【图片】【线性代数复习】
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【线性代数复习】
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我这个随便写的 就是我乘上去的（2i-b)的逆究竟是放C的左边还是右边 ？不是说左右不同的话结果不一样吗
右边 当且仅当c为单位矩阵是左右乘相同
这两种哪一种是对的呢？ 为什么呢？
右边对。因为矩阵乘法不满足交换律，左边化简第一步就错了。
因为AB不等于BA,不能够将b往左边提。
你知道(a×b)^2怎么算吗，是外积，已知a,b夹角60度，a的膜=1，b的膜=2
这个X=A(A+I)可以吗？ 还是跟上面问题一样的左乘右乘问题
求通过曲面x2+y2+4z2=1和x2=y2+z2的交线，而母线平行于z轴的柱面方程这道题能帮我做一下吗 最好有过程 这题我不怎么懂
有一个问题！ 一个n*1的列矩阵A和一个1*n的行矩阵B矩阵相乘要是矩阵需要第一个矩阵的列数等于第二个的行数
所以AB是个矩阵那么BA B的列数是N
A的行数不也是N吗？
为什么乘出来的是数？
课本上关于矩阵乘法的定义，mxn的矩阵与nxk的矩阵相乘，结果为mxk的矩阵。建议去网易公开课上看mit的线性代数视频，看个一遍这些问题你都不会有了。
第一张图里的为什么第一列是A11 A12 ? 第二行第一个不应该是A21吗
楼上的那个问题有人能帮我解答一下吗 万分感谢
这两道题能帮我做一下吗！
这道题答案是t不等于3 我算出来的是-3
不知道为什么
帮我看一下好吗
我补考过了
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线性代数电子教案,线性代数 教案,线性代数,线性代数第五版答案
第一篇:线性代数电子教案线性代数
线性代数电子教案
编 制 主 讲
四川农业大学生命科学与理学院
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第0章 第一章 第二章
前 言 行 列 式 矩 阵
n维向量及其线性相关性
线性方程组
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?本课程的性质、作用和任务
?学习线性代数的具体要求、重点和难点
?线性代数的学习方法
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本课程的性质、作用和任务
一、关于《线性代数》
线性代数是数学的一个分支。它的研究对象是向
量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的
线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因 而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中； 通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的 理论已被泛化为算子理论。
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本课程的性质、作用和任务
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性 模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学
中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在
考研中的比重一般占到22%左右。不仅如此，该学科所体现的几何观念与代数方法之间 的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法，以及严谨的 逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对强化人们的数学训练， 增益科学智能都是非常有用的。
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二、发展史
本课程的性质、作用和任务
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基 本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线 性代数的领域还只限于平面与空间。十九世
纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩
阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当 的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚
诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量
空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广 到任意体上的最一般的向量空间中。四川农业大学生命科学与理学院
本课程的性质、作用和任务
三、在数学中的地位
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空 间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线 性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数 学名著《九章算术》）。1、线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重 要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
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本课程的性质、作用和任务
2、在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助 设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论 和算法基础的一部分； 3、该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具 体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙 的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能 是非常有用的；
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本课程的性质、作用和任务
4、随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，
还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多
数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问 题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
关于教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方 程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同， 起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加 了困难。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
?行 列 式 (1)掌握n阶行列式的概念；
(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练
地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；
(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。
重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字 母行列式的计算。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。
重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
?n维向量及其线性相关性
（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线
性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系
的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。
重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组 的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如何求 向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。
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?线性方程组
学习线性代数的具体要求、重点和难点
(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消
去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；
(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；
(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；
重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
?对称矩阵与二次型
(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；
(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；
(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。四川农业大学生命科学与理学院
学习线性代数的具体要求、重点和难点
重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。
难点是惯性定理及正交法。
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线性代数的学习方法
1、攻克“抽象化”堡垒 2、占领“一般性”阵地
3、增强论证能力
4、掌握全局和局部的关系
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?行列式及其性质
?克莱姆法则
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通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的概 [教学目的]:
念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解“整”
线性方程组. [重 点]: 行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。
[难 点]： 高阶行列式及字母行列式的计算。[学时数]： 6学时
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行列式及其性质
一、2、3阶行列式的定义：
引进符号：
? a11a22 ? a21a12
并称之为二阶行列式。其中
aij (i ? 1,2; j ? 1,2)
i――行标；j――列标
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同理，符号：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ? a11a22a33 ? a21a32a13 ? a12a23a31 ? a13a22a31 ? a23a32a11 ? a33a21a12
称为三阶行列式。
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二、2 、3阶行列式与线性方程组的关系
设有两个未知数的线性方程组：
a11 x1 ? a12 x2 ? b1 a21 x1 ? a22 x2 ? b2
其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该 线性方程组的系数行列式，记为D
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a11 a12 a22
利用消元法解(1.1)得：
b1a 22 ? a12 b2 D1 x1 ? ? a11a 22 ? a12 a 21 D a11b2 ? b1a 21 D2 x2 ? ? a11a 22 ? a12 a 21 D
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三、n阶行列式的定义 除前面介绍的二、三阶行列式的完全展开式
外，高阶行列式更适合用按列展开。即：
定 义：一阶行列式定义为|a11|=a11；当n≥2时，假 定n-1阶行列式已定义，则 n 阶行列式定义为：
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a11 a12 ? a1n Dn ? a21 a22 ? a2n ? ? ? ? an1 an 2 ? ann
a22 ? a2n ? ( ?1)1?1 a11 ? ? an 2 ? ann
a12 ? a1n ? an 2 ? ann
? ? ( ?1) 2?1 a21 ?
? ? ? ? ( ?1) n ?1 an1 ?
an ?1,2 ? an ?1,n
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其中元素aij的余子式是指：在Dn中去掉aij所在的行和 列、剩下元素构成的一个n-1阶行列式。记为Mij 元素aij的代数余子式
Aij ? (?1) i ? j M ij
D n ? (?1) 2 a11M 11 ? (?1) 2?1 a21M 21 ? ? ? (?1) n ?1 an1M n1 ? ? (?1) i ?1 ai1M i1
或 Dn ? a11 A11 ? a21 A21 ? ? ? an1 An1 ? ? ai1 Ai1
可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即
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Th1：n阶行列式|Dn| 等于它的第一行元素与它们 对应的代数余子式的乘积之和。
| Dn |? a11 A11 ? a12 A12 ? ? ? a1n A1n ? ? a1 j A1 j
证明：用数归纳法 （1）n=2时，显然成立 （2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。
? Dn |? ? ai1 Ai1 ? a11M 11 ? ? ai1 (?1) i ?1 M i1 ? (*) |
其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有：
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a12 a22 ? M ij ? ai ?1, 2 ai ?1, 2 ? ak 2
a13 a23 ? ai ?1,3 ai ?1,3 ? ak 3 ? ? ? ? ? ? ?
1? ( j ?1)
a1k a2 k ? ai ?1, k ai ?1, k ? akk ? ? ( ?1) a1 j ( M i1 )1 j
? ? a1 j ( M i1 )1 j ( ?1)
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代入（*）得：
? A |? a11 M 11 ? ? ( ?1) |
i ?2 k k i?2 j ?2 k
ai1[ ? a1 j ( M i1 )1 j ]
? a11 M 11 ? ? ? ( ?1) i ?1? j ai1a1 j ( M 1 j ) i1 ? a11 M 11 ? ? ( ?1)
j ?2 k 1? j
a1 j [ ? ( ?1) i ai1 ( M 1 j ) i1 ]
? a11 M 11 ? ? ( ?1)
a1 j M 1 j ? ? a1 j A1 j
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四、行列式的性质（以三阶行列式为例）
性质1：行列式转置后，其值不变。
a11 D? a21 ?
? a1n ? ? ,D ?
a11 a12 ? a1n
a21 ? a n1 a22 ? an 2 ? ? ? a2 n ? ann
a22 ? a2 n
an1 an 2 ? ann
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性质 2：互换行列式的两行（列），行列式的值改变 符号。
推论 1：行列式D中有两行（列）的对应元素完全相 同，则这个行列式的值为零。
性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，
可以提到行列式符号外。
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推论 2：若行列式有一行（列）的元素全为零，则
这个行列式的值为零。
推论 3：若行列式有一行（列）的元素对应成比例，
则行列式的值为零。
性质 4：若行列式某一行（列）的元素加上另一行 （列）相应元素的k倍，则该行列式的值不变。
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性质5：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，
则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的 该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1
项、第2项，其它位置的元素不变。
性质6：行列式D等于它任意一行（列）的元素与它
的代数余子式的乘积之和。性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）
对应元素的代数余子的乘积子和为零。
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0 a 22 ? an 2 ? ? ?
0 0 ? a nn
例1：计算下三角行列式
a11 D? a 21 ? a n1
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解：按第一行展开得：
a22 D ? a11 a32 ? an 2
0 a33 ? an 3
? ? ? a11a22 ? ann
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a D ? a a b
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解一：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得：
a D? 0 a b?a
b a ?b b 0
a ? (?1) 2?3 (a ? b) a b?a
a ? (b ? a ) a 1
b 1 ? a (b ? a ) 0
? a(b ? a) 3
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解二: 利用Mathematica软件 In[1]:=
8 & & & 8 8 8 @ D
a, b, b, b , a, b, a, b , a, a, b, a , b, b, b, a
Out[1]:= In[2]:= Out[2]:=
-a + 3 a b - 3 a b + a b
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1 2 2 1 3 3 3 3 3 1 4 4
4 4 4 1 5 5 5 5 5 1
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解一：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：
15 15 D ? 15 15 15
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1 1 ? 15 1 1 1
1 0 ? 15 0 0 0
2 ?1 1 1 1
4 0 0 ?3 1
3 0 ?2 1 1
5 0 0 0 ?4
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?1 ? 15 1 1 1
0 ?2 1 1 0 0 ?3 1
? 15(?1)( ?2)( ?3)( ?4) ? 15 ? 4!? 360
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解二：利用Mathematica软件
8 &8 & & & & 8 8 8 @ D
1, 2, 3, 4, 5 , 2, 1, 3, 4, 5 , 2, 3, 1, 4, 5 , 2, 3, 4, 1, 5 , 2, 3, 4, 5, 1
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解：In[]：=
8 & & & & 8 8 8 @ D
- 2, 5, -1, 3 , 1, - 9, 13, 7 , 3, - 1, 5, 5 , 2, 8, - 7, -10
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0 x ? 0 ? 0 ? 0 ? ? ? x 0 0 0 ? ?1
例5： 证明n阶行列式:
?1 x 0 ? 0
? x ? a1 x
? ? ? an ? f n ( x)
an an ?1 an ? 2 ? a2 x ? a1
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等式左边第n列乘x加到第n-1列,(所得结果的)第
n-1列乘x加到第n-2列, …, 第2列乘x加到第1列得:
?1 0 0 ? 0 f n ?1 ( x)
0 ?1 ?1 ? 0
0 0 0 ? ?1 f1 ( x)
0 ? 0 f n ( x)
f n ? 2 ( x) ? f 2 ( x)
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? f n ( x) ? 0 ?
? f n ( x)( ?1)
? f n ( x)
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例6 证明范德蒙行列式(n≥2)
1 x1 Vn ? x x
? ? ? ? ? x
? ? ( xi ? x j ),
1? j ?i ? n
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? x2 ? x1 , 结论成立。
设对于n-1阶结论成立，对于n阶：
1 0 Vn ? 0 ?
1 x2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 ) ?
1 x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 ) ?
1 xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?
n n n 0 x2 ? 2 ( x2 ? x1 ) x3 ? 2 ( x3 ? x1 ) ? xn ? 2 ( xn ? x1 )
（逐行减去上面相邻行的 x1 倍） 四川农业大学生命科学与理学院
x2 ? x1 ? x2 ( x2 ? x1 ) ?
n x2 ? 2 ( x2 ? x1 )
x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 ) ?
? ? ? xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?
n-1阶范德 蒙行列式
n n x3 ? 2 ( x3 ? x1 ) ? xn ? 2 ( xn ? x1 )
1 ? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 ) x2 ?
n n x3 ? 2 ? xn ? 2
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2? j ?i ? n
Vn ? ( x 2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ? ( x n ? x1 ) ?
