学年高中数学人教版必修一第一章集合与函数概念ppt（课件课时训练章末过关测试函数的概念等22份）
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学年高中数学人教版必修一第一章集合与函数概念（课件课时训练章末过关测试22份）
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??集合的含义与表示.doc
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??集合间的基本关系.doc
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　　一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
　　1．(;上海卷)设全集U＝R，下列集合运算结果为R的是(　　)
　　A．Z∪∁UN&&& B．N∩∁UN&&& C．∁U(∁U∅)&&&& D．∁U{0}
　　答案：A
　　2．已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|－3＜x＜2}，则M∩N＝(　　)
　　A．{x|－3＜x＜2}&& B．{x|－3＜x＜1}&
　　C．{x|1＜x＜2}&&&& D．{x|2＜x＜3}
　　答案：C
　　3．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在
　　[－3，－1]上(　　)
　　A．是减函数，有最小值－7&&& B．是增函数，有最小值－7
　　C．是减函数，有最大值－7&&& D．是增函数，有最大值－7
　　答案：D
　　一、集合
　　1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．
　　(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.
　　(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．
　　确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
　　互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
　　无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．
　　(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{　}内．
　　描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{　}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
　　特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
　　(4)常用数集及其记法．
　　非负整数集(或自然数集)，记作N；
　　正整数集，记作N*或N＋；
　　整数集，记作Z；
　　1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
　　A．y＝1x&&&&& B．y＝－1x
　　C．y＝2x&&&&& D．y＝－2x
　　解析：∵y＝kx，∴1＝k2，k＝2，
　　∴y＝2x.
　　答案：C
　　2．若f(x＋1)＝2x＋3，则f(3)的大小为(　　)
　　A．9& B．7& C．11& D．12
　　解析：取x＝2，则由f(x＋1)＝2x＋3，
　　得f(3)＝7.
　　答案：B
　　3．设f(x)＝π＋1x＞0，πx＝0，0x＜0，则f{f[f(－1)]}＝(　　)
　　A．π＋1& B．0& C．π& D．－1
　　解析：f{f[f(－1)]}＝f{f[0]}＝f(π)＝π＋1.
　　答案：A
　　4．(;大纲卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x－1)的定义域为(　　)
　　A．(－1,1)&&&&& B.0，12
　　►基础达标
　　1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是(　　)
　　A．k＜0　　　B．k≤0
　　C．k＞0&&&&& D．k≥0
　　答案：C
　　2．下列说法正确的是(　　)
　　A．反比例函数y＝kx在区间(0，＋∞)上是减函数
　　B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上
　　C．反比例函数y＝2x是R上的减函数
　　D．一次函数f(x)＝－2x＋b是R上的减函数
　　答案：D
　　3．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是(　　)
　　A．1&&&&& B．－1
　　C．10&&&& D．－10
　　答案：C
　　4．函数y＝1x＋2的大致图象只能是(　　)
　　1．函数y＝1x＋1的定义域为(　　)
　　A．(－∞，－1]　　　B．(－∞，－1)
　　C．[－1，＋∞)&&&&& D．(－1，＋∞)
　　答案：D
　　2．设函数f(x)＝x2－3x＋1，则f(a)－f(－a)＝(　　)
　　A．0&&&&&&&&&& B．－6a
　　C．2a2＋2&&&&&& D．2a2－6a＋2
　　答案：B
　　3．下列用表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y等于(　　)
　　x 0＜x≤1 1＜x≤5 5＜x≤10 x＞10
　　y 1 2 3 4
　　A.2&&&&&&&&& B．3
　　C．4&&&&&&& D．无法确定
　　答案：B
　　4．函数y＝－3x＋1，x∈[－1,1]的值域为________．
　　答案：[－2,4]
　　5．函数y＝x＋1x的定义域为________．
　　解析：利用解不等式组的方法求解．
　　要使函数有意义，需x＋1≥0，x≠0.解得x≥－1，x≠0.
