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初中数学竞赛辅导资料(70)
导读：初中数学竞赛辅导资料(70)，112??这个数用9除的余数是__________.??，年全国初中数学联赛题)17.求证：!，求证：数p=111?和?8777?????????????，(1991年全国初中数学联赛题)，(1986年全国初中数学联赛题)，(1985年上海初中数学竞赛题)，初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质 初中数学竞赛辅导资料(70) 正整数简单性质的复习 甲. 连续正整数 一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数) 练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；
……是_______位数.
除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.
从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；
从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. 二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×n. 2把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和. 练习：5.计算2+4+6+……+100=__________. 6. 1+3+5+……+99=____________. 7. 5+10+15+……+100=_________. 8. 1+4+7+……+100=____________. 9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和 整数 各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45； 各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901. 练习：12.
整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________. 13.
把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止： 112??这个数用9除的余数是__________. ???????????198位(1987年全国初中数学联赛题) 14.
由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中： ① 它是一个________位数； ② 它的各位上的数字和等于________； ③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________. 四.连续正整数的积：
① 1×2×3×…×n
记作n ! 读作n的阶乘.
② n个连续正整数的积能被n!整除. 如：2!|a(a+1),
3!|a(a+1)(a+2),
n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1).
a为整数. ③ n! 中含有质因数m的个数是??n??n??n?++…+??m2??mi?. m??????[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3…
mi?n 如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：??10??10???2?=3+1=4 ??3??3? 练习：15.
在100!的积中，含质因数5的个数是：____ 16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个
(1988年全国初中数学联赛题) 17.
求证：10494 | 1989! 18. 求证：4! | a(a2－1)(a+2)
a为整数 五. 两个连续正整数必互质 练习：19.
如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之. 乙. 正整数十进制的表示法 一. n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n1+……+a1×10+a0
其中n是正整数，且0?ai?9
(i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0. 例如：4+4×103+3×102+2×10+1. 例题：从12到33共22个正整数连写成A=33.
试证：A能被99整除. 证明：A=12×40+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×020+14×1019+……+31×0+33.
∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n≡1 (mod 9) ∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33
(k 为正整数 )
=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)
=99k+45×11
=99k+99×5. ∴A能被99整除. 练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成80.试证明这个数能被1980整除 二. 常见的一些特例 －11 n nn=10－1,
=(10 －1),
111?1?999?9333?3???9(10－1). ????????3n个1n个9n个3例题：试证明12，，，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积. 证明：第n个数是111?1222?2=????????n个1n个212(10 n?1)×10 n+(10n?1) 99 n
=(10?1)(10 n+2) n?1?3?= n?1?(?1) =33=333?3×333?34.
证毕. ??????n个3(n?1)个3练习：21. 化简 999?9×999?9+1999?9=_______________________________. ???????????????n个9n个9n个922. 化简 111?1-222?2=____________________________________________. ????????2n个1n个223. 求证
111?1是合数. ???. 已知：存在正整数 n,能使数111?1被1987整除. ???n个1
求证：数p=111?和 ?8777????????????????n个1n个9n个8n个7
数q=111?都能被1987整除. ?8777????????????????n?1个1n?1个9n?1个8n?1个7
(1987年全国初中数学联赛题) 25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除. 26.
求证：111?1×是完全平方数. ????????n个1n?1个0丙. 末位数的性质 .一.用N (a)表示自然数的个位数.
例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.
N (a4k+r)=N (ar)
a和k都是整数，r=1,2,3,4.
特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2. N (a)=N (b)?N (a－b)=0?10 |(a－b). 3. 若N (a)=a0,
则N (an)=N (a0n)；
N (ab)=N (a0b0). 例题1：求①53100 ；
和 ②7×77的个位数. 解：①N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1 ②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数. 77=77－7+7=7(76－1)+4+3 =7(72－1)(74+72+1)+4+3
=7×4×12× (74+72+1)+4+3
∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3. 99练习：27.
的个位数是______，9的个位数是_______. 28.
求证：10 | (931991). 29.
×的个位数是______.
二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9； 连续整数平方的个位数的和，有如下规律： 12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题1. 填空：12，22，32，……，的和的个位数的数字是_______.
(1991年全国初中数学联赛题) 解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 11到20；21到30；31到40；………到，的平方的个位数的和也都是45.
所以所求的个位数字是： (1+4+9+6+5+5+9+4+0)×()的个位数5.
2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法 例题2.
求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作： (n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2
(n, k都是整数) 5(n2+2)=k2 . ∵
k2是5的倍数，k也是5的倍数. 设k=5m,
则5(n2+2)=25m2.
n2+2=5m2. n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3.
但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法 例题3. 已知：a是正整数. 求证： a(a+1)+1不是完全平方数
证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数
∴ a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2，
∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间 ∴a(a+1)+1不是完全平方数 例题4. 求证：111?1 (n>1的正整数) 不是完全平方数 ???n个1
证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1. 但
111?1=111?100?11=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 ??????n个1n-2个1即111?1除以4余数为3，而不是1， ???n个1∴它不是完全平方数. 例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数. 证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数. ∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1 =4(a2+b2+a+b)+2.
这表明其和是偶数，但不是4的倍数， 故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.
三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有： a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数)) c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数) 练习：30.
在小于130的自然数中魔术数的个数为_________. (1986年全国初中数学联赛题) 四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.
已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：___________________.
(1985年上海初中数学竞赛题) 丁. 质数、合数 ?1；?然数整除)；. 1. 正整数的一种分类：?质数 (除1和本身外不能被其他自?合数(除1和本身外还能被其他自然数整除).?2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数. 3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.
例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数. 解：答案不是唯一的，其中的一种解法是： 令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11 那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.
一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用
令m=n+1, 那么m!+2, m!+3,
m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数. ∵m!+i
(2?i?n+1) 有公约数i.
已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___. 33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____. 34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22!
那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,…… 35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11. (这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？ 36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n 是合数. 戊.奇数和偶数 1.整数的一种分类：?(即除以2，余数为0)?偶数：能被2整除的整数；.(即除以2，余数为1)?奇数：不能被2整除的整数 2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数. 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数. (奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数. 4. 其他性质： ① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数. ② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数 不是平方数. a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数. b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶. c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数.
例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数. 证明：∵m3－n3＝（m－n）(m2+mn+n2). 当m－n为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3－n3都是偶数； ∴m－n为偶数是m3－n3为偶数的充分条件. 当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数， ∴m2+mn+n2是奇数，从而m3－n3也是奇数. ∴m－n为偶数，是m3－n3为偶数的必要条件. 综上所述m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数. 例2.
求方程x2－y2=1990的整数解. 解：(x+y)(x－y)=2×5×199.
y同是奇数或同是偶数，则 x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.
y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等. 综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等.
所以 原方程没有整数解 本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性. 练习：37.
设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数. 38.
03+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？ 39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由. 40. 求证：方程x2+=0没有整数根. 包含总结汇报、教学研究、出国留学、计划方案、农林牧渔、经管营销、外语学习、工程科技、人文社科以及初中数学竞赛辅导资料(70)等内容。本文共2页
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一个两位数,个位上的数字和十位上的数字都是合数,并且是互质数,这个两位数是什么?快呀!
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1到9的合数有4 6 8 9,分别等于2*2 2*3 2*2*2 3*34 6 8都有最大公约数2 所以这两位数必须有一位是9另一位也容易求得,是4或者8所以以你目前给的条件,能得到四个符合条件的两位数：49 94 89 98
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