分类好题(几何、计算、最值不定方程及杂题)
分类好题（几何、计算及杂题） 分类好题（几何、计算及杂题）几何1、每日一题赵文欣 6.181、 每日一题赵文欣 6.203、解法二：4、 图,正方形边长为 10,点 A、B 分别在正方形的两邻边上,并且 AB=9,A 下移 3,B 左移 2,然后分别作水平 线与竖直线得 C、D，求四边形 ABCD 的面积。解答：如图：（100-2×3）/2+6=53. 任注：此题解法真是巧妙！5、 如图所示桌面上放有 9 张卡片，在这些卡片上写有数字 1-9 各一个，已知与写有 1 的卡片相邻的纸片 上所写数字之和是 13，与写有 2、3、4、5、6、7、8、9 的卡片相邻的卡片上所写数字之和依次是 14、14、14、9、10、15、8、11，请在图上填出卡片上的数字。回复：1 5 2 8 3 46 7 9利用数字和得出中间五个数之和为 18（其中最中间的数加倍） ，最中间的数只能在 1，2，3 之间选择，1 可以排除，试一下 2，3 即可。 6、 如图，在角 MON 的两边上分别有 A、C、E 及 B、D、F 六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△ CDE、△DEF 的面积都等于 1，则△DCF 的面积等于_________。回复：△OCD=3，△CED=1，所以 OC：CE=3：1，所以面积 △OCF：△CEF=3：1，因为△OEF=5， 所以△CEF=5×1÷4=5/4。 四边形 CEFD 面积=2，所以△DCF=2-5/4=3/4 7、 如图，四边形 ABCD 是正方形，BE=1, EC=2, DF=1, 三角形 PEF 的面积为 1.5。那么，线段 AP 的 长是多少？回复：过 F 做一条 BC 的平行线交 PE 于 O，根据面积算出 FO=1，那么 PD=0.5，AP=2.5回复二：补充两种解法： 方法一：用方程，设 PD 长为 x，就能表示出梯形 PDCE、三角形 PDF、三角形 CEF 的面积，从而用 三角形 PEF 的面积为 1.5 列方程求解。 方法二：(推荐)用沙漏解决，设 AD 与 EF 的沿长线相交于 G，则 DG:EC=GF:EF=DF:FC1:2,故 DG=1,PFG 面积为 PEF 的一半，即 0.75，从而 PG=1.5,PD=0.5.注：补沙漏的解法不只这一种。8、 如图，P 是平行四边形 ABCD 内的一个点，且三角形 PAB 的面积是 5，三角形 PAD 的面积是 2，则 三角形 PAC 的面积是________。回复：PAB+PCD=ACD，都是平行四边形的一半 PAC=ACD-PAD-PCD=（ACD-PCD）-PAD=PAB-PAD=5-2=3 9、 如下图，三角形 ABC 的面积为 1，BD：DC=CE:EA=AF:FB=1:2，求三角形 LMN 的面积。解答一：连接 BN，由燕尾定理可得 三角形 ABN：三角形 ANC：三角形 BNC=1:2:4，所以三角形 ANC 占整体的 2/7。同理可得三角形 CMB、三角形 BLA 也占 2/7，所以本题答案为 1/7。解答二：10、 07 年北大附中考题） （ 年北大附中考题）△ABC 中，G 是 AC 的中点，DEF 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M,AF 与 BG 交于 N,已知△ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 1.2 平方厘米，则△ABC 的面积是平方厘米？11、 08 年“华杯赛 考题） 华杯赛”考题 （ 华杯赛 考题）如图是小明用一些半径为 1 厘米、2 厘米、4 厘米和 8 厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图案中阴影部分的总面积为________平方厘米.12、如图，在一个任意的三角形中将三个顶点与对面的同一位置上的三等分点相连，形成 图示的小三角形，求小三角形与大三角形的面积之比?【知识点】这个题目要先知道一个知识点：燕尾定理根据燕尾定理： AEC:AEB=2:1 AEC:BEC=1:2 所以：AEC:AEB:BEC=2:1:4 所以 AEC=2/7ABC 所以 AMB,COB 都是 2/7ABC, 所以 S 阴=1/7ABC【总结】 这个题目是燕尾定理的应用。 要熟练掌握燕尾定理。13、2005 年第 10 届华杯赛决赛第 14 题）两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图 4）。如果在平面上画 L 条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是 15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：（1）L 的最大值是多少？ （2）当 L 取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？解答： （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是 15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有 12 条直线。否则，必有两条直线平行。（2）根据题意，相交后的直线会产生 15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有 12 种；他 们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生 90°角的有第 1 和第 7 条直线；第 2 和第 8 条直线； 第 3 和第 9 条直线；第 4 和第 10 条直线；第 5 和第 11 条直线；第 6 和第 12 条直线共 6 个，他们的角度 和是 90×6=540°；所以所有夹角和是 0°。任注：此题当时没有做出来。14、学而思 08 年寒假五年级15、六年级奥数难题（） ：立体图形 一个圆柱体的容器内，放有一个长方体铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水， 分钟时， 一个圆柱体的容器内，放有一个长方体铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水，3 分钟时，水恰好没过 长方体的顶面， 分钟，水灌满容器。 厘米， 厘米， 长方体的顶面，又过 18 分钟，水灌满容器。已知容器的高度 50 厘米，长方体的高度是 20 厘米，那么长 方体与容器的底面积之比是多少? 方体与容器的底面积之比是多少答案：3：4 【分析】： 50-20=30(厘米)。 若无铁块，则灌满高度为 20 厘米时需要用时：18×2/3 =12 分钟。则 12-3=9 分钟灌满长方体。 所以长方体与容器的体积之比，从而底面积之比(高都是 20)是：9：12=3：4。 【小结】：立体图形中，高相等时，圆柱、长方体体积比等于底面积之比。回复（任） ：50-30=20 20：30=2：3=4：6 3：18=1：6 （4-1） ：4=3：416、六年级奥数难题（）：几何面积如图， 为圆心， 如图，等腰三角形 ABC，直角边长为 10，以直角边 AB 为直径画半圆交斜边 BC 于 D，以 C 为圆心， ， ， ， AC 为半径画弧交斜边 BC 于 E,那么阴影部分的面积是多少 那么阴影部分的面积是多少? 那么阴影部分的面积是多少( 答案：28.5。)【分析】：S 阴影=S 半圆+S 扇形-SΔABC =1/2 π×52 +1/8 π×102- 1/2×10×10 =25 π-50=28.5 【小结】:巧求阴影面积方法常用有割补法和容斥原理。容斥原理方法是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有的图形面积先计算出来，然后再把重叠 时重复计算的部分排除出去，使计算结果既无遗漏又无重复。17、分析与解答: 分析与解答相似三角形的知识点. 此平面几何题,有一定的难度,需要用到相似三角形 相似三角形此题的关键是求出 L,M,N 三点分别在其所在直线的位置 求出 三点分别在其所在直线的位置 别在其所在直线的位置,即需要把 AL 线段比例关系求出即可.M:MG 和 HN:NM:MF 两个下面分别确定 L,M,N 三点的位置关系 确定 三点的位置关系,使用的都是相似三角形知识点,图形表示比较清楚,这里直接写出结 论: 1,图形一中 可得 MF=1/3HF, MG=1/3AG 图形一中:可得 图形一中 2,图形二中 可得 HN=1/5HF 图形二中:可得 图形二中 3,图形三中 可得 AL=3/8AG 图形三中:可得 图形三中综合上面关系,化简比例 可用份数考虑 得到 化简比例(可用份数考虑 得到: 化简比例 可用份数考虑)得到 HN:NM:MF=3:7:5ALM:MG=9:7:8下面回到图四中分析 图四中分析,根据三角形面积比例关系 三角形面积比例关系可得(都指面积关系 都指面积关系) 图四中分析 三角形面积比例关系 都指面积关系 AHF/ABCD=1/2×2/3=1/3 ANM/AHF=7/15 NLM/ANM=7/16 所以 NLM/ABCD=1/3×7/15×7/16=49/720.即三角形 LMN 的面积占正方形面积的 49/720,完毕. 三角形18、有一根长 360 厘米的铁丝，小强将这根铁丝剪成 12 段后，扎成一个长、宽、高的比是 3： 2：1 的长方体，这个长方体的体积是多少？ 分析： 对于一个长方体，6 个面，三组两两相同的面，12 条棱，3 组两两相等的棱。 所以一根铁丝 360cm 被分成了 12 段，3 组，每组里有 4 个长，四个宽，四个高，所以一组里 长，宽和高的和为 120cm 长：宽：高=3:2：1 根据和倍问题，或者按比例分析，即可求出长宽高分别为 60cm，40cm，20cm。 所以体积为长×宽×高=60×40×20=48000cm3 练习：一个 5×5×5 的正方体，表面涂成红色，分成 1×1×1 的小立方体，有一面红色的几 个，2 面呢？三面呢？ 没有涂色的有几个？
平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝） 平面几何常考五大模型 （解答几何题的五大法宝）【例 1】 ：如右图，在△ABC 中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是 1 平方厘米，那么三角形 ABC 的面积是多少？【解答】连接 BD,S△ABD 和 S△ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形 ABD 的面积是 4， △ △ S△ABD 和 S△ABC 同高面积比等于底边比，三角形 ABC 的面积是 ABD 的 3 倍，是 12. △ △ 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例 2】如图，四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 点，三角形 ADO 的面积=5，三角形 DOC 的面积 =4，三角形 AOB 的面积=15，求三角形 BOC 的面积是多少？【解答】 △ADO=5,S△DOC=4 根据结论 2， ADO 与△DOC 同高所以面积比等于底的比,即 AO/OC=5:4 S △ 同理 S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为 S△AOB=15 所以 S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结 论 2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论 2 转化成面积比，解决了问题。事实上，这 2 次转化 的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。
【练习 1】 ：在直角梯形 ABCD 中，AB=15 厘米，AD=12 厘米，阴影部分的面 积为 15 平方厘米。梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【解答】连接 AE,根据蝴蝶定理可得 S△AEF=S 阴=15， 因为 S△ABC=15×12÷2=90,所以 S△ABF=90－15=75 再次用蝴蝶定理可求 S△EFC=15×15÷75=3 所以 SABCD=12×15+15+3=198 【练习 2】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形， ： 保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两 个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？【解答】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速 求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为 1.5，因此空白处的总面积为 6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的 面积为 6*6-22=14。 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底 都为 2，下底都为 6，上底、下底之比为 2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四 个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为 ， 所以每个梯形中的空白三角 形占该梯形面积的 9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的 7/16，所以阴影部分 的总面积是四个梯形面积之和的 7/16，那么阴影部分的面积为 。【例 1】已知正方形的面积是 120 平方厘米， B、E 为正方形边上的中点，求题中阴影部 分的面积是多少平方厘米？【分析】由巩固可知 BAEG 的面积为整个正方形面积的五分之一为：120÷5=24 (平方厘米)， 由此对于阴影部分的面积可以有两种求法. 方法一：连接 FE 由图可知 BAF 、AEF 和 EFC 的面积相等，又因为 ABC 的面积为 120÷4=30 (平方厘米)，所以 BAF 、AEF 和 EFC 的面积为：30÷3=10 (平方厘米)，所以阴影 部分的面积为：24-10=14 (平方厘米). 方法二：本题用沙漏也可以解答能看见 BAF 和 CDF 是沙漏(形象演示) AB:CD=BF:FC=1:2 所以以 BF 为底的三角形 ABF 占整个三角形的 1/3, 为 30×1/3=10 (平方厘米).所以阴影面积 为：24-10=14 (平方厘米).
