积减少 94.2 平方厘米。这个圆柱 体积减少多少立方厘米？底面周长： 94.2÷3 = 31.4 厘米 3.14 ×（31.4÷3.14÷2）? × 3 = 235.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积减少 235.5 立方厘米。 二、圆锥体积 1、选择题。 （1）一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是( ① ② )1 a 立方米 3② 3a 立方米③ 9 立方米 ③ )（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是( 立方米 ① 6 立方米 ② 3 立方米 ③ 2 立方米 2、判断对错。 （1）圆柱的体积相当于圆锥体积的 3 倍 ???（ × ）第 32 页 共 98 页（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是 2 ： 1 ???（ √ ） （3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差 21 立方厘米，圆锥的体积是 7 立方厘米 ???（ × ） 3、填空 （1）一个圆柱体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ 6 ）立方厘米。 （2）一个圆锥的体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（54）立方厘米。 （3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是 144 立方厘米。圆柱的体积是（ 108 方厘米，圆锥的体积是（ 36 ）立方厘米。 4、求下列圆锥体的体积。 （1）底面半径 4 厘米，高 6 厘米。 （2）底面直径 6 分米，高 8 厘米。）立1 ×3.14 ×4 ?×6 = 100.48（立方厘米） 3 1 ×3.14×（60÷2）?×8 = 7536（立方厘米） 3（3）底面周长 31.4 厘米，高 12 厘米。1 ×3.14×（31.4÷3.14÷2）?×12 = 314（立方厘米） 35、一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重多少吨？1 ×3.14 ×2 ?×1.5×1.8 = 11.304（吨） 3答：这堆沙约重 11.304 吨。 6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米，如果每立方米小麦重 750 千克，这 堆小麦重多少千克？1 ×3.14×（12.56÷3.14÷2）?×1.2 ×750 = 3768（千克） 3答：这堆小麦重 3768 千克。 7、一个长方体容器，长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米，装满水后将水全部倒入一个高 6 厘米的 圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 5 × 4 × 3 = 60（立方厘米）60 × 3 ÷ 6 = 30（平方厘米）答：这个圆锥形容器的底面积是 30 平方厘米小学数学总复习专题讲解及训练（六）第 33 页 共 98 页主要内容比例的意义和基本性质学习目标1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步 体会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、 使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用， 认识比例的 “项” 、 “内项” 和 “外项” ； 理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用 数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。考点分析1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内 项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 5、 根据比例的基本性质， 如果已知比例中的任意三项， 就可以求出这个比例中的另一个未知项。 求比例的未知项，叫做解比例。典型例题例 1、 （把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了） A B C（1）长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米；长方形 B 的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。这两个长 方形的长有什么关系？宽呢？ （2）如果要把长方形 A 按 1:2 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？ 分析与解： （1）长方形 B 的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A 的 2 倍。或者说长方形 B 和 长方形 A 长的比是 2:1，宽的比也是 2:1。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形 的比是 2:1，就是把长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进行放大。 （2）把长方形 A 按 1:2 的比缩小后为长方形 C，长、宽缩小为原来的1 ，图 C 的长 2是 0.75 厘米，图 C 的宽是 0.5 厘米。 由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。 例 2、 （根据指定的比，将图形按要求放大或缩小） 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方形 A 缩小后的图形 C。 （1） 图 B 的长、宽各是几格？（2）图 C 呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？A第 34 页 共 98 页BC分析与解： （1）按 3:2 的比将长方形 A 放大，即将长方形 A 的长与宽分别扩大 1.5 倍，那么图 B 的长为 6×1.5 = 9 格，宽为 4×1.5 = 6 格。 （2）按 1:2 的比将长方形 A 缩小，即 将长方形 A 的长与宽分别缩小到原来的1 ，那么图 C 的长为 6÷2 = 3 格，宽为 4÷ 22 = 2 格。 （3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的 图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。 点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条 边的长度，画出图形就行了。 例 3、 （将两个相等比写成一个等式） 图 B 是由图 A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个 比，你有什么发现？ B A 3 厘米 6 厘米 4 厘米 8 厘米 分析与解： （1）图 A 中长与宽的比是 4:3；图 B 中长与宽的原始比是 8:6，而 8:6 化简后就是 4:3。 （2）这两个比化简后都是 4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即 4:3 = 8:6 或4 8 = ，都读作：4 比 3 等于 8 比 6。 