1? j ?i ? n
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(a ? 1) n ( a ? 2) n ( a ? 2) ? a?2 1
( a ? n) n
例7：利用范德蒙行列式计算:
? ( a ? n) ? ? ?
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1 1 a ?1 ? (a ? 1)
n ?1 n ( n ?1) 2
? ? 1 (a ? n ? 1) ? ? (a ? n ? 1)
1 a?n ? ( a ? n)
解原式= (?1)
? (a ? n ? 1) n
( a ? n) n
n ( n ?1) 2
0? j ?i ? n ?1
?[(a ? i) ? (a ? j )]
n(n ? 1) ? (?1) ? n!(n ? 1)!? 2! 2
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例8：计算下列n阶行列式:
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a x ? a ? ? ? a a ? x
解: 从第二列起,以后各列加到第一列得: 原式= [ x ? ( n ? 1) a ]
1 ? [ x ? (n ? 1)a] ? 0
? [ x ? (n ? 1)a]( x ? a)
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2 ?1 2 ? 0 ? ? ? ?
n ?1 0 0 ? n ?1 n 0 0 ? 1? n
例9：计算下列n阶行列式;
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解: 第n-1列加第n列的一倍, 第n-2列加第n-1列的一
1? 2 ??? n 0 0 ? 0 2 ? 3 ? ? ? n ? 2n ? 1 ?1 0 ? 0 ? ? ? 0 0 ? 0
n 0 0 ? 1? n
n(n ? 1) (?1) ? (?1)( ?2) ?[?(n ? 1)] ? 2 2
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1 ? a1 Dn ? a1 ? a1 a2 ? a2
? ? an an ?
解： （加边法）
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1 Dn ? 0 ? 0
1 ?1 ? ?1 ? ?1
a1 a1 ? a1
a1 1 0 ? 0 a2 0 1 ? 0
? ? ? ? an an an ?
a2 a2 1 ? a2 ? a2
an 0 0 ? 1
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a1 1 0 ? 0 a2 ? an 0 1 ? 0 ? ? ? ? 0 0 ? 1
? 1 ? ? ai
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克莱姆法则
对于2、3阶时的克莱姆法则，可推广到n阶的情况。设n个未知数、n个方程的线性方程组为：
a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 a 21 x1 ? a 22 x2 ? ? ? a 2 n xn ? b2 ? a n1 x1 ? a n 2 x2 ? ? ? a nn xn ? bn
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a11 D? a 21 ? a n1
a12 a 22 ? an 2 ? a1n ? ? a nn ? a2 n
记系数行列式为
a11 ? a1, j ?1 b1 a1, j ?1 ? a1n Dj ? a21 ? a2, j ?1 b2 a2, j ?1 ? a2 n ? ? ? ? ? an1 ? an, j ?1 bn an, j ?1 ? ann
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, ( j ? 1,2,...n)
Th1.2（克莱姆法则）：若方程组（I）的系数行列式
D≠0，则（I）有唯一解：
Dn D1 D2 x1 ? , x2 ? , ?, xn ? D D D
证明：分别用 A1 j , A2 j ,? Anj 乘方程组（I）的第1、第2、…第n个方程，然后 相加得：
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(a11 A1 j ? a21 A2 j ? ? ? an1 Anj ) x1 ? ? ? (a1n A1 j ? a2n A2 j ? ? ? ann Anj ) xn ? b1 A1 j ? b2 A2 j ? ? ? bn Anj
据性质6，7有：
D? xj ? Dj ? xj ?
（j=1，2，…,n）
因(I)的解必是(II)的解，而(II)仅有唯一解 xj=Dj/D, 将其唯一解代入(I)验证也是(I)的解。所 以原方程有唯一解。
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[拉普拉斯定理]*
1、行列式D的k阶子式M： 任选D中k行k列，位于其交叉点元素按原来顺序
排列成的一个k阶行列式。2、M的余子式N：
划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序排成
的一个n-k阶行列式。
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3、M的代数余子式A： 在 N 之前冠以一个符号，符号由下式决定
(i ? i ??? i ) ? ( j ? j ??? j )
1 2 k 11 2 k
其中 (i1 , i2 ,?ik , j1 , j2 ,? jk ) 表示 M 在D中的行标和列标。
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a11 a12 D?
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a 42 a43 a44
( 2?3) ? (1?3)
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2 0 1 0 2 1 0 ?1 0 1 ?1 2 1 ?1 1 1
S1 ? 0 1 1 ?1
1 0 1 M1 ? 0 1 2 0 1 1
1? 3 ? 2 ? 3
A? 0 1 0 1
0 2 ?2 1 2
A1 ? ?? 1?
M2 ? 1 0 0 1
M1 ? ? M1 ,
A2 ? ?? 1?
1? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 5
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[拉普拉斯定理]： 在n阶行列式D中，任意取定k行、k列后，由 这k行、k列元素所组成的一切k阶子式与它的代 数余子式的乘积之和等于行列式D。
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1 0 ?1 0 1
例1 计算 D ? 0 1 ? 1 2 1 0 2 ?2 1 2
0 1 ?1 1 1
解：按1，2行展开，不为零的二阶子式为
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1 2 ? 0， 1 ?0
A1 ? ( ?1)1? 2?1? 3 2 1 0 A2 ? ( ?1)1? 2? 3?5 0 0
所以，D = 0.
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c11 c12 ? c1n
b12 b22 ? bn 2 ? b1n ? b2 n ? ? bnn
4、行列式乘法
a11 D1 ? a 21 ? a n1 a12 a 22 ? an 2 ? a1n ? ? a nn , D2 ?
b11 b21 ? bn1
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D1 ? D2 ? C c11 ? c21 ? cn1 c12 c22 ? cn 2 ? c1n ? ? cnn , cij ? ? aik bkj
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例1：问线性方程组
x1 ? x2 ? x3 ? 1 ax1 ? bx2 ? cx3 ? d a x1 ? b x2 ? c x3 ? d
其中a、b、c满足什么条件时，才可以用克莱姆法 求解？并解之。
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1 b?a b ? ab
1 c?a c ? ac
? (b ? a)(c ? a)
? (b ? a)(c ? a)(c ? b)
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1 b b2 1 d d2 1 b b2 1
当D≠0时，即a≠b≠c时，才能用克莱姆法则求解，且：
1 D1 ? d d2 1 D2 ? a a2 1 D3 ? a a2
c ? (b ? d )(c ? d )(c ? b) c2 1 c ? (c ? a )(c ? d )( d ? a ) c2 1 d ? ( d ? a )(b ? a )( d ? b) d2
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D1 (b ? d )(c ? d ) x1 ? ? D (b ? a )(c ? a ) D2 (c ? d )( a ? d ) x2 ? ? D ( a ? b)(c ? b) D3 ( a ? d )(b ? d ) x3 ? ? D (c ? a )(c ? b)
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例 2：用克莱姆法则解下列线性方程组
0.2 x1 ?0.3 x2 ? 49 ? x1 0.5 x1 ? 0.2 x2 ? 24.5 ? x2
解：变形原方程为标准形式得：
1.8 x1 ? 0.3 x2 ? 49 0.5 x1 ? 1.8 x2 ? ?24.5
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d= d1 = d2 =
Det d1 Det d2
8 & & 8 & & 8 & 8& & 8 8 & 8 & 8 8 @ D @ D @ D
1.8, - 0.3 , 49, - 0.3 , 1.8, 49 , 0.5, - 1.8 ; - 24.5, - 1.8 ; 0.5, - 24.5
-3.0003` -95.9971`
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?矩阵的概念 ?矩阵的运算 ?逆方阵
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[教学目的]： 通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的 概念及一系列的运算，为以后各章打下坚 实的基础。初步了解Mathematica软件包的
一些矩阵运算。
[教学重点]：矩阵概念及矩阵的初等变换。[难 点]： 有关定理的证明（可不重点要求）
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矩阵的概念
一、定义2.1： 由m×n个数aij（i=1,2,…m;j=1,2,…n)所排成数表:
? a11 ?a ? 21 A? ? ? ?a ? m1
a12 a 22 ? am 2
a1n ? ? a2 n ? ? 称为m×n矩阵. ? ? ? ? a mn ? ?
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A ? (aij ) m?n
A ? (aij ), Am?n
几种常见的特殊矩阵: ?行矩阵（n维行向量），即m=1时：
A ? (a11 a12 ? a1n )
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? a11 ? ? ? ? a 21 ? ?列矩阵（m维列向量），即n=1时： A ? ? ? ? ? ?a ? ? ?方阵，即m=n时 ? m1 ?
? a11 a12 ? ? a21 a22 A?? ? ? ? ?a ? n1 an 2
? a1n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? ? ann ?
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?：上三角形矩阵、下三角形矩阵
?2 ? ?0 ?0 ? ?0
1 ? ? 1 ? ? ? 1? ? 2 ， 2 ? ?? 3 ? ? 1 ? ? 1
0? ? 0? 0? ? 1?
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? ? ? ? ? ? 0 ? 0 ? ? ?a 11 ? ? ? ? ?0 a nn ?, ? ? 0 ? ? ? ?0 ? ? 0 ? ?
?对角形矩阵（不是方阵），如：
?a11 ?0 ? ? ? ? ?0 ?0 ? ? ? ?0 ? 0 a 22 ? 0 0 ? 0
0 a 22 ? 0
0 ? 0? 0 ? 0? ? ? ? ?? ? 0 ? 0?
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?a11 ?0 ??? ?? ? ?0 0 a22 ? 0
0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ann ? ?
? diag ?a11 a22 ? ann ?
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?单位矩阵I
?1 0 ? 0? ?0 1 ? 0? ?1, i ? j ? ? (? ij ) n , ? ij ? ? I ?? ?? ? ? ?? ?0, i ? j ? ? ?0 0 ? 1?
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?数量矩阵kI
0 ? 0? ?k ? 0 k ? 0? ?, k ? 0 kI ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? k?
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0 ? 0? ?0 ?0 0 ? 0? ? 0?? ?? ? ? ?? ?0 ? 0 ? 0? ?
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几种特殊矩阵的Mathematica软件命令：
In[1]:= Out[1]:= In[2]:= Out[2]:=
@&& 8D 8& & 88
DiagonalMatrix
x, 0, 0 , 0, y, 0 , 0, 0, z
MatrixForm %
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x 0 0 0 y 0 0 0 z
例:定义一个四阶的下三角形矩阵
Out[3]:= In[4]:= Out[4]:=
@ D& @ 88 8 & &@ 8 8D & 8
Table If i &= j, i + j - 1, 0 , i, 4 , j,
1, 0, 0, 0 , 2, 3, 0, 0 , 3, 4, 5, 0 , 4, 5, 6,
MatrixForm %
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1 2 3 4 0 3 4 5 0 0 5 6 0 0 0 7
矩阵的线性运算
一、矩阵的相等 设
A ? (aij ) m?n , B ? (bij ) m?n
aij ? bij , (i ? 1,2,? j ? 1,2? n)
则称A与B相等。记为 A=B
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?1 B?? ?y x 3? ?, 1 z?
? 1 2 3? A?? ?, ? 3 1 2?
已知 A ? B, 求 x , y, z .
? x ? 2, y ? 3, z ? 2.
注意：对于同型矩阵才有意义.
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? 2 1? ? 1? 例如，A ? ? ?与B ? ? ?不能相加. ? 1 1? ? 1?
? 1 0 1? ? 1 1 0? ? 2 1 1? ? ??? ??? ? ? ? 1 1 2? ? 0 1 0? ? ? 1 2 2?
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二、矩阵的加减法
设A、B如上定义，则定义：
A ? B ? (aij ? bij ) m?n
加法运算律：
A? B ? B ? A ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) A?0 ? A
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三、数与矩阵的乘法
k A ? Ak ? (k aij ) m?n , ?k ? R
例， A ? (?1) A ? (? aij ), ? ?1 2? ?0 ? 2? ? 2 ??? ? ?0 1? ? 4? ? ? 2?