【练习】已知：如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点，F 是 DE 的中 点。求△DFG 的和四边形 AEFG 的面积的比是多少？【解析】因为 F 为 DEF 的中点，所以△CFD=△CEF △AFE=△AFD 因为 E 为 AC 的中点，所以△CEF=△AEF 所以△CFD=△CEF=△AEF 所以△CFA: △CFD=2:1 根据燕尾定理：△AGF: △DGF=△CFA: △CFD=2:1 所以△DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5面积问题中一种非常有用的结论?ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，CD 与 BE 相交于 M，则应用案例一：△ABC 的面积是 1 cm2．如图所示，AD=DE= EC，BG=GF=FC，求阴影四边形的面积．应用案例2：解：回复二：过 E 作 EG 平行于 BC 交 AN 于 G，则 EG/CD=AE/AC=1/3,EN/NB=EG/BD=1/6, ANB=6/7ABE=2/7, 同理，AMC=BPC=2/7, MNP=ABC-(ANB+AMC+BPC)=1/7 回复三：连接 AP 后，根据燕尾定理： 三角形 ADP:三角形 CDP=1:2 三角形 CDP:三角形 ACP=1:2 所以三角形 ADP:三角形 CDP:三角形 ACP=1：2：4 因此三角形 CDP 占大三角形的七分之二 同理可以用上面的方法的出三角形 AMC 和三角形 AND 都是占七分之二 所以中间的 MNP 就占七分之一了应用案例 3：ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则图中阴影部分 的面积为_____平方厘米。解：设 AC 与 BD 交点为 O，AC 与 ED 交点为 M，AC 与 DF 交点为 N回复二：回复三（任）用沙漏定理，或者说用相似三角形。应用案例 4：回复一：回复二：如图所示，延长 DA 与 CB 相交于 P， 因为 AB C=1:2，所以 PA=AD，PB=BC，令 PCD 面积为 S，则小升初重点中学几何真题汇总
计算1、仁华备考班模拟 4 ， 9 题解答（任） ：思路：分成整数部分和分数部分，然后通项归纳。原式=1×3-2×4+3×5-。。 。。+49×51+（1/3-2/2×4+3/5×7-。。+49/97×99） 。 第一部分，同项=N×（N+2）=(N+1)^2-1 第一部分=2^2-1-(3^2-1)+(4^2-1)-...+(50^2-1)=8×（1+2^2+3^2+...+25^2）-（1+2^2+...+50^2） =1275第二部分，通项=N/(2N-1)*(2N+1)=1/4×（2N+1+2N-1）/(2N-1)*(2N+1)=1/4×（1/（2N-1）+1/(2N+1)）第二部分=1/4×（1+1/3-1/3-1/5+1/5+1/7-。。+1/97+1/99）=25/99 。原式=任注：原来总是做分数裂项是减的题，此题裂处的项是加。2、 看到一道题： 4+44+444+4444+。。+（10 个 4）=___________. 。说是用错位相减来做。不明白什么是错位相减，请教。 回复：设原式=S 10S=40+440+4440+。。++ 。 10S+4X10=4+44+444+。。++=S+ 。 9S=-40= S= 任注：我们知道等比数列用错位相减，没想到错位相减还能用于别处。相似题： 3、 衔接班第一讲思考题这道题非常难！！衔接班第一节课的目的是希望孩子能体会到从算术到代数思想的转变，如果孩子能把 ！ 2009 抽象成一个抽象的数 n，把要计算的结果抽象成 S(n)，那么就相当的成功了。 这题是一道典型的高中竞赛数列题，通过计算 S(1)，S(2)，S(3)，很容易发现规律并找出结果；要证明这 个结果并不需要太多的技巧，但是需要很强的代数的计算能力，目前 100%的孩子是不具备这个能力的， 如果孩子能把具体的数字抽象成字母，初步感受一些代数的思想，才有可能猜出答案，这道题的效果就 达到了。 -------潘小双老师4、 08 年北京师范大学附属实验中学考题） （ 年北京师范大学附属实验中学考题）计算： =________________5、1X99+2X97+3X95+.......+50x1=？ 解答：任评：思路巧妙。解答二：原式=1*（101-2*1）+2*（101-2*2）+3*(101-2*3)+…+50*(101-2*50) =(1+2+3+…+50)*101-2*(1*1+2*2+…+50*50) =429256、计算难题7、西城实验考题
8、 分析与解答： 分析与解答：迎春杯复赛第五题，计算题型，考察裂项知识点。 观察题目中各分数发现特征，所有分数的分母都为两个数相乘，且和相等，前段为 2008，后段为 2007， 不能进行简单的通分，应该可以想到利用裂项法。一般的裂项是分母中两数的差额，所以将分子裂为两数差额，但是这里由于是和相等，所以要将分子 裂为两数的和，由于分子都为 1，所以要先变为两数和 2008，再除于 2008 即可。计算过程： 计算过程： 前半段 =｛ （2008/（1×2007）+2008/（2×2006）+。。+2008/（2007×1） 。 ）×1/2008 =｛1/1+1/+1/+1/2005+。。+1/｝×1/2008 。 后半段 =｛ （2007/（1×2006）+2007/（2×2005）+。。+2007/（2006×1） 。 ）×1/2008 =｛1/1+1/+1/+1/2004+。。+1/｝×1/2008 。 注意到前半段大括号里面就比后半段大括号里面多 2 个 1/2007，所以： 原式=前半段-后半段= 2×1/8=1/2015028点评： 点评：裂项知识点的考察，但是难度提高了很多。这就要求学生要掌握裂项的本质意义： 裂项的本质意义： 裂项的本质意义 1，裂项在什么情况下用。主要有两个特征： 两个特征： 两个特征 一，分数中分母是几个数连乘的形式。 二，分子可以分解为分母中两个数的和或差（一般是一头一尾两个数） ，且所有的分子必须一样。 2，裂项怎么操作。 一，简单的题目是分子刚好就等于分母中两数和或差，如 1/（2×3）=（3-2）/（2×3） 二，分子不等于和或差，要进行一下转化，如 1/（3×7）=（7-3）/（3×7）×1/4。 三，裂项完之后马上分拆为两分数并进行约分，如本题中：2008/（1×2007）=（1+2007）/（1×2007）=1/（1×2007）+2007/（1×2007）=1/。 四，分解完后大部分项一般都是可以消去的。 9、1/(1*2)+2/(1*2*3)+3/(1*2*3*4)+….+6/(1*2*3*4*5*6*7)分析与解答: 分析与解答第四讲讲义模拟卷第一题很明显,应该是各个分数进行裂项 裂项,当然是复杂裂项,建议先阅读前面有一道关于裂项的题目 先阅读前面有一道关于裂项的题目,迎春杯复 裂项 先阅读前面有一道关于裂项的题目 赛题,里面有对裂项的本质解释. 1/(1*2)=(2-1)/(1*2)=1/1-1/(1*2) 2/(1*2*3)=(3-1)/(1*2*3)= 1/(1*2)-1 /(1*2*3) …… 6/(1*2*3*4*5*6*7)=(7-1)/( 1*2*3*4*5*6*7)=1 /( 1*2*3*4*5*6)-1 /( 1*2*3*4*5*6*7)全部相加后,中间项全部消去,可得和为: 1-1 /( 1*2*3*4*5*6*7)= 完毕 10、 、 1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。。 。。+（1/60+2/60+3/60+。。+59/60）=？ 。分析与解答： 分析与解答：先将每一组里面同分母的数加起来，并找出规律，这里我直接写出所有项的通项公式 通项公式。 通项公式an=（1+2+…+n-1）/n=（1+n-1） ）/2n=（n-1）/2 （n-1） （ ） （ ） （ （ ）所以原式 原式=1/2+2/2+3/2+….+59/2=60*59/4=885。 原式 10、 求证：1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/2^99 大于 50.（2^99 指 2 的 99 次方） 解答：11、 观察下列字符串，寻找规律，判断横线上应该填什么： 01，04，09，16，25，36，49，，，________解答：
其实后面看一看 64-04=60，81-21=60，100-40=60，121-01=120=60×2，即可知道这里涉及到 60 进制，满 60 进 1。 这些数字其实是森开莱泥版书上的数字。当然一般来说 60 进制里面超过 9 的数字应该用字母来表示，这 里还是用具体的数字。12、将分数 2/3，17/26，19/29，7/10 从小到大排列为（）回复（任） ：我做的是：7/10&6/9=2/3, 19/29&20/30=2/3, 17/26&16/25&16/24=2/3, 这样 19/29&2/3&7/10, 17/26&2/3&7/10.但是如何知道 17/26&19/29 呢？ 用交叉相乘可以做出来，但这是小学的知识吗？ 用小学的手段怎么做？回复二（谌威老师） 交叉相乘小学是可以用的，除此之外，对于某些分数，如果分子分母的差 ：相同，还可以考虑这几个分数与 1 的差，这样的差的分子就肯定相同，接下来只要比较分母就可以了。 本题中 17/26 与 19/29 分子分母的差不同，可以先把它们变成相同，有两种变法：一是比较每一个分数分 子分母的差，分别是 9 和 10，这样把前一个分数分子分母同时扩大 10 倍，后一个分数分子分母同时扩大 9 倍就可以，分别变成 170/260 与 171/261，可见后一个分数更大；二是分别比较两个分数的分子和分母， 差分别为 2 和 3，这样的话把每一个分数的分子都扩大 3 倍，分母都扩大 2 倍（即每一个分数都扩大到原 来的 3/2 倍） ，变成 51/52 与 57/58，也可以看出是后一个大。13、一般应用题及杂题1、一道华杯赛复赛模拟题图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单 位时间内可以通过的最大的信息量。现在从结点 A 向结点 D 传递信息，那么单位时间内传递的最大信息 量是（ ） 。回复：想象有 25 辆车从 A 冲到 C 了，其中有 11 辆从 C 到达 D 了、有 9 辆从 C 到达 E 了。即，目前还 剩 20 辆可以往前走。 接着 E 那儿的车只能有 7 辆继续往前，目前还剩 20-2=18 辆 接着这 7 辆车从两个通路一定能过到 D（从 B 到 D 最多能通过 5+4=9 辆车）因此单位时间最多通过信息量 18。 是瓶颈、短板一类的问题，最大（通行、生产）能力是由瓶颈短板决定的；此外还是一个电路的串联和 并联问题。2、有甲、乙两容量均为 20 升的容器，甲盛满纯酒精，而乙为空容器。第 1 次自甲容器内倒出若干升于 乙容器内，再将乙容器用水加满；第 2 次再将乙容器内的混合液加满甲容器；第 3 次再由甲容器倒入乙 容器 6 又 3 分之 2 升的混合液，则此时两容器内所含纯酒精量恰好相等。第 1 次从甲容器倒出酒精多少 升？回复一： 甲乙酒 水 原 1次 2次 3次 20 10 15 10 0 0 5 5/1.5酒 0 10 5 10水 0 10 5 10/1.5用的是还原法 回复二： 3 次再由甲容器倒入乙容器 6 又 3 分之 2 升(即三分之一)的混合液， 第 则此时两容器内所含纯酒 精量恰好相等，说明第 2 次将乙容器内的混合液加满甲容器后，乙容器内含纯酒精量 5 升。