3 6例 4、 （认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。 （1） 5 ：6 和 15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1 （3）1 1 3 1 ： 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 ： 2 3 8 8 5 5 ，15 ：18 = ，所以 5 ：6 = 15 ：18。 6 6分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。 （1） 因为 5 ：6 =（2） 因为 0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1 不能组成比例。第 35 页 共 98 页1 1 3 3 1 1 ： = ， 1.2 ：0.8 = ，所以 ： = 1.2 ：0.8。 2 3 2 2 2 3 3 1 3 1 （4） 6 ：2 = 3， ： = 3，所以 6 ：2 = ： 。 8 8 8 8（3） 因为 点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等 就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。 例 5、 （比例的各部分名称和比例的基本性质） 一台织布机 3 小时织布 3.6 米，4 小时织布 4.8 米。你能根据数量间的关系写出比例吗？ 分析与解： （1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：4 （2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ：4 （3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：4.8 介绍“项” ：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做 比例的内项。例如： 3.6 ：3 = 4.8 ：4 内项 外项 观察题中的三个比例，你有什么发现？ 3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8 （1）3.6 和 4 可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。 （2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 （3）如果把 3.6 ：3 = 4.8 ：4 改写成分数形式3.6 4.8 = ，等号两边的分子、分母分别交 3 4叉相乘，结果也相等。 （4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d， 那么这个规律可表示成 ad = bc 或 bc = ad。 （5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。例 6、 （比例基本性质的应用）根据 2 × 7 = 1.4 × 10 这个等式写出几个比例。 分析与解：根据比例的基本性质，可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组数要么同时是比例的外项， 要么同时是比例的内项。 1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10 10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2 点评：像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么同时为内项，要么同时为外 项，而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。第 36 页 共 98 页例 7、 （按比例放大的含义） 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是 12.5 厘米，你有什么发现？ 4 厘米 5 厘米 分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段 的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中 各自长、宽的比也可以组成比例。 12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4 例 8、 （解比例）上图中宽是多少厘米？ 分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的 性质来解答。 解：设宽是厘米。 12.5 : 5 =
: 4 5 = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质 5 = 50
= 10 答：放大后图片的宽是 10 厘米。 点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 同学们，你会解答12 .5 5 = 4 ?这个比例吗？试试看吧！小学数学总复习专题讲解及训练（六）模拟试题1、一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图片的长是（ ）厘 米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。 2、一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为 30 厘米。 3、按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形缩小后的图形。第 37 页 共 98 页4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？ 6∶10 和 9∶15 20∶5 和 4∶1 5∶1 和 6∶2 5、在 2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与 5.6∶14 能组成比例的一个比是( 6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。 7、如果 A×3=B×5，那么 A∶B= ( ) ∶ ( )。 8、从 6、24、20、18 与 5 这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( ) ∶ ( )=( ) ∶ ( )。 9、根据 3×8 = 4×6 写成的比例是（ ） 、 （ ）或（ 10、甲数的 25% 等于乙数的 75%，那么甲数与乙数的比是（ ）∶（ ） 。)。） 。13、解比例 ∶3 = 7 1 ∶ 8 4 9 4.5 = x 0.8 1 2 ∶ 6 5 = 1 ∶x 23 3 1.3 x ∶ x = 3∶12 ∶ x = 5％∶0.6 = 4 8 18 3.6 14、在一个比例里，两个外项的积是 30，已知一个内项是 10，另一个内项是（第 38 页 共 98 页）。参考答案：1、一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图片的长是（ 4 ）厘 米，宽是（ 3 ）厘米，这张图片（ 形状 ）不变，大小（ 变了 ）。 2、一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ 3 : 1 ）的比放大后，边长变为 30 厘米。 3、按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形缩小后的图形。