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矩阵的线性运算满足如下八条性质：
A? B ? B? A
( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) A?O ? A A ? ( ? A) ? O 1A ? A k ( lA) ? ( kl ) A k ( A ? B) ? kA ? kB ( k ? l ) A ? kA ? lA
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四、矩阵的乘法 例2 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季 度各40万台，20万台，30万台, 第二季度各30万
台， 10万台， 50万台，每万台的利润分别是400
万元， 300万元， 500万元， 第一、二季度各类
产品的利润是多少 ?
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? 40 20 30 ? 产量矩阵 A ? ? ? ? 30 10 50 ?
? 400 ? ? ? 单位利润矩阵 B ? ? 300 ? ? 500 ? ? ?
? 40 ? 400 ? 20 ? 300 ? 30 ? 500 ? 利润矩阵 C ? AB ? ? ? 30 ? 400 ? 10 ? 300 ? 50 ? 500 ? ? ? ?
? 37000? ?? ? ? 40000 ?
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设 则定义： 其中：
A ? (aij ) m?n , B ? (bij ) n? p
AB ? (cij ) m? p
cij ? ? aik bkj , (i ? 1,2,? j ? 1,2,? p)
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?1 A?? ?2 2 0 3 1
?1 0 ?? 1 1 4? ? ?, B ? ? 4 1 5? ?2 3 ?
2? 3? ? 0? ? 4?
求AB 解一：
?19 ?? ?16
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解二：利用Mathematica软件（命令为：A.B）
1, 2, 3, 4 , 2, 0, 1, 5 ;
8 &8&&& & &88 88 8 &@ 8D &
19, 17, 24 , 16, 16, 24
1, 0, 2 , - 1, 1, 3 , 4, 1, 0 , 2, 3, 4 ;
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矩阵乘法运算律：
A( BC ) ? ( AB )C ( A ? B )C ? AC ? BC A( B ? C ) ? AB ? AC k ( AB ) ? ( kA) B ? A( kB)
（左分配律）
（右分配律）
( A ? B)C ? AC ? BC 选证 证明: 设
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A ? (aij ) m? p , B ? (bij ) m? p , C ? (cij ) p?n
则 再设 其中:
( A ? B) ? (aij ? bij ) m? p
( A ? B)C ? (?ij ) m?n
?ij ? (ai1 ? bi1 )c1 j ? (ai 2 ? bi 2 )c2 j ? ? ? (aip ? bip )c pj
? (ai1c1i ? ai 2 c2 j ? ? ? aip c pj ) ? (bi1c1 j ? bi 2 c2 j ? ? ? bip c pj )
AC ? (kij ) m?n , BC ? (lij ) m?n
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AC ? BC ? (kij ? lij ) m?n
kij ? ai1c1 j ? ai 2 c2 j ? ? ? aip c pj lij ? bi1c1 j ? bi1c2 j ? ? ? bip c pj
? kij ? lij ? ?ij ? ( A ? B)C ? AC ? BC
矩阵乘法不满足交换律!
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例2: 证明对任意矩阵 Am×n，有AI=A, IA=A 证明: 设 A ? (aij ) m?n , I n?n ，则
? a11 a12 ?a ? 21 a22 AE ? ?? ? ? ?am1 am 2 ?A ? a1n ? ? 1 0 ? 0 ? ? a11 a12 ? a2 n ? ? 0 1 ? 0 ? ? a21 a22 ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? amn ? ? 0 0 ? 1 ? ?am1 am 2 ? a1n ? ? a2 n ? ? ? ?? ? ? amn ?
同理，设Im×m , 有IA=A
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? ? 1 ? 1? ?? 2 2 ? 例3 设A ? ? ?, B ? ? ?. 求AB, BA. 1 ? ? 1 ? 2 ? 2?
? 4 *? BA ? ? ? ? * *?
AB ? BA. (不可交换)
且 AB=O ? A= O 或 B= O
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AB ? AC ? ? ? B?C A?O ?
但是 IA=A=AI
(矩阵乘法不适合消去律)
( k I )A = kA = A(k I)
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五、n阶方阵的幂
A1 ? A, A2 ? A ? A,?, Ak ?1 ? Ak ? A
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1? ?1 ?1 2? A?? ? ? 1 ? 1?, B ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 AB ? ? ? ?1 ?
2 ? ? ? 2? ?
? ?1 ? 2? ? ( AB) ? ? ?1 2 ? ? ?
?0 A ?? ?0 ?
0? 2 ?1 ?, B ? ? ?0 0? ? ?
( AB) ? A ? B
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六、矩阵的转置
A ? (aij ) m?n , 则其转置定义为:
T ' ' (aij ) n?m , (aij
( A ) ? A; ( A ? B) ? A ? B
(kA) ? kA ; ( AB ) ? B A
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4? ? 5 ?; ? 8?
?1 ? ? 1 2 2? T A?? ?, A ? ? 2 ? 4 5 8? ?2 ?
B ? ?18 6?,
? 18 ? B ? ? ?. ?6?
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对称矩阵：A
反对称矩阵：
即 aij ? a ji , ?i , j
即 aii ? 0, aij ? ?a ji , ?i ? j
例如， 下列矩阵是否是对称矩 阵？反对称矩阵？
3 ? 1? ? 2 ? 2 3 ? ? 2 1 ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? 2 ?，? 2 0 ? 1? ? 1 0 0 ?，? ? 3 0 ??1 0 5 ? ? 1 ? 2 0 ? ?? 3 1 0 ? ? ? ? ? ? ?
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问题：数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？ 同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？ 同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？
2 ?? 1 ?? 0 ?? 1
1? ? 3 ?? ? 1? ? 2
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例 设A, B均为n阶对称阵，则 AB对称阵 ? AB = BA.
证 ?： ( AB) T ? B T AT ? BA ?
( AB) ? AB
所以 AB ? ( AB) T ? B T AT ? BA.
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对任意矩阵A，AAT 和ATA都是对称矩阵. 证 (AAT )T = (AT )TAT = AAT
例 设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则 AB+BA是n阶反对称矩阵. 证 ? AT ? ? A, B T B
( AB ? BA) T ? ( AB) T ? ( BA) T ? B T AT ? AT B T ? B( ? A) ? ( ? A) B
? ? AB ? BA） （ .
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七、方阵A的行列式 设 A ? (aij ) n?n ，定义A的行列式为:
a11 | A |?
a12 a22 ? an 2
? a1n ? a2 n ? ? ? ann
| AT |?| A |; | ?A |? ?n | A |; | A ? B |?| A | ? | B |
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3? 6?的行列式|A| ? 9? ?
?1 A ? ?4 例: 求矩阵 ? ?7 ?
解: 利用Mathematica有:
8& & 88 @ D
1, 2, 3 , 4, 5, 6 , 7, 8,
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k 定义（方阵的多项式） 设f ( x ) ? ak x ? ?a1 x ? a0
为x的多项式， 是n阶方阵，则 A f ( A) ? ak Ak ? ? ? a1 A ? a0 I 称为A的k次多项式.
设有多项式 f (x), g(x), A, B 为n阶方阵，则
f(A) g(A) = g(A) f (A).
但是，一般 f ( A) f ( B) ? f ( B) f ( A).
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如， （A ? I）2 A ? I ) ? ( 2 A ? I )( A ? I ) (
2 注意 一般， （A ? B） ? A2 ? 2 AB ? B 2
( A ? B )( A ? B ) ? A2 ? B 2
2 （A ? I） ? A2 ? 2 A ? I
( A ? I )( A ? I ) ? A2 ? I
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数a ≠0：a a-1 = a-1 a =1 ?矩阵A: A ( ? ) = I
问题: 当Y=AX成立时,在什么条件下可得到X, 如何求出X?
一、逆矩阵的概念 设A为一n阶方阵，如果有n阶方阵B存在，使得: AB = BA = I
则称B是A的逆方阵(简称A的逆).记为A-1 = B.
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单位阵 I : 对角阵:
? d1 ? ? ? D?? ? , ?（d1 , ..., d n ? 0）； ? dn ? ? ?
? d11 ? ?? ? ? ?
? ? ? 1 ? dn ?
1 （kI） ? I , ( k ? 0 ) k
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二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为A-1)
定理: 若方阵A是可逆的，则有唯一的逆矩阵.
设B , C均为A的逆矩阵，则:
B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 所以，A的逆是唯一的，记为A-1
若A, B均为方阵，且AB = I (或 BA = I), 则A可逆且B=A-1.
三、A可逆的充要条件:
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1 ? ? A* | A|
n阶方阵A可逆的充要条件是:
| A |? 0, A
其中A* 称为A的伴随矩阵，且为:
? A11 A21 ?A A22 12 A* ? ? ?? ? ?A A ? 1n 2n
? An1 ? ? An 2 ? ? ? ?? ? ? Ann ?
Aij是矩阵A的行列 式|A|的代数余子式.
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证明: 设A可逆，则:
?B, ? . AB ? BA ? I ?| AB |?| I | ?| A | ? | B |? 1 1 ?| A |? 0, | B |? 0, | A |? |B|
又∵ |A|≠0,
n 1 1 1 ? A?( ? A*) ? ? AA* ? (? aik Akj ) ? I | A| | A| | A | k ?1
1 A*) ? A ? I | A|
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a12 a22 ? an 2 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
a1n ?? A11 ?? a2 n ?? A12 ? ?? ? ?? ann ?? A1n ?? 0 ? ? 0 ? ?? ? | A |? ? A21 A22 ? A2 n
? ? ? ? An1 ? ? An 2 ? ?? ? Ann ? ?
? a11 ? ? a21 AA* ? ? ? ? ?a ? n1 ?| A | ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?
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四、可逆矩阵的性质
1. 若矩阵A可逆, 且AB=E, 则必有BA=E. 反之亦然.
3. 若A、B均可逆, 则AB也可逆,且有:
? (A ) 1 ?1 ?1 5.( k A ) ? A k
注: 若A,B均可逆, 但 A+B未必可逆!
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Mathematica中有关矩阵的转置和逆矩阵的命令: 矩阵的运算函数
计算矩阵M的行列式
Transpose[M]
Inverse[M] Sum[M[[i,i],{i,Length[M]}]
求M的转置矩阵M’
计算矩阵M的逆矩阵 计算矩阵M的迹
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? 1 0 1? ? 1 1? ? ? ? ? 例1: 设 A ? ? ? 1 1 1?, B ? ? 0 1 ? ? 2 ? 1 1? ? ?1 0? ? ? ? ?
且AX=B, 求出X.
解一: ?| A |? ? 1
所以A可逆.
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又因为AX=B，两边同（左）乘A-1得:
( A )( AX ) ? A ? B ? X ? A ? B
A ?1 ? 2 ? 1 ? 1? 1 ? ? A* ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 2? ? ? | A| 1 ? ?? 1 1 ? ?
1? ? 2? 0? ?
? 2 ? 1 ? 1? ? 1 1? ? 3 ? 3 ? 1 ? 2? ? 0 1 ? ? ? 5 ?X ? ? ?? ? ? ?? 1 1 1 ? ?? 1 0? ?? 2 ? ?? ? ?
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解二: 利用Mathematica软件
(计算A的行列式的值)
Out[1]:= In[2]:= Out[2]:=
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@& D8 8& 8
(求A的逆矩阵A-1)
8& & & 8 8 @ D
1, 0, 1 , - 1, 1, 1 , 2, -1, 1
2, -1, -1 , 3, -1, -2 , - 1, 1
MatrixForm %
iy k&8&8{ 8 &
(按表格输出A-1)
2 -1 -1 3 -1 -2 -1 1 1
(X=A-1B) 1, 1 , 0, 1 , - 1, 0 ;
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Out[4]:= In[5]:=
MatrixForm %
8& @ & 8& 8 D
3, 1 , 5, 2 , - 2, 0
(以表格形式输出)
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3 1 (=X) 5 2 -2 0
例2: 设矩阵B可逆, A与B同阶且满足:
A 2 ? AB ? B 2 ? 0
证明: A和A+B均可逆. 证:
? A ? AB ? B ? 0 ? A ? AB ? ? B
?| A( A ? B) |?| ? B ? B |?| ? B | ? | B |? (?1) | B |? 0
?| A |? 0, | A ? B |? 0
故A与A+B均可逆.