　　∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
　　答案：{x|x≥－1且x≠0}
　　1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为(　　)
　　A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．无法确定
　　解析：∵f(x)为R上的奇函数，
　　∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
　　答案：B
　　2．(;山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x&0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝(　　)
　　A．－2&&& B．0&&& C．1&&& D．2
　　答案：A
　　3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上(　　)
　　A．有最大值　　& B．有最小值
　　C．没有最大值&&& D．没有最小值
　　解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．
　　答案：A
　　4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝(　　)
　　A．7& B．－7& C．12& D．17
　　解析：∵f(－7)＝－7，
　　1．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是(　　)
　　A．f－34≤f(a2－a＋1)
　　B．f－34≥f(a2－a＋1)
　　C．f－34＝f(a2－a＋1)
　　D．以上关系均不确定
　　答案：B
　　2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
　　A．－1　　　B．0
　　C．1&&&&&&& D．2
　　解析：∵f(x)为R上奇函数，∴f(0)＝0.
　　∵f(x＋2)＝－f(x)，
　　∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0.
　　答案：B
　　3．下列四个命题中，其中正确的是(　　)
　　A．f(x)＝x－2＋1－x有意义
　　B．函数是其定义域到值域的映射
　　C．函数y＝2x(x∈N)的图象是一直线
　　D．函数y＝x2，x≥0，－x2，x＜0的图象是抛物线
　　1．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为(　　)
　　A．2　　　B.12　　　C.13　　　D．－12
　　答案：B
　　2．函数f(x)＝11－x1－x的最大值是(　　)
　　A.45&&&&& B.54&&&&& C.34&&&&& D.43
　　答案：D
　　3．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为(　　)
　　A．－2和1&&&& B．2和－2
　　C．2和－1&&&& D．－1和2
　　解析：∵f(x)＝x2－2，x∈[0,2]是单调递增函数，
　　∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2.
　　答案：B
　　4．函数y＝(x－1)2，x∈(－1,5)的最小值为______．
　　答案：0
　　5．已知f(x＋4)＝4x2＋4x＋3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为________．
　　解析：∵f(x＋4)＝4x2＋4x＋3，
　　设x＋4＝t，则x＝t－4，
　　∴f(t)＝4(t－4)2＋4(t－4)＋3＝4t2－28t＋51.
　　∴f(x)＝4x2－28x＋51＝4x－722＋2，
　　1.集合
　　(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
　　(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
　　(3)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
　　(4)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
　　(5)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
　　(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
　　(7)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．
　　2.函数概念
　　(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
　　(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
　　1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝(　　)
　　A．{3}& B．{0}& C．{0,2}& D．{0,3}
　　答案：B
　　2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3} ，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
　　A．{1,2,3}& B．{1,2,4}
　　C．{2,3,4}& D．{1,2,3,4}
　　答案：D
　　3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是(　　)
　　A．1& B．2& C．3& D．4
　　解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A&#,5}且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
　　答案：D
　　4．设全集U＝1，2，3，4，5，集合M＝1，4，N＝1，3，5，则N∩∁UM＝(　　)
　　1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则(　　)
　　解析：直接判断集合间的关系．
　　∵A＝{x－1＜x＜2}，B＝{x－1＜x＜1}，∴B?A.
　　答案：B
　　2．下列五个关系式：①{0}＝∅；②∅＝0；③{0}⊇∅；
　　④0∈∅；⑤∅≠{0}，其中正确的个数(　　)
　　A．1个& B．2个& C．3个& D．4个
　　答案：B
　　3．下列语句：
　　(1)0与{0}表示同一个集合；
　　(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
　　(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
　　(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．
　　正确的是(　　)
　　A．只有(1)和(4)& B．只有(2)和(3)
　　C．只有(2)&&&&& D．以上语句都不对
　　答案：C
　　4．(;重庆卷)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)
　　A．{1,3,4}&& B．{3,4}
　　C．{3}&&&&& D．{4}
　　1．下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③∅?{0,1,2}；④{0,1,2}&#,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为(　　)
　　A．1　　　B．2
　　C．3&&&&& D．4
　　解析：只有②不正确．故选A.
　　答案：A
　　2．集合M＝{2,4,6}的真子集的个数为(　　)
　　A．6个　　　B．7个　　　C．8个　　　D．9个
　　答案：B
　　3．用Venn图画出下列两个集合的关系：
　　(1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}；
　　(2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．
　　答案：
　　4．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．
　　解析：因为A＝B，所以x＝x2，
　　当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去；
　　当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.