4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？ 6∶10 和 9∶15 20∶5 和 4∶1 5∶1 和 6∶2 （1） 因为 6 ：10 =3 3 ，9 ：15 = ，所以 6 ：10 = 9 ：15。 5 5（2） 因为 20 ：5 = 4，4 ：1 = 4，所以 20 ：5 = 4 ：1。 （3） 因为 5 ：1 = 5，6 ：2 = 3，所以 5 ：1 和 6 ：2 不能组成比例。 5、在 2∶5、12∶0.2、31∶15 三个比中，与 5.6∶14 能组成比例的一个比是(2∶5 )。 6、在比例里，两个（ 外项 ）的积和两个（ 内项 ）积相等。第 39 页 共 98 页7、如果 A×3=B×5，那么 A∶B= ( 5 ) ∶ ( 3 )。 8、从 6、24、20、18 与 5 这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( 6 ) ∶ ( 24 ) = ( 5 ) ∶ ( 20 )。 6×20 = 24×5 可组成 8 个比例 9、根据 3×8 = 4×6 写成的比例是（ 3 ：4 = 6 ：8 ） 、 （ 3 ：6 = 4 ：8 ）或（ 8 ：6 ） 。可组成 8 个比例 10、甲数的 25% 等于乙数的 75%，那么甲数与乙数的比是（ 3 ）∶（ 1 ） 。4 ：3 =解：设平行四边形的高是厘米。 36 : 24 = 24 :
36 = 24 × 24 36 = 576
= 16 答：平行四边形的高是 16 厘米。┈┈ 根据比例的基本性质解：设梯形的上底是厘米，高是 Y 厘米。 18 : 27 = 10 :
18 : 27 = 18 = 27 × 10 18 Y = 18 = 270 18 Y =
= 15 Y = 答：梯形的上底是 15 厘米，高是 18 厘米。 13、解比例 ∶3 =
= 7 1 ∶ 8 4 9 4.5 = x 0.8
= 1.612 : Y 27 × 12 324 181 2 ∶ 6 5=1 ∶x 221 2 = 1.2第 40 页 共 98 页3 ∶ x = 3∶12 4
= 33 ∶ x = 5％∶0.6 8
= 4.51.3 x = 18 3.6
= 0.2614、在一个比例里，两个外项的积是 30，已知一个内项是 10，另一个内项是（ 3 ）。小学数学总复习专题讲解及训练（七）主要内容比例尺、面积变化、确定位置学习目标1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，能按给 定的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。 2、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。 3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容的内 在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。 4、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西） 、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向和距离 确定物体位置的方法， 能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单的行走 路线。 5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条理的 进行表达的能力。发展空间观念。 6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生活实 际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。第 41 页 共 98 页考点分析1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2、比例尺 =图上距离 ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 实际距离1 ）后，放大（或缩 n3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是 n?:1（或 1:n?） 。 4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按 方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。典型例题：例 1、 （认识比例尺） 王伯伯家有一块长方形的菜地，长 40 米，宽 30 米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面 图上长 4 厘米，宽 3 厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？ 分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。 40 米 = 4000 厘米 3 厘米 = 0.03 米4 1 = 0.03 3 1 = = 30 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 图上距离 : 实际距离 = 比例尺或图上距离 = 比例尺 实际距离1 ，仍读作 1 比 1000图上距离和实际距离的比是 1:1000，这幅图的比例尺是 1:1000，也可写成1000。 点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾 0 的问题： 一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上 2、5 个 0；二是在求比例 尺的结果时要注意 0 的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。 例 2、 （对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法） 比例尺 1:1000 表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？图上 1 厘 米表示实际距离多少米？ 分析与解：比例尺 1:1000 表示图上距离是实际距离的1 ，实际距离是图上距离的 1000 倍， 10000 10 米。图上 1 厘米的距离代表实际距离 1000 厘米，即 10 米。 像形如 1:1000 这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺 1:1000 还可以这样表示 10 20 30 米 ，这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表实际距离例 3、一个手表零件长 2 毫米，画在一幅图上长 4 厘米，这幅图的比例尺是多少？第 42 页 共 98 页错误解法：4 厘米 = 40 毫米 2 : 40 = 1 : 20 思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义， 用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。 正确解答：4 厘米 = 40 毫米 40 : 2 = 20 : 1 点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是 1 的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还 可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成 1。