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例3: 若A与B均为n阶方阵, 且E+AB可逆. 则E+BA也
可逆,且 ( E ? BA) ? E ? B( E ? AB ) A 证明:
( E ? BA)[ E ? B( E ? AB) ?1 A] ? E ? B( E ? AB) ?1 A ? BA ? BAB( E ? AB) ?1 A ? E ? B( E ? AB) ?1 A ? B( E ? AB)( E ? AB) ?1 A ? BAB( E ? AB) ?1 A ? E ? [ B( E ? AB) ? B]( E ? AB) ?1 A ? BAB( E ? AB) ?1 A ?E
? ( E ? BA)
? E ? B( E ? AB ) A
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设方阵A满足A2 - A - 2I =O ，证明： (1) A和I - A都可逆，并求其逆矩阵； (2) A+I 和A-2I 不同时可逆.
? A( A ? I ) ? 2 I
A( 1 ( A ? I )) ? I 2
所以A可逆， A 且
1 ? (A ? I) 2
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1 又(? A)( I ? A) ? I 2
所以I ? A可逆， ( I ? A) 且
? ( A ? I )( A ? 2 I )
? A ? A ? 2I ? O
所以，A+I 和A-2I 不同时可逆.
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例5 设 B 2 ? B ,
1 证明：A 可逆且 A ? ?3 I ? A? . 2 ? 1 ?3 I ? A?? ? 3 A ? 1 A2 3 1 2 证 A ? ?I ? B? ? ?I ? B? ?2 ? 2 2 ? ? 2 2
3 3 1 2 ? I ? B ? ?I ? 2 B ? B 2 ? 2 2 2
3 3 1 1 2 ? I ? B? I ?B? B ? I 2 2 2 2 1 ?1 ? A 可逆且 A ? ?3 I ? A? . 2
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矩阵 A 满足 : Ak ? 0 ,
? 分析 ： I ? A? ? ? ? I .
?1? 证明 ：I ? A 可逆 ； ?1 ?2? 求 ：? I ? A? .
? I ? A??I ? A ? A2 ? ? ? Ak ?1 ?
? ?I ? A ? A ? ? ? A
? I ? Ak ? I
? ? ?? A ? A
? I ? A 可逆且 ? I ? A? ? I ? A ? ? ? Ak ? 1 .
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以分块子阵为元素的矩阵.
? 1 5 6 0? ? ? 例， A ? ? 0 2 3 0 ? ? 2 0 1 4? ? ?
? 1 5 6? ? 0? A11 ? ? ?, A12 ? ? ?, A21 ? ?2 0 1?, A22 ? ( 4) ? 0 2 3? ? 0?
? 1 5 6 0? 又如， ? ? ? A1 A ? ? 0 2 3 0? ? ? ? 0 0 0 4? ? O ? ?
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一、分块矩阵的运算 设
? A11 ?A 21 A?? ?? ?A ? r1
A12 ? A1s ? ? B11 B12 ?B A22 ? A2 s ? B22 21 ?, B ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?B Ar 2 ? Ar 3 ? ? s1 Bs 2
? B1t ? ? B2 t ? ? ? ?? ? ? Bst ?
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1、加法――对应块块元素相加. 2、数乘与分块矩阵――数乘遍各子块.
3、分块矩阵的乘法
这里要求:Ai1,Ai2,?，Ais的列数等于B1j,B2j,?Bsj
的行数。则:
?C11 C12 ?C C 22 21 AB ? ? ?? ? ?C ? r1 C r 2
? C1t ? ? C 2t ? ? ? ?? ? C rt ? ?
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其中: Cij ? ? Aik Bkj , (i ? 1,2, ? j ? 1,2, ?t )
4、分块矩阵的转置
设A如前面所示， 则:
T ? A11 ? T A12 T A ?? ?? ? T ? A1s T A21 T A22
T Ar1 ? T ? Ar 2 ?
? ? T ? Ars ?
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5、分块对角矩阵 设Aij为ri阶矩阵(1≤i≤s)，则矩阵
? A11 ? A?? ? ? ?
? ? ? ? ? Ass ?
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二、分块对角阵的运算律 设n阶矩阵A，B都是分块对角阵:
? A11 ? ? B11 ? ? ? ? ? A22 B22 ?, B ? ? ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ? Ass ? Bss ? ? ? ? ?
其中: Aii , Bii (i ? 1,2? s) 是同阶矩阵，则:
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? ? ? ? ? kA ? ss ?
?kA 11 ? ? kA? ? ? ? ?
? A11 ? B11 ? ? A? B ? ? ? ? ?
A22 ? B22 ?
? ? ? ? ? Ass ? Bss ? ?
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? ? ? ? ? Ass Bss ? ?
? ? ? ? ? ? ? Ass1 ? ?
? A11B11 ? ? AB ? ? ? ? ?
若A可逆，则有:
? ? A111 ? ? ?? ? ? ?
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? ? 设A ? ? ?A ? m
A1 ? ? ?, A1 , ..., Am 均可逆。? ?
?1 ? Am ? ? ? ?1 则A ?? ? ?. ? A ?1 ? ? 1 ?
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d1 ? ? ? ? 特殊：A ? ? ? ?, d1 , ..., d m均不为零， ?d ? ? m ?
? ? ?? ? d ?1 ? 1
? ? ?. ? ?
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0 ? ? 0 0 0 ? 1 3 ? 1? ? 2 1 4 ? 0 0
?1 ?1 0 0 ? ? 1 ? ? ? ? 3 ? 1 0 0 ?, B ? ? ? 1 例1 求AB: A ? ?0 1 0 0 ? ? 0 ? ? ? ? 0 0 2 ? 1? ? 0
?1 ? ?3 AB ? ? 0 ? ?0 ?
0 ?? 1 ?? 0 ?? ? 1 0 ?? 0 ?? ? 1 ?? 0 ??
0 ? ? 0 ? ? 1? ? 4 ? ?
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? A1 ?? ?O
? A1 B1 ?? ? O
O ?? B1 ?? A2 ?? O O? ? B2 ?
? 2 ? O ? ? 4 ?? A2 B2 ? ? ? 1 ? ? 0
0 ? ? 0 ? 0 ? ? ? 6?
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? B1 ? ? ? B?? ? ?, ? Bm ? ? ?
注意： 设A, B 均为n 阶矩阵，且分块相同，
? A1 ? ? ? A?? ? ?, ? Am ? ? ?
? A1 B1 ? ? ? AB ? ? ? ?, ? Am Bm ? ? ?
将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的 .只需前一个矩阵 列的分法与后一个矩阵行的分法 一致就行了 .
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?1 ?1 0 0 ?? 1 ? ?? ?3 ?1 0 0 ???1 ?0 1 0 0 ?? 0 ? ? 0 0 2 ? 1? ? 0 ?? ? ?? ?1 ?1 0 0 ?? 1 ? ?? ?3 ?1 0 0 ???1 ?0 1 0 0 ?? 0 ? ? 0 0 2 ? 1? ? 0 ?? ? ??
0? ? 0 0 0 ? ? A1 ???O 1 3 ?1 ? ? ? 2 1 4? 0? ? 0 0 0? 1 3 ? 1? ? 2 1 4? ? 0 0
O ?? B1 ?? A2 ?? O
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0? ? 0 0 0? 1 3 ? 1? ? 2 1 4? ? 0 0
?1 ?1 0 0 ?? 1 ? ?? ?3 ?1 0 0 ???1 ?0 1 0 0 ?? 0 ? ? 0 0 2 ? 1? ? 0 ?? ? ??
? A11 ?? ? O
O ? ? B11 ?? A22 ? ? O O A22 B22
O ? ? B23 ?
? A11 B11 ?? ? O
? ? A22 B23 ?
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例2 如何分块来求AB：
? 1 ? ? 0 A ? ??1 ? ? 1 ?? 2 ? 0 0 0 0? 2 0 ? 3 ? ? 1 0 0 0? 3 0 ? 1 2 1 0 0 ?, B ? ? ? 1 0 0 ? ? 1 0 1 0? ? 0 ?1 0 ? 0 0 0 0 1? 0 ?1 ? ? 1 0? ? 0 1? 0 0? ? 0 0? 0 0? ?
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I2 ? ? O3?2 ?
? I 2 O2?3 ? ? B1 A?? ?， B ? ? ? A1 I 3 ? ? ? I3
? I2 AB ? ? ?A ? 1
O2?3 ?? B1 ?? I 3 ?? ? I 3 ??
I2 ? ? A1 ? ?
I2 ? ? O3?2 ? ?
B1 ? ?? ?A B ?I 3 ? 1 1
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例3 设矩阵
?0 ? ?0 A ? ?0 ? ?1 ?3 ? 0 1 3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 4 0 0
0? ? ? 1? 1 ? ? 0? ? 0?
求 A 的逆 .
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?0 ? ?0 A ? ?0 ? ?1 ?3 ?
0 1 3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 4 0 0
0? ? ? 1? ? ?? O 1 ? ? ? A2 0? 0? ?
? O ?1 A ? ? ?1 ?A ? 1
?1 A2 ? ? ? ?? O ? ?
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一、矩阵的秩 定义：设一个m×n矩阵A=(aij)。在A中任取s行s 列(s≤min{m,n})，位于这些行列交叉点处的元素 构成的s阶行列式，称为矩阵A的s阶子式。
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定义1: 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一. 但其最高阶 非零子式一般不唯一. 定义2: A中至少存在一个r阶子式不为0，当
r≤min{m,n}时，A中所有r+1阶子式全为0，则A的
矩阵A的秩记为:
rA , r ( A), rank ( A)
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(1)、对n阶方阵A，若|A|≠0，
则A为满秩的且r(A)=n;
(2)、对Am×n，有r(A)≤min{m,n};
(3)、r(0)=0
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求矩阵的秩：
? 1 2 4 1? ? ? ? 2 4 8? ( 2) B ? ? ?; ( 3) C ? ? 2 4 8 2 ? ? 1 2 1? ? 3 6 2 0? ? ?
? 1 1? (1) A ? ? ?; ? 2 2?
(1)、（2） 易
(3) C中所有3阶子式全为零， 可得 r ( A) ? 2.
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基本结论与性质 1. R(A)=0 ? A=O； 2. R(A)≥ r ? A有一个r 阶子式不为零； 3. R(A)≤ r ? A的所有r +1阶子式全为零。
k ? 0, ?0, 4. R(kA) ? ? ? R( A), k ? 0.
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5. 设A为m ? n阶矩阵，则0 ? R( A) ? min(m, n);
6. 对任意矩阵A，R( AT ) ? R( A);
7. n阶矩阵A可逆 ? R( A) ? n.
满秩矩阵 可逆矩阵
不可逆矩阵
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?5 0 3? ? 1 0 5? 0 ? 2 1? ? 0 0 0? 4
?2 ? ?0 例1 求下列矩阵的秩： A ? ?0 ? ?0 2 ?5 4 有三阶子式 0 1 0 0 0 ?2
二、矩阵秩的计算
所有四阶子式全为零，所以 R(A) =3. 对于行阶梯形矩阵A,
R(A)=A的非零行的行数.
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三、矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是指对矩阵施行以下的三种变换: 1.换法变换: 互换矩阵的两行(列). 记为[i,j]
2.倍法变换: 以任意非零数k乘以矩阵的某一行(列)的
各元素.记为[i(k)] 3.消法变换: 以数k乘矩阵的某一行(列)上各元素加到 另一行(列)对应元素上去.记为[i+j(k)]
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对矩阵A施行初等变换后，A一般都会改变，但有
定理2.3：初等变换不改变矩阵的秩. 例2: 设
? 6 ?1 ?1 5 A?? 3 ?2 ?? 4 6 ?
2 ? 6 ? 4 ? 10? ? 5 ?1 ? 6 ? ? 2 ? 10 ? 12? 5 7
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? 6 ?1 ? ?1 5 A?? 2 3 ? ?? 4 6 ?