设第 1 次从 甲容器倒出酒精 x 升, 则 x-(x/20)*x=5，x^2-20x+100=0， （x-10）^2=0，x=10 (出现二次方了，不知道有没有不出现二次方的简单方法) 回复三：设第一次倒入 X 升，由于酒精始终是 20 升，所以第三次两边各 10 升。 酒 20 第一次 第二次 第三次 20-X 15 10 水 0 0 5 10 酒 0 X 水 0 20-X第二次：10/(2/3)=15 升 20-15=5 升 将乙的酒水总和（20 升）缩成给甲的 X 升（乙给甲的酒水比例不变） ，则给甲酒精 X(X/20)升 (20-X)+X(X/20)=15 20-X+X 平方/20=15 20X-X 平方=100 X(20-X)=100 X=103、请教 3 测试卷及 LJX 的题 、1. 有甲、乙、丙 3 组工人，甲组 4 人的工作，乙组需 5 人完成；乙组 3 人的工作，丙组需 8 人完成。 一项工作，需甲组 13 人、乙组 15 人合作 3 天完成。如果让丙组 10 人去做，需要_______天完成。 （正确答案是 25，可我家儿觉得是 21）2. 在甲、乙两个容器中分别装有 24 升和 16 升浓度不同的盐水，如果先从甲、乙容器中各倒出 a(0& a&16)升的盐水，再分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水，试求 a 的数值。 3. 一个圆， 第一次在它的上下两个 2 等分点上各写一个 5， 第二次在它的两个半圆的中点写上上下两 数和的一半，第三次在每相邻两点的中点处，写上相邻两点和的 1/3，第四次在相邻两点的中点处， 写上相邻两点和的 1/4,......如此下去，写了 10 次后，圆上所有数的和是多少？回复：第一题 第二题我算的结果是 9.6 克：第 3 题我算的结果是 220：第三题找出规律：第 n 次写的数字和=前面的数字和×2/n，那么列表 第三题 1：5+5=10 2：10×2/2=10 3： （10+10）×2/3=40/3 4： （10+10+40/3）×2/4=50/3 5：60/3 6：70/3 7：80/3 8：90/3 9：100/3 10：110/3 总和=20+（40+50+。。+110）/3=220 。4、2 升 3 仁华一道数学试题
、有黑白两盘棋子，黑子是白子的 2 倍，每次拿走黑子 4 枚，白子 3 枚，最后白子被拿光后，黑子还剩 16 枚，问黑子白子原来各多少枚？解答（刘立东老师） ：此题目可以这样解决： ①每次拿 4 个黑色的，多 16 个 ②每次拿 3 个白色的，多 0 个 ③每次拿 6 个黑色的，多 0 个（黑子是白子的 2 倍，如果每次拿的是白子的 2 倍，剩下的也该是白色 的 2 倍，即为 0 个） 对比条件①和③，每次多拿了两个，黑子的总数差出来 16 个，这样一共拿了 16 除以 2 等于 8 次。 所以一共有黑子 4X8+16=48 个 所以白子有 24 个。 基本思路是先将两种分配方案进行比较，分析由于每一次分配不同造成结果的变化，根据这个关系求出 分配的总份数，然后根据题意求解就可以了。讲解的时候一定要列清楚条件一，条件二等，然后进行对 比。任注： 所谓假设法， 就是假设题中的某几个数量相等， 或假设要求的一个未知量是已知数量， 把复杂问题化为简单问题处理， 再进行推算， 以求出原题的答案。 其解题思路可用下图表示。再来几道题：一、条件假设 一25 吨，问甲、乙两堆货 物原来各有多少吨？把这种假设的情形与题中已知情形作出比较，发现多了（27.5-25=）2.5 吨。=50（吨），所以甲堆货物有 60 吨。 二、问题假设 当直接解一些题目似乎无从下手时，可对问题提出假设性答案，然后进行推算，当所得 结果与题目的条件出现差异时，再进行调整，直至与题目的条件符合，从而得出正确答案。例 3 有一妇女在河边洗碗，掌管桥梁的官吏路过这里，问她：“你怎么洗这么多碗？”， 妇女回答：“家里来了客人”。官吏又问：“有多少个客人？”妇女回答：“2 个人共一碗 饭，3 个人共一碗羹，4 个人共一碗肉，一共 65 只碗”。问共有多少客人？（选自《孙子算 经》） 分析与解 假设有 12 个客人（因为[2，3，4]=12），由题设知：12 个人共用了（12÷2=）6 （只）饭碗、 （12÷3=）4（只）羹碗、 （12÷4=）3（只）肉碗，所以 12 个人共用了（6+4+3=） 13（只）碗。而题目的条件是 65 只碗，是根据假设进行计算所得结果的 5 倍，因此，客人 数一共有（12×5=）60（人）。 三、单位假设 解答某些应用题时，可假设某个数量为单位“1”或几，进而列式求解。苹果？ 分析与解 假设甲筐有苹果 5（重量单位），卖出 3/5 后，还剩（5量单位）。因此甲筐苹果比乙筐少（6.4-5=）1.4（重量单位），但实际上甲筐苹果比乙筐 少 7 千克，所以每 1（重量单位）相当于（7÷1.4=）5（千克）。所以甲筐苹果重（5×5=） 25（千克），乙筐苹果重（5×6.4=）32（千克）。 四、情境假设有些应用题情境较复杂，数量关系不明显，这时可对情境进行适当地假设，使隐蔽的数 量关系明朗化，达到化难为易的目的。 例 5 松鼠妈妈采松子，晴天每天采 20 个，雨天每天采 12 个，它一连 8 天采了 112 个松子， 问这几天中晴天、雨天各多少天？ 分析与解 假设这 8 天全是雨天，一共采了（12×8=）96（个），比实际少了（112-96=）16 （个），从而可求出晴天数（16÷（20-12）=）2（天），雨天数为（8-2=）6（天）。 例 6 四（2）班学生在校办工厂糊纸盒，原计划糊制 1200 个，实际每时糊的纸盒是原计划 的 1.2 倍，结果提前 4 时完成任务，问原计划糊纸盒几时？ 而是按原计划时间劳动， 则糊成的纸盒是 （=） （个） 1440 ， 分析与解 假设没有提前， 比原计划多做（=）240（个），因为多糊的 240 个是在 4 时内做成的，因此实际 每时糊纸盒（240÷4=）60（个），原计划每时糊（60÷1.2=）50（个）。5、一道 2010 年仁华四升五试题 有若干名队员去参加比赛，每两个队员之间必须且只能赛一场。比赛规定：赢了得 2 分，平局两人各得 一分，输者不得分。当比赛结束后，有 5 个人各自统计了所有队员的总分，分别是：131，132，133，13 4，135 分。5 人里，只有 1 人统计正确。问：一共有多少名队员参加比赛？解答（任） ：12 人参赛。 设有 M 人参赛，则总分必可写成 M×（M-1）的形式。首先 M×（M-1）是偶数，131，133，135 不对。 132，134 中，134 不能分解成 M×（M-1）的形式，舍去。 132=11×12. 所以 M=12.6、一道 2010 年仁华三升四试题两袋中分别有同样多的硬糖和酥糖，现将第一袋中的 20 块酥糖放到第二袋中，第二袋中的硬糖和酥糖相 同，接着又将第二袋中的 20 块硬糖放到第一袋中，则第一袋中的硬糖是酥糖的 4 倍，问一袋中有多少块 酥糖？7、 （2010 年仁华三升四试题）1～8 这八个自然数，现将它们分成 3 个数一组和 5 个数一组，再将两组数 的和相乘，问一共能得出多少个乘积？8、9、(仁华试题)在下面的四个四位数的加法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。 但这个式子中有一个错误，其中有一个字母写错了。这个写错的字母应是__，应将其改正为字母__。按 照正确的算式，六位数 ABCDEX 应是______。ABCX DECD BBCD +C A C X ----------XXXX 回复：这个写错的字母应是 D，应将其改正为字母 B。按照正确的算式，六位数 ABCDEX 应是 214638。 1、算式不进位。首位不可能是 1234，故首位 ABCD 中有一错 2、首位至少为 1+2+3+1，从末位看，X 为偶数，故 X=8 3、第三位为 4 个相同数，最后得偶数，故末位相加需进 2，故 D=6 非 1，已知首位的 D 错，1+1+2+6=10 进位了 4、第三位为 4 个相同数之和+2 为 8，故 C=4 5、C=4，首位肯定是 1+2+1+4，第二位相加不进位，因 A、B 肯定是 1 或 2，加上第三位进的 1，第二位 应该是 1+1+2+3+（1）即 A=2、B=1、E=3，如果是 B+B+A+（1）是 2+2+1+（1）则 E=2，矛盾。 6、首位字母 D 应该为 1，即字母 B12、 用 1，2，3，4.。。。 这 9 个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位数和一个五位数，使得 。。。9 积最大。 答 案 是 ： 在 四 位 数 补 0 ， 组 成 两 个 五 位 数 ， 结 果 是 =8889 ， 所 以 最 大 位 =。 我的 问题是为什么在四位数后面加 0 后的两个数的差值最小时，就能代表
积最大？ 解答：因为在四位数后面补上 0，实际上相当于这个四位数乘以了 10，如果补上 0 之后的乘积最大，那 么还回去（就是除以 10） ，原来的四位数与五位数的乘积就是最大的. 补上 0 之后的好处在于把两个数变得位数一样，然后再确定大数在高位，也就是 9、8 在万位，7、6 在千 位，5、4 在百位，3、2 在十位，1、0 在个位。这样不管怎样放，两个数的和是一定的。再根据“和一定 差小积大”，可以知道两个五位数分别是 96420 和 87531 时积最大。 13、 某人读一本书，如果他第一天读 25 页，以后每天都比前一天多读 5 页，那么到最后一天时，还 剩下 47 页；如果他第一天读 40 页，以后每天都比前一天多读 5 页，那么到最后一天时，还剩下 37 页。这本书共有多少页？解答：这道题非常有趣，因为它涉及到不完全等差数列。不过这种题考得也非常少，只是在几年前实验 中学考过。 两种情况下每天读书的页数构成的数列排起来，前面的若干天都是等差数列，只有最后一天不是等差数 列中的数，而且两个等差数列有重合的部分。把它们分别列出来： 第一种情况：25，30，35，40，45，50，……，□，47 第二种情况： 40，45，50，………，○，37 两种情况下读书的总页数一样多，也就是说上下两个数列各项的和相等。 比较一下，有公共的部分，就是从 40 开始的那些。那么这些公共的部分到哪里结束呢？必然是要么到□ 所代表的数，要么是到○所代表的数。到底是哪一个呢？显然是□（否则意味着□比○大，这样的话第一种 情况的总页数比第二种情况的总页数要大） 。 那么抵消掉公共的部分，看剩下的：第一种情况还剩下前面的 25，30，35 和最后的 47，第二种情况还剩 下等差数列后面的若干项加上 37。这两种情况剩下的部分和相等，也就是说第二种情况的等差数列后几 项的和等于 25+30+35+47-37=100，那么第二种情况的等差数列后几项（除掉公共的部分剩下的）不可能 是 3 个或 3 个以上（因为最小的都是 40） ，也不可能是 2 个（否则的话这两个差为 5，必定一奇一偶，和 不可能为 100） ，所以只能是 1 个。也就是说，第二种情况的○就是 100。 那么第一种情况的数列是：25，30，35，40，45，……，95，47 第二种情况的数列是： 40，45，……，95，100，37 要求总页数，不论算哪一种都可以，比如算第二种情况： （40+100）×13÷2+37=947 页。老教协当年考题是这样的： 暑假中，小明读一本长篇小说。