在解答时， 只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺” ，图上距离在前就可以了。 例 4、 （根据比例尺求图上距离或实际距离） 在比例尺是1 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 2.5 厘米。两地的实际距离是多少米？ 60000 1 分析与解：方法 1：比例尺是 ，说明实际距离是图上距离的 60000 倍。 600002.5×60000 = 150000（厘米） 150000（厘米）= 1500 米方法 2：比例尺是1 ，也就是图上 1 厘米的距离代表实际距离 60000 厘米，即 60000600 米。 2.5×600 = 1500（米） 方法 3：根据图上距离 = 比例尺，可以用“图上距离 ÷ 比例尺”或“解比例” 实际距离1 = 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500 米 60000的方法来求实际距离。 2.5 ÷解：设两地的实际距离是厘米。2.5?=1 600001 = 2.5 × 60000
= 000（厘米）= 1500 米 答：两地的实际距离是 1500 厘米。 例 5、 （平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍） 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大 长方形与小长方形面积的比是几比几。第 43 页 共 98 页分析与解：量得小长方形的长是 2.5 厘米，宽是 1 厘米；大长方形的长是 7.5 厘米，宽是 3 厘 米。大长方形与小长方形长的比是 7.5 : 2.5 = 3 : 1，宽的比是 3 : 1。大长方形的面积 7.5 ? 3 7.5 3 = = × = 9 : 1 = 3? : 1 小长方形的面积 2.5 ? 1 1 2.5答：大长方形与小长方形面积的比是 9 : 1。例 6、 （认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向） 如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？ N 商场 北 45? 60? 汽车 分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方向。 怎样才能更准确地表示它们的位置呢？ 东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东 60?方向。 西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西 45?方向。 答：书店在汽车的北偏东 60?方向，商场在汽车的北偏西 45?方向。 例 7、 （知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置） 量出上图中书店到汽车的图上距离， 根据比例尺算一算， 书店在汽车北偏东 60?方向的多少千米 处？商场呢？ 分析与解：从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是 1.2 厘米和 2.3 厘米，根据比例尺， 图上距离 1 厘米代表实际距离 3 千米，分别算出实际距离。 1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄书店 2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商场 答：书店在汽车北偏东 60?方向的 3.6 千米处，商场在汽车北偏西 45?方向的 6.9 千米处。 点评：只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，一定 要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实际距离 就根据前面比例尺的相关知识去求。第 44 页 共 98 页书店 0 3 6 9 千米例 8、 （辨析）书店在汽车的北偏东 60?方向，表示汽车也在书店的北偏东 60?方向。 分析与解：书店在汽车的北偏东 60?方向，是以汽车为中心，由北向东旋转 60?；而以书店为中 心，汽车在书店的西南方向，即南偏西 60?方向。 书店在汽车的北偏东 60?方向，表示汽车在书店的南偏西 60?方向。例 9、 （根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置） 海面上有一座灯塔，灯塔北偏西 30?方向 30 千米处是凤凰岛。 N 北W西 灯塔东E 0 10 20 30 千米南 S 你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？ 分析与解： （1）先确定北偏西 30?的方向，画一条射线。 N 30?灯塔（2）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。 30 ÷ 10 = 3（厘米） 凤凰岛 ● 30? N灯塔第 45 页 共 98 页点评：在表示凤凰岛的具体位置时，先要画出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的图上距 离。且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始画起，并注意正确摆好量角器。例 10、 （用方向和距离描述简单的行走路线） 下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。（1）旅游 1 号车从起点站出发，向（ ）行驶到达青水公园，再向（ ）偏（ ） （ 的方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。 （2）由绿博园向南偏（ ） （ ）的方向行（ ）千米到达购物中心，再向北偏（ （ ）的方向行（ ）千米到达人民公园。） ）分析与解：先找准方向，再说出具体的路程。 （1）旅游 1 号车从起点站出发，向（ 东 ）行驶 到达青水公园，再向（ 北 ）偏（东） （40?）的方向行（1.8 ）千米到达抗战纪念碑。 （2）由绿博园向南偏（东） （60?）的方向行（1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ） （70?）的方向行（1.5）千米到达人民公园。 点评：在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，通常情 况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少 度的说法更为准确。第 46 页 共 98 页小学数学总复习专题讲解及训练（七）模拟试题１、说出下面各比例尺表示的意思。 1∶400002、判断： ①小华在绘制学校操场平面图时，用 20 厘米的线段表示地面上 40 米的距离， 这幅图的比例尺为 1U2。 ②某机器零件设计图纸所用的比例尺为 1U1， 说明了该零件的实际长度与图上是一样的 ┈┈┈┈ （ ） ） ┈┈┈┈ （ ）③一幅图的比例尺是 6U1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ 3、选择： ①如果某图纸所用的比例尺小于 1，那么这幅图所表示的图上距离（ A.小于 B.大于 C.等于）实际距离。②学校操场长 100 米，宽 60 米，在练习本上画图，选用（ A.1U20 B.1U2000 C.1U200）作比例尺较合适。4、一幅地图的线段比例尺是，这幅图上 3 厘米表示实际距离多少千米？5、 一种精密零件，画在图上是 12 厘米，而实际的长度是 3 毫米。求这幅图的比例尺。