　　5．写出满足{a，b}?A⊆{a，b，c，d，e}的所有集合A.
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高一数学必修一函数考试试题含答案
导读：高中数学组卷必修一函数，2．（2015?广东模拟）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），并求函数f（x）的单调递增区间，3．（2015?台州一模）已知二次函数f（x）=ax+bx+c（a，写出函数f（x）的单调递减区间，若存在实数b使得函数f（x）在区间（0，4．（2015?杭州一模）设函数f（x）=，是函数f（x）的一个零点．，求函数f（x）的值域．5．（2015春?延庆县期末）
高中数学组卷必修一函数
一．解答题（共30小题） 1．（2015?上海）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地． （1）求t1与f（t1）的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．
2．（2015?广东模拟）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间； （2）若α的值．
3．（2015?台州一模）已知二次函数f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R） （1）若b=2a，a＜0，写出函数f（x）的单调递减区间，并证明你的结论； （2）设a，c为常数，若存在实数b使得函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，求实数b的取值范围（用a，c表示）．
4．（2015?杭州一模）设函数f（x）= 2是函数f（x）的一个零点． ，且，，求sin（α+β）（1）若方程f（x）=m有两个不同的解，求实数m的值，并解此方程； （2）当x∈（b，b）（b＞0）时，求函数f（x）的值域．
5．（2015春?延庆县期末）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元． （Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式； 第1页（共31页）
（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？
6．（2015春?安庆期末）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米． （Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
7．（2015春?遵义校级期中）知二次函数f（x）=ax（a+2）x+1（a∈z），在区间（2，1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．
8．（2015秋?邵阳校级期中）解方程 （1）= 2（2）log4（3x）=log4（2x+1）+log4（3+x）
9．（2015春?宁波校级期中）已知实数x，y满足：+=1． （Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1； （Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．
10．（2015秋?岳阳校级期中）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果每提高单价1元，那么销售量Q（件）会减少20，设每件商品售价为x（元）； （1）请将销售量Q（件）表示成关于每件商品售价x（元）的函数； （2）请问当售价x（元）为多少，才能使这批商品的总利润y（元）最大？
11．（2015秋?兖州市期中）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）： f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140， （1）求a的值； （2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？ （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 第2页（共31页）
12．（2015秋?眉山校级期中）设函数f（x）= （1）若f（a）=3，求实数a的值； （2）若f（x）＞1，求实数x的取值范围．
13．（2015春?常德校级期中）已知f（x）= （1）求f[f（0）]； （2）若f（a）=3，求a．
14．（2015秋?成都期中）设函数f（x）=，若f（4）=f（0），f（2）=1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）画出函数f（x）的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．
15．（2015秋?成都期中）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入总成本）； （2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？
16．（2015春?漳浦县期中）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且第3页（共31页）
