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众数、中位数和平均数
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征一. 众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集 中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中 以平均数的应用最为广泛.众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做 这组数据的众数． 中位数:将一组数据按大小依次排列，把处在最中 间位置的一个数据（或最中
间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数． 平均数: 一组数据的算术平均数,即x=1 n(x1 ? x2?? ? xn)练习:在一次中学生田径运动会上， 参加男子跳高的17名运动员的成绩 如下表所示：成绩 (单位 米) 人数 1.5 1.6 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.9023234111分别求这些运动员成绩的众数、中 位数和平均数二 .众数、中位数、平均数与频率分 布直方图的关系频率 组距0.5 0.4 0.3 0.2 0.1O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)频率 组距0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)三.三种数字特征的优缺点 1.众数体现了样本数据的最大集中点， 但它对其它数据信息的忽视使得无法客 观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t, 它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数 比月均用水量为其它数值的居民数多,但 它并没有告诉我们多多少.2.中位数是样本数据所占频率的 等分线，它不受少数几个极端值的影 响，这在某些情况下是优点，但它对 极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量 为10t，那么它所占频率为0.01,几乎 不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。3.由于平均数与每一个样本的数 据有关，所以任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的改变，这是众数、 中位数都不具有的性质。也正因如此 ， 与众数、中位数比较起来，平均数可 以反映出更多的关于样本数据全体的 信息，但平均数受数据中的极端值的 影响较大，使平均数在估计时可靠性 降低。四.众数、中位数、平均数的简单应用例1 .某工厂人员及工资构成如下：人员 周工资 人数 合计 经理 0 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 合计 100 1 23 100 6900（1）指出这个问题中周工资的众数、中 位数、平均数; （2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？思考:某 工厂有 经 理1人, 另有 6 名管理 人员, 5 名高 级 技 工,10 名工人和1名学徒 .现 在需要 增加一名新 工人.小张前来应聘, 经理说 : & 我公司报 酬不错, 平均 工资1 500 元 .&小张工作几天后找到经理说 : & 你欺骗 了我, 我问过 其 他工人, 没 有一个工人的月工资超过 1000 元 .平均工资怎 么可能 是1500 元呢 ?& 经理拿出 如下工资表说 : & 你看, 平均工资就是1500 元 .&人员 经理 管理人员 技工 工人 0 0 10 学徒 500 1 500 23 34500 合计月工资 11000 人数 合计 1 11000小结：1.众数、中位数、平均数的概念;2.众数、中位数、平均数与频率分布 直方图的关系.
平均数中位数众数之间的区别与联系 一、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述 数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的...2 015 中考数学精选例题解析 平均数、众数与中位数知识考点: 1、了解总体、个体、样本及样本容量等基本概念; 2、理解平均数、加权平均数、众数及中位数的概念,...怎样选择平均数、众数、 怎样选择平均数、众数、中位数我们知道平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征数,那么,要辨析平均数、众数、中 位数哪一个更.... 平均数、中位数、众数的相同点和不同点一、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表 现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映...如何辨析平均数、众数、中位数哪一个更具代表性 如何辨析平均数、 众数、 今天教完中位数以后,发现部分学生对平均数、众数、中位数需要进一步明 晰三个统计量...平均数、中位数、 平均数、中位数、众数的区别与联系 平均数、中位数、众数三者都可以用来表示一组数据的总体水平。 1、当数据都比较均匀时,用平均数表示比较...2 013 中考数学精选例题解析 平均数、众数与中位数知识考点: 1、了解总体、个体、样本及样本容量等基本概念; 2、理解平均数、加权平均数、众数及中位数的概念,...(1)根据上述数据完成下表: 甲队游客年龄 乙队游客年龄 平均数 15 中位数 15 众数 15 方差 471.4 (2)根据前面的统计分析,回答下列问题: ①能代表甲队游客...思考 1. 如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数? 例:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的...平均数、中位数和众数的求法_物理_自然科学_专业资料。平均数、中位数和众数的求法一、求平均数 (1)当数据较少或较小,且没有重复出现时,用公式 x ? 为...