6、英华小学有一块长 120 米、宽 80 米的长方形操场，画在比例尺为 1 ：4000 的平面图上，长和宽 各应画多少厘米？第 47 页 共 98 页7、在比例尺为 1 ：200000 的一幅地图上， A 城和 B 城相距 5 厘米，两城实际相距多少千米？8、 一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160 千米，甲乙两城在 这幅地图上相距 18 厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距 660 千米，在这幅地图上两 城之间的距离是多少厘米？9、在一幅比例尺为 1:500 的平面图上量得一间长方形教室的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。 （1）求这间教室的图上面积与实际面积。 （2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。 10、下图是按 1U50000 的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。电影院 ● 40? ● 商店 ●30? ● 广场 公园（1）公园在广场的东面（）千米处。（2）电影院在广场的（ ）偏（ ） （ ）方向（ ）千米处。 （3）商店在广场的（ ） 。11、 小明家在百货商场的北偏西 40°方向 2500 米处， 图书馆在农业银行东偏南 40°方向 1500 米处。 下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在 3 千米以内（含 3 千米）按起步价 9第 48 页 共 98 页元计算，以后每增加 1 千米车费就增加 2 元。请你按图中提供的信息算一算，小明一共要花多少 元出租车费？参考答案：１、说出下面各比例尺表示的意思。 1∶40000 表示图上距离是实际距离的1 ，实际距离是图上距离的 40000 倍，图上 1 厘米 40000的距离代表实际距离 40000 厘米，即 400 米。第 49 页 共 98 页表示图上 1 厘米的距离代表实际距 离 200 千米。 2、判断： ①小华在绘制学校操场平面图时，用 20 厘米的线段表示地面上 40 米的距离，这幅图的比例尺为 1 U2。 ┈┈┈┈ （ × ）②某机器零件设计图纸所用的比例尺为 1U1，说明了该零件的实际长度与图上是一样的。 ┈┈┈┈ （ √ ） ③一幅图的比例尺是 6U1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ × ） 3、选择： ①如果某图纸所用的比例尺小于 1，那么这幅图所表示的图上距离（ A ）实际距离。 A.小于 B.大于 C.等于 ）作比例尺较合适。②学校操场长 100 米，宽 60 米，在练习本上画图，选用（ B A.1U20 B.1U2000 C.1U2004、一幅地图的线段比例尺是 幅图上 3 厘米表示实际距离 6 千米。，这幅图上 3 厘米表示实际距离多少千米？这5、 一种精密零件，画在图上是 12 厘米，而实际的长度是 3 毫米。求这幅图的比例尺。 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 12 厘米 = 120 毫米 120 : 3 = 40 : 1 答：这幅图的比例尺是 40 : 1。 6、 英华小学有一块长 120 米、宽 80 米的长方形操场，画在比例尺为 1 ：4000 的平面图上，长和 宽各应画多少厘米？ 长：120 米 = 12000 厘米 宽：80 米 = 8000 厘米 12000 × 8000 ×1 = 3 厘米 40001 = 2 厘米 4000答：长应画 3 厘米，宽应画 2 厘米。7、在比例尺为 1 ：200000 的一幅地图上， A 城和 B 城相距 5 厘米，两城实际相距多少千米？ 5 ÷1 = 1000000 厘米 = 10 千米 200000答：两城实际相距 10 千米。第 50 页 共 98 页8、 一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160 千米，甲乙两城在 这幅地图上相距 18 厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距 660 千米，在这幅地图上两 城之间的距离是多少厘米？ 18 × 40 = 720 千米 660 ÷ 40 = 16.5 厘米 或
×1 = 16.5 厘米 4000000答：两城间的实际距离是 720 千米，在这幅地图上两城之间的距离是 16.5 厘米。 9、在一幅比例尺为 1:500 的平面图上量得一间长方形教室的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。 （1）求这间教室的图上面积与实际面积。 图上面积：3 × 2 = 6 平方厘米 实际长：3 × 500 = 1500 厘米 实际宽：2 × 500 = 1000 厘米 实际面积：1500 × 1000 = 1500000 平方厘米 = 150 平方米 答：这间教室的图上面积 6 平方厘米，实际面积是 150 平方米。 （2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。 图上面积和实际面积的比是：6 : 1500000 = 1 : 250000 与比例尺进行比较 1 : 250000 = （1:500）? 10、下图是按 1U50000 的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。电影院 ● 40? ● 商店 ●30? ● 广场 公园（1）公园在广场的东面（ 0.75 ）千米处。 量得公园到广场的图上距离是 1.5 厘米，1.5 × 50000 = 75000 厘米 = 0.75 千米 （2）电影院在广场的（ 北 ）偏（ 东 ） （ 60? ）方向（ 0.75 ）千米处。 （3）商店在广场的（ 南偏西 50?方向 1.5 千米处 ） 。量得商店到广场的图上距离是 3 厘米 11、 小明家在百货商场的北偏西 40°方向 2500 米处， 图书馆在农业银行东偏南 40°方向 1500 米处。 下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在 3 千米以内（含 3 千米）按起步价 9 元计算，以后每增加 1 千米车费就增加 2 元。请你按图中提供的信息算一算，小明一共要花多少 元出租车费？第 51 页 共 98 页由图中信息可知小明家到百货商场有 2500 米，百货商场到农业银行与农业银行到图书馆都是 1500 米， 小明坐出租车从家去图书馆一共要行 2500 + 1500 + 1500 = 5500 米， 需要车费： 9 + 2 ×（5.5 C 3）= 14 元第 52 页 共 98 页小学数学总复习专题讲解及训练（八）主要内容正比例和反比例学习目标1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联 的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上 画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有 效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极 主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。考点分析1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比 的比值 （也就是商） 一定， 这两种量就叫做成正比例的量， 它们之间的关系叫做正比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样 的式子来表示：y = K（一定） 。 