每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律： （1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？ 17．（2015秋?无为县校级期中）以长为2的铁丝围成上部为矩形，下部为半圆形的框架，如果半圆的直径为2x，求此框架围成图形（如图所示）的面积为y与x的函数关系式y=f（x），并写出它的定义域．
18．（2015秋?泾阳县校级月考）已知函数f（x）= （1）求f（5），f（），f[f（）]的值； （2）若f（a）=3，求实数a的值．
19．（2015秋?延边州校级月考）已知函数f（x）=，分别求f（3），f（f（3）），f（f（1）） 的值．
20．（2015春?松山区校级月考）某超市五一假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠． （1）写出顾客购物全额与应付金额之间的函数关系，并画出流程图，要求输入购物全额，能输出应付金额． （2）若某顾客的应付金额为282.8元，请求出他的购物全额．
21．（2015秋?仙游县校级月考）已知函数 第4页（共31页）
（1）求f（f（f（）））的值； （2）若f（a）=2，求a的值． （3）画出此函数的图象．
22．（2015秋?安阳校级月考）已知函数f（x）=|x+1|+|x1|， （1）画出f（x）的图象； （2）根据图象写出f（x）的在区间[2，+∞）最小值．
23．（2015秋?清远校级月考）已知函数f（x）=|x1|+1 （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的定义域，值域．
24．（2015秋?彭州市校级月考）某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）． （1）根据图象，求一次函数y=kx+b的解析式． （2）设公司获得的利润为S元（利润=销售总价成本总价；销售总价=销售单价×销售量，成本总价=成本单价×销售量）． 第5页（共31页）
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高中数学函数解题技巧 高中数学必修一函数 解题方法
必修一函数习题课函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于10（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。( 6 )x中x?0例1 求下列函数定义域①f(x)?1 ②f(x)?x?2x?1?1
2?xlg(3?x)?(2x?3)0 ④f(x)? ③f(x)?x?2⑤y?x2?3x?4 x?1?2x?2?3?13x?7(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。例2 已知函数f(x)?2?log3x(1?x?9)，求函数?f(x)??f(x2)的最大值。 2例3 求函数f(x)?logax2?2x (a?0且a?1)的单调增区间。(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x形式不同(如x+2,x2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。例4 已知函数f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x?1)的定义域。例5 已知函数f(2x?1)的定义域为(-1,5]，求f(x)的定义域。2例6 已知函数f(x?1)的定义域为[0,2]，求f(3x?x)的定义域。二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。在分析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x的时候，要注意分离常数法的2?2x例7 求函数y?x的值域。 2?1第 1 页 共 1 页 必修一函数习题课12x2?x?1例8 求函数y? (x?)的值域 22x?1x2?4x?3例9 求函数y?2的值域 x?x?62x2?4x?7例10 求函数y?2的值域 x?2x?3(二)换元法常用来处理含根式的函数求值域。分以下几种情况：1.出现单根式时用代数换元例11 求函数y?x?2的值域 x?3例12 求函数y?2x??3x的值域2.出现平方和为定值(常有双根式)时用三角换元例13 求函数y??x?x?6的值域2 例14 求函数y?x?2??(x?1)的值域3.出现指数或高次函数有时也用换元法另例 求函数y?9?3?2(x??0,1?) 的值域 xx(三)几何意义法利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值域。常用来解决含绝对值函数，含根式的函数的值域问题。1.出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差例15 求函数y?x??x?4的值域2.出现双根式时考虑两点间距离例16 求函数y?例17 求函数y?x2?4?x2?6x?10的值域 x2?6x?13?x2?4x?5的值域3.出现绝对值时也可以考虑转化为点到直线距离例18 求函数y?2x?24?(x?2)2?7的值域4.