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★数学的本质是什么?数学追求的终极目标是什么?★
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数学是人类建立的一种数理的逻辑关系,也是帮助人类客观的认识世界,改变生活方式及生活环境的一种重要的基本工具.它要配合物理,化学,生物,等多种重要的学科才能发展生产力丰富人类的物过程与方法从物质以及精神方向看,数学追求的方法过程,以及宇宙本源.相信一句话,数学关键时刻能救命个人观点仅贡参考
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数学的本质是对世界的抽象思维方法。终极目标是能表达，模拟，解释和预测世界。 wq881103 说的是对的。
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数学中s代表什么?
mzttuce413
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行程中表“路程”,图形中表“面积”,三角形全等中表“边”,时间中表“秒”……
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S代表三角形的边
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数学符号“：”表示什么意思
看数学公式时，遇到一些符号不太理解什么意思。
（1）加和符号下面k的取值有什么不同吗？
（2）任意符号管到什么位置，使用任意符号时需要每个自由变量前都加上一个任意符号吗？
（3）这里的数学符号“：”怎么解释？
“了”？？？
多谢指点！
Nk确实是一个集合，你的举例和我的问题是一样的，我一开始也是如你所想，但是那个求和下标外面加了一个大括号，我就晕乎了。
按说大括号是表示集合，难道不加大括号就是k只取一个值就可以了。
另外那个数学符号“：”是什么意思，你知道吗？
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扫描下载送金币&p&大二的时候转专业：从应用电子方向转到数学系，貌似是学校历史上少有的特例，虽然年年都有转出去的，但是鲜有转进数学系的。每年大二开始的时候每个系前几名的同学有机会转专业，我是第二名，也就获得了这样的资格。现在看来，那是非常冲动的决定：进入大学不久后，我就在课余时间看数学系的教材，由于我高中的时候就自学过微积分，所以我在高数课上看自己喜欢看的数学书。虽然老师一开始还有点“意见”，不过在我考了满分之后他就没意见了，还问我想没想去数学系听课。那个时候我已经决定我要转去数学系了，因为我不能骗自己，我明明那么喜欢数学，为什么不走？虽然自己我在物理系排名很靠前，虽然我可以选择在考研的时候转，但是我还是选择在大二转。我不喜欢给自己留退路，在那时的我看来“留退路”等于“不忠诚”。最重要的原因是，我再也无法压抑把”自己泡在自己所爱之物”的冲动。什么就业率，什么前途，去他妈的！当然了，事后来看，我的选择是对的。我在数学上做得还不错，顺利到了博士后。&/p&
大二的时候转专业：从应用电子方向转到数学系，貌似是学校历史上少有的特例，虽然年年都有转出去的，但是鲜有转进数学系的。每年大二开始的时候每个系前几名的同学有机会转专业，我是第二名，也就获得了这样的资格。现在看来，那是非常冲动的决定：进入大学…
&p&数学系的孩子们开始学一门数学课程的时候，一件最重要的事就是选一本好的教材，你可能会去知乎、豆瓣、当当、亚马逊上挑书，但是备选项确实是太多了。笔者现在结束了大二的学习，特来总结这两年读过的数学教材，并且对它们进行了比较。&/p&
&p&你可以从下文收获什么？首先，由于笔者两年来选书水平的提升，这里大部分书籍都是十分优秀的，所以你会获知一批好教材，不如就从下面的书中挑选你的数学教材；其次，你可以快速地了解到这些书籍最大的优点和缺点，帮助你更好地挑选适合你的教材。&/p&
&p&由于对以下的书籍的评价全部都是笔者个人完成的，势必具有不可摆脱的局限性和主观色彩，希望大家能够撷取到对自己有用的信息。&/p&&br&&p&我们看一本书之前，最关心的有两个问题，这本书到底好不好和这本书难不难。我们把这两个问题作为我们评判一本书的两个基本指标，这两个基本指标主要依赖于三个细化指标：内容的丰富性、内容的完备性和讲解的细致与否（当然还会综合笔者的读书体验）。我们用五颗星星来为这几个指标量化。需要说明的是，不一定笔者评价高的就最适合你，大家应该要结合每本书的特点，因材施教。（以下【】括号内是对五颗星星的解释说明）&/p&&br&&ol&&li&推荐指数：对此书好不好的总体评价，个人主观色彩强。（以下因素的综合考虑）【差、不太行、平庸、还不错、很好】&br&&/li&&li&阅读指数：对此书难不难的总体评价。（正比于阅读速度）【艰深晦涩、难读、一般、好读、一目十行】&br&&/li&&li&内容丰富：对此书内容广度的评价。【狭隘、基本、有补充、广、极广】&br&&/li&&li&内容完备：对此书内容系统性、完备性的评价。【碎片化、基本、还不错、完备、极完备】&br&&/li&&li&讲解细致：对此书讲解证明细节和思想的细致程度的评价。【不拘小节、粗略、一般、细致、巨细无遗】&br&&/li&&/ol&&p&对于笔者没有深入阅读的书籍，会注上（*）以表说明。&/p&&img src=&/v2-951b1ddace8ebacd4a3e3_b.png& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-951b1ddace8ebacd4a3e3_r.png&&&h2&一、数学分析&/h2&&p&1.《数学分析教程》（常庚哲、史济怀）：推荐指数★★★☆☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★☆☆&/p&&p&内容完备：★★☆☆☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：这套书的&b&习题&/b&具有&b&竞赛风格&/b&、难度不小、锻炼思维，价值密度远高于吉米多维奇，选材没有过多亮点。完备性方面较国外教材稍逊，很多概念没有站在一般的情形说明。是一本&b&中规中矩&/b&的理科类数学分析教材，还满足不了数学系的要求，但远胜于普通工科类微积分。&/p&&p&2.《Mathematical
Analysis》（Zorich）：推荐指数★★★★★
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：许多人认为Zorich这套书难读，但实际上他&b&讲解清晰细致&/b&，定义的严谨性和一般性，降低了阅读的难度。但是他的&b&习题难度很大并且表述模糊&/b&。这是一本适合数学系学生阅读的教材，也被我校某位教授用作数分教材，适合初学者自学（英文版）。《数学分析讲义》（陈天权）也被我校某位教授用作数分教材。&/p&&p&3.《Principles of