6 ? 4 ? 10 ? ? 5 7 2 ? 5 ?1 ? 6 ? ? 2 ? 10 ? 12 ? ?
2 ? ?1 5 ? ? 6 ? 4 ? 10 ? [1, 2] ? 6 ? 1 ?? ?? ? 5 ?1 ? 6 ? 2 3 ? ? ? ?? 4 6 2 ? 10 ? 12 ? ? 5 7
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?1 ? ?0 ?? ? ?? ? 0 ? ?0 ? ?1 ? [ 4 ? 2 ( ?1)] [ 3? 2 ( ?1)] ? 0 ?? ? ?? ? 0 ? ?0 ?
[ 4 ?1( 4 )] 3?1( ?2 )] 2 ?1( ?6 )]
5 6 ?7 26 ?4
5 6 ? 4 ? 10 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ?1 ? 2 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?
? 31 ? 31 ?7 26
5 6 ?4 1 1 ?1 0 0 0 0 0 0
? 10 ? [ 4 ? (1/ 26)] ? 1 ? [3( ?1/ 7 )] ? 31 62 ? [ 2( ?1/ 31)] ? 0 ? ?? ???? 0 7 14 ? ? ? ?0 ? 26 ? 52 ? ? ? 10 ? ? ?2 ? 故r(A)=2. 0 ? ? 0 ? ?
R(A) = r ? 经行初等变换能将A化为具有r 个非零行
的行阶梯形矩阵. 四川农业大学生命科学与理学院
? 1 ? 2 2 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 0 ? ? 2 ?4 8 ? 2? 例3 设A ? ,b ? ? ? ?? 2 4 ? 2 3 ? 3 ? ? ? ? 3 ? 6 0 ? 6? ? ? 4? ? ? ? ?
求矩阵A及矩阵B ? ( A b)的秩.
~ ~ ~ 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B ? ( A, b ), 设 ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ? ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
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1 ? r ? 2r 2 1 ? 2 ? r ? 2r 3 1 ? 3 ? r ? 3r 1 4? 4 ?
1? ? 0? 5? ? 1? ?
? 1 ? 2 2 ?1 ? 0 ? 2 ?4 8 B?? ?2 4 ?2 3 ? ? 3 ?6 0 ?6 ?
?1 ? 2 2 ?1 ? 4 2 ?0 0 ?0 0 2 1 ? ?0 0 ? 6 ? 3 ?
? 2 2 ? 1 1? ? ? r3 ? r2 ? 0 0 2 1 0 ? r3 ? 5 ? 0 0 0 0 5? r4 ? 3r2 ? ? r4 ? r3 ? 0 0 0 0 1? ? ?
r2 ? 2 ? 1
?1 ? 2 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ?
2 ? 1 1? ? 2 1 0? 0 0 1? ? 0 0 0? ?
? R( A) ? 2, R( B ) ? 3.
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对任意矩阵A,
R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵.
证 因为Q 可逆，存在初等矩阵E1, …,
Q= E1? ? ? Et， AQ =A E1? ? ? Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A).
同理可证其他.
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解二：利用Mathematica软件
RowReduce A
8 & & & 8@ & 8 8 D
6, -1, 5, 7, 2 , 1, 5, 6, - 4, - 10 , 2, 3, 5, - 1, - 6 , - 4, 6, 2, - 10, - 12
(作行的线性组合化简A. Mathematica命令为RowReduce[])
8 &8 &8 &8
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1, 0, 1, 1, 0 , 0, 1, 1, -1, -2 , 0, 0, 0, 0, 0 , 0, 0, 0, 0,
MatrixForm %
(输出结果用表格形式输出)
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 -2 0 0
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定理2.4：对于任意满秩方阵A, 必可用初等行变换
将A化成单位矩阵I.
定理2.5：秩为r的矩阵A=(aij)mn可通过行的初等变 换及列的换法变换化为:
?1 ? ?0 ?? ? Cr ? ? 0 ?0 ? ?? ?0 ? 0 1 ? 0 0 ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 0 ? 0 c1, r ?1 c 2, r ?1 ? c r , r ?1 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? c1n ? ? c2 n ? ? ? ? c rn ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?
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定理：设A=(aij)mn, r(A)=r , 则通过初等变换可将 A化为:
? 1 0 ? 0 0 ? 0? ? ? ? 0 1 ? 0 0 ? 0? ?? ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? Dr ? ? 0 0 ? 1 0 ? 0 ? ? 0 0 ? 0 0 ? 0? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 0 0 ? 0 0 ? 0? ? ?
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同型矩阵A与B 等价的充要条件是R(A)=R(B).
?1 2 4 1? ? ? 例4 设 A ? ? 2 4 8 2 ?, 求A的标准形. ? 3 6 2 0? ? ?
4 1 ? ?1 2 4 1 ? ?1 2 ? ? ? ? A ? ?0 0 0 0 ? ? ? 0 0 ? 10 ? 3 ?, ? 0 0 ? 10 ? 3 ? ? 0 0 ? ? ? ?0 0 ?
? 1 0 0 0? ? ? I2 O ? ? 标准形为 ? ? ? ? 0 1 0 0? ? O O? ? 0 0 0 0? ? ? 四川农业大学生命科学与理学院
四、三个证明例子 例5 设A为n 阶矩阵(n≥2)，证明
R( A) ? n, ? n, R( A ) ? ? ?0, R( A) ? n ? 1.
证 ①若R(A)= n: detA≠0，
AA* ? (det A) I , | A || A* |?| (det A) I |?| A |n ? 0, 所以 | A* |? 0, 即 R( A* ) ? n.
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② R(A) & n-1:
A中所有n-1阶子式均为零，
? A11 ? An1 ? ? ? * A ?? ? ? ? ? O, ?A ? Ann ? ? 1n ?
R( A* ) ? 0.
?? A O?? R? ? ? ? ? R( A) ? R( B ). ??O B??
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证 设R( A) ? r1 , R( B ) ? r2 . 存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得
? I r1 A ? P1 ? ?O O? ? I r2 ?Q1 , B ? P2 ? O? ?O O? ?Q2 , O?
? ? I r1 O ? ? O ? P1 ? ? ?Q1 A O? ? ? O O? ? ? ? ? P1 ? ? ?? ? I r2 O ? ? ? O ? ?O B? O P2 ? ?Q2 ? ? ? O O? ? ?
? ? I r1 O ? ? O ?? ? ? O ? ?? O O? ?? Q1 O ? ? ? ? ? I r2 O ? ?? O Q2 ? ? P2 ? O ? ?? ? O O?? ? ?
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? ? O ? ? I r2 O ? ? ? ? O O?? ?? ? ??
? ? I r1 O ? ?? ? O O? ? ? A O? ?? ? ??秩? 所以，秩? ?O B ? ? ? ? O ? ? ? r1 ? r2 .
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例7* 设 A 为任一实矩阵, R( AT A)与R( A)是否相等?
因为对于任一实向量x ? 0,
当Ax ? 0时,
反之当AT Ax ? 0时, 有
必有A Ax ? 0,
x T AT Ax ? 0
? Ax ? ? Ax ? ? 0 ? Ax ? 0;
Ax ? 0与AT Ax ? 0同解,
故 R? AT A? ? R? A?.
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定义(等阶): 矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，
则称A与B等阶.记为:
定理2.6: 设A，B都是m×n阶矩阵，则:
A~B ? r ( A) ? r ( B)
证明: ? A ? B 初等变换不改变矩阵的秩
? r ( A) ? r ( B)
反过来: 如果 r(A)= r(B)= r , 则:
A ? Dr , B ? Dr ? A ? B ? A~B
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三、初等矩阵
1. 以下三种矩阵统称为初等矩阵:
(1)换法初等矩阵(互换单位矩阵的某两行(列)一次)
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? Pij ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? ?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?
(2)倍法初等矩阵(以非零数乘单位矩阵的某一行(列))
?1 ? ? ? ? M ij (? ) ? ? ? ? ? ? ?
?) ? M i ( ) ?
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(3)消法初等矩阵(单位矩阵的某一行(列)乘以数k加到 另一行(列)上).
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? k ? ? Eij ( k ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? ?
[ Eij ( k )]?1 ? Eij ( ? k ) 结论:
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有关初等矩阵的性质: 10.初等矩阵均是满秩的； 20.初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵； 30.初等矩阵的转置仍为初等矩阵.
M (? ) ? M i (? )
[ Eij ( k )]T ? Eij ( k )
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2.初等矩阵与初等变换的关系
用初等矩阵左乘某矩阵A，等于该矩阵A作相
应的行初等变换：用初等矩阵右乘某矩阵B，等于
该矩阵B作相应的列初等变换。
3. 求逆矩阵的初等变换法 定理：方阵P为满秩的充要条件是P可表为有限个 初等矩阵的乘积。
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&?&? P ?? ? I ?
即存在初等矩阵F1,F2,…Fr, 使得:
I ? Fr ? Fr ?1 ? F2 ? F1 P
P ? ( Fr ? F2 F1 ) ?1 I ? F1?1 ? F2?1 ? Fr?1
& ?&? P ? F F2 ? Fs 1
(Fi为初等矩阵)
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? P |?| F | ? | F2 | ? | Fs |? 0 | 1
故P为满秩矩阵.
推论1: r(AB) = r(A)，其中B为满秩矩阵.
推论2: 设A,，B均为m×n矩阵， 则:
A? B ? ? | P |? 0, | Q |? 0, ? B ? PAQ
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由以上定理及推论,推出求逆矩阵的初等变换法:
? A ? P P2 ? Pr , (| A |? 0) 1 ?A
?1 ?1 ?1 Pr ? P2 P E 1
说明: 当A经过行初等变换化为单位矩阵E时, E就变
成了A-1 ，即:
( A? E ) ?? ?( E ? A ) ?
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2 2 4 3? ? 1 ? 求A-1 3? ?
?1 ? 例如: 设 A ? ? 2 ?3 ?
2 3 ?1 解一: ( A? E ) ? ? 2 2 1 ? 4 3 ?3 ? 0 0 1 ?1 ? ?0 1 0 ?3 2 ? 0 1 1 ?0 ?
0? 0 1 0? ? 0 0 1? ? 3 ? 2? 5 ? ?3 2 ? 1 ? 1? ? 1 0
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? 1 3 ? 2? ?1 ?? 3 ? 3 5 ? ?A ? 2 2 ? ? ? 1 1 ? 1? ? ?
解二: 利用Mathematica软件
8@& & 8 8 D = 9& 8 8 9
1, 2, 3 , 2, 2, 1 ,
1, 3, - 2 , 3 2 , - 3, 5 2
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
?n维向量及其运算
?向量的线性相关性
?向量组的秩
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
一、 n维向量的概念
n个实数组成的有序数组称为n维(实)向量.记为:
n维向量及其运算
? ? ( a1 , a2 , ? an )
(n维行向量)
? a1 ? ? a2 ? ?? ? ? ?a ? n
? ? ? ? (n维列向量) ? 其中: ai (i=1,2…n)是实数,称 ? ? 为分量.
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
二、n维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 设 1.相等
? ? (a1 , a2 ,?, an ), ? ? (b1 , b2 ,?, bn )
? ? ? ? ai ? bi , (i ? 1,2,?n)
? ? ? ? (ai ? bi ), (i ? 1,2,?, n)
k ? ? ( kai )
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
1.交换律 2.结合律
? (a1 , a2 , ?, an )
? ? ? ? ? ??
运算律 (满足以下八条性质构成的空间称为实n维向量空间)
(? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? )
? ? 0 ? ? ,? ? (?? ) ? 0
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
5.数分配律. k (? ? ? ) ? k? ? k ?
7.结合律 8.
( k ? l )? ? k? ? l?
k (l? ) ? (kl )?
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
一、线性相关的概念
向量的线性相关性
?1 ,? 2 ,?? s(I) 是s个n 维向量,如果存在s个常数
k1 , k 2 ,?k s 使得n维向量? 与(I)之间有关系:
? ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s
则称 ? 是向量组(I)的线性组合.或称? 可由线量组(I)线 性表示.