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2.1 名词解释
& & &2.1.1
& & & & &&又称。是一种统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹或表示数据分布的情况。 一般用表示数据类型，纵轴表示分布情况。
& & &2.1.2 数据计量尺度
& & & & & 指对计量对象量化时采用的具体标准，它分为四类：定类尺度、定序尺度、定距尺度和定比尺度。
& & &2.1.3 集中趋势
& & & & & 指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。（、、）
& & &2.1.4 离中趋势
& & & & & 指一组数据向某一中心值分散的程度，它反映了各个数据远离其中心点的程度，它从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度。（，，
　　，，，）
& & &2.1.5
& & & & &&数据分布的不对称性称作偏态。
& & &2.1.6
& & & & & 峰度是指数据分布的尖鞘程度或峰凸程度。
2.2 数据的计量尺度
& && &&&&&数据的计量尺度一览表
& & & & &&
逻辑与数学运算
等于、不等于
性别、民族、职业
等于、不等于、大于、小于
职称、健康状况、质量等级
等于、不等于、大于、小于
加法、减法
年份、摄氏温度、纬度
等于、不等于、大于、小于
质量、长度、能量
2.3 数据的集中趋势
& & &2.3.1 定量数据：
& & & & & 平均数是概括数据的一个强有力的方法，它通过消除极端数据的差异将大量的数据浓缩成一个数据来概括，可以较好地实现数据集中趋势的度量，但这种过度的 　　浓缩使其存在容易受极端值影响的缺点。
& & & & & 比如数列1，2，2，3直方图面积的50%在平均数2的左边，50%在平均数的右边，每一个数占25%的频率。但当改变数列中最后一值，3变为5或者7&。由于 　　每个数的频率为0.25，因此最后一个的变化不会影响数的频率，但由于数据值的变化，使得平均数发生了变化。
& && &&&&&平均数随极端值的变化而变化，而且有向极端值靠近的趋势，因此平均数容易收到极端值的影响。
& & &2.3.2 顺序数据：和
& & & & & &一组数据按大小顺序排列后，处在数列中点位置的数值，称为中位数。中位数从中间一个点将全部数据分为两部分。
& & & & & 中位数主要用于测试顺序数据的集中趋势，当然也适用于作为定量数据的集中趋势，但不适合分类数据。
& & & & & 中位数的计算：
& & & & & 1.当n为奇数，中位数等于(n+1)/2个数对应的值。
& & & & & 2.当n为偶数，中位数等于n/2和n/2+1的两个数的平均值。
& & & & & 中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在分析收入分配等数据时很有用。
& & &2.3.3 分类数据：
& & & & & 它主要适用于分类数据，当然也适用于顺序数据和定量数据。一般只有在数据量较大的情况下，众数才有意义。
& & & & & 众数是指一组数据中出现次数最多的变量值。其主要特点是不受极端值的影响，但在一组数据中众数不唯一，有可能有多个众数或者没有众数。
2.4 数据的离中趋势
& & &2.4.1
& & & & & 极差也叫全距，是一组数据中的最大值和最小值的差距。公式表示为：极差= 最大值-最小值如果统计数据已经整理过，并形成，则极差的近视值为： 　　极差= 最大组的上限-最小组的下限
& & & & & 极差是测定离中趋势的一种简便方法，它能说明数据组中各数据值的最大变动范围，但由于它根据数据组的两个极端值进行计算的，没有考虑到中间值的变动情 　　况，所以不能充分反映数据组各项数据的离中趋势，只是一个较粗糙的测定数据离中趋势的指标。
& & & & & 在实际应用中，极差可用于粗略检查产品质量稳定性和进行质量控制。因为在正常生产的条件下，产品质量比较稳定，误差总在一定范围内波动。如有不正常情 　　况，误差将会超出一定范围。利用极差有助于及时发现问题。
& & &2.4.2 分位距
& & & & & 分位距是全距的一种改进，它是从一组数据中剔除了一部分极端值后重新计算的类似于全距的指标。（、八分位距、十分位距）
& & & & & 四分位距是第三个四分位数减去第一个四分位数的差的一半。它排除了数列两端各25%单位标志值的影响，反映了数据组中间部分各变量值的最大数与最小数 　　距离中位数的平均离差。
& & & & & 例：计算数列7，6，8，9，8，4，8，6的四分位距。
& & & & & a、将数列按从小到大排序：4，6，6，7，8，8，8，9
& & & & & b、分成4等份：4，6 | 6，7 | 8，8 | 8，9
& & & & & c、第一个四分位数 = (6+6)/2=6 ；第二个四分位数 = (7+8) /2=7.5，第三个四分位数 = (8+8)/2 = 8
& & & & & d、这组数据的四分位距为：(8-6)/2=1
& & & & & 这种为了消除极端变量值对测定结果影响的方法，在实际生活中也是常用到的。比如在奥运比赛中，去掉评委一个最高分，一个最低分，然后再计算平均值，就 　　是为了消除极端变量值对选手得分的影响。
& & &2.4.3
& & & & & 平均差是数据组中各数据值与其算术平均数离差绝对值的算数平均数，常用符号&M.D&表示。
& & & & & 普通平均差计算：
& & & & & 加权平均差计算：