Mathematical Analysis》（Rudin）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：Rudin这本书写得&b&简练&/b&，对于每块知识都去直接处理最一般最核心的定理，这导致读者获取不到足够多的细节和直觉令人感觉&b&比较抽象和不自然&/b&，阅读难度增大了很多，这也是为什么我初学的时候读不下去Rudin的书。但辩证地看，这是一本很好的&b&参考书&/b&，在学数分的过程中，可以利用这本书作知识的深入探究。&/p&&p&4.《Fourier Analysis》（Stein）：推荐指数★★★★★
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：Stein的写书风格十分&b&平易近人&/b&，他会讲解来龙去脉，非常&b&适合自学&/b&。此书较数学分析教材中的傅立叶分析，自然定义得更加严谨、一般，材料也更多。&/p&&br&&h2&二、线性代数&/h2&&p&5.《高等代数学》（张贤科、许甫华）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★☆☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：这本书的很多知识都非常&b&碎片化&/b&，尽管结果都是&b&一般性&/b&的，但是整体组织不好，读起来令人思绪有些混乱。“&b&硬着头皮只管去证&/b&”的风格，让人很难体会到证明的思想和精髓。但本书&b&习题非常好&/b&，难度不小、锻炼思维。此书优点和缺点都太明显，所以难以给一个具体的推荐指数。&/p&&br&&h2&三、抽象代数&/h2&&p&6.《抽象代数学》（姚慕生）：推荐指数★★☆☆☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★☆☆☆&/p&&p&内容完备：★★☆☆☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：这本书最大的缺点就是所使用的&b&术语极不规范&/b&。内容方面&b&中规中矩&/b&。书比较薄，初学者仍可用它&b&入门&/b&抽象代数，这也是我校抽象代数课程的教材。&/p&&p&7.《Algebra》（Artin）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★☆☆☆☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：这本书&b&广度极大&/b&，从线性代数到抽象代数，从交换代数到代数几何，能够带你涉猎有关代数的所有本科领域。这当然会带来&b&系统性不强&/b&的不足，但这不能称之为此书的缺点，因为这本书亮点就是广度。阅读难度不大，&b&适合自学&/b&。&/p&&p&8.《Algebra》（Hungerford）：推荐指数★★★★★
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：人们学抽代往往会遇到一个事实对于更加一般化的结构还成不成立的问题，但这个问题在这里不存在，这本书的所有表述所有命题都是&b&极其严谨极其一般化&/b&的。他的证明也是&b&巨细无遗&/b&，不会人为设置任何读不懂越不过的坎。不要认为这种一般性的书不适合初学者阅读，代数方面给初学者一个最普适的基础绝不是坏事。&/p&&p&9.《An Introduction to the
Theory of Groups》（Rotman）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：这是一本高级群论入门书，Rotman写书风格&b&行云流水&/b&，读的时候感觉不到多么出人意料也感觉不到多么晦涩难懂，平平淡淡就能掌握得很牢固。他的&b&知识与习题配合&/b&的很好。适合想深入学习群论的同学。&/p&&p&10.《Basic Algebra》（Jacobson）：推荐指数★★★☆☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：这是两本大部头，线性代数、抽象代数、交换代数、同调代数都&b&十分详尽&/b&。但是其证明风格也是“&b&硬着头皮只管去证&/b&”，读者想要获取证明的精髓和思想要自己花一番大功夫。这被用作我校代数学前沿基础的教材。&/p&&br&&h2&四、常微分方程&/h2&&p&11.《Ordinary
Differential Equations》（Arnold）：推荐指数★★★☆☆
阅读指数★☆☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★☆☆&/p&&p&讲解细致：★☆☆☆☆&/p&&p&特点：Arnold写书可以说非常&b&不拘小节&/b&了，他一小段给出的证明，我们老师写了好几页。此书&b&不教如何解&/b&常微分方程，而是更加侧重&b&几何地研究&/b&方程性质，在我看来更像是动力系统的入门书。读这种证明模糊的书，一定要配一个极其严谨的老师，这样才不会出现读完了这本书但实际上什么都没掌握的情况。&/p&&h2&五、微分流形&/h2&&p&12.《An Introduction to
Manifolds》（Tu）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：学习流形一定要用一本这样的书，数学分析里的流形都是欧氏空间中的曲面，其记号和处理方法因为欧氏空间的特殊性而变得有些混乱。这种流形导论的书一般都是&b&巨细无遗&/b&、&b&十分严谨&/b&的，帮助初学者理清概念。我个人认为流形的学习就是要把流形和坐标系分开，最后再拍在一起，这种书就是在完成第一个分开的阶段。&/p&&p&13.《Introduction to
Smooth Manifolds》（Lee）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：内容较上书丰富。&/p&&h2&六、概率论&/h2&&p&14.《概率论》（杨振明）：推荐指数★★★☆☆
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★☆☆☆&/p&&p&内容完备：★★★☆☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：这本书较一般的概率论书籍，包含了很多&b&深刻、一般性&/b&的结果，并且还是一本&b&非常薄&/b&的书，&b&广度稍微欠缺&/b&但是足以满足本科概率论课程需求，这也是我校概率论的教材。&/p&&p&15.《Probability Theory》（Klenke）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：这本书&b&内容极其丰富&/b&。他从&b&抽象测度论&/b&来建立概率论，上书由于篇幅无法囊括这种推导过程，也就无法施展测度论的强大力量。用这本书学习概率论，与实分析的学习互为耦合。&/p&&h2&七、实分析&/h2&&p&16.《实变函数论》（周民强）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★☆☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：此书着重于讲Lebesgue测度与积分，所以&b&未提及抽象测度论&/b&，这也是我校测度与积分课程的教材。此书习题具有&b&竞赛风格&/b&、难度不小、锻炼思维，它也包含了非常多的鬼斧神工出人意料的例子。&/p&&p&17.《Real and Complex