如果第一天读 40 页，以后每天都比前一天多读 5 页，结果最后一天读 35 页可读完；如果第一天读 50 页，以后每天都比前一天多读 5 页，结果最后一天读 45 页可读完。试问这 本小说共多少页？ 只是数不同，思路完全一样，您可以练练。任评：巨人每日一题（六（五？）年级）有一道类似的题，解答不错。14、 如果把由数字 0 和 7 组成的数叫特殊数，如 7.070707……，77.007 等都是特殊数，那么，如果 将 1 写成 n 个特殊数的和，则正整数 n 的最小值是多少？ 解答：最小值是 8. 首先，由于特殊数都是由 0 和 7 组成的数，那么它们肯定都是 7 的倍数（因为 0 和 7 都是 7 的倍数） ，既 然每个特殊数都是 7 的倍数，要由若干个特殊数相加得到 1，那么不妨把它们都除以 7，相当于每个数都 变成了由 0 和 1 组成（不妨称这样的数为准特殊数） 而且要若干个这样的数的和是 ， 1/7=0.……（142857 循环） 现在每个数都由 0 和 1 组成的准特殊数，要它们相加得到 0.……就每一位上的数来说，加 起来要分别是 1、4、2、8、5、7，如果没有进位的话，显然每一位上的数是多少就得有多少个 1，那么 就有多少个准特殊数。由于里面最大的是 8，所以至少得有 8 个准特殊数；如果发生进位的话，那么说明 某一位上的和至少为 10，至少得有 10 个准特殊数，显然更多。 那么 8 个到底可不可以呢？根据上面的分析，显然是可以的，比如下面这 8 个数： 0.……（111111 循环也就是 1 循环） ； 0.……（011111 循环） ； 0.……（010111 循环） ； 0.……（010111 循环） ； 0.……（000111 循环） ； 0.……（000101 循环） ； 0.……（000101 循环） ； 0.……（000100 循环） ； 数数各位上的 1 的个数，可知它们的和恰好是 0.…… 那么原来的标准数呢，就是这 8 个数分别乘以 7 了。15、 有锁若干把，现有六个人各掌握一部分钥匙，已知任意两个人同时去开锁，有且恰有一把锁打 不开，而任何三个人都可以把全部锁打开，问最少有多少把锁？解答：本题的关键已知条件是“任意两个人同时去开锁，有且恰有一把锁打不开，而任何三个人都可以把 全部锁打开”， 其实这就是在告诉我们两人一组时，每组所打不开的锁都是不一样的，本想法可用反证法，假设六个人 分别是 a,b,c,d,e,f, 如果 a,b 两人和 c,d 两人打不开的锁是一样，则会出现 a,b,c 三人都打不开一把锁，那就与题中“任何三个 人都可以把全部锁 打开”相矛盾了，所以一定就是至少有多少种两人的组合就应该有多少把锁，由于有 C62=15 个两人组， 所以至少要有 15 把锁。不定方程) 14、 07 年人大附中考题）(不定方程 （ 年人大附中考题） 不定方程 俏皮猪 25 元一个，加菲猫比俏皮猪便宜，但价格也是整数元，并比俏皮猪少买 2 个，共花了 280 元。 问买了多少只俏皮猪？15、（不定方程）16、请教四年级超越篇， 16、请教四年级超越篇，解题思路老师在黑板上写出了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在黑板上写上另两个数的平均数， 如此做了 7 次，这时黑板上三个数的和是 159。如果老师开始写的三个数的和是 2008，且所有写过的数 都是整数，老师在黑板上写的第一个数是多少？回复： 159,直接得到最后一个数是 53,然后从后往前推就行了 然后从后往前推就行了. 回复：从 159,直接得到最后一个数是 53,然后从后往前推就行了.52,倒数第 54,往前推 往前推, 1860。 只能是倒数第 2 个数是 52,倒数第 3 个数是 54,往前推,得到第一个数是 1860。任注：此题正推就麻烦了。 任注：此题正推就麻烦了。17、求助！ 17、求助！三年级尖子班书 p94 第 5 题车库中有 10 辆汽车，现在刚好有一辆汽车开进车库，也有一辆汽车开出车库，并且以后每隔 1 分钟开出 去一辆汽车，每隔 2 分钟开进一辆汽车，那么多少分钟后车库没有汽车？ 只是给了答案 56 分钟 回复：每隔 1 分钟的意思，就是比如 10 分开出一辆,那么 12 分再开出另一辆。 小孩确实只是没理解对,竖式应该是对的 开出是每 2 分钟一个周期,开进是每 3 分钟一个周期,即开出:1…… 开进:0…… 这样每 6 分钟,开出一辆车,但要注意&青蛙爬井'问题, 竖式是(10-1)x6+2=56 分钟分钟， 分钟，那么就是（10分钟。 如果理解成进库 2 分钟，出库 1 分钟，那么就是（10-1）×2+1=19 分钟。小时计时制， 18、一块电子手表，显示时与分， 18、一块电子手表，显示时与分，使用 12 小时计时制，例如中午 12 点和半夜 12 点都显示12:00。如果在一天(24 小时)中的随机一个时刻看表，至少看到一个数字“1” “1”的 为 12:00。如果在一天(24 小时)中的随机一个时刻看表，至少看到一个数字“1”的概率是_________________. 概率是_________________. ___回复一：从正面考虑情况太多了，从反面考虑情况反而单一，便于计数。题目中有“至少” 回复一：从正面考虑情况太多了，从反面考虑情况反而单一，便于计数。题目中有“至少”、“至多”等表达时往往可以从反面考虑。 等表达时往往可以从反面考虑。 12： 点开始， 12：59，01：00，02：00，……， 11： 这道题电子表显示的时间应该是从 12：00 点开始，到 12：59，01：00，02：00，……，最后到 11： 59， 12：00.小时数总共有 59，再回到 12：00.小时数总共有 12 种，分钟数总共有 60 种，所以不同的时刻总共有 12*60=720 种。 从反面考虑， 的时刻的总数， 02，03，04，……，09， 从反面考虑，也就是计算看不到 1 的时刻的总数，小时数可以是 02，03，04，……，09，共有 8 种， 分钟数的个位可以是 ……， 分钟数的十位可以是 0，2，3，4，5，5 种；分钟数的个位可以是 0，2，3，4，……，9，9 种。所 以分钟数共 5*9=45 种。这样看不到 1 的时刻共有 8*45=360 种。 720所以至少看到一个数字“1” “1”的概率是 那么能看到 1 的时刻有 720-360=360 种，所以至少看到一个数字“1”的概率是 360/720=1/2.回复二（ 我从正面突破。 回复二（任）：我从正面突破。 不同的时刻总共有 12*60=720 种。01，10，11，12； 小时数含有 1 的有 4 种：01，10，11，12；情形:A=0,1,2,3,4,5, 分钟数含有 1 的：A1 情形:A=0,1,2,3,4,5, 有 6 种; 情形：B=0,1,2,...,9， 1B 情形：B=0,1,2,...,9， 有 10 种； 10+6共有 10+6-1=15的时刻共有：4×60+12×15用包含与排除得到含有 1 的时刻共有：4×60+12×15-4×15=360360/720=1/2至少看到一个数字“1”的概率是 至少看到一个数字“1”的概率是 1/2. “1”17、求助:奥数题--差倍问题!谢谢啦! 17、求助:奥数题--差倍问题!谢谢啦! --差倍问题1.跳远比赛中,取得优秀成绩人数,甲队是乙队的２倍；跳高比赛中，乙队得优秀的人数增加了７人，甲队 减少了一人，结果乙队反而是甲队的２倍，问跳远比赛时，甲＼乙两队各有多少人得优秀？ ２．有两堆石灰，甲堆９４吨，乙堆１３８吨，每天两堆都运走９吨，几天后乙堆剩下的石灰是甲堆的 ３倍回复：记牢一句话 抓住不变量，份数要统一 用设份数的方法非常好解我们先看第二题 一开始两堆石灰的质量比是 94:138=47:69 最后两堆石灰的质量比是 1:3 这里，不变量是两堆石灰的质量差（这个在年龄问题等问题中经常出现） 所以，考虑两堆石灰的质量差 一开始甲：乙：差=47:69:22 最后甲：乙：差=1:3:2 差代表的份数改变了，所以开始和最后一份不一样大，为了统一我们把最后的比例同时扩大 11 倍 甲：乙：差=11:33:22 所以，甲一开始有 47 份，最后还有 11 份，运走了 47-11=36 份 容易知道一份代表 94/47=2 吨 所以运走了 72 吨，因此运了 72/9=8 天 当然用乙来算完全可以，关键是比例配平再看第一题 一开始 甲队：乙队=2:1 最后 甲队：乙队=1:2 这里，比较难找不变量，因为两队人数、总人数、差都发生了变化 所以我们希望找一个不变量。发现如果甲队人数不变，要让最后乙队仍然是甲队人数的 2 倍，只需乙队 再增加 2 个人，所以乙队一共增加了 9 个人 此时，甲队一开始对应 2 份，最后对应 1 份，一份大小仍然不一样 所以我们把第二次比例前项后项都乘以 2 最后甲队：乙队=2:4 所以乙队一开始有 1 份，最后有 4 份，增加了 3 份，对应 9 个人 所以一份代表 3 个人 甲队跳远 3*2=6 人优秀 乙队 3*1=1 人优秀18、 帅帅老师答疑帖）今年是 1998 年,父母年龄(整数)和是 78 岁,兄弟的年龄和是 17 岁.四年 （ 后(2002 年)父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的 年龄的 3 倍时,是公元哪一年 ？【思路分析】这个题目看上去是年龄问题，但是用的方法是鸡兔同笼的方法。 思路分析【解析】年后,两人年龄和都要加 8. 解析】 此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86. 我们可以把兄的年龄看作&鸡&头数,弟的年龄看作& 兔&头数. 25 是&总头数&.86 是&总脚数&.根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998 年,兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是(25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁). 这是 2003 年. 总结】 【总结】奥数各个专题之间是有联系的，鸡兔同笼常和年龄，行程和工程问题结合在一起。我们通过观 察看到是鸡兔同笼问题就简单了。19、 帅帅老师答疑帖）摩托车赛全程长 281 千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的 （ 是由一段上坡路(3 千米),一段平路(4 千米),一段下坡路(2 千米)和一段平路 (4 千米)组成的; 有的是由一段上坡路(3 千米),一段下坡路(2 千米)和一段平路(4 千米)组成的.已知摩托车跑完 全程后,共跑了 25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段 ？【思路解析】这又是一道鸡兔同笼问题， 思路解析】 思路解析 两个阶段何为 281 千米，每个阶段都包含 1 个上坡路， 总共有 25 个上坡路也就是说两个阶段个数和为 25。 解析】假设这 25 全为第一个阶段 【解析 25×（3+4+2+4）=325（千米） （325-281）÷【3+4+2+4-（3+2+4） 】=11（个） 所以第一阶段有 11 个 第二阶段有 25-11=14（个） 总结】 【总结】要认真审题，发现就是简单的鸡兔同笼就变得简单了！ 20、 帅帅老师答疑帖）有 20 名学生围成一圈,从某位同学开始沿顺时针方向 1212 报数,凡报到 （2 的同学就退出圆圈,最后将只剩下一名同学,那么在原来的圆圈中,第一个报数的同学沿顺时 针方向看去,他与最后留下的那位同学之间隔多少名同学?