& & & & & 平均差是反映各标志值与算术平均数之间的平均差异。平均差越大，表明各标志值与算术平均数的差异程度越大，该算术均数的代表性就越小；平均差越小，表 　　明各标志值与算术平均数的差异程度越小，该算术平均数的代表性就越大。当变量数列是由没有分组的数据组或分组后每组的次数相等的数据组成时采用。
& & & & & 例：设某车间有两个班组，各有10名工人，其日产量如下表（表2.5.3）：
& & & & & 甲组的平均值为：（4+7+11+14+14+16+17+24+25+28）/10=16
& & & & & 乙组的平均值为：（7+12+14+14+15+17+17+19+20+25）/10=16
& && &&&&&则两组工人日产量的平均差计算过程如下：
离差绝对值
离差绝对值
& && &&&&&两组工人的平均差为：
& && &&&&&甲组平均差= 60/10 = 6
& && &&&&&乙组平均差= 36/10 = 3.6
& && &&&&&也就是说，在甲，乙两组工人平均日产量相同的情况下，甲组数据的离散程度比乙组更大。
& && &&&&&由于平均差是根据数列中所有数值计算出来的，受极端值影响较小，所以对整个统计数列的离中趋势有比较充分的代表性。
& & &2.4.4 与
& & & & & 方差是数据组中各数据值与其算术平均数离差平方的算术平均数。方差的平方根就是标准差。
& & & & &&
& & & & & 以表2.5.3为例，计算标准差如下：
& & & & &&
& & & & & 两组的平均差为：&
& & & & & 甲组：7.40
& & & & & 已组：4.63
& & & & & 结论可看出，甲，乙两组工人平均日产量相等的情况下，甲的标准差比乙大，所以其平均数的代表性比乙小。
& & & & & 标准差的实质与平均差基本相同，只是在数学处理方法上与平均差不同，平均差是用取绝对值的方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出平均离差；而 　　标准差是用平方的方法消除离差的正负号，然后对离差的平方计算算术平均数，并开放求出标准差。即克服了平均差消除正负号带来的弊病，又增加了指标本身 　　的&灵敏度&，这些有点，使他成为各种离中趋势指标中的重要一种。
& & & & & 标准差的性质：
& & & & & a，标准差度量了偏离平均数的大小。
& & & & & b，标准差是一类平均偏差。
& & & & & c，标准差指出了数列中的数离它们的平均数有多远。数列大多数项离开平均数大约1个&。极少数项将离开2个或3个&以上。一般来讲，一个数列中约68%的项 　　在离平均数的1个&范围内，其余的32%离的较远。约95%的数据在距平均数的2个&范围内，其余的5%则较远。
& & &2.4.5
& & & & & 极差、平均差、标准差都是对数据的离中趋势进行绝对或平均差异的测定。在通常情况下，它们都带有计量单位，而且其离中趋势大小与变量平均水平的高低有 　　关。因此，要比较数据平均水平不同的两组数据的离中程度的大小，就有必要计算它们的相对离中程度指标，即离散系数。&
　　　　常用的是标准差系数，用CV(Coefficient of Variance)表示
　　　　CV(Coefficient of Variance):与的比率。
　　　　用公式表示为：CV=&/&
　　　　例：有甲、乙两班同时参加统计学原理的课程测试，甲班平均成绩为70分，标准差为9.0分，乙班的成绩如下
按成绩分组（分）
学生人数（人）
　　　　比较甲乙两班哪个班的成绩更有代表性？
　　　　解：计算如下（公式难打，截图如下）
2.5 数据分布的测试
&&&&&在描述性统计中，一组数据的特征除了使用集中趋势和离中趋势来描述外， 还使用其分布的形状来分析。数据分布形态的测度主要是以为标准进行衡量，曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交，曲线的高峰位与正中央，即均数所在的位置。
& & &一组数据的分布形状是通过直方图将该数据分布在数轴上拟合出一条曲线，将曲线的尖鞘程度和对称性与正态分布曲线相比较，其测试指标包括和。
2.5.1 数据偏态及其测定
& && 通常分为右偏（正偏），左偏（负偏）两种。它们是以对称分布为标准相比较而言的。在对称分布的情况下，平均数、中位数与众数是合二为一的，即。在偏态分布的情况下，平均数。中位数与众数是分离的。如果众数在左边，平均数在右边，即数据的极端值在右边，数据分布曲线向右延伸，则称为右向偏态。右向偏态，众数的数值越小，平均数的数值越大，平均数与众数之差为正值，所以右向偏态又称正向偏态。相反即为左向偏态（负向偏态）。
& & &测定偏态的指标是。偏态系数（SK）是对数据分布的不对称性（偏斜程度）的测度。偏态系数有多种计算方法，常用以下公式（s表示样本标准差）：
&&&&&根据数据计算出SK后，SK含义如下
&&&&&SK=0，分布是对称的。
&&&&&SK&0，分布呈负偏态，SK值越小，负偏程度越高。
&&&&&SK&0，分布呈正偏态，SK值越大，正偏程度越高。
2.5.2 数据峰度及其测定
& & &根据变量值的集中与分散程度，峰度一般表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
& & &测定峰度的指标是。峰度系数（K）是对数据分布的尖峭程度的测度。峰度系数有多种计算方法，常用公式如下：
& & &根据计算出K后，K的含义如下。
& && K&0，呈平顶峰度。
& & &K&0，呈尖顶峰度。
2.5.3 数据偏度和峰度的作用