Analysis》（Rudin）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：此书讲抽象测度论，并且有&b&非常多的重要结果&/b&，在其他的实分析书上都难以见到。&/p&&p&18.《Real Analysis》（Stein）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★★★&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：此书也讲了抽象测度论，但重心仍在Lebesgue测度与积分，一如既往的&b&平易近人&/b&的风格，&b&适合自学&/b&。&/p&&h2&八、复分析&/h2&&p&19.《复分析》（Ahlfors）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：此书&b&内容非常丰富&/b&，但可能是因为写作风格的原因使人读起来&b&不够顺畅&/b&。&/p&&p&20.《Complex Analysis》（Stein）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★☆&/p&&p&特点：此书内容非常丰富，一如既往的&b&平易近人&/b&的风格，适合自学。&/p&&p&21.《简明复分析》（龚昇）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：这本书&b&体积小内容深刻&/b&，不仅把复分析应用在微分几何上，还对多复变进行了简介，一些在普通复分析书上看不到的重要定理，均囊括在这里。我们老师称它是国内最好的复分析教材。&/p&&h2&九、拓扑学&/h2&&p&22.《拓扑学》（Munkres）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★★☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★★&/p&&p&特点：这本书的点集拓扑部分可以说是无人能出其右，我现在都把这本书当作字典来查，它的结果和证明都&b&巨细无遗&/b&。此书的代数拓扑部分也是非常好的代数拓扑入门。&/p&&p&23.《Algebraic Topology》（Hatcher）：推荐指数★★★★★
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★★★★&/p&&p&特点：Hatcher在这本书中给出了非常非常多的&b&几何直观&/b&，并以此引入代数拓扑的各种工具，被称为代数拓扑的“圣经”。&/p&&p&24.《Differential
Topology》（Hirsch）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★☆☆&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：这本书中的结果也是极具&b&一般性&/b&，但由于这些一般性结果的证明繁杂，书上的证明不得不进行了&b&跳步&/b&，这对阅读产生了较大障碍。&/p&&p&25.《Differential
Topology》（Guillemin, Pollack）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★☆☆&/p&&p&内容完备：★★★☆☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：这本书是&b&最基本&/b&的微分拓扑入门书，它的语言比较&b&古典&/b&，往往把流形嵌入到欧氏空间中考虑，不内蕴但非常实用，&b&适合初学&/b&。&/p&&h2&十、数论&/h2&&p&26.《Algebraic Number
Theory》（Neukirch）：推荐指数★★★★★
阅读指数★☆☆☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★★&/p&&p&内容完备：★★★★★&/p&&p&讲解细致：★★☆☆☆&/p&&p&特点：这本书中的结果都极具&b&一般性&/b&，这也造成了过于抽象、&b&艰深晦涩&/b&的问题。它的内容极其&b&丰富&/b&，从最基本的代数数论的几个定理，讲到了赋值理论、Riemann-Roch理论、类域论和L函数。&/p&&p&27.《数论》（加藤和也、黑川信重、斎藤毅）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★★★&/p&&p&特点：向&b&历史溯源&/b&，通过展示高斯等人考虑的数论问题，自然地建立现代数论。书中包含了很多作者对于数论的解读，向我们展示了她的思想精髓。&/p&&h2&十一、数学物理&/h2&&p&28.《经典力学的数学方法》（Arnold）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：内容非常丰富，适合数学系同学学习分析力学。&/p&&p&29.《力学和对称性导论》（Marsden）（*）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：所用的记号、工具比上书更为现代化。&/p&&p&30.《Topology, Geometry
and Gauge Fields》（Naber）：推荐指数★★★★☆
阅读指数★★★☆☆&/p&&p&内容丰富：★★★★☆&/p&&p&内容完备：★★★★☆&/p&&p&讲解细致：★★★☆☆&/p&&p&特点：与物理学家写的物理书不同，这套书以几何的角度数学的方式建立起了规范场论，没有随处可见的方程计算，没有数学系不熟悉的记号，但可以看到&b&数学和物理的密切耦合&/b&。是一本非常好的规范场论入门书，同时也是一本几何的应用书。&/p&
数学系的孩子们开始学一门数学课程的时候，一件最重要的事就是选一本好的教材，你可能会去知乎、豆瓣、当当、亚马逊上挑书，但是备选项确实是太多了。笔者现在结束了大二的学习，特来总结这两年读过的数学教材，并且对它们进行了比较。
你可以从下文收获什…
&p&谢邀。&/p&&p&关注过一些，都不是特别理想。有个叫《中国科学院数学与系统科学研究所》的，名字听起来很官方，但是发的文章学术性也不是特别强。《老顾谈几何》是我关注的公众号里面数学方面学术性最强的了，不过方向太单一，都是顾老师做的计算几何相关的内容。然后《赛先生》《中科院物理所》虽然是讲物理的，有时候也会转一些数学文章。然后还有什么《哆嗒数学网》啦，《好玩的数学》啦，《数学中国》啦，这种发的文章就良莠不齐了，大部分是初等数学解题的文章，有时候也会发一些高端一点的数学科普文，无聊的时候看一看打发时间好了。&/p&