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
设给定n 个n 维向量 ? 1 , ? 2 , ?? n , 如果存在n 个不全为零的常数 k1 , k 2 , ? k n ，使得:
k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n ? 0
k1a11 ? k 2 a 21 ? ? ? k n a n1 ? 0 k1a12 ? k 2 a 22 ? ? ? k n a n 2 ? 0 ?? k1a1n ? k 2 a 2 n ? ? ? k n a nn ? 0
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
其中aij为系数, ki为n个未知数.由克莱姆法则知:当 系数行列式
a11 D? a12 ? a1n
a 21 a 22 ? a2n
? a n1 ? an2 ? ? ? a nn ?0
方程有无穷多个解。所以由
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0
成立，则称向量组 ?1 , ? 2 , ?? s 是线性相关的. 否则称为线性无关. 例1: 试证n个n维单位向量:
e1 ? (1,0,?,0), e2 ? (0,1,?,0),?, en ? (0,0,?,1)
是线性无关的.
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
k1 e1 ? k 2 e2 ? ? ? k n en ? 0
?k1 k 2 ? k n ? ? 0
k1 ? 0, k 2 ? 0,?, k n ? 0
e1 , e2 ,?, en 线性无关.(称为Rn中的基)
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
例2：判断所给向量组的线性相关性:
?1 ? (1,2,?1),? 2 ? (2,?3,1),? 3 ? (4,1,?1),? 4 ? (6,7,3)
? ? 2 ? ?3 ? 0 ?? 4 ? 0
? k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? ?1, k 4 ? 0
??1 , ? 2 , ? 3 , ? 4
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
二、向量组线性相关的判定 1、直接运用向量组线性相关的定义; 2、一个向量线性相关的充要条件是该向量为零向量; 3、两个向量线性相关的充要条件是它们对应的分量
4、设有n个n维向量:
? i ? (ai1 , ai 2 ,?, ain ), (i ? 1,2,?n)
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
则 ?1 , ? 2 , ?? n 线性无关的充要条件是
a11 D? a 21 ? a n1
a12 a 22 ? an2
? a1n ? a2n ? ? ? a nn ?0
时，方程组有唯一解，即ki=0.
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
若D=0，即 D K ? 0 方程组有无穷多个解。故：
?1 , ? 2 ,?, ? n 线性相关的充要条件是D=0
5. 向量组 ?1 ,? 2 ,?? r (r&=2)线性相关的充要条件是
?1 , ? 2 ,?, ? r 中至少有一个向量是其余r-1 个向量的
线性组合。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
6. 如果向量组
?1 , ? 2 ,?, ? r
中有一部分线性相关，则该向量组一定线性相关。(即部分相关，则全体相关)。
?1 ,? 2 ,?? r
线性无关，
则它的任何一个部分组也一定线性无关。(即：全 体无关，则部分无关)。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
8.若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。
? a m1 ? ? a11 ? ? a 21 ? ? ? ? ? ? ? ? am2 ? ? a12 ? ? a 22 ? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ?, ? , ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? 1r ? 2r ? ? ? ? mr ? ? a11 ? ? a 21 ? ? a m1 ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a 22 ? ? am2 ? ? 1 ? ? ? ?, ? 2 ? ? ? ?, ? , ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1r ? ? a2r ? ? a mr ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1, r ?1 ? ? 2, r ?1 ? ? m , r ?1 ?
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
若r维向量组α i线性无关, 则r+1 维向量组β i也 线性无关.(P60) 10. 任意n+1个n维向量必然线性相关。例3: 设
?1 ? ?1 0 0? ? 2 ? ?0 1 0? ? 3 ? ?? 3 ? 2 0?
试判定其线性相关性。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
?3 ?2 ? 0 0
D? 0 1 0 0
??1 , ? 2 , ? 3
?1 ,? 2 , ? 3
线性无关，证明:
?1 ? 2?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 2 ? 5? 3 , ? 3 ? 4? 3 ? 3?1
也线性无关。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
证: 要使 k1 ?1 ? k 2 ? 2 ? k3 ? 3 ? 0 成立
k1 (2?1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 2 ? 5? 3 ) ? k3 (4? 3 ? 3?1 ) ? 0 ? (2k1 ? 3k3 )?1 ? (k1 ? k 2 )? 2 ? (5k 2 ? 4k3 )? 3 ? 0
?1 ,? 2 , ? 3
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
? 2k1 ? 3k 3 ? 0 k1 ? k 2 ? 0 5k 2 ? 4 k 3 ? 0
该三元线性方程组的系数行列式不等于零,故仅有 唯一解,即
k1 ? 0, k 2 ? 0, k3 ? 0
?1 , ? 2 , ? 3
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
定理3.5 如果向量组
?1 ,? 2 ,?? r 线性无关
线性相关 唯一地线性表示.
?1 ,? 2 ,?? r , ?
?1 ,? 2 ,?? r
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
一、向量组间的线性关系 设向量组 I II
向量组的秩
?1 , ? 2 , ?? s
?1 , ? 2 , ? ? t
如果I中的每个向量均可以由II线性表示, 则称 向量组I可由向量组II线性表示；
如果I与II能互相线性表示,则称I与II等价。记为I≌II
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
向量组等价的性质: 1)自反性：I ≌I 2)对称性：若I ≌II, 则II ≌I 3)传递性：若I ≌II、II ≌III, 则I ≌III 定理:若
?1 ,? 2 ,?? r 可由 ?1 , ? 2 ,? ? s
线性表示,且r&s, 则 ?1 ,? 2 ,?? r 线性相关。（P64）
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
推论1：如果向量组?1 ,? 2 ,?? r 线性无关,且该向量组 可由向量组 ?1 , ? 2 , ? ? s 线性表出, 则 r≤s。
推论2: 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个
数的向量。推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
二、向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且 从该向量组中的其余向量中任取一个添进去,所得的 新的向量组线性相关,则称该部分组为一个极大线性
无关组。一个向量组的任意两个极大线性无关组中所含
向量的个数相等，称该个数为向量组的秩。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
结论1: 全为零向量组成的向量组的秩为0。
结论2: 两个等价的向量组必有相同的秩。
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
三、矩阵的行秩和列秩
? a11 ?a ? 21 A? ?? ?a ? m1
a12 a 22 ? am 2
? a1n ? ? a2n ? ? ? ?? ? ? a mn ?
? ?1 ? ? ? ?? 2 ? , A? ? ? ? ? ? ?? m ? ? ?
行向量组 四川农业大学生命科学与理学院
线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
矩阵A的列(行)向量组的秩定义为A的列(行)秩。
可以证明: A的行秩等于A的列秩等于A的秩。
定理： 如果矩阵A经过行初等变换化为矩阵B, 则
A和B中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性。例1: 求 ?1 ? ?1 2 1 2 ?,? 2 ? ?? 1 ? 2 1 0 ?
? 3 ? ?0 0 1 1?,? 4 ? ?1 2 0 1?
的极大线性无关组,并将其余向量由它线性表出.
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
?1 ?2 A?? ?1 ?2 ? ?1 ?0 ?? ?0 ?0 ? ?1 ?2 1 0 ?1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1? ?1 ?0 2? ??? 0? ?0 ?0 1? ? ? 1? ? 1? ??B 0? 0? ? ?1 0 0 2 2 0 1 1 1? 0? ? ? 1? ? 1? ?
? rA ? rB ? 2
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
且 ?1 ? ?1 0 0 0?, ? 2 ? ?? 1 2 0 0? 线性无关
??1 , ? 2 是一个极大线性无关组.
? 3 ? k1 ?1 ? k 2 ? 2
? k1 ? k 2 ? 0 1 1 2k 2 ? 1 ? k1 ? , k 2 ? 2 2 1 1 ?? 3 ? ?1 ? ? 2 2 2
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
1 1 ? ?1 ? ? 2 2 2
? 例2: 若 I： 1 ,? 2 ,?? n 是n个线性无关的n维向量,
? n ?1 ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n
(ki均不为0)
试证: ?1 ,? 2 ,?? n ,? n ?1 线性相关.
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? 证: 记 II： 1 , ? 2 , ?? n , ? n ?1
? n ?1 ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n
? i ? ? i , (i ? 1,2,? n)
所以II可由I线性表出，所以 I≌II 因 R(I)=n, 推出R(II)=n, 推出
?1 ,? 2 ,?? n ,? n ?1 相关。
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?1 ,? 2 ,?? n 为一组n维向量。证明:
?1 ,? 2 ,?? n 线性无关的充要条件是任一个n维向量
都能被它线性表出.
? 证:必要性. 设 I： 1 ,? 2 ,?? n 线性无关,
? 为任一n维向量 则 ?1 , ? 2 ,?? n , ? 必线性相关
? ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
充分性:记II： 1 , e2 , ? en e 显然I可由II线性表出, 由题意如果任一向量可
由I表出.则II可由I表出。
所以 I≌II
? r ( II ) ? r ( I ) ? n
?1 ,? 2 ,?? n
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
例6 设A, B 分别为m×r, r ×n 矩阵，证明 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
设Cm×n = AB，
? b1n ? ? ? b2 n ? ? ?? ? ? brn ?
? b11 ? ? b21 ?c1 ,?, cn ? ? ( ?1 ,?, ? r )? ? ? ? br 1
ck ? b1k ?1 ? b2 k ? 2 ? ? ? brk ? r , ( k ? 1,..., n)
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线性代数 第三章 n维向量及其线性相关性
(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出， 故 R(AB )≤R(A).
又，R(C ) = R(CT)=R(BTAT)≤R(BT )=R(B). 所以 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
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线性方程组
?线性方程组的概念 ?线性方程组解的判定 ?线性方程组解的结构
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线性方程组
[教学目的] 1. 熟练掌握线性方程组的解的判定; 2. 熟练掌握两类线性方程组的求解方法; 3. 正确表达方程组的解. [重 点] 解的判定、求解方法.
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线性方程组
线性方程组的概念
含有m个方程、n个未知数的线性方程组的一般 形式为：
a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 a 21 x1 ? a 22 x2 ? ? ? a 2 n xn ? b2 ?? a m1 x1 ? a m 2 x2 ? ? ? a mn xn ? bm
改写成矩阵的形式为： （I）
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a12 a 22 ? a mn ? ? ? ?
线性方程组
a1n ? ? x1 ? ?x ? a2 n ? ?, x ? ? 2 ?, b ? ?? ?? ? ?x ? a mn ? ? ? n? ? b1 ? ?b ? ? 2? ? ? ? ?b ? ? m?
? a11 ?a A ? ? 21 ?? ?a ? m1
( 称A为系数矩阵， A, b) 为增广矩阵。
方程组的解：若有一组数ci(i=1,2,?n)代入方程中 的未知数使(I)成立，则称该组数为(I)的一组解或 一个解向量。
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线性方程组
线性方程组
非齐次线性方程组.即bi不全为0时. 齐次线性方程组.即bi全等于0时.
? Ax ? b ? ? ? Ax ? 0 ?
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线性方程组
线性方程组解的判定
一、非齐次线性方程组
? a11 a12 ?a a 22 21 ? ?? ? ?a ? m1 a m 2
? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? ??x ? ? b ? ? a2n ?? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? x ? ?n ? ? a mn ? ? n ? ? m ?
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?1 ?0 ? ?? C r ? ?0 ? ?0 ? ?? ?0 ?
线性方程组
0 ? 0 ? ? c1, r ?1 ? cr , r ?1 0 ? 0 ? c1n ? ? c2 n ? ? ? ? ? crn ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ? ?
r(A) = r ，则 r ( A) ? r
1 ? 0 c2, r ?1 0 ? 1 0 ? 0 ? ? 0 ? 0
初等行变换
互换两列的变换
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0 ? 1 ? 0 ? 0 ? ? 0 ? ?
线性方程组
? ? ? ? ? d1 ? ? d2 ? ? ? ? dr ? d r ?1 ? ? ? ? dm ? ?
?1 ? ?0 ?? ? A ? Cr ? ? 0 ?0 ? ?? ?0 ?