【思路解析】这个题目数量少，我们可以尝试着试一试，然后再去寻找规律。 【解析】 第一圈划掉偶数，剩下奇数 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 再从 1 开始，划掉 3,7,11,15,19 剩下 1,5,9,13,17 划掉 5,13， ，剩下 17,1,9 17 报 1,1 报 2，所以划掉 1， 剩下 9 报 1,17 报 2，划掉 17 剩下 9 所以隔 7 个同学。 【总结】注意圆圈上是循环报的，剩下奇数个数时，再到开始那个数就要报 2 会被划掉。 这个题目是有规律的：在圆圈上，如果有 2 的 N 次方个数的话，那么留下的数一定是 1 如果不是 2 的 N 次方个数，比如这个题目是 20，离它最近的 2 的 N 次方是 16，那我们先划掉 4 个数， 划掉 2,4,6,8，剩下 9,10,11....20,1,3,5,7 这 16 个数，必定会留下第一个数 9。21、 帅帅老师答疑帖）在 2*2 方格表中已填入 4 个整数。如果江表中同一行或同一列的 2 个 （ 数加上相同的整数称为 1 次操作， 问能否通过若干次操作使得表中 4 个数都变成相同的数？ 2 3 5 7【思路分析】 这个题目是考察奇偶性的，行之间 5 和 2，7 和 3 的差分别为 3 和 4，是一奇一偶，是不可能实现的 同样列之间 3 和 2，7 和 5 之间的差分别为 1 和 2，又是一奇一偶，也是不可能实现的！ 【总结】 奇偶性。 两个偶数的和是偶数 两个奇数的和是偶数 一奇一偶的和是奇数。（ 22、 帅帅老师答疑帖）请教几何图形问题: 1)若干个棱长为 1 的正方体拼成了一个 11*11*11 的大正方体,那么从一点望去,最多能看到多少个单位正 方体?2)一条小虫沿长 6 分米,宽 4 分米,高 5 分米的长方体的棱爬行,如果它只能进不能退,并且同一条棱不能爬 两次,那么它最多能爬多少分米? (1)【思路分析】要想看到最多，就从侧面看过去，可以看到上、前，右三个面上的正方体，但是这三个 面相交的棱上的正方体重复了一次，所以要减掉，那么这时三个面相交顶点处的那个正方体又被减掉了 再加上一个。 【解析】11×11×3-11×3+1=331（个） 【总结】这个题目要注意棱上重复的和顶点处的正方体。 （2【思路分析】这个长方体中有 8 个奇点，需 4 笔画出，一笔最多画 9 棱，那我们尽量画长和高，少画 三条宽。 【解析】6×4+5×4+4=48（分米） 【总结】一笔画：从一个顶点出发有奇数条线段的顶点称为奇点。 从一个顶点出发有偶数条线段的顶点称为偶点。 ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最 后一定能以这个点为终点画完此图。 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点） ，一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。) &这个长方体中有 8 个奇点，需 4 笔画出，一笔最多画 9 棱，& 请问是怎么知道一笔最多可以画 9 条棱呢? 因为有 8 个奇点，需要四笔画出，所以一笔只能画 9 棱，其他三条棱还要三笔才可以画出。23、 帅帅老师答疑帖）有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然 （ 数，2 号同学说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”、、、依次下去，每位同学都说这 、、 个数能被他的编号数整除， 号作了一一验证， 1 只有编号连续的两位同学说得不对， 其余同学都对。 （1） 问 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ （2）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数。这道题目考察的知识点是整除和公倍数， 首先孩子要知道整除的规律，即常见 2,，5；4,25；8,125；3,9；7,11,13,等数的规律。 我给出我的思路和分析，您看过之后如有什么异议欢迎您在跟帖和我讨论哦！ 【分析与解】 （1）先分析出不对两位同学的编号。 ）先分析出不对两位同学的编号。 列出 14 个除数：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 如果这个数目不能被 2 整除就一定不能被 4、6、8、10……等整除，显然超过两个自然数。 类似的情况还有 3 和 6,9……，4 和 8、12……，5 和 10、15……；6 和 12……； 若不能被 7 整除，那么一定不能被 14 整除，但这两个数不连续； 能被 2-7 整除，就一定能被 10,12,14，15 整除； 这样只剩下 8,9,11,13，而连续的只有 8 和 9。 所以说的不对的两位同学的编号是 8,9 这两个连续自然数。 的最小公倍数。 （2）求 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 的最小公倍数。 ） 这个五位数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 整除， 即为这些数的最小公倍数或为公倍数的倍数。 [2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=2×2×3×5×7×11×13=60060 所以 1 号给出的数是 60060。 总结】这个题目所给的这两部都是重点和难点。 【总结】这个题目所给的这两部都是重点和难点。 第一步要熟悉整除的规律和性质，利用规律和性质去分析； 第一步要熟悉整除的规律和性质，利用规律和性质去分析； 第二步求最小公倍数数较多也容易去错， 第二步求最小公倍数数较多也容易去错， 可用分解质因数法，就是把每个数分解质因数，再去观察求最小公倍。 可用分解质因数法，就是把每个数分解质因数，再去观察求最小公倍。24、(帅帅老师答疑帖) 、 请教: 上午有四节课,一个教师要上 3 个班级的课,每个班 1 节课,若不能连上三节,这个教师的课有几种排 法? (孩子要求用加法或者乘法原理来解答) 【分析与解】这是加乘比较典型的题目， 现在有四节课，三个班来选，分部考虑 因为不能三个班连着上，所以第一节课和第四节课必有班级上课。 那我们先考虑这两节课，第一节课有三个班可选，第四节课有两个班可选， 剩下二三节课只能选其中一节，每一节都只有一个班可选。 3×2×（1+1）=12（种） 【总结】加乘原理关键是分清步骤，有特殊要求先特殊考虑。 25、 （(帅帅老师答疑帖）若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔 2 人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔 4 人发 一个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有多少人？ 【分析与解】苹果的周期是 3，桔子的周期是 5， [3，5]=15 15（10-1）+1=136 人 这步求两种都拿的小朋友人数，也是最少人数。 在这堆人左边最多会有 4 个拿苹果的小朋友，不能是 5，否则又可以拿桔子了。 这样，因为拿苹果是每隔 2 人，就是间隔 3 个所以 3*4=12 人 同理求右边最多有 2*5=10 个小朋友拿桔子 综上 136+12+10=158 26、一杯糖水，糖占糖水的 1/5，再加 16 克糖后，糖占糖水的 1/4，原来糖水有多少克？ 【分析与解】设原来糖水为 X，则现在糖水为 X+16, 1/5X+16=1/4(X+16) X=240 【总结】注意加完糖之后糖水重量也变了。 【分析与解】 原来糖：水=1:4 现在糖：水=1:3 加上糖之后，糖变了，糖水重量也变了，但水没变 原来糖：水=1:4=3:12 现在糖：水=1:3=4:12 糖重了 16 千克，重了 1 份， 所以原来糖水重：16÷（4-3）×（3+12）=16×15=240（千克） 【总结】抓住水不变。27、 、 （QHLX 习题） 、商店进了一批钢笔，用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利 习题） （1） （ （ 润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱？ （2）.张先生向商店订购某种商品 80 件，每件定价 100 元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减 价 1 元，我就多订购 4 件。”商店老板算了一下，如果减价 5％，那么由于张先生多订购，仍可获得与原 来一样多的利润。问：这种商品的成本是多少元？如果第二题的从商店的角度去思考： 商店有一批某种商品，用每件定价 100 元卖出 80 件与每件定价 95 元卖出 100 件，商店获利一样多，求 该商品每件成本是多少元？和第一题就一样了 任注：直接列方程即可。 任注：直接列方程即可。28、商店国庆节促销，汽水的价格由每 3 瓶 3 元改为每 4 瓶 3 元，而酸奶则是买 1 瓶送 1 瓶。冬冬花28 元按照优惠价购买汽水和酸奶若干瓶，其中汽水瓶数比酸奶瓶数的 3 倍少 2，冬冬发现这比平时便宜 了 14 元。求每瓶酸奶的正常价格。 回复：如果按原价应该花 28+14=42 元 现在的价钱全部提高 1 倍，也就是酸奶价钱跟以前一样，汽水变成了一瓶 1.5 元，总共会花 28*2=56 元。 56 元和 42 元比较相差 14 元，全部是因为汽水价格不一样。 所以汽水瓶数为 14/(1.5-1)=28 瓶。 这样酸奶有（28+2）/3=10 瓶 原酸奶价格为（42-28）/10=1.4 元29、列方程解答：任注：应该是 30 个苹果，每天吃 1 个。 解答二：1/ 1/2 / 2/3 / 3/4 /……/ 28/29 / 29/30=30 个每天吃 30*1/30=1 个。30、 （两道题）六年级：解答： 六年级：解答： 660 个 998-（332+26-8）=648（个）――――》所有不可约分数的分子个数：1，2，4，5，7，8，……，34，35， 38，40，41，……，997，998 还要再加上 3/37,6/37,……36/37,这 12 种情况 共 648+12=660 个七年级：解答： 七年级：解答： 最少 1 个，最多 6×5÷2=15 个，n 条直线两两相交，每两条直线的交点都不相同，最多有 n（n-1）÷2 个交 点。31、(蒋乐老师)在下面残缺的算式中，只写出了 3 个数字 1，其余的数字都不是 1，那么这 个算式的乘积是多少？我们设第一个两位数的十位数和个位数为 A,B，设第二个两位数的十位数和个位数为 C,D，我们要做的就是求出 A，B，C，D。可以很明显看出。第三行第一个空格为 0.现在我们来分析。第三行的三位数只有十种可能，分别是 100---109 这十个数字。由于第四行的三位数的个位数为 1，故 B*C 的个位数为 1，只有四种可能：（B,C）=(1,1)或（3，7）或（7，3）或（9，9）。由于第四行是三位数，故 B 不等于 1，故（B,C）=（3，7）或（7，3）或（9，9）。将 100---109 进行分解成两位数乘以个位数（就是 D*(A*10+B)） （由于 101，103，107， 109 为质数，所以只要考虑六个数的分解）。