x2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量 的值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘 积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的 式子来表示：ｘｙ = K（一定） 。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没 有上述两种关系，这两个变量不成比例。典型例题例 1、 （正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间/时 路程/千米 1 120 2 240 3 360 4 480 5 600 6 720 ?? ??分析与解： （1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 （2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。 所以它们是两种相关联的量。 （3）路程和时间的比值始终不变，120 240 360 = 120， = 120， = 120??这个 1 3 2第 53 页 共 98 页比值就是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种 相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的 比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：路程 = 速度（一定） 。 时间具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系；行驶 的路程和时间成正比例的量。 点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量 变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。 不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值， 正比例关系可以用这样的式子来表示：y = K（一定） 。 x例 2、 （判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么 这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系：买练习本的总价 = 练习本的单价（一定） 数量所以练习本的数量和总价成正比例。例 3、 （正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 路程/千米 1 7 2 14 3 21 4 28 5 35 6 42 7 49 ?? ??（1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描出其他各 点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ （3）根据图像判断，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶 30 千米大约需要几 分钟？ 路程/千米 42 35 28 21 14第 54 页 共 98 页7 0●A 1 2 3 4 5 6 7 时间/分分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的 数的比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像， 可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时 允许有一定的出入。 （1）描点、连线如图。路程/千米42 35 28 21 14 7 0● ● ● ● ● ●A 1 2 3 4 5 6 7 时间/分（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是 17.5 千米；行驶 30 千米大约需要 4.3 分 钟。 例 4、 （辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径/cm 直径/cm 周长/cm 面积/cm? 1 2 6.28 3.14 2 4 12.56 12.56 3 6 18.84 28.26 4 8 25.12 50.24 5 10 31.4 78.5 6 12 37.68 113.04 ?? ?? ?? ??圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和 半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例 5、 （反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时， 每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量有什么关系？ 每小时加工零件的个数/个 加工的时间/时 20 12 30 8 40 6 60 4 80 3 ?? ??第 55 页 共 98 页分析与解： （1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 （2）从 左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看， 每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的 量。 （3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如 20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240??而这个积就是这批零件的 总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种 相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们 怎么变化， 相对应的积是一定的， 有这样的关系： 每小时加工零件的个数 × 加 工的时间 = 零件的总个数（一定） 。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量， 它们之间的关系叫做 反比例关系。 点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量； 二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘 积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的 量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K（一定） 。 例 6、 （判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这 两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量（一定） 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例 7、 （辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定， 两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和