谢邀。关注过一些，都不是特别理想。有个叫《中国科学院数学与系统科学研究所》的，名字听起来很官方，但是发的文章学术性也不是特别强。《老顾谈几何》是我关注的公众号里面数学方面学术性最强的了，不过方向太单一，都是顾老师做的计算几何相关的内容。然…
&img src=&/v2-2fe52ebe6bff_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-2fe52ebe6bff_r.png&&&p&我在业余时间一直在维护一个“欧拉计划”（Project Euler）的中文翻译站点：&br&&/p&&a href=&/?target=http%3A//pe-cn.github.io/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Project Euler | 欧拉计划&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&简单地说，&b&“欧拉计划”是一系列需要利用数学和计算机知识及技巧来解答的问题&/b&，自2001年10月开始，以每两周一题（后改为每周一题，每年暑假会有Summer Break）的速度发布，迄今为止共发布了607题。&br&&/p&&br&&br&&p&比如它的第1题是这样的：&/p&&br&&blockquote&&b&Multiples of 3 and 5&/b&&br&If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.&br&Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.&br&&br&&b&3的倍数和5的倍数&/b&&br&如果我们列出10以内所有3或5的倍数，我们将得到3、5、6和9，这些数的和是23。&br&求1000以内所有3或5的倍数的和。&/blockquote&&br&&p&我在2012年高考结束的暑假曾经在果壳上 &a href=&/?target=http%3A///post/256528/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&召集&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 过一些人一块儿做国外趣题（比如欧拉计划、UyHiP、IBM Ponder This等）的译介（主要受Matrix67博客的影响，当时M67大大经常做这些题），但是后来因为一些事就中断了，翻译也丢失了。到2015年我去Berkeley交换期间，决定重新开始做欧拉计划的翻译，然后从零开始，把现在这个翻译站做了起来。（详细经过可以参见 &a href=&/?target=http%3A//pe-cn.github.io/about/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&关于页面&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&/p&&p&除了“曾经做过”这个理由之外，还有一个原因就是当时官方提供的中文翻译站点几乎停止更新了，而且已翻译的数量也只有一半左右。于是在我终于赶上了进度（500+题）之后，我就给“欧拉计划”的管理员发邮件，把这个站点添上了官方推荐翻译站点的列表（见 &a href=&/?target=https%3A//projecteuler.chat/viewtopic.php%3Ff%3D12%26t%3D2636& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。&/p&&br&&p&也算特别骄傲的一点吧，就是目前这个官方推荐列表中，&b&只有&/b&我还在坚持翻译（呃虽然最近的两道题还没翻……），特别是，管理员在帖子中说：&/p&&blockquote&However, the task of translating is massive and would be very difficult for one person to undertake, particularly because new problems continue to be published. The Russian translations are undertaken by a highly organised and dedicated small team who share the responsibility and work extremely hard to keep the problems up to date.&br&然而，翻译的工作量非常庞大，&b&由个人承担这项工作将会是非常困难的&/b&，特别是新问题正在不断地被发布出来。本站的俄语翻译就是由一个非常有组织且具有奉献精神的小组进行的，他们共同承担责任并且非常努力地工作，以保证所有的题目都能及时地被翻译出来。&/blockquote&然而这个俄语翻译站点也已经停止更新了（笑），他们坚持到了481题。&br&&br&&p&Anyway，言归正传。本来我到USC之后因为一度偷懒所以欠了几十题的债，然后正好上个月底因为多说评论项目下线，就把站点评论改成Disqus，然后顺便把债都还了（所以现在翻到605题啦~），而且决定开始&b&重新整理校对以往的翻译&/b&。但是说实话，600+题重新过一遍真的是会死人的，特别是“欧拉计划”有很多题目是讲个故事顺便带个题……&/p&&br&&p&所以，在这里也算发个求助贴，希望各位走过路过，如果感兴趣的话：&/p&&ul&&li&关注Project Euler，去多做做题吧~（其实我只做了43题……）&/li&&li&积极指出翻译中的各类硬错误~（比如我刚顺手就发现有道题当中的1010其实应该是10^10），&b&可以在相应翻译页面的评论中提出，或者在GitHub上开Issue&/b&，我会定期看的&/li&&li&提出改善翻译的意见，特别是对于一些术语的翻译（我不能保证有些术语前后统一，还有很多是新发明的术语……我最头疼的就是pan-digital这个词，非常高频率地出现）&/li&&li&如果你有GitHub，给个star也是极好的（虽然我也不靠这个吃饭……）（似乎有同学Fork了做备份……）&/li&&li&推荐给身边的朋友吧，特别是如果他们不想刷LeetCode了（哈哈哈）&/li&&/ul&&br&&br&&p&&i&（Photo Credit: &a href=&/?target=https%3A//visual.ly/blog/project-euler-sprint-write-code-math-make-friends/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Project Euler Sprint &i class=&icon-external&&&/i&&/a&/ &a href=&/?target=https%3A//creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&CC BY-NC-SA 4.0&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&/i&&/p&
