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第10讲 一元一次方程
奥数,学而思,超常班
2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?第十讲? ? ? 一元一次方程??一、 一元一次方程的解
法?相关概念：? 等式性质： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；? （2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式 仍然成立。? 方程：含有未知数的等式。? ? ? ? ? ? ? （两个注意： （1）含有未知数； （2）等式。 ）? 元：未知数的个数（几种未知数就是几元） ；? 次：未知数最高次项的次数。? ? 解一元一次方程步骤：? （1） 去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号）? （2） 移项（过桥变号）? （3） 合并? （4） 求解? 前两步易错。? ? 例 1：①2X+12=4X\12? 解：12+12=4X\2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 24=2X（合并）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X=12（求解；最后一步建议把 X 写左边）? ②10（X+2）=4（2X+7）? 解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律）? ? ? ? ? 10X\8X=28\20（移项，注意变号）? ? ? ? ? ? ? ? ? 2X=8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X=4? 超常学案 1：①8X\2（7+X）=4? 解： ? ? 8X\14\2X=4 ? （注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配 律；②括号前是减号要变号? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8X\2X=4+14? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6X=18? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X=3? 补充题：6（3\X）\5（X\1）=1【X=2】? ? ? ? ? ? ? ? ? 3X+2\2（2X\1）=0【X=4】? ?二、列方程解应用题?步骤：设、列、解、 （检验） 、答。?2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。直接根据题意 列方程求解即可。? 设未知数有直接设未知数和间接设未知数。? ? （一）直接设未知数? ? 例 2： （年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的 5 倍，小李发现，12 年后， 爷爷的年龄将是他的 3 倍，试求出今年小李的年龄。? 解：设小李今年 X 岁，爷爷今年 5X? ? 今年的年龄? 12 年后的年龄? X? X+12? 小李? 5X? 5X+12? 爷爷? 根据“12 年后，爷爷的年龄将是他的 3 倍， ”? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 列得方程：5X+12=3（X+12）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 X=12? 答：小李今年 12 岁。? 注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。? ? 例 4： （盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每 天做 10 个，还差 3 个完成任务；如果每天做 11 个，就可以提前 1 天完成。他的 工作期限是多少天？? 解：设工作期限是 X 天。 （根据总量相等列方程）? 10X+3=11（X\1）? 解得，X=14? 答：工作期限是 14 天。? 【附：本题的算术解法： （11+3）÷（11\10）=14（天）? 而解方程的过程? 10X+3=11（X\1）? ? ? ? ? 10X+3=11X\11? ? ? ? ? ? 11+3=11X\10X? ? ? ? ? ? ? ? ? X=（11+3）÷（11\10）? 可见算术方法和方程是对应的。算术方法对应着解方程的过程。有的题目有 多种算术方法就可以列得多个不同的方程。 如鸡兔同笼， 有兴趣的同学可以试试， 有助于加深对方程的理解。 】? ? 例 5： （和差问题）把 161 分成两个数，使两数之和是两数之差的 7 倍，求 这两个数各是多少？? 解： 两数差为 161÷7=23， 设较小数为 X， 则大数为 X+23， 根据两数和为 161? 解方程 X+（X+23）=161? 解得 X=69? 则较大数为 69+23=92? ? ? ? ? 答：大数为 92，小数为 69。? ? 例 6： （迎春杯真题）王二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?多少只鸭子。二小答道“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数， 把四个得数相加恰好是 100” 。王二小一共有多少只鸭子?? 解：设王二小有 X 只鸭子。?根据“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是 100” 。?列方程：? ? ? ? X+X? ? +? ? X\X? ? +? ? X×X? ? +? ? X÷X? ? =? ? 100? ? ? ? ? ? ? 化简得，? X 2 +2X+1=100? 此方程为一元二次方程，一般看到都感觉不太会解。可以采用如下三种方法：? 方法一：尝试法由于数字不太大，可以尝试得 X=9? 方法二： X 2 +2X+1=100? X 2 +2X=99? X（X+2）=99? X 与 X+2 是两个相差二的自然数，乘积为 99，只能分解为 9×11? X=9,X+2=11? 方法三： （完全平方公式） ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ?2(a + b)2= a 2 + 2ab + b 2 ?2 2 2 = X +2X×1+ 1 = X +2X+1?2( X + 1)2原方程华为 ( X + 1) =100? 即 ( X + 1) = 10 2 ?2X+1=10? X=9? 答：王二小有 9 只鸭子。? ? 【附：完全平方公式的证明：? 如图所示：正方形边长为 a+b，? 面积为 ( a + b ) ；?2又可以如图分割：面积为 a 2 + 2ab + b 2 ? 所以 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ?2口诀：首平方，尾平方；二倍乘积在中央。 】? ? 补充两道小升初真题：? 补充 1：大小两池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨 水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30 吨水。