出现分式时可以考虑转化为斜率例19 求函数y? 3?sinx的值域 2?cosx第 2 页 共 2 页 必修一函数习题课函数习题课(II)函数解析式的求法，分段函数一、函数解析式的求法(一)待定系数法若题目中已经明确给出了函数的形式(如一次函数、二次函数、指数函数等)可以利用待定系数法现将函数解析式设出，再利用题目已经给出的关系进行带入化简，通过对比系数进行对于函数解析式的确定。例1 已知一次函数f(x)，且f?f(x)??4x?3，求f(x)解析式(二)拼凑换元法已知复合函数f[g(x)]的解析式时，通过在已知的解析式中拼凑出g(x)或通过换元法对解析式进行处理后得到解析式。重要的是不能忽略拼凑或换元前后定义域的变化。x2，求fcosx的解析式 1?x112 例3 已知f(x?)?x?2?x?0?，求f(x)的解析式 xx 例2 已知f()?1x??(三)方程组法求解析式1,?x等有关的函数解析式时，常用列方程组的方法来求解析式。 x1 例4 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)?g(x)?，试求f(x)，g(x)的解x?1
同时出现x,析式(四)抽象函数求解析式解决抽象函数问题的一种最常用的方法就是赋值法。当抽象函数相关的题目中先给出了某一函数值，后续的解题过程中必然会用到赋值法，从而简便运算。例5 已知f(0)?1，对于任意实数x,y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)例6 设f(x)是定义在N上的函数，且满足f(1)?1。对任意自然数a,b都有等式*f(a)?f(b)?f(a?b)?ab成立，求f(x)二、分段函数问题在给出了分段函数解析式的问题中，主要有三类问题：一是求函数值，特别是求复合函数的值，其方法是当自变量在不同的区间段上时，带入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个区间段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个区间段上的最值，这些最值中最大的是分段函数的最大值，最小的是分段函数的最小值。分段函数的易错点在于各定义域分界点处函数值的大小。此外，分段函数常用数形结合法分析。?x2?4x?3,x?0 例7 已知函数f(x)??，求方程f(x)?1?0的实根个数?3?x,x?0第 3 页 共 3 页 必修一函数习题课?1x?(),x?4 例8 已知函数f(x)??2，求f(2?log23)的值??f(x?1),x?4?x2?bx?c,x?0 例9 设函数f(x)??，若f(?4)?f(0),f(?2)??2，则关于x的方程?2,x?0f(x)?x的解的个数为1?x?,x?[?2,?1),?x?1? 例10 已知函数f(x)???2,x?[?1,), 2?1?1x?,x?[,2].?x2?(1)求f(x)的值域(2)设函数g(x)?ax?2,x?[?2,2]，若对于任意x1?[?2,2]，总存在x0?[?2,2]，使得g(x0)?f(x1)成立，求实数a的取值范围 第 4 页 共 4 页 必修一函数习题课函数习题课(III)函数的单调性和最值一、函数的单调性(一)证明函数的单调性必修一当中对于函数单调性的证明仅限于用定义证明，因此难度不是太大，经常在单调性的证明过程中考察指对数运算，新定义的学习能力等。破解方法即熟练掌握证明方法，并仔细审题，通过题目给出的条件进行运算，拼凑定义。常用的几种处理方法：因式分解，通分，分子有理化，配方，构造(抽象函数)（1，??） 例1 证明函数f(x)?x2?2x在区间上单调递增例2 求函数f(x)?例3 求函数f(x)?x在区间(??,1)上的单调性 x?1x在区间(0,??)上的单调性3 例4 证明函数f(x)?x?x在R上为增函数例5 对任意a,b?R，函数f(x)都有f(a?b)?f(a)?f(b)?1，且当x?0时，f(x)?1
求证：f(x)在R上为增函数(二)利用函数的单调性解决问题1.利用函数的单调性识图在选择题中常出现一些需要选择函数图像的题目，这时利用单调性进行排除就是一种很好的方法。此类识图题目有几个关注点：定义域，端点值，特殊值，单调性。例6 函数f(x)?x?1的图象大致是12 2.利用函数的单调性比较大小在选择题中也常出现一些比较函数值大小的题目，这类题常利用函数在一些区间上的单调性来解决。但题目往往不会仅用函数的单调性便可以解决，常常需要结合函数的其他性质(如奇偶性，周期性等)将自变量转换到同一个单调区间中后，再进行比较。例7 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?(??,0],(x1?x2)，有(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0，则当n?N*时，求f(?n),f(n?1),f(n?1)的大小关系
例8 已知函数f(x)?logax在?0,???上单调递增，试比较f(?2),f(1),f(3)的大小关系
例9 定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间?0,2?上是增函数，试 第 5 页 共 5 页 必修一函数习题课比较f(?25),f(11),f(80)的大小关系3.利用函数的单调性解函数不等式此类题目涉及的函数一般在题目中都会通过一些条件加以限制，从而使它在需要进行求解的范围内是单调的。因此解决此类题目只需要将单调性正确解出，再比较需要比较的两个自变量的大小关系即可。例10 若偶函数f(x)在???,0?上单调递减，求不等式f(?1)?f(lgx)的解集1log(1?)?1