我在业余时间一直在维护一个“欧拉计划”（Project Euler）的中文翻译站点： 简单地说，“欧拉计划”是一系列需要利用数学和计算机知识及技巧来解答的问题，自2001年10月开始，以每两周一题（后改为每周一题，每年暑假会有Summer B…
参考武大数学系开课情况和培养计划，主要是弘毅班的培养计划，给出以下建议。&br&&br&1.自学顺序:&br&1.1（数学分析、高等代数、解析几何、初等数论）；&br&1.2（抽象代数、常微分方程、复变函数、实变函数）；&br&1.3（微分几何、拓扑学、概率论、泛函分析、偏微分方程）；&br&1.4（微分流形、交换代数、多元复分析、调和分析、复几何、几何测度论、代数拓扑、黎曼几何、李群李代数、代数几何）。&br&&br&2.对上一条的注解：&br&建议按照上述顺序学习，反正我们院是这么一个教学顺序，而且据目测，不同高校的培养方案，大致上是非常接近的。&br&其中1.1至1.3是必修课，我基本都学过（或者正在学）。&br&1.4是选修课，其中很多课是和研究生一起上的，所以难度很大，而且需要较多的先修课（即1.1至1.3那些课程）。如果能力较弱或者志向不在科研，不建议选修这些课。&br&&br&3.其他。&br&真想好好学的话，首先要用纸质书而非电子版，这个非常地重要！&br&其次你要习惯于一整天看不完10页书的速度，比如学到抽象代数的时候，老师花一个学期，讲了150页左右的内容，大概是72个学时（也即54个小时），这还不包括课外写作业、做练习、看参考书的时间。&br&还要习惯于“正文全都懂、习题不会做”的状态，你会经历严重的自我怀疑、信心严重受打击的阶段。&br&到时候你就会明白：&br&&br&做数学，“能坚持”比“智商高”更重要。&br&&br&&br&PS.平时可以多多接触数学专业的人，这样可以给你解决很多疑惑和迷茫、或者解答疑难题目。&br&我在就读数学系之前，也经历过自学数学分析时的迷茫和艰难，所以看到题主的问题描述，感到有一些触动。。&br&&br&PPS.下图大致是我用过和正在用的教材&br&&img src=&/c6b35ce61d970cb1ab07f9b3ee1101d2_b.jpg& data-rawheight=&1440& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/c6b35ce61d970cb1ab07f9b3ee1101d2_r.jpg&&
参考武大数学系开课情况和培养计划，主要是弘毅班的培养计划，给出以下建议。 1.自学顺序: 1.1（数学分析、高等代数、解析几何、初等数论）； 1.2（抽象代数、常微分方程、复变函数、实变函数）； 1.3（微分几何、拓扑学、概率论、泛函分析、偏微分方程）；…
&img src=&/v2-aae5fe85cb1e3bc76246_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&333& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&/v2-aae5fe85cb1e3bc76246_r.jpg&&&p&我们在学习多元函数积分学时，会接触到三个公式：&strong&格林公式、高斯公式&/strong&以及&strong&斯托克斯公式&/strong&。话说这三个公式可是大大的有来头啊，它们就像多元函数积分学里面的媒介，连接着线与面的积分，意义非凡！&/p&&p&这三个媒介各自的职责是：&/p&&p&&b&格林公式建立了曲线积分与二重积分的联系！&br&&/b&&/p&&p&&b&高斯公式建立了曲面积分与三重积分的联系！&/b&&/p&&p&&b&斯托克斯公式建立了曲线积分与曲面积分的联系！&/b&&/p&&p&掌握了这三大媒介的使用法则，在多元函数积分的学习中，会大大的简化计算！&/p&&p&今天，宝刀君就带领大家，一起来学习格林公式！&/p&&img src=&/v2-cd_b.jpg& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-cd_r.jpg&&&h2&&b&（一）认识格林公式&/b&&/h2&&p&我们在学习第2型曲线积分，也叫对坐标的曲线积分时，会遇到一个公式，它叫做&strong&格林公式&/strong&，是这么写的：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-e3ec13c5b780c6d25b6d2c_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-e3ec13c5b780c6d25b6d2c_r.jpg&&这个公式的&strong&使用条件有两个&/strong&：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-add96d5ee_b.jpg& data-rawwidth=&2440& data-rawheight=&848& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2440& data-original=&/v2-add96d5ee_r.jpg&&然而在考试里，命题人绝不会原样照搬公式，让你直接套公式去做题，这样也体现不出区分度，因此他经常是会给你破坏条件的，怎么破坏呢？如下：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-ca05fa0afa143a0b9ca1_b.jpg& data-rawwidth=&2444& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2444& data-original=&/v2-ca05fa0afa143a0b9ca1_r.jpg&&这两个破坏条件，第一个破坏很好处理，&strong&你不封闭，我加个线补个线让封闭就行，你不是正向，我添个负号就行&/strong&，这些都不难处理，真正让学生感到困惑的，其实是第二个条件的破坏：&strong&它围成的区域D里，出现了奇点！这时候你就不能直接用格林公式了！&/strong&&br&&/p&&h2&&b&（二）一道例题的分析&/b&&/h2&&p&宝刀君以一道典型题为例，谈谈破坏第二个条件后，格林公式怎么玩？如图：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-6c904ab339d8cad23151b_b.jpg& data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&1256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/v2-6c904ab339d8cad23151b_r.jpg&&命题人在这里为难考生时，把&strong&被积函数弄成一个分式，这个函数在D内不连续，甚至没定义，像这道题的原点就是奇点。