100=50*2，25*4，20*5，102=51*2，34*3，17*6，104=52*2，26*4，13*8，105=35*3，21*5，15*7，106=53*2108=54*2，36*3，27*4，18*6，12*9看两位数的个位(也就是 B)，B 只能为 3，7，9，于是只有 17*6，13*8，53*2，27*4 满 足。这四种情况对应的算式分别是 17*36，13*78，53*72，27*34，演算便看出只有 53*72 满足题意。32、经济类33、十一中学去年也出了按规律填数的题目，但是这类题目规律比较简单，同学们可以通过简单的分析 十一中学去年也出了按规律填数的题目，但是这类题目规律比较简单， 十一中学去年也出了按规律填数的题目 就出答案。 就出答案。 (1)2、6、18、54、 ）（ ） （ 、 、、3、7、l5、 ） （ 、63、 （ ） 、255、511 分析： （1） 规律是： 那么括号里面要添的数字分别是： 54×3＝162， 162×3＝486。 后面的数字是前面数字的 3 倍， （2）规律是：每两个数字之间差的都是 2 的倍数，1 到 3 差的是 2 的 1 次方；3 到 7 差的是 2 的 2 次方； 的倍数， 次方； 次方； ： 7 到 15 差的是 2 的 3 次方 次方；15 和第一个括号差的是 2 的 4 次方：为 16＋15＝31；63 和第二个括号里面 差的是 2 的 6 次方：为 64＋63＝127。 （规律不唯一） 34、三进制时各位数之和是 2007,转换为在九进制后各位数字之和的最大值和最小值。 三进制时各位数之和是 转换为在九进制后各位数字之和的最大值和最小值。 三进制 转换为在九进制后各位数字之和的最大值和最小值分析与解答: 分析与解答关于进制 进制的题型,知识点比较偏,尤其还是三进制与九进制的转换 三进制与九进制的转换,要求学生对进制的概念理解得非常透 进制 三进制与九进制的转换 彻. 进制的本质只有一点:不同进制的进位不一样,十进制是”满十进一”,N 进制就是 满 N 进一 进制就是”满 进一” 首先进制的本质 进制的本质比如:三进制就是 满三进一 三进制就是”满三进一 三个数字.因为其他数字都需要进位. 三进制就是 满三进一”所以三进制中只有 0,1,2 三个数字 三进制中只有 同理,九进制就是 满九进一 所以九进制中只有 0,1,2,3,4,5,6,7,8 九个数字 九进制就是”满九进一 九个数字. 九进制就是 满九进一”所以九进制中只有 其他可以以此类推.本题的一个关键步骤 关键步骤是找到三进制与九进制的对应关系 三进制与九进制的对应关系,一般是要通过十进制作为中间转换的,这里因 关键步骤 三进制与九进制的对应关系 有其自身的规律.下面是所有的对应 所有的对应: 为 9=3×3,所以有其自身的规律 有其自身的规律 所有的对应三进制(两位数 三进制 两位数) 两位数 00(和:1) 01(和:1) 02(和:2) 10(和:1) 11(和:2) 12(和:3) 20(和:2) 21(和:3) 22(和:4)九进制(一位数 九进制 一位数) 一位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8改变(倍数关系 改变 倍数关系) 倍数关系 不变 不变 不变 3倍 2倍 5/3 倍 3倍 7/3 倍 2倍由于原三进制数的数字和是确定的 2007,所以转换成九进制后要使数字和最大 应尽量使增加倍数最多 转换成九进制后要使数字和最大,应尽量使增加倍数最多 转换成九进制后要使数字和最大 应尽量使增加倍数最多, 要使数字和最小,应尽量使增加倍数最小 要使数字和最小 应尽量使增加倍数最小. 应尽量使增加倍数最小 通过上表中的对应关系,显然,数字和最大变成 3 倍,最小是不变 数字和最大变成 最小是不变 所以,九进制的数字和最大是 1,最小就是 2007.完毕 九进制的数字和最大是 最小就是 完毕 35、甲、乙两瓶浓度未知的酒精溶液分别含纯酒精 200 克和 450 克，如果把它们均匀混合（忽略体积变 、 如果把它们均匀混合（ ，则混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高 ％， ％，但比原来乙瓶的浓度低 ％，问混合后的浓度是多少？ ％，问混合后的浓度是多少 化） 则混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高 7％，但比原来乙瓶的浓度低 14％，问混合后的浓度是多少？ ，分析与解答: 分析与解答首先列出浓度三角模型 先将所有已知条件填入相应位置(黑色字体表示已知),下面我将一步步利用浓 列出浓度三角模型,先 列出浓度三角模型 度三角的规律进行推导:1,浓度三角的核心结论是 表格中两浓度差的比值等于两溶液的比值 浓度三角的核心结论是:表格中两浓度差的比值等于两溶液的比值 浓度三角的核心结论是 表格中两浓度差的比值等于两溶液的比值.(注意对应关系,都是上比下). 所以容易知甲乙两溶液的比值为 2:1. 甲乙两溶液的比值为 2,现在已求出甲乙两溶液的比值 而且又知道甲乙中纯酒精的质量 所以应该利用这两者求出甲乙的 现在已求出甲乙两溶液的比值,而且又知道甲乙中纯酒精的质量 现在已求出甲乙两溶液的比值 而且又知道甲乙中纯酒精的质量,所以应该利用这两者求出甲乙的 浓度比值 (因为这才是浓度三角中的核心部分内容 而且是题目所求内容 因为这才是浓度三角中的核心部分内容 而且是题目所求内容), 因为这才是浓度三角中的核心部分内容,而且是题目所求内容 根据公式:浓度 溶剂 溶液 浓度=溶剂 溶液,可知甲乙的浓度比值为 甲乙的浓度比值为:200/2:450/1=100:450=2:9,(已标在模型中的相应 浓度 溶剂/溶液 甲乙的浓度比值为 位置). 3,由于已求出甲乙的浓度比 很明显 下一步就是求出它们的和或差 根据量比对应求出浓度的具体值 由于已求出甲乙的浓度比,很明显 下一步就是求出它们的和或差,根据量比对应求出浓度的具体值 由于已求出甲乙的浓度比 很明显,下一步就是求出它们的和或差 根据量比对应求出浓度的具体值. 注意到,甲乙两浓度的差为 大-小=(大-中)+(中-小)=14%+7%=21% 甲乙两浓度的差为:大 小 大 中 中 小 甲乙两浓度的差为 (这是浓度三角中的一个结论 由于应用的不多 大部分老师在课堂上没有提及到 我也没有太多作强调 这是浓度三角中的一个结论,由于应用的不多 大部分老师在课堂上没有提及到,我也没有太多作强调 这是浓度三角中的一个结论 由于应用的不多,大部分老师在课堂上没有提及到 我也没有太多作强调, 是因为为了不增加学生的负担 厉害的同学学到一定程度后自己都能发现.) 为了不增加学生的负担,厉害的同学学到一定程度后自己都能发现 是因为为了不增加学生的负担 厉害的同学学到一定程度后自己都能发现 所以根据量比对应可算出甲浓度为 甲浓度为:21%/(9-2)×2=6%,乙浓度为 21%/(9-2)×9=27%. 乙浓度为: 甲浓度为 乙浓度为 下面就很容易算出混合后的浓度为 混合后的浓度为:6%+7%=13%,或者 27%-14%=13%.完毕. 混合后的浓度为 或者 36、求所有正整数 x、y，满足方程 x（平方）－３xy＝２００２ 求所有正整数 、 ， ）－３ ＝ （平方）－分析与解答: 分析与解答第三次讲义例题. 第三次讲义例题不定方程求解题型,利用的是分解质因数法 分解质因数法.此题出得不是很好,因为没有排除掉任何的答案,全 此题为不定方程求解题型 不定方程求解题型 分解质因数法部需要列出. 左边提取公因式,右边分解质因数 先将左边提取公因式 右边分解质因数 左边提取公因式 右边分解质因数得: x (x-3y)=2×7×11×13 为了后面好说明,设 x-3y=a,则 y=(x-a)/3.方程化为 x×a=2002,(注意到 x＞a),将 2002 的所有分拆形式列出 设 的所有分拆形式列出, 则 注意到 ＞ 可得所有解: X=2002, a=1, y=(=667 x=1001, a=2, y= (1001-2) / 3 =333 X=286, a=7, y=(286-7)/3=93 X=182, a=11, y=(182-11)/3=57 X=154, a=13, y=(154-13)/3=47 X=143, a=14, y=(143-14)/3=43 X=91, a=22, y=(91-22)/3=23 X=77, a=26, y=(77-26)/3=17 此题若改为x2-9xy=2002,技术含量会提高很多 因为可以排除掉好多可能性 这里不再叙述 技术含量会提高很多,因为可以排除掉好多可能性 这里不再叙述. 技术含量会提高很多 因为可以排除掉好多可能性,这里不再叙述37、今年的 IMC 的六年级第 18 题，我怎么做都是 3433，可答案是 3366？ 、 原题是：一串数按下列规律 1，2，3，3，4，5，5，6，7，7，8，9， 9，10，11，11，12，13，13，14，15，--------，问前 100 个数之和是----。周老师回复: 我算过了,你的答案 是对的,前 没错。 周老师回复 我算过了 你的答案 3433 是对的 前 99 个数的和是 3366,还要加一个 67,所以是 3433 没错。 还要加一个 所以是38、 、分析与解答: 分析与解答统筹优化问题,需要一定的基础才能做出,推导过程比较复杂,我这里给出结论性的原理 结论性的原理. 统筹优化问题 结论性的原理最优地点应该满足的条件应该是: 本题中最优地点应该满足的条件应该是 最优地点应该满足的条件应该是 1,地点的两边的所有人数总和应该越接近越好 人数总和应该越接近越好. 人数总和应该越接近越好 2,当符合的地点有两个时 有两个时(最多两个),取决于中间的人数离哪个更近 中间的人数离哪个更近. 有两个时 中间的人数离哪个更近此题首先应该分两个方向 两个方向考虑:水平方向与垂直方向: 两个方向 垂直方向上,直线 4 的上下都有 10 个人,应该是最优地点. 1,垂直方向 垂直方向 2,水平方向 水平方向上,直线 C 和 D 的左右两边都相差 2 人,所以取决于 CD 之间的两人 之间的两人,显然,两人离直线 C 更 水平方向 取决于 两人离直线 近,所以 C 应该是最优地点. 综合两个方向,最优地点应该是 C4. 完毕 最优地点应该是 39、某校六年级有三个班，每班人数一样多，已知一班男生和二班女生一样多，三班 、 男生占全部男生的 37 ，那么该校六年级学生中男女比例为？: F5 s0 T2 c#分析与解答: 分析与解答 六年级提高班重点中学入学模拟式卷三 六年级提高班重点中学入学模拟式卷三 （练习的第 2 题）一个简单的分数应用题,出错率很高 出错率很高,主要是单位一混乱 单位一混乱,这里建议用比例份数考虑 比例份数考虑,同时结合图形 结合图形解答, 出错率很高 单位一混乱 比例份数考虑 结合图形 很快就可以得到答案.每班人数一样多，已知一班男生和二班女生一样多 解读: 一班与二班的男生和等于一班与二班的女生和 且都等于一个班的总人数. 女生和,且都等于一个班的总人数 解读 一班与二班的男生和等于一班与二班的女生和 且都等于一个班的总人数三班男生占全部男生的 3/7 解读: 解读 用份数考虑,三班男生为 3 份,全部男生为 7 份,那么一二班男生和为 4 份,即每班总人数也为 4 三班男生为 全部男生为 一二班男生和为 每班总人数也为 份,同时三班女生为 1 份. 三班女生为最后,全部男生为 7 份,全部女生为 4+1=5 份,比例为 7:5.完毕. 全部男生为 全部女生为40、有 8 个小朋友围成一圈，按顺时针方向依次编号为 1 至 8 号。