0 0 ? 1 0 ? 0
c1, r ?1 c2, r ? 2 ? cr , r ?1 0 ? 0
c1n c2 n ? crn 0 ? 0
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线性方程组
与 C r 对应的方程组为:
y 1 ? c1, r ?1 y r ?1 ? ? ? c1n y n ? d1 y 2 ? c 2, r ?1 y r ?1 ? ? ? c 2 n y n ? d 2 ? y r ? c r , r ?1 y r ?1 ? ? ? c rn y n ? d r 0 ? d r ?1 , ? ,0 ? d m
显然( I )与( I ’) 同解. 以下讨论( I ’)解的情况
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①. 若 r& m ,且di (i= r+1,…,m)不全为0,则( I’）无解； ②．若ｒ＝ｍ或ｒ& m 但di全等于0,则( I ’)同解于:
y1 ? c1, r ?1 y r ?1 ? ? ? c1n y n ? d1 y 2 ? c2, r ?1 y r ?1 ? ? ? c2 n y n ? d 2 ? y r ? cr , r ?1 y r ?1 ? ? ? crn y n ? d r
再讨论: i). 若r = n. 则由克莱姆法则知( II’)有唯一解; 四川农业大学生命科学与理学院 ( II ”)
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ii ). 若r & n.则( I ”)变为:
y 1 ? d1 ? c1, r ?1 y r ?1 ? ? ? c1n y n y 2 ? d 2 ? c 2, r ?1 y r ?1 ? ? ? c 2 n y n ? y r ? d r ? c r , r ?1 y r ?1 ? ? ? c rn y n
当yj (j= 1, 2, ? n)任赋一组值时,即可得 到唯一的yj. 此时由yj的任意性,可得( I” )有无 穷多个解.
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线性方程组
综上所述，有下列定理.( 记 rA ? rA ? r为方程 Th1: 线性方程组( I )有解 ? rA 无解 Th2:
当 r = n 时, 方程组有唯一解; 当 r & n 时 , 方程组有无穷解.
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线性方程组
推论：n个方程n个未知数的线性方程组有唯一解的
充要条件是方程组的系数行列式的值不等于零.
例1 : 判断下列方程组是否有解？若有解，是唯一
解还是无穷解？
5 x1 ? x 2 ? 2 x3 ? x 4 ? 7 2 x1 ? x 2 ? 4 x3 ? 2 x 4 ? 1 x1 ? 3 x2 ? 6 x3 ? 5 x 4 ? 0
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线性方程组
? 5 ?1 2 1 7 ? ?1 ? 3 ? 6 5 0? ? ? [1,3] ? ? A ? ? 2 1 4 ? 2 1 ? ???? 2 1 4 ? 2 1 ? ? ?1 ? 3 ? 6 5 0? ? 5 ?1 2 1 7 ? ? ? ? ?
?1 ? 3 ? 6 5 0? ?1 ? 3 ? 6 5 0? [ 3?1( ?5 )] ? ? [ 3?2 ( ?2 )] ? ? [ 2?1( ?2 )] ????? 0 7 16 ? 12 1 ? ????? 0 7 16 ? 12 1 ? ? 0 14 32 ? 24 7 ? ? 0 0 0 0 5? ? ? ? ?
? rA ? 2, rA ? 3
所以原方程组无解.
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线性方程组
例2: 求解下列线性方程组：
x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? x4 ? 5 2 x1 ? 4 x2 ? 0 x3 ? x4 ? ?3 ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 2 x4 ? 8 x1 ? 2 x2 ? 9 x3 ? 5 x4 ? 21
?1 ? ?2 ?A?? ?1 ? ?1 ? 2 3
5? ?1 4 ?1 ? [[3?1((1?)]1)] ? 4 0 ? 1 ? 3 ? [ 2?1( ?2)] ? 0 ? ? ?? ? ?? 0 ?1 3 2 8 ? ? ? ?0 2 ? 9 5 21 ? ? 1
5 ? ? 0 ? 6 ? 3 ? 13 ? 0 6 3 13 ? ? 0 ? 12 ? 6 ? 26 ? ? 2 3 1
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?1 ? ?0 ? ? ?? 0 ? ?0 ?
5? ? 0 6 3 13 ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ? 2 3 1
线性方程组
? rA ? 2, rA ? 2, n ? 4
所以原方程组有无穷多个解.
解二: 利用Mathematica软件给出方程组的解
A= 1, 2, 3, 1 ,
RowReduce A
(输入矩阵A，作行的线性组合化简)
8& & & 8 8 @8 D
2, 4, 0, - 1 , - 1, - 2, 3, 2 , 1, 2, - 9, -
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9 = = & 9 8 8
1, 2, 0, 1 2
线性方程组
(显然A的秩是2) In[2]:= Out[2]:=
(AX= 0的两个线性无关的解) In[3]:=
A= 1, 2, 3, 1 ,
B = 5, -3, 8, -21 ; LinearSolve A, B
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8& & & 8 8 8 8 @D &
1, 0, - 1, 2 ,
@ D 8 & 8 8
, 0, 0, 1,
, 0, 0, 0, 0 , 0, 0, 0,
NullSpace A
- 2, 1, 0, 0
2, 4, 0, - 1 , - 1, - 2, 3, 2 , 1, 2, - 9, -
9@@ &&@ && 8 D@8 DD D 8@ &@ & 88 D 8 &@ & D D @ D8 = 8
9 &= & @ ?8 D 8 D@ 8 & ?
线性方程组
13 (AX=B的一个特解) , 0, ,0 2 6
1, 0, - 1, 2 + c2
- 2, 1, 0, 0
- 3 2, 0, 13 6, 0
2 c1 1, 0, - 1, 2 + c2 - 2, 1, 0, 0 , (全部解) 13 + c1 1, 0, -1, 2 + c2 - 2, 1, 0, 0 , 6 c1 1, 0, - 1, 2 + c2 - 2, 1, 0, 0
+ c1 1, 0, - 1, 2
+ c2 - 2, 1, 0, 0 ,
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a12 a 22 ? am 2 ?
线性方程组
二、齐次线性方程组：
? a11 ? ? a 21 ?? ? ?a ? m1
a1n ?? x1 ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? a 2 n ?? x2 ? ? 0 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? a mn ?? xn ? ? 0 ? ?? ? ? ?
Th3: (1)齐次线性方程组总有解。
(2)当r & n时, (II)除零解外，还有无穷多个解。
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线性方程组
推论1: 含有n个未知数的齐次线性方程组有非零解 的充要条件是方程组的系数行列式等于零。推论2：齐次线性方程组的方程的个数少于未知数 个数时，则必有非零解。
例2：试问当λ为何值时，下面齐次线性方程组有非零解？
(? ? 3) x1 ? x x ? 0 4 x1 ? (? ? 1) x2 ? 0 ? 4 x1 ? 8 x2 ? (? ? 2) x3 ? 0
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线性方程组
0 0 ? (? ? 2)(? ? 1)
解一： ?| A |?
令|A|=0得：
? ? 1, ? ? ?2
由推论1知，此时方程组有非零解。
解二：利用Mathematica软件计算行列式： In[1]：=
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8 & & 8 8 @ D
k - 3, - 1, 0 , 4, k + 1, 0 , - 4, 8, k + 2
Out[1]：= In[2]：= Out[2]：=
线性方程组
2- 3 k + k
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线性方程组
线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组
当 r ( A) ? n时有非零解，以下讨论该种情况： 定义： 齐次线性方程组 A X ? 0 的一组解向量：
?1 , ? 2 ,?? s 若满足：
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线性方程组
（1） ?1 , ? 2 ,?? s 线性无关； （2） ?1 , ? 2 ,?? s 的任意一解向量均可由 A X ? 0 线性表示。则称 ?1 , ? 2 ,?? s 为 A X ? 0 的一个基础解系。
定理1： ?1 , ? 2 ,?? s 是方程组 A X ? 0的解，则 ? k i ? i 设
也是该方程组的解（即解的线性组合仍是方程 组的解）。
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线性方程组
定理2：设齐次线性方程组有n个未知数， r 系含有 n-r 个线性无关的解向量。
?1 0 ? 0 ? 证： ?0 1 ? 0 ?? ? ? ? 行初等变换 A ?? ???? 0 0 ? 1 ?0 0 ? 0 ? ?? ? ? ? ?0 0 ? 0 c1,r ?1 c2,r ?1 ? cr ,r ?1 0 ? 0
则该齐次线性方程组的基础解系存在，且基础解
? c1n ? ? ? c2 n ? ? ? ? ? crn ? ? Cr ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ?
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线性方程组
相应方程组为： y 1 ? ?c1, r ?1 y r ?1 ? ? ? c1n y n
y 2 ? ?c 2, r ?1 y r ?1 ? ? ? c 2 n y n ? y r ? ?c r , r ?1 y r ?1 ? ? ? c rn y n
? y r ?1 ? ? 1 ? ? 0 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yr ? 2 ? ? 0 ? ? 1 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? y ? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ? ? n ?
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线性方程组
? ? c1, r ?1 ? ? ? c1, r ? 2 ? ? ? c1n ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2, r ?1 ? ? ? c2, r ? 2 ? ? ? c2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c r , r ?1 ? ? ? cr ,r ? 2 ? ? ? c rn ? u1 ? ? ?, u 2 ? ? 0 ?, ? u n ? r ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
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线性方程组
可以证明上面n-r 个向量为齐次线性方程组的一 个基础解系。
（1）显然 u1 , u 2 ,?u n ? r 线性无关； （2）设 u ? ??1 ?2 ? ?r
?r ?1 ? ?n ?T
为AX=0的任一解向量。将其代入（II’）得：
? 1? ?c1, r ?1? r ?1 ? ? ? c1n ? n ? 2 ? ?c 2, r ?1? r ?1 ? ? ? c 2 n ? n
? r ? ?c r , r ?1? r ?1 ? ? ? c rn ? n
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线性方程组
? ?1 ? ? ? c1, r ?1 ? ? ? c1n ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? c 2, r ?1 ? ? ? c2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r ? ? ? r ?1 ? ? c r , r ?1 ? ? ? ? ? n ? ? c rn ? ?? ? ? ? ? 0 ? 1 ? r ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? n ?
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线性方程组
u ? ?r ?1 u1 ? ?r ? 2 u2 ? ? ? ?n un ? r
u1 , u 2 ,?u n ? r 为AX=0的一个基础解系。
所以，AX=0的通解为：
x ? k1 u1 ? k 2 u2 ? ? ? k n ?e u n ? r
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线性方程组
例1：求解下列齐次线性方程组：
x1 ? x 2 ? 5 x3 ? x 4 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 x3 ? 3 x 4 ? 0 3 x 1 ? x 2 ? 8 x3 ? x 4 ? 0 x1 ? 3 x 2 ? 9 x3 ? 7 x 4 ? 0
?1 ? ?1 A?? 3 ? ?1 ? ?1 1 ?1 3 5 ?2 8 ?9 ? 1? ?1 ? ? 3 ? ?0 ? ? ?0 1 ? ? ?0 7 ? ? ? ?1 2 2 4 5 ?7 ?7 14 ? 1? ? 4 ? 4 ? ? 8 ? ?
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?1 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?
?1 2 0 0 5 ?7 0 0
线性方程组
? 1? ?1 ? ? 4 ? ?0 ? ? ?0 0 ? ? ?0 0 ? ? ?
1? ? 2? 0? ? 0? ?
所以与原方程组同解的简化方程组为：
3 x1 ? ? x3 ? x 4 2 7 x 2 ? x3 ? 2 x 4 2
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线性方程组
又因r =2 ，n = 4，所以原方程组有无穷多个解向量.
? x3 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ?, ? ? ?x ? ? 4 ? ?0? ?1?