已知大池容量是小池的 1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？?2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?解：设两池中共有水 X 吨。? 若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨水，说明大池容量为 X\5；? 若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30 吨水，说明小池容量为 X\30。? 根据“大池容量是小池的 1.5 倍， ”列方程：? X\5=1.5（X\30）? 解，得 X=80? ? ? ? ? 答：两池中共有 80 吨水.? ? 补充 2：一群学生进行篮球测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分 情况如下表：? 0? 1? 2? 8? 9? 10? 进球数? ……? 7? 5? 4? 3? 4? 1? 人数? ……? 还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进球不到 8 个球的人平均投进 3 个球，问：共有多少人参加测验？? 分析与答：? 【平均数问题：总数=平均数×数量? 本题乍一看毫无头绪，就是因为中间的信息不全，但从条件入手，就可以巧 妙的回避省略号处不全的信息。 列方程解应用题一定要找到等量关系， 同一个量， 用两种不同的表达方式把它表示出来，就得到方程。本题中：? 投中的总球数， 既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的 人的进球数， 也等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进 球数。? 设共有 X 人参加测验。? 至少投进 3 个球的人数为（X\7\5\4）人，已知至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，则至少投进 3 个球的人共投进 6×（X\7\5\4）个球，则投中的总球数（等 于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数）为 0×7+1 ×5+2×4+6×（X\7\5\4）=6X\83；? 投进不到不到 8 个球的人数为（X\3\4\1）人，已知投进球不到 8 个球的人平 均投进 3 个球，则投进球不到 8 个球的人共投进 3×（X\3\4\1）个球，则投球的 总数 （等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数）为 3×（X\3\4\1）+8×3+9×4+10×1=3X+46；? 列方程 6X\83=3X+46】? 解：设共有 X 人参加测验。? 0×7+1×5+2×4+6×（X\7\5\4）=3×（X\3\4\1）+8×3+9×4+10×1? 解，得 X=43? 答：共有 43 人参加测验。? ? ? （二）间接设未知数? ? 超常 123 学案 3：水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍，如果每天卖 130 个西瓜和 36 个哈密瓜，那么哈密瓜买完后还剩下 70 个西瓜。问：水果店运 来的西瓜和哈密瓜共多少个？? 解：设卖了 X 天。 （由于两种水果卖的个数和天数紧密相关，故选择设天数2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?为未知数）? ? 卖? 剩? 共? 130X? 70? 130X+70? 西瓜? 36X? 0? 36X? 哈密瓜? 根据“水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍， ”列方程：? 130X+70=4×36X? 解得 X=5? 西瓜：130×5+70=720（个）? 哈密瓜：36×5=180（个）? 共 720+180=900（个）? 答：水果店运来的西瓜和哈密瓜共 900 个。? ? 例 7：一次数学竞赛，某校六年级学生参加的人数是未参加的 3 倍，如果六 年级人数学生减少 16 人， 未参加的学生增加 8 人， 那么参加的是未参加的 2 倍。 六年级总人数是多少？? 解：根据“六年级学生参加的人数是未参加的 3 倍” ，选择设未参加的人数 为 X，参加的为 3X。? ? 变化前? 变化后? 3X? 4X\16\(?X+8)=3X\24? 参加? X? X+8? 未参加? 4X? 4X\16? 一共? 根据“参加的是未参加的 2 倍”得方程：? 3X\24=2（X+8）? 解得，X=40? ? ? ? ? ? ? ? 总人数 4X=160（人）? 答：六年级总人数 160 人。? ? 超常 123 班学案 4：今年兄弟俩的年龄和是 55 岁，曾经有一年，哥哥的年 龄刚好是弟弟今年的年龄， 而那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的 2 倍。兄弟俩今 年分别多少岁？? 解：根据“那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的 2 倍”设那时弟弟年龄为 X， 则那时哥哥年龄为 2X。隐含信息：年龄差为 X? ? 哥哥? 弟弟? 2X? X? 曾经有一年? 2X+X=3X（年龄差不变为 X）? 2X（曾经有一年，哥哥的年龄刚 今年? 好是弟弟今年的年龄）? 今年兄弟俩的年龄和是 55 岁，列方程? 3X+2X=55? 解得 X=11? ? ? ? ? ? 哥哥今年：3X=33；弟弟今年：2X=22? ? ? ? ? 答：哥哥今年 33 岁；弟弟今年 22 岁。? ? 例 8：甲乙丙三人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁；当乙的年龄是 丙的 2 倍时，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁？?2011 春季班三年级超常班? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学而思? ? 侯晓琳? ?解：由“当甲的年龄是乙的 2 倍时，……”可知年龄：甲＞乙；? 由“当乙的年龄是丙的 2 倍时，……”可知年龄：乙＞丙；? ? ? ? ? ? ? 综上，甲＞乙＞丙? 根据“当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁”设这时乙 X 岁，则甲 2X。? 隐含条件甲乙年龄差：甲\乙=X；? ? ? ? ? ? ? ? ? 甲丙年龄差：甲\丙=2X\22.? ? 甲? 乙? 丙? 2X? X? 22? 年份 1? 31? 31\X? 年份 2? 31\（2X\22）=53\2X?（甲乙年龄差：甲\乙=X）? （甲丙年龄差：甲\丙=2X\22）?60? ? 年份 3? ？? 根据“当乙的年龄是丙的 2 倍时，甲是 31 岁” ，列方程：? 31\X=2（53\2X）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解，得? ? X=25? 至此，表格信息已全，无论原题问什么都可求：? ? 甲? 乙? 丙? 2X=50? X=25? 22? 年份 1? 31? 31\X=6? 53\2X=3? 年份 2? 60? ? 年份 3? ？=32? ? ? 或由甲\丙=2X\22=28 直接列式：60\28=32? ? ? 答：当甲 60 岁时，丙是 32 岁。?上传时间：
学会求解三元一次不定方程的自然数解,并能灵活运用以求解相关应用题.
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