现在按如下的方法给他们发糖：给 1 、 号小朋友发一块糖，然后顺时针方向隔过一人后给 3 号小朋友发一块糖，再按顺时针方向隔过两个人后 给 6 号小朋友发一块糖，接着又按顺时针方向隔过一人发一块糖 如此反复地间隔一人、两人发糖。那 么最先拿到 10 块糖的是几号小朋友？ 回复：周期规律为 1， 3，6 ，8，3，5，8，2，5，7，2，4，7，1，4，6 16 个为 1 个周期，每个周期内 1~8 都正好出现 2 次， 所以最后一个周期内，最先达到 2 次的即为所求 看一看，就知道是 3 号。 41、学生 204 人植树 15301 株，其中最少一人植树 50 株，最多一人植树 100 株，则至少多少人植树的株 、 数相同？解答：答案是 5；共 204 人，每人植树至少 50 课，至多 100 棵，植树的数量共有 51 种不同情况； 由于 204 恰好是 51 的 4 倍， 如果恰好每种数量 4 人的话， 植树的总数为： （50+51+52+……+100） *4=15300 棵， 恰好比题目的 15301 棵少了 1 棵，所以全是 4 人植树的棵数相同是不够的，至少 5 人植树的棵数相同。 42、一百多个小朋友围成一圈，并从一开始依次编号。如果从一号开始 1-2 报数，凡是报 1 的退出圈外， 报 2 的留下，这样循环到剩下最后一个人时，剩下的是 44 号，问；原来有多少个小朋友？ 解答：第一次时，在去掉 45 号前，共退出了 22 个人， 第一次时， 号前， 个人， 第一次时 次方， 这时以 45 号为 1 号，由于最后留下的是 44 号，从而 44 号重新排号应该是 2 的 n 次方， 由于在 100 左右的只有 2 的 7 次方即 128， ， 所以总共有 128+22=150 人 43、盒子里有标号为 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，随机取出 3 个数字互不相同的小球的概率是多少？ 、解答（谌威老师） 总共 10 个小球，从 10 个里面选 3 个有 C(10，3)=120 种选法； ：选出的 3 个小球数字互不相同，从 1~5 里面选 3 个不同的数有 C(5，3)=10 种选法，由于每个标号各 2 个， 所以选出的 3 个球标号各不相同共有 10*2*2*2=80 种， 所以随机取出 3 个数字互不相同的小球的概率是 80/120=2/344、 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10%，甲店按 20%的利润率来定价，乙店按 15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜 11.2 元。问甲店的进货价是多少元？45、 元的价格购进一批录音带， 45、一商店以每 3 盘 16 元的价格购进一批录音带，又从另一处以每 4 盘 21 元的价格购进比前一批 加倍的录音带。 收益， 的值是______ 加倍的录音带。如果以每 3 盘 k 元的价格全部出售可得到所投资的 20%收益，则 k 的值是______ 收益解析：此题的关键是对于加倍的理解。 解析：此题的关键是对于加倍的理解。3 盘 16 元6 盘 32 元4 盘 21 元8 盘 42 元12 盘 63 元（32+42）*（1+20%）/(6+8)不是整数 32+42） +20%）/(6+8)不是整数（32+63）*（1+20%)=114 元，18/3=6 ，114/6=19 元 32+63）所以 K 的值是 19 46、三名长跑选手 A、B、C 参加一次比赛，起跑时 A 反应最快，冲在最前面，C 反应最慢，位于最后。 在整个比赛过程中，选手 C 与 A、B 共交换了 6 次顺序，而选手 A 和选手 B、C 共交换了 5 次前后顺序， 已知 B 比 A 先到达终点，则这三名选手到达终点的先后顺序是什么？47、雪帆奥数开心训练趣味思考题之牛吃草问题（牛顿问题） 雪帆奥数开心训练趣味思考题之牛吃草问题（牛顿问题） 雪帆奥数开心训练趣味思考题之牛吃草问题 一块草地每天长的新草一样多，羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和 羊，可吃 45 天；如果放牧牛和鹅，可吃 60 天；如果放牧羊和鹅，可吃 90 天。这片草地放 牧牛，羊，鹅，可以吃多少天？雪帆奥数王老师分析： 牛吃草问题是奥数中的经典专题，如鸡兔同笼，盈亏，抽屉，容斥等。 牛吃草问题是要求出原有草量和生长量。但变形的牛吃草问题就不单单是求这些了。这道题我们用基本的加减法即可求出相应的问题。 牛和羊 牛和鹅 一天吃 1/45 的原有草量和每天的长草 一天吃 1/60 的原有草量和每天的长草羊和鹅或者一头牛一天吃 1/90 的原有草量和每天的长草这样羊一天吃 1/90 的原有草量（每天草长的被减掉了） 牛。羊，鹅一天吃的就是 5/180 的原有草量和每天的长草 所以需要 1/（5/180）=36 天 这种方法比较巧，希望学员们认真阅读。开心学奥数专题训练：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已 知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可 供多少头牛吃 10 天？48、 48、雪帆奥数开心训练趣味思考题之鸡兔同笼变形题选 水果店运来苹果和梨共 200 千克，苹果每千克 3.4 元，梨每千克 3 元，已知苹果的总金额比 梨的总金额多 168 元，水果店运来苹果和梨各多少千克？雪帆奥数王老师分析： 最常见的鸡兔同笼问题， 大家或许都能明白和理解， 一旦变形， 很多孩子就不知道如何下手， 主要原因可能是没有理清思路，只是套取公式，那如何能解决问题呢。 这里我给出了以下解这种题的主要思路，请家长带着孩子好好阅读一下： 1、假设，可假设全是某个东西，或者他们相等，也就说只要符合题意，作任何假设都可以。 但一道题里千万不要同时作两个假设； 2、求出假设与实际的差（不同的地方，在数学中，不同的地方恰恰是我们处理问题的突破 口），这一步非常重要，变形的题可能有变化，关键是理清楚一点，这里如果能用“温度计 法”（雪帆定义：温度计法是指，当某个变化中，要研究两次变化的差，可参考温度计的使 用方法解决。比较容易理解和掌握。）给孩子讲解可能更好一点。 3、找出造成这个差的根本原因，并试着把它换回来。在找的时候，一定要和你做的假设联 系起来。并记住换的时候也会有所变化，就像这道题，以前我们做的简单题就是减，现在是 加，要重点理解，也可以根据温度计法理解和思考。 4、求出换了几次，把结果求出来即可。当然也有小同学提出了其他解法，和鸡兔同笼的思路不是太一样，但用到了假设，雪帆老师 依然把它归为鸡兔问题。 1、把差的 168 元想办法弄相等了，可去掉多的，也可以补上少的，这样就会引起总千克数 的变化。 2、根据两者钱数相等，可求出他们的千克数之间的关系，继而转化为倍数关系（高年级可 直接转化为比例关系）； 3、用和倍问题或者按比例分配解决即可。方法是灵活的，思路是开阔的，这样学习才能达到一定的目的。切记不要死记公式，那样是 百害而无一利。 有人觉得这道题怎么能和鸡兔同笼问题有关系呢？ 我举个例子，你就明白了： 鸡兔一共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 40 条，问你鸡兔各有几只？ 呵呵，是不是似曾相识啊？49、雪帆王老师给幼儿园两个班的孩子分水果，大班每人分得 5 个橘子和 2 个苹果，小 班每人分得 3 个橘子和 2 个苹果．王老师一共分出了 135 个橘子和 70 个苹果，那么小班有 多少个孩子？雪帆奥数王老师分析： 这道题你其实会发现一个有趣的东西，就是大班还是小班，每人分的苹果数都是一样的。 这样就可以求出大小班总人数。 继而转化为普通的鸡兔同笼问题，好玩吧。 那你就试试看。转化的技巧！50、 母女两人共带着 190 个鸡蛋到集市上去卖。 两人卖的鸡蛋数不同， 但卖得的钱数却相同。 女儿说：“要是你的鸡蛋换给我卖，我只能卖得 40.5 元。”母亲说：“如果我卖的鸡蛋和 你卖的一样多，我可以卖得 50 元。”母亲卖出（ ）个鸡蛋，女儿卖出（ ）个鸡蛋。 雪帆奥数王老师分析： 这道题，有一部分孩子想到了方程，不过设谁为未知数呢？是个非常头痛的一件事情。 我们不妨分析一下。 如果假设女儿是 x 个鸡蛋，那妈妈就是 190-x 个鸡蛋 假设女儿鸡蛋的单价为 y 元，那女儿卖得的钱就是 xy（遇到了二次方程，有点复杂!） 那妈妈鸡蛋的单价就是 xy/(190-x) (有人说，再假设妈妈鸡蛋的单价为 z 吧。也可以，那 xy=（190-x)z，字母多了，到时候也要消元。） 然后再根据 40.5 元，50 元列两个方程，这样就可以解出 x，y（和 z）。 当然，这个方程需要你有点毅力去解决它。相信小学生看到这么多未知数，头都大了。那我们就换一种方式，算术方法 算术方法吧。 算术方法既然是算术方法，就得把小学的一些知识点灵活应用了。为了让同学们看的比较清晰，我给 出了以下步骤和思考方式。（以下每一步请认真思考！） 1、“卖得的钱数却相同”，说明单价乘以相应的个数的积对应相等。这就意味着单价与个 数成反比，这可是一个技巧噢。 2、“女儿说：“要是你的鸡蛋换给我卖，我只能卖得 40.5 元。”母亲说：“如果我卖的鸡 蛋和你卖的一样多，我可以卖得 50 元。””我们可以让母亲、女儿以自己的价格卖所有的 鸡蛋 190 个，这样他们卖的钱数之差就是 50-40.5=9.5 元，所以单价差为 9.5/190=0.05 元/ 个。（这个很有意思吧。这可是奥数思维的魅力。） 3、女儿鸡蛋个数乘以妈妈鸡蛋的单价等于 50 元，而女儿鸡蛋的单价乘以妈妈的鸡蛋的个数 等于 40.5 元， 50×40.5 就是第一步中提到的乘积的平方。 那 所以第一步中花的钱数就是 45 元。（这个用分解因数的方法。初中叫开方。） 4、那妈妈要卖 190 个鸡蛋，需要卖 45+50=95 元，所以妈妈鸡蛋的单价是 0.5 元。所以妈妈 的鸡蛋的个数就是 45÷0.5=90 个。 5、女儿鸡蛋的单价就是 0.45 元，个数就是 100 个。51、 51、一道非常有意思的年龄问题 祖孙三人年龄加起 120 岁，祖父过的年数等于孙子过的月数，儿子过的星期数等于孙子过的 天数。问各几岁？120÷（12+7+1）=120÷20=6 岁，6×7=42（岁） ，6×12=72（岁）52、平均数问题任评：会画图。18/2=9 元 或 2*18/4=9 元。小明要收回的钱是比原计划买的笔少的几只笔的钱。而不是比小亮少的笔的钱。53、某商店出售两套服装,售价都是 600 元,一套是时令服装，可赚了 20%,另一套过时服装，要赔了 20%，该商品赚或赔多少元？这里你要知道一个公式 售价=成本*（1+利润率） 根据这个公式可求出成本各是多少，然后你自己即可比较是赔还是赚。53、 有一组数，分别有两个 1、两个 2、两个 3.......两个 49、两个 50，请问能否用以上数组成这样一个数 列：使得两个 1 中间有一个数、两个 2 中间有 2 个数、两个 3 中间有 3 个数....两个 49 中间有 49 个数、 两个 50 中间有 50 个数？54、市出租车起步价 3 元（即不超过一公里 3 元） 公里以后，每增加 1 公里，加收 1.4 元；停车 ，1 等待时，每分钟加收 0.1 元。一天小王乘出租车外出，途经一大商场时恰逢该商场举行十年店庆活动，道 路发生拥堵，在等候一段时间后，小王下车走过商场，换乘了另外一辆出租车，事后知道，如果当他一 遇到堵车时就立即换乘其他出租车的话会比实际花费少 0.4 元；但如果当时不换乘，停车等候一直到道路 疏通，就会比实际花费多 4 元，请问：从小王堵车开始到道路疏通经过了多长时间？