可得一个基础解系为：
? 3 7 ? T u1 ? ? ? 1 0 ? , u 2 ? ?? 1 ? 2 0 1? ? 2 2 ? 故原方程组的通解为：
x ? k1 u1 ? k 2 u 2 , (k1 , k 2 ? R)
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解二：利用Mthematica软件
NullSpace A
8@ & & & 8 8 8 D
- 1, - 2, 0, 1 , - 3, 7, 2, 0
（两个线性无关的解向量）
线性方程组
1, -1, 5, -1 , 1, 1, - 2, 3 , 3, - 1, 8, 1 , 1, 3, - 9,
例2：解下列齐次方程组：
x1 ? 2 x 2 ? 3 x3 ? x 4 ? 0 2 x1 ? 4 x 2 ? x 4 ? 0 ? x1 ? 2 x 2 ? 3 x3 ? 2 x 4 ? 0 x1 ? 2 x 2 ? 9 x3 ? 5 x 4 ? 0
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线性方程组
2 3 1 ? ?1 2 3 1 ? ?1 ? ? ? ? 4 0 ?1? ? 0 0 ? 6 ? 3? ?2 ?A?? ? ? ?0 0 6 ?1 ? 2 3 2 3 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0 0 ? 12 ? 6 ? 2 ? 9 ? 5? ? ? ?r
?1 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?
2 3 1? ?1 ? ? 0 6 3? ? 0 ? ? ?0 0 0 0 ? ? 0 0 0? ? 0 ? ?
3 2 1? ?1 ? ? 6 0 3? ? 0 ? ? ?0 0 0 0 ? ? 0 0 0? ? 0 ? ?
0 2 ? 1? 2 ? 1 0 1 ? 2 ??C 0 0 0 ? 0 0 0 ? ?
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? x2 ? ?x ? 4
线性方程组
? rA ? 2, n ? 4 所以原方程组有非零解
? ?1? ?0? ? ? ? ?, ? ? 则基础解系为： ? ?0? ?1? ?
u1 ? ?? 2 1 0
故原 方程 组的 通解 为：
?1 0?, u 2 ? ? ?2
? 1 ? ? x1 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? x2 ? ? 1 ? ? k1 ? ? k2 ? 0 ? ?x ? 0 ? ?? 1? ? 3? ? ? 0 ? ? ?x ? ? 2? ? 1 ? ? ? ? 4? ? ?
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线性方程组
解二：利用Mathematca软件
NullSpace A
8@& & & 8 8 8 D
1, 2, 3, 1 , 2, 4, 0, - 1 , - 1, -2, 3, 2 , 1, 2, - 9, - 5
AX 思考： ? 0,当r ? n时，其基础解系是否唯一？
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1, 0, - 1, 2 , - 2, 1, 0, 0
线性方程组
定理：设 AX ? 0,当r ? n时 ，则该方程组的任意n-r 个线性无关的解都是其基础解系。证明：设
u1 , u2 ,?un ? r
是AX=0的一个基础解系
?1 ,? 2 ,?? n? r
是AX=0的一组线性无关的解
? 为AX=0的任一解
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线性方程组
?1 ,? 2 ,?? n?r , ?
u1 , u 2 ,?u n ? r
线性表出，且 ?1 , ? 2 , ?? n? r , ? 线性相关，而
?1 ,? 2 ,?? n? r 线性无关，所以 ?
可唯一地由 故
?1 ,? 2 ,?? n? r
?1 ,? 2 ,?? n? r
也是AX=0的一个基础解系。
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线性方程组
二、非齐次线性方程组
rA ? rA ，方程AX=b有解
且当r = n时，（I）有唯一解；
当r & n时，（I）有无穷多解；
rA ? rA 时，（I）无解。
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线性方程组
以下讨论当 rA ? rA ? n时，（I）的解的结构 称
为（I）的导出方程组 定理1： 1、非齐次线性方程组（I）的任意两个解 向量的差都是其导出组（II）的解。2、AX=B的任一解与导出组AX=0的任一解之
和仍是AX=B的解。
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线性方程组
定理2：设导出组AX=0的一个基础解系为
u1 , u 2 , ?u n ? r
v 为AX=B的任意一个特解，则AX=B的通解为：
x ? v ? k1 u1 ? k 2 u2 ? ? ? k n ?r un ?r
证：由定理1知：
v ? k1 u1 ? k 2 u 2 ? ? ? k n ? r u n ? r
为AX=b的解
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线性方程组
设X为AX=b任一解，则X-V为AX=0的任一解
x ? v ? k1 u1 ? k 2 u 2 ? ? ? k n ? r u n ? r
x ? v ? k1 u1 ? k2 u2 ? ? ? kn ?r un ?r
例1：求解下列线性方程组： x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0
x1 ? x2 ? x3 ? 3 x4 ? 1 1 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? ? 2
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线性方程组
?1 ? 1 ? 1 1 0 ? ? 1 ? 1 ? 1 1 0 ? ? ? ? ? 1 解一： A ? ?1 ? 1 1 ? 3 1 ? ? ? 0 0 ? 1 2 ? ? 2 ?1 ? 1 ? 2 3 ? 1 ? ? 0 0 0 0 0 ? ? ? ? 2?
? 1 ?1 0 ?1 1 ? ? 1 0 ?1 ?1 1 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 0 0 1 ? 2 1 ? ? ? 0 1 0 ? 2 1 ? ? Cr 2 2 ? 0 0 0 0 0? ? 0 0 0 0 0? ? ? ? ?
? rA ? rA , n ? 4
∴AX=b有无穷多解.
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线性方程组
1 其简化方程组为： x1 ? 2 ? x2 ? x4 1 ?1? x3 ? ? 2 x 4 ? ? 2 ?2? ? x2 ? ? 0 ? ?0? 令 ? ? ? ? ? ，可得AX=b的一个特解：? 1 ? ? ?
? x4 ? ? 0 ?
? x2 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ?, ? ? ，可得AX=0的一个基础解系： ?x ? 0 1 ? 4? ? ? ? ?
?2? ?0? ? ?
u1 ? ?1 1 0 0? , u2 ? ?1 0 2 1?
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线性方程组
所以原方程组的解为：
? x1 ? ? 1 ? ?1? ?1? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? 0 ? ?1? ?0? ? x ? ? ? 1 ? ? k1 ? 0 ? ? k 2 ? 2 ?, ( k1 , k 2 ? R ) ? 3? ?2? ? ? ? ? ?0? ?1? ? x ? ?0? ? ? ? ? ? 4? ? ?
解二：利用Mthematica软件
A= B= 0, 1, - 1
LinearSolve A, B
（求AX=B的特解）
8? & 8 &8 8 & 8 @D
1, -1, -1, 1 , 2 ; 1, - 1, 1, - 3 ,
1, - 1, - 2,
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Out[1]：= In[2]：= Out[2]：=
@ & D 8 & 8
1 2 , 0, 1 2 , 0
线性方程组
（求AX=0的基础解系） NullSpace A
1, 0, 2, 1 , 1, 1, 0, 0
例2：讨论下列方程组的解的情况：
? 2 x1 ? x2 ? x3 ? ?2 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? ?2
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?? 2 ? A?? 1 ? 1 ? 1 ?2 1
线性方程组
?2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? ? 2 ? ? Cr 3 0 (? ? 1)(? ? 2) ? ?
?1 0 ? 2? ? ? ? ? ? ?0 1 ?2 ? ? 0 0 ? ?
由定理可知，当 ? ? 1,?2 时，原方程组有无穷解 当 ? ? 1 时，
? 1 0 ? 1 1? ? ? A ? ? 0 1 ? 1 1? ? 0 0 0 1? ? ?
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线性方程组
对应简化方程为：
x1 ? x3 ? 1 x 2 ? x3 ? 0
所以原方程的一个特解为：v 导出组为：
x1 ? x3 x 2 ? x3
u1 ? 1? ? ? ? ? 1? ? 1? ? ?
得一个基础解系为：
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线性方程组
所以，原方程通解为：
? x1 ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? x 2 ? ? ? 0 ? ? k1 ?1?, ( k1 ? R ) ? x ? ?0? ? 1? ? 3? ? ? ? ?
当λ= -2时
?1 ? A ? ?0 ?0 ?
?1 2? ? ?1 2? 0 0? ?
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线性方程组
x1 ? x3 ? 2 x 2 ? x3 ? 2
其对应的简化方程组为：
所以原方程组的特解为： V ? ?2 导出组为：
x1 ? x3 x 2 ? x3
? ? 2? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? k ?1?, ( k ? R ) ? ?0? ? 1? ? ? ? ? ?
所以λ= -2时，原方程组的通解为：
? x1 ? ? x2 ?x ? 3
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In[]：= 时
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解二：利用Mathematica软件
LinearSolve A, B
8& & & 8& 8 & 8 8 @D
-2, 1, 1 , -2, 1, 1 ;
Out[]：= In[]：=
NullSpace A
1, - 2, 1 ,
（求特解）
（求AX=0的一个基础解系）
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In[]：= Out[]：=
@ @ D D 8 &
线性方程组
（求全部解）
1 + k, k, k
同理可求λ= -2 时的全部解（略）
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线性方程组
例3：设 ? 为非齐次线性方程组AX=b的一个解，
?1 ,?2 ,??n? r 是导出组的一个基础解系，证明：
（1）? ,?1 ,? 2 , ?? n? r 线性无关；
（2）?,? ? ?1 ,? ? ?2 ,?? ? ?n? r 线性无关。
证：（1）（反证法）设 ? ,?1 ,? 2 , ?? n? r 相关，即 存在不全为0的数：k , k1 , k 2 ,?k n ?r，使得：
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线性方程组
k? ? k1?1 ? k 2?2 ? ? ? k n ?r ?n ?r ? 0 成立
? ? li ? i
即 ? 为AX=0的解，这与是AX=b的解相矛盾。（2）（定义法） 由 k? ? k1 (? ? ?1 ) ? k 2 (? ? ? 2 ) ? ? ? k n ? r (? ? ? n ? r ) ? 0
? (k ? k1 ? k 2 ? ? ? k n ? r )? ? k?1 ? ? ? k n ? r ?n ? r ? 0
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线性方程组
因为据（1）知
?1 ,?2 ,?? n? r 线性无关, 所以
(k ? k1 ? k 2 ? ? ? k n?r ) ? 0, ki ? 0, (i ? 1,2,?n ? r )
k1 ? k2 ? ? ? k n?r ? k ? 0
线性无关。
?,? ? ?1 ,? ? ?2 ,?? ? ? n? r
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线性方程组
例4：设 AX ? b, rA ? r
证明AX=b必存在n-r+1个线性无关的解：
?1 ,?2 ,?? n ?r ?1，且它的任一解可表为：
k1?1 ? k 2?2 ? ? ? k n ? r ?1? n ? r ?1 , ( ? ki ? 1)
i ?1 n ? r ?1
证： 存在性由上题（2）可得证； 设 ? 为AX=b的任一解向量，
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线性方程组
因为 ?1 ,?2 , ?? n ?r ?1 线性无关
?? 2 ? ?1 ,? 3 ? ?1 ,?? n ?r ?1 ? ?1 也线性无关
又 ? 2 ? ?1 ,? 3 ? ?1 ,?? n ?r ?1 ? ?1 是AX=0的解
?? 2 ? ?1 ,? 3 ? ?1 ,?? n ?r ?1 ? ?1
为AX=0的一个基础解系 而
也是AX=0的解，
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线性方程组
?? ? ?1 ? l2 (? 2 ? ?1 ) ? l3 (? 3 ? ?1 ) ? ? ? ln ? r ?1 (? n ? r ?1 ? ?1 ) (l j ? R, j ? 2,3,? n ? r ? 1)
则 ? ? (1 ? l2 ? l3 ? ? ? ln ?r ?1 )?1 ? l2? 2 ? ? ? ln ?r ?1? n ?r ?1 令 (1 ? l2 ? l3 ? ? ? ln ? r ?1 ) ? k1 , l j ? l j , ( j ? 2,3,? n ? r ? 1) 显然有
n ? r ?1 j ?1
? k j ? 1, ( j ? 1,2, ? n ? r ? 1)
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?二次型及其矩阵表达 ?用满秩线性变换化二次型为标准型 ?正交变换 ?矩阵的特征值与特征向量 ?用正交变换化二次型为标准型 ?正定二次型
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通过对本章的学习，掌握利用矩阵化 [教学目的]： 二次型为标准型的方法。
[重 [