&/strong&&br&&/p&&p&遇到这种问题，高数老师给我们教的一个方法是：&br&&/p&&img src=&/v2-a0f37480a0caec8c4d0f535f0f4d5697_b.png& data-rawwidth=&747& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&747& data-original=&/v2-a0f37480a0caec8c4d0f535f0f4d5697_r.png&&&img src=&/v2-cdeb46abe013be109706fd_b.jpg& data-rawwidth=&1332& data-rawheight=&1172& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1332& data-original=&/v2-cdeb46abe013be109706fd_r.jpg&&&p&然后他们把这个方法称作：&/p&&p&&strong&“挖洞法”&/strong&：挖了一个洞，挖掉这个害人的奇点！&br&&/p&&p&&strong&“抠点法”&/strong&：扣掉这个害人的奇点，我不想再见到你！&/p&&p&更有甚者，有些男老师把这个手法叫做：“&strong&阉割法&/strong&”，这个叫法太形象，大家请自行脑补……&/p&&h2&&b&（三）奇点真的被抠掉了吗？&/b&&/h2&&p&写到这里，宝刀君觉得，这些奇点很无奈啊！凭什么？&/p&&p&凭什么挖掉我？抠掉我？阉掉我？&/p&&p&就因为你自己算不出来，你就要把我铲除，这是你的问题还是我的问题？&/p&&p&&strong&你们第二型曲线积分的解决办法又不是只有格林公式这一个办法！&/strong&&/p&&p&你为什么不转化成定积分来计算？&/p&&p&&strong&你的积分曲线是圆，用参数方程代入原式可以化为对参数的定积分，你不就是因为原函数难以求出了，然后才想到间接使用格林公式的吗？&/strong&&/p&&p&你既然觉得格林公式用不了，那你就别转化啊？&/p&&p&…….. &/p&&p&那么，宝刀君的疑问是：这里的奇点，真的是被挖掉了吗？真的是被抠掉了吗？真的是被…吗？&/p&&p&其实呢，这里的“挖去”，并不是真正的“挖去”，这只是大家的一个错觉！因为这里面有个循序渐进的过程。&/p&&p&我们回想一下第二型曲线积分产生的物理背景：&strong&变力沿曲线做功！&/strong&功等于什么？力乘以位移。对于上面这个题，假设力沿着曲线做功，&strong&从起点A出发开始走，走到B点时，它其实是沿着向下的那条线往下走，绕着咱们构造的这个曲线C一圈，然后回到B点，再继续沿着原来的方向走！因为力沿着曲线向下，转一圈后又沿着曲线向上，力的大小相等，方向相反，所以这两段一下一上做功刚好抵消掉。&/strong&所以，这就给大家造成一种错误的感觉：“哇，这是个奇点我取不到，所以我把它给挖去了啊”！&/p&&p&&img src=&/v2-dc906d7e63a0a1afc5b08_b.jpg& data-rawwidth=&1380& data-rawheight=&1120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1380& data-original=&/v2-dc906d7e63a0a1afc5b08_r.jpg&&因此，事实上这里根本就没有“挖掉奇点”这一说，它&strong&本质上是对做功相等的一种路径的恒等变形！&/strong&因为对于同样一个力，我沿着曲线L和沿着曲线L+C做功，数值是相等的！即：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-37bbd4a707f41bb4c1caa9_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&485& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-37bbd4a707f41bb4c1caa9_r.jpg&&哦，原来如此，搜噶搜噶！搜得寺内！&br&&/p&&img src=&/v2-f228e347f9_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-f228e347f9_r.jpg&&&h2&&b&（四）正向负向如何判断？&/b&&/h2&&p&那么，现在的问题是：里面的这个椭圆，沿着图中标的逆时针方向，这是正向还是负向啊？&/p&&p&有同学说：逆时针为正向，顺时针为负向。&/p&&p&这种回答是错误的，&strong&正负向的判别不是以顺时针逆时针来看的，而是根据你这条曲线围成的区域，你沿着曲线走时，你的左手是不是一直在区域D内！如果是，那就是正向，如果不是，那就是负向！与顺逆时针没有一点关系！&/strong&&/p&&br&&p&画个图表示，就是这样：&/p&&p&&img src=&/v2-e9c4a96cefc33f43cba93f85_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&664& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-e9c4a96cefc33f43cba93f85_r.jpg&&因此，我们在L内补了这样一个曲线C后，解题步骤就是：&br&&/p&&img src=&/v2-1d813ebc59b60f865a10b76cde86efdd_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&858& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-1d813ebc59b60f865a10b76cde86efdd_r.jpg&&&h2&&b&（五）辅助曲线添加的原则是什么？&/b&&/h2&&p&有同学有疑问了：&strong&曲线方程那么多，你为啥要添加个椭圆？我添加个正方形、长方形、三角形或者任意的曲线不行吗？&/strong&&/p&&p&这个问题问得好！此处应该有掌声！！！&br&&/p&&p&理论上说：&strong&我们在曲线L里面可以添加任意的曲线C，只要你这个曲线方程C是在这个L内就行，但是我们不能忘记为啥要添加曲线C：简化计算！&/strong&&/p&&p&你可不要忘记了：我们现在学习的&strong&曲线积分、曲面积分，和二重积分、三重积分最大的不同就是：&/strong&&/p&&p&“我的被积函数方程f(x,y)是可以用曲线方程y=y(x)代替的！”&/p&&p&因为这个被积函数f(x,y)是定义在某段曲线、某个平面上的，既然是定义在这里，那么当然可以带进去计算！而且是必须得代入，否则你没法算。