& & &在实际的数据分析过程中，偏度和峰度的作用主要表现在以下两个方面。
& & &一是将偏度和峰度结合起来检查样本的分布是否属于正态分布，以便判断总体的分布。如果样本偏度接近于0而峰度接近于3，就可以判断总体分布是接近于正态分布的，用样本来对总体进行测定时就可以看成是正态分布，否则就可以进行否认。
& & &二是利用资料之间存在的偏度关系，对算术平均数、众数、中位数进行推算。一般情况下，只要分布不是正态的，算术平均数。众数、中位数之间都存在以下关系。
& & &右偏时：；左偏时：
& & &在偏度适度时，不论右偏还是左偏，三者间的距离有近似的固定关系，即中位数与算术平均数的距离，约等于众数与算术平均数距离的1/3。可得以下关系式：
2.6 数据的展示-统计图
&统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示统计大小关系和变动情况的各种图的总称。（条形图、扇形图、折线图、、）
2.6.1 SPSS画统计图
　　录入数据
2.6.2 Excel画统计图
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阅读(...) 评论()平均数、中位数、众数 三者的联系与区别
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平均数、中位数、众数 三者的联系与区别
个人理解，说简单点：一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时，一般用中位数一组数据比较多（20个以上），范围比较集中，一般用众数其余情况一般还是平均数比较精确一、联系与区别：　　1、平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。　　2、中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置，　　3、众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向．二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点．平均数：(1)需要全组所有数据来计算；&&&&&&&&&&&&&&&(2)易受数据中极端数值的影响．中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定；&&&&&&&&&&&&&&&(2)不易受数据中极端数值的影响．&&众数：(1)通过计数得到；　&&&&&&&&&&(2)不易受数据中极端数值的影响关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解，我简单谈谈自己的认识和理解。&&&⒈众数。&&一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。&&&⒉众数的特点。&&&①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。&&&&3.众数与平均数的区别。&&&&众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。&&&4.中位数的概念。&&&&一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。&&&5.众数、中位数及平均数的求法。&&&①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。&&&&6.中位数与众数的特点。&&&⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据；&&&⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数；&&&⑶中位数的单位与数据的单位相同；&&&⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；&&&⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；&&（6）众数可能是一个或多个甚至没有；&&（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。&&&&&7.平均数、中位数与众数的异同：&&&⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；&&&⑵平均数、众数和中位数都有单位；&&&⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；&&&⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；&&&⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。8.统计量。&&&&平均数、众数和中位数都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。9.举手表决法。&&&&在生活中，往往会有由多数人来从众多答案中选择一个的情形，一般都利用“举手表决”方式来解决问题。即在统计出所有提议及相应票数的情况下，看各票数的众数是否超过总票数的一半，如果众数超过了总票数的一半，选择的最终答案就是这个众数。如果出现了双众数（两个众数），可对这两个众数采用抓阄、抽签或投掷硬币等办法选出最终的答案。&&&&10.