（下车走过商场的 路程忽略不计） 。【分析与解】 （帅帅老师） 如果当他一遇到堵车时就立即换乘其他出租车的话会比实际花费少 0.4 元 说明他是在堵了 0.4÷0.1=4（分）之后开始换车的。 如果不堵车，换乘的话是应该比不换乘多 3-1.4=1.6（元） 现在不换乘，停车等候一直到道路疏通，反倒比换乘实际花费多 4 元， 那就是说明后续等待花费了 4+1.6=5.6（元） 5.6÷0.1=56（分） 所以堵车到疏通经过 56+4=60（分） 【总结】 这是简单的一道应用题，题目中后续等待时间是难点。55、甲、乙、丙三种长方体木块的尺寸如下，现有 14 块乙种木块和足够多的丙种木块，如要用这三种木 块拼成 10 个棱长是 3 的正方体，那么至少要用（ ）块甲种木块 长 甲 乙 丙 2 3 2 宽 1 1 2 高 1 1 1【分析与解】 （帅帅老师） 丙体积为 4，甲体积为 2，一个棱长是 3 的正方体共有 3*3*3=27 ， 由奇偶性可知，只用甲和丙没法拼成，且必有奇数个乙块。 按乙的块数讨论， 有以下几种可能： 第一种： 丙 5 甲 2 乙 1 ； 第二种： 丙 4 甲 1 乙 3； 第三种： 丙 2 甲 2 乙 5； 乙 7 块时，最多能拼 1+（14-7）=8 块正方体，乙就用完了。所以排除。 乙 5 块时，用的甲跟乙 1 块时用的甲一样多，所以也不考虑。最后只有两种情况。 且 10 块立方体中，第二种用的甲少，要尽量曲满足第二种。 当用第二种拼三个时，能拼 3+（14-3*3）=8，拼不够 10 个 当用第二种拼二个时，能拼 2+（14-3*2）=10 ，恰好满足，且乙用完。为解。 此时，两个由第二种拼，8 个由第一种拼，共用甲 2*1+2*8=18 块 答：至少要用 18 块。 【总结】 这个题目还是较复杂，用到的知识点较多，这几种情况就要用到不定方程。56、 56、三年级高思学校导引 P。56 页第 8 题 。王老师给小区的一些小朋友发游戏卡，这些小朋友得到的卡片数目恰好构成一个等差数列，小高发现自 己分到的最少，王老师给小高加了 36 张，这时所以小朋友的卡片数也构成等差数列，变化后，默默的卡 片最少， 于是向王老师要来 18 张， 这是所有的小朋友的卡片数仍构成等差数列， 又已知在发卡的过程中， 每个小朋友手中的卡片没有超过 100 张，而且刚开始时有人拿的卡片数超过了 90 张，请问：王老师开始 发给默默的卡片比小高的多几张？回复：首先画图尝试确定人数。 如果有四个人或更多，那么每次调整后公差无法改变，只能是最少的人变成最多的 但是 36 和 18 数量不同。矛盾因此其实只有三个人…… 接着画图尝试有多少种可能的变化情况，注意 36 和 18 是两倍关系。57、一正立方w的 8 c中任取三c可B成三角形， c中任取三c可B成三角形， @些三角形中有是正三角形？回复：假如正方w的L是 a，t 1 c必可作一L是(√2)a 的正三角形，而正方w有 8
c，所以共 8 。任评：虽然据说答案是 8 个。但感觉有重复。存疑。任注：似乎应该是：每个顶点可连出 3 条对角线，任取 2 条就可确定一个正三角形，C(3,2)=3,所以是 3*8=24 个，但重复算了 3 次，所以是 24/3=8 个。58、某次数学比赛，分两种方法给分：一种是答对一题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种 是先给 40 分，答对一题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分。某考生两种判分方法均得 81 分，这次比赛 共有______道题？回复 （JAMEHO ） 设对 a、 b、 c， 5a+2b=81 : 空 错 则： （1） 3a-c+40=81 ， （2） 两式相减得： 2a+2b+c=40（3），由（2）式，41+c 能被 3 整除，由（3）式 c 能被 2 整除，尝试法：c=4，a=15，b=3，合计有题 22 道最值问题1、 回复二：可以用鸡兔同笼：如果 15 道题全对，是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=120（分） 120-90=30（分） 他有 30 分没得着。 要想对的最多，是 14 道。30=15*2 15-1=14（道） 要想对的最少，是 10 道.30=1*2+2*2+3*2+4*2+5*215-5=10（道）2、任评：解法非常巧妙！3、08 年走美杯五年级决赛题4、08 年走美杯六 年级决赛题5、6、回复：任注：据说答案不是 A.9、一个三位数除以 43，商是 a，余数是 b，（a、b 均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题） 分析与解： 分析与解：分析法 若要求 a＋b 的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b 尽可能大。 由乘除法关系得 43a＋b=一个三位数 因为 b 是余数，它必须比除数小，即 b＜43b 的最大值可取 42。根据上面式子，考虑到 a 不能超过 23。（因为 24×43＞1000，并不是一个三位数） 当 a=23 时，43×23＋10=999，此时 b 最大值为 10。 当 a=22 时，43×22＋42=988，此时 b 最大值为 42。 显然，当 a=22，b=42 时，a＋b 的值最大，最值为 22+42=64。10、某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有 9 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开 出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。 为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？（北京市“迎春杯”数学竞赛试题） 分析与解 图表法 根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为 （10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人） 所以这辆汽车至少应有座位 30 个。11、用 2 到 9 这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。分析与解 用 2、3、4、5、6、7、8、9 这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9 和 8 应分别作两个数的千位数，7 和 6 应分别作百位数，但 7 和 6 分别放在 9 和 8 谁的后面 呢？ 因为：97+86=183，96+87=183，它们的和相等。又有： 97-86=11，96-87=9显然，96 与 87 之间比 97 与 86 之间相隔更少，更相近。所以，96 与 87 的乘积一定大 于 97 与 86 的乘积。 所以，7 应放在 8 后面，6 应放在 9 后面。 同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是 9642 和 8753。它们的积是 =学而思教材 应用题综合
逻辑判断补充题巩固精炼三年级尖儿的连续剧--“和差倍（ 老师） 三年级尖儿的连续剧 和差倍（巨人小 P 老师） 和差倍 第一集 第一集 和倍基础“铃~~~~~~”“唉真烦，国庆这么快就过去了，不想起床啊啊啊啊啊！”“呀！~@#￥又掉了一根头发，” “还掉了一根眉毛 ，可怜的头发眉毛啊， 你们就这样脱离组织了！ ”“诶？我的一根头发有 6 根眉毛那么长， 一根头发和一根眉毛一共长 63 毫米！ ”“傻兔子，不起床拿着直尺发什么呆啊！快刷牙洗脸拉臭吃饭！！ ” 兔妈妈着急的怒吼着。 ！“妈妈早上吃什么哦？ ”“青青草炒绿绿草！一共炒了 420 根呢！ ！我炒得时候，扔一份青青草，就再加 4 份绿绿草，可香呢 ，快来吃吧，全吃光哦！”兔兔吃干净了所有的盘盘，开心的主动听了一会英语故事~第一集有奖问答：“1 傻兔兔的头发比眉毛长多少毫米？ 2 兔兔吃的绿绿草比青青草多多少根？”什么叫和倍问题？ 什么叫和倍问题？两个量，题目会告诉你们和是多少，倍数关系是怎样的，求这两个量分别是多少？ 这两个量里面有一个最小的量是最重要的，他的名字叫“一倍量”！ 他一般出现在“X 是 X 的几倍”“X 比 X 的几倍多几”中，“是”“比”两字的后面。我们用线段图来帮助我们解题，也有厉害的小朋友线段图就在自己聪明发达的大脑里！ 用哪句话来画图呢？？ 倍数关系那句话！！ ！！记得和倍要在图里标上“和”噢~~观察自己画的图，看看图中一共几份？所以和就是那么多份，怎么求一份？（平均分！ ）如果妈妈记错了，她不仅炒了青青草，绿绿草，还在菜里放了肉丝和胡萝卜丝， 四种原料一共有 780 根，其中“草”比“丝”多放了 3 倍，“草”的数量是肉丝的 6 倍，每次放 2 捆绿绿草就加 1 捆青青草，绿绿草比胡萝卜丝多多少根？公布昨日和倍基础答案1 眉毛与头发的问题 63÷（6＋1）×（6－1）=45（毫米） 2 青青草和绿绿草的问题 420÷（4+1）×（4-1）=252（根）关于肉丝炒菜题 关于肉丝炒菜题1首先要解决“草”（青青草与绿绿草的和）“丝”（肉丝与胡萝卜丝的和）之间的和倍问题。和是 780 跟，草比丝多 3 倍→草是丝的 4 倍，从而很简单的求出草的和，也能求出丝的和。 780÷（3+1+1）=780÷5=78×2=156（根）这是求出的一倍量“丝” 780-156=624（根） 这是求出了多倍量“草”可我们要求绿绿草-胡萝卜丝， 可我们要求绿绿草-胡萝卜丝，还得继续2 现在我们有了“草”之和，也有了“丝”之和 “草”624 根是肉丝的 6 倍，求肉丝。这是一道归一问题，知道 6 倍求一倍量，用除法。 624÷6=104（根） 知道肉丝了自然也就知道胡萝卜了，用“丝”－肉丝 156－104=52（根）3、现在再解决“草”的内部问题 现在再解决“两种草的和，也就是“草”是 624 根，绿绿草是青青草的两倍（因为每次绿绿草会放 2 份，自然是青青草放 1 份的两倍） ，再来一道和倍问题！ （知道“和”知道“倍”就是和倍） 624÷（2+1）×2=416（根）就得到两倍量绿绿草咯！最后一步啦！！ ！！ 416－52=364（根） 绿绿草－胡萝卜丝=364 根第二集 差倍问题之移多补少找差插播广告一则“森林有奖竞猜： 1 羊羊的草比兔兔的 3 倍多 8 根，她俩一共有 288 根，问羊羊有多少根？（去尾和倍，综合算式！ ） 2 猪猪与兔兔共有 373 根草，如果猪猪再买来 7 根草，就是兔兔的 4 倍了，问现在猪猪有多少根草？（补 尾和倍，综合算式！ ）本次竞猜活动由巨人牌牛板筋赞助播出~” 傻兔兔听英语听的太认真，才发现上学就要迟到啦！他一脚蹬上一只轮滑鞋，飞奔到森林学校。 刚刚到校门口，就遇到了他的同桌愣兔兔 愣兔兔过了个十一假，变得更加神情恍惚，好像梦游一样飘到了学校大门前，见了傻兔兔都不知道打招 呼。“喂！你怎么不理我呀？睡醒没有！”愣兔兔回过神来，慢悠悠地说：“傻兔，你书包上的勋章怎么就剩下 这么少的几个了？原来我们不是一样多的吗？” 傻兔听了更无奈了“你怎么这么健忘啊？放假前你不是刚跟我借走了 27 个吗？(t_s)#你还以为你书包上 那么多，全是你自己表现好得来的啊！” “我早上吃了太多都忘记了，你看现在如果拿掉我书包上的 2 个，我书包上剩下的就是你的 5