&br&&/p&&p&因此，出于简化计算的考虑，&strong&我们添加什么样的曲线C，就取决于这个曲线L的分母长什么样？&/strong&换句话说，&strong&在曲线L里面添加曲线C的核心目的是：去掉被积函数中的分母！&/strong&&/p&&img src=&/v2-be980c182a50bbcf6ddd_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&588& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-be980c182a50bbcf6ddd_r.jpg&&&h2&&b&（六）含奇点的曲线积分解题套路&/b&&/h2&&p&写到这里，也快接近尾声了，但是对这道题的讨论还没有结束，因为我们要将这道题的解法&strong&抽象成一般的解题规律&/strong&，如下图所示：&br&&/p&&p&&img src=&/v2-0b1d8dce2d1ee_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&675& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-0b1d8dce2d1ee_r.jpg&&那么，&strong&如何选取这个辅助曲线C0（L1）呢？选取的标准就是你可以把那个被积函数的分母给去掉！&/strong&&br&&/p&&img src=&/v2-df40f87ddf8e_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&762& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-df40f87ddf8e_r.jpg&&&img src=&/v2-c1d9fa886ecca5a24048e61_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/v2-c1d9fa886ecca5a24048e61_r.jpg&&&h2&&b&（七）总结&/b&&/h2&&p&&strong&格林公式是用来计算第二类曲线积分的，由于它的使用有两个条件，因此命题人经常去破会阿这两个条件，当他破坏第二个条件时，也就是区域D内含有奇点时，我们可以考虑添加一条辅助的曲线方程，添加的目的是为了消去分母，也就是形式上“挖掉了奇点”，这样就可以将原来在L上的曲线积分转化成在辅助曲线上的曲线积分，从而简化计算！&/strong&&/p&&p&格林公式带给我们什么样的启示呢？&/p&&p&&strong&一条路走不通了，可以换条路，两条路的终极目标都是一样的！&/strong&&/p&&p&这恰恰就像唐朝大诗人王维的一句诗：&/p&&p&&strong&“行至水穷处，坐看云起时”！&/strong&&/p&&p&&img src=&/v2-b95db25b9eb016f73b3a2b02eb50fc90_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-b95db25b9eb016f73b3a2b02eb50fc90_r.jpg&&&strong&在生命的过程中，不论是&/strong&&strong&求学考研&/strong&&strong&、经营爱情、事业、搞学问等等，你勇往直前，到后来竟然发现那是一条绝路，没法走下去了，难免出现山穷水尽悲哀失落的心境，此时不妨往旁边或回头看看，也许有别的路通往别处，即使根本没有路可走了，往天空看吧！虽然身体在绝境中，但是心灵还可以畅游太空，还可以很自在、很愉快地欣赏大自然，体会宽广深远的人生境界，再也不会觉得自己穷途末路！&/strong&&br&&/p&&img src=&/v2-dc7c4f1a8c8c9a9e2afdc_b.jpg& data-rawwidth=&691& data-rawheight=&484& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&691& data-original=&/v2-dc7c4f1a8c8c9a9e2afdc_r.jpg&&&p&哈喽，大家好！我是宝刀君&strong&，微信公众号：考研摆渡人宝刀君，ID:BDJ0501，专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度。&/strong&我的知识点讲解文章会&strong&首发在微信公众号&/strong&，而且那里的内容会更精彩（有音乐、有短视频），&strong&欢迎大家的关注~&/strong&&/p&&p&********************************************************************************************&/p&&p&如果&b&您觉得我的文章对您理解知识点有帮助&/b&，麻烦伸出可爱的指头顺手&b&帮我 点个赞 &/b&，&b&鼓励我继续创作&/b&，如果您这样做了，&b&非常感谢&/b&，真的很感谢~&/p&
我们在学习多元函数积分学时，会接触到三个公式：格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式。话说这三个公式可是大大的有来头啊，它们就像多元函数积分学里面的媒介，连接着线与面的积分，意义非凡！这三个媒介各自的职责是：格林公式建立了曲线积分与二重积分的…
&img src=&/v2-8d9ccedc390a0e0f4ba1be_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&427& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/v2-8d9ccedc390a0e0f4ba1be_r.jpg&&泛函分析是一个研究pde好用的工具，好用到Evans的教材开头有这样一句话：&blockquote&PDE theory is not a branch of functional analysis&br&偏微分方程理论不是泛函分析的一个分支&/blockquote&&p&&b&泛函的优点在于它为你处理很多问题提供一个公共的框架，比如“连续性方法”这种万金油，缺点是它提供的只是框架。能不能把细节填出来（各种先验估计）就是你的问题了，这些细节往往会涉及很硬的分析。&/b&&b&这也是很多人调侃说丘成桐证明卡拉比猜想只是做了一道很难的分析习题的原因，当然我是不敢这样说的，下面是&a href=&/people/3ab6d11ac5f2ce59402c3& data-hash=&3ab6d11ac5f2ce59402c3& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@DTSIo Shao& data-hovercard=&p$b$3ab6d11ac5f2ce59402c3&&@DTSIo Shao&/a&关于这个问题精彩回答。