平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义。&&&&平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是生活中的多数情况；中位数说明的是生活中的中等水平。&&&&&11.如何通过平均数、众数和中位数对表面现象到背景材料进行客观分析。&&&&在个别的数据过大或过小的情况下，“平均数”代表数据整体水平是有局限性的，也就是说个别极端数据是会对平均数产生较大的影响的，而对众数和中位数的影响则不那么明显。所以，这时要用众数活中位数来代表整体数据更合适。即：如果在一组相差较大的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量往往更有意义。算数平均数、中位数与众数——统计量背后的故事现代经济社会的数字化程度越来越高，我们会发现在我们生活的这个世界里充斥着各种各样的数字。人们在描述事物或过程时，人们也已经习惯性的偏好于接受数字信息以及对于各种数字的整理和分析。因此，社会经济统计越发的重要。统计学一定是基于现实经济社会发展的需要牵引而不断发展的。在运用统计方法、观察统计数字时不能仅仅看到数字，更要看到数字背后的故事。其实统计学作为一门工具能够帮助我们更为深刻的理解抽象的社会经济现象。当我们仔细发掘其中涵义就会发现，其实自然科学与社会科学并不是相隔千里，它们有着很多地方可以相互的对应，存在普遍而深刻的联系。笔者曾在为一些本科学生讲授统计学而准备教案时，产生了一些似乎有些勉强，但的确可以训练思维的想法。下面以对于如何理解“算数平均数、中位数与众数”之间的关系为例说一说统计量背后的故事。这三个统计量都是用来描述样本集中趋势的，但三者描述的机制和所表达出来的内涵有不小的区别。算数平均数这样一个统计量反映了样本内所有个体的信息，尽管反映的程度因个体在整体中所占比重不同而不同。在政治过程中，算数平均数与完全的平均主义、严格的每人一票、“全民公投”等相对应。中位数指的在是从小到大排序之后的样本序列中，位于中间的数值，它并不能反映所有样本个体的信息，仅仅考虑的是在相对位置上中间的样本的信息。在一个社会中，按照财富和社会地位进行排序位于中间位置的是中产阶级。中产阶级的意见受到重视的社会是一个较为稳定的社会，是一个有了较高发展程度的社会。众数指的则是在样本中出现次数做多的个体。很明显，在政治过程中这是与“少数服从多数”相对应的。出现次数最多的个体信息被表达出来，其他个体的所有信息完全被忽视。那个个体票数最多，它的利益得以实现，而少数人的利益则不能够得到保证。这恰恰证明了所谓民主的局限之一，即“多数人对少数人的暴政”。在一个社会里，完全的平均主义会使人们失去进取的动力，“全民公投”的成本极高并且也不能保证个体表达出其真实意愿，因此这并不是理想的政治过程。在改革开放之前实行的计划经济体制最终走下了历史舞台也正是因为我们清楚地认识到了这样的问题；我们反对台湾当局针对台湾是否独立实行“全民公投”也正是基于这一点。那么美国式的民主，即“少数服从多数”是否理想呢？民主是有局限性的，如此的政治过程不能够保护少数人的利益，正是其重要的缺陷之一。况且如果需要政府来保障那些不能通过政治过程实现自身利益的个体，成本极高。相对而言，使中产阶级的利益得以表达，将会形成一个稳定的社会结构，市较为理想的政治过程。人们会有不断进取的心态使自己成为中产阶级，同时最富裕的阶层也受到了一定限制，从而不会凭借其财富垄断社会的公共资源，为整个社会提供了一套阶层之间相互流动的渠道和机制。当然，如此的政治过程仍然是具有一定局限性的。比如仍然会有部分弱势群体的利益得不到保护。但是，相对于“少数服从多数”的政治过程，政府出面保护弱势群体的成本将低得多了。那么我们能不能为社会提供一个最为理想的政治过程呢，哪怕那仅仅是一种理想呢？或许可以。在统计学中，最理想的情况是反映集中趋势的三个统计量相互重合，即算数平均数、中位数和众数相等。这种情况下的社会结构分布可以被看作为正态分布。中产阶级的在数量上占整体的多数，即为富裕与极贫困者皆为少数；中产阶级通过民主的政治过程表达出自身的利益取向；平均看来整个社会在一个较高的发展水平上运行。教参上说了他们三者的联系“重视理解平均数、中位数与众数的联系与区别。&&&&描述一组数据的集中趋势，可以用平均数、中位数和众数，它们有各自不同的特点。&&&&平均数应用最为广泛，用它作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数据都有关系，能够最为充分地反映这组数据所包含的信息，在进行统计推断时有重要的作用；但容易受到极端数据的影响。&&&&中位数在一组数据的数值排序中处于中间的位置，故其在统计学分析中也常常扮演着“分水岭”的角色，人们由中位数可以对事物的大体趋势进行判断和掌控。&&&&众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数往往是我们关心的一种统计量。&&&&在这部分知识的教学中，要注意讲清上述三个量的联系与区别。使学生知道它们都是描述一组数据集中趋势的统计量，但描述的角度和适用范围有所不同，在具体的问题中究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。”有个顺口溜&&&&分析数据平中众，比较接近选平均，相差较大看中位，频数较大用众数；　　&所有数据定平均，个数去除数据和，即可得到平均数；大小排列知中位；　　&整理数据顺次排，单个数据取中问，双个数据两平均；频数最大是众数
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