例11 解不等式ax二、函数的最值函数的最值作为函数在特定区间上的一个基本特征，在理解上没有难点，因此在命题上也很少单独考察，一般题目常以求最值为最终命题要求，实际考察函数的单调性，奇偶性和周期性等性质。【方法技巧】求函数最值的方法：(1)利用已知函数的性质求函数的最值：如二次函数；(2)利用图象数形结合求函数的最值；(3)利用函数的单调性求函数的最值，这种情况下的函数一般为连续函数，且求最值时给出的单调区间常为闭区间(暗示端点值可能为最值)
例12 已知函数y??x?x?3的最大值为M，最小值为m，求m的值 M例13 求函数y?x的最大值 x?11时，2 例14 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1?x)?f(?x)，且当x?f(x)?log2(3x?1)，那么求函数f(x)在??2,0?上的最大值与最小值之和。☆☆☆☆☆ Tip: 由于奇函数具有关于原点对称的性质，因此常常有最值的奇函数，会出现在求最大值和最小值之和的题目中，此时最大值和最小值之和为0. 因此题目问最大值和最小值之和时，要注意函数的奇偶性，也许可以使运算更加简便。 第 6 页 共 6 页 必修一函数习题课函数习题课(IV)函数的奇偶性，周期性这一部分应该是函数题目中的重头戏。涉及到函数题目中的创新性题目，由于奇偶性和周期性可以利用抽象函数表示，且表示的形式非常多样，奇偶性和周期性特别受到命题人的青睐。破解奇偶性和周期性相关题目的方法只有一个：熟练掌握相关的抽象性质，利用数形结合法画出函数图像解题。一、函数的奇偶性【知识储备】1.偶函数在定义域上必有f(?x)?f(x)，奇函数在定义域上必有f(?x)??f(x)。2.上面两式还有等价形式：(1)偶函数f(x)?f(?x)?0，奇函数f(?x)?f(x)?0(2)偶函数f(?x)f(?x)?1，奇函数??1，前两式均有f(x)?0 f(x)f(x)3.判断函数奇偶性的步骤：(1)判断定义域，具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称。若某函数的定义域就不关于原点对称，那么此函数一定不具备奇偶性。(2)根据定义式判断函数的特征，注意一定要两个式子都进行验证，因为存在既奇又偶函数，也存在非奇非偶函数。4.函数奇偶性的相关结论：(1)偶函数的和，差，商，积仍为偶函数；奇函数的和，差仍为奇函数，但商，积为偶函数。奇函数和偶函数的商，积为奇函数。(2)函数f(x)与kf(x),(k?0)，1具有相同的奇偶性 f(x)(3)***复合函数的奇偶性判断：内偶则偶，内奇同外。题型示例：1.判断函数的奇偶性这类题目一般使用定义法判断函数的奇偶性，但是需要特别注意既奇又偶函数。例1 定义两种运算：a?b?a2?b2，a?b?的奇偶性 (a?b)2，判断函数f(x)?2?x2?(x?2)?1,x?Qex?1 例2 设Q为有理数集，函数f(x)??,g(x)?x，函数h(x)?f(x)?g(x)e?1?1,x?CQR?的奇偶性例3 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)?1,f(2)?2，求f(3)?f(4)的值
例4 函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x?1)是奇函数，若f(0.5)?9，求f(8.5)的值例5 已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f()??1，当且仅当0?x?1时，f(x)&0，且12第 7 页 共 7 页 必修一函数习题课对任意x,y?(?1,1)都有f(x)?f(y)?f(x?y)，试证明： 1?xy(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在定义域上单调递减二、函数的周期性【知识储备】1.如果存在非零常数T使得对函数定义域内的任意x，都有f(x?T)?f(x)，则函数f(x)称为周期函数，T是其一个周期。2. 关于函数周期性的一些变形结论：(1) 若满足f(x?a)?f(x?a)，则函数f(x)为周期函数，且T?2a(2) 若满足f(x?a)??f(x)，则函数f(x)为周期函数，且T?2a(3) 若满足f(x?a)?1，则函数f(x)为周期函数，且T?2a f(x)1，则函数f(x)为周期函数，且T?2a f(x) (4) 若满足f(x?a)??(5) 若满足f(x?a)?1?f(x)，则函数f(x)为周期函数，且T?4a 1?f(x)(6) 若满足f(x)?f(x?a)?f(x?2a)，则函数f(x)为周期函数，且T?6a3 例6 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0?x?2时，f(x)?x?x，求函数y?f(x)的图象在区间?0,6?上与x轴的交点的个数。例7 已知函数f(x)是(??,??)上的奇函数，且f(x)的图象关于x?1对称，当x??0,1?x)?f(2010)的值 时，f(x)?2?1，求f(2009例8 f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x?R，总有f(x?2)??f(x)成立，求f(19)三、函数的对称性【知识储备】若函数f(x)满足f(x?a)?f(?x?b)，则函数f(x)具有对称性，关于直线x?a?b对称 2第 8 页 共 8 页
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