&/b&&/p&&blockquote&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/question/2423&/span&&span class=&invisible&&9308/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/blockquote&&br&&br&&p&由于其重要性，泛函现在已经是本科高年级，研究生低年级必开的课。我现在介绍几个我看过的教材，列出其优缺点，希望有助于大家的学习。我会附上度盘链接，使得同学们能够下载电子版。让我们开始吧！Let us party！&br&&/p&&img src=&/v2-b42a1bbb060e9ec2c93f2df34ec15b8b_b.jpg& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&100& class=&content_image& width=&100&&&p&既然要评价，自然要有客（zhu）观（guan）标准，我觉得下面几个点很重要。&/p&&p&&b&应用度：&/b&&i&泛函分析是有用的！&/i&这是一个必须让初学的人树立的观念，也是好的泛函分析教材的一大要求，为什么呢？因为泛函分析就其结果和术语来说非常抽象，这导致了很多人学习上的惰性。如果一个教材包含足够多的应用例子，不但可以激发学生的学习积极性，也能直接解释其理论的来源。你就能明白为什么数学家会使用和研究某个概念。就历史来看，泛函都是一些&b&套路的总结&/b&。所谓：&b&真情留不住，套路永流传&/b&。&/p&&img src=&/v2-bdebdedb8688ccbd4673743_b.jpg& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&100& class=&content_image& width=&100&&&br&&p&&b&可读性&/b&：泛函分析包含线性和非线性两部分。很多人提到的泛函分析是默认线性的，虽然我是认为两者是一个分类。线性泛函分析&b&有一王一后&/b&：baire 纲定理和Hahn-Banach定理，和四大天王：open mapping, Banach-Steinhaus, closed range, closed graph, Mazur （你问为什么有五个，&b&四天王有五个不是常理吗&/b&？）。 &/p&&img src=&/v2-f87af5b4eea8d58cb6eefc4ea87e7812_b.jpg& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&100& class=&content_image& width=&100&&&p&评价一个泛函分析教材的&b&一个重要标&/b&准是看它是否能把&b&它们的内在关系说明清楚，&/b&这就是清晰度和可读性。还有后续其他定理的安排。&/p&&br&&p&&b&全面度：&/b&说真的，泛函分析的内容非常丰富，线性泛函分析除了上面公共基础的部分外后面衍生出的东西就很多了，包含闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数。非线性泛函分析的更是包含了不动点理论，非线性单调算子，变分法，最优化等等。&b&这个菜名可以一直报下去&/b&。随便一个部分拉开了讲都是一本（部）书的节奏。所以现实的讲，虽然大部分泛函分析的教材都300页起跳（我推荐的基本500页起跳），但是基本都&b&是不全面的，各有侧重点。&/b&&/p&&p&&b&习题：&/b&习题的重要性不言而喻，好的习题可以帮助自学的人增进对某个概念的理解，甚至习题本身就是一个定理。&/p&&h2&&b&I:
Ciarlet 的“Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications”&/b&&/h2&&p&&img src=&/v2-cf25b2fd6837d3dbad736d5_b.jpg& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&338&&&b&应用度：5星，我见过的教材中应用之丰富的执牛耳者。什么都有！真的是什么都有，不过这也导致了这本书直接到了800页。&/b&&/p&&p&&b&可读性：5星，大学3年纪以上看应该都没问题。写得清楚明白，证明过程非常清晰，几乎少有省略。虽然因此总长达到800页。当然了，估计本科生学完第一部分（线性泛函分析）就可以了。&/b&&/p&&p&&b&全面度：4.5 星，很奇怪的。这本书对于很重要的无界闭算子谱理论介绍的很少很少。处理很多pde问题，它都是从非线性泛函分析（变分法，单调算子，不动点理论）的角度来处理的。还有，由于这位作者自己做过微分几何，他于是在里面硬塞了一章这方面的内容，也是够拼的。&/b&&/p&&p&&b&习题：5 星， 401个习题，多到吓死我了。而且质量甚高。&/b&&/p&&p&&b&综合评价&/b&：&b&5星。推荐给大部分本科生和研究生初年，开始学习泛函分析的同学。&/b&&/p&&p&（我上过这位教授的开的泛函分析课程，估计在香港的博士生都去又一城大学上过他的课，他自己写的这本书确实不错。好到我最后买了正版让他帮我签名的程度。 ）&/p&&h2&&b&ii H. Brezis: &Functional Analysis, Sobolev spaces and PDEs&&/b&&/h2&&p&&img src=&/v2-dc56176d64cfc648c655104_b.jpg& data-rawwidth=&329& data-rawheight=&499& class=&content_image& width=&329&&&b&综合评价：5星。推荐给大部分本科生和研究生第一年那些sobolev空间都不清楚的人，你顺带还可以学一些sobolev空间和简单的pde。&/b&（值得一提的是以上两位作者都是法国人，他们都和lions大神有点关系）&br&&/p&&p&&b&应用度：4星，没有上面那么丰富的应用，这本书其实只包含了线形泛函分析和一些基本的变分法。&/b&&br&&/p&&p&&b&可读性：（这书貌似有中文版）5星+1星。除了清晰的逻辑外，我额外给1星是因为它与时俱进，它处理问题的方法很现代也很新鲜。包括证明L^p的对偶空间，它使用的方法也比较少见。会特别讲一点凸分析的基础内容。而且里面自带Sobolev space。这一点对初学者非常友好。而且里面的材料选的也好，一些在现在比较实用的工具都做了初步的介绍。&/b&&/p&&p&&b&全面度：3.5星，这不奇怪，这本书只有600页，花时间讲了很多基础的东西，所以也讲不了太多其他东西 (无界算子之类的)。值得一提的是，这本书讲了算子半群理论和此理论在抛物型方程，双曲方程上的应用。换句话来说，它把三个最基本的方程都处理了一遍。&/b&&/p&&p&&b&习题：5 星+1星，不但有习题，还有答案。不要太好。&/b&&/p&&br&&h2&&b&Zeilder: &Applied Functional analysis&I&II
&/b&&/h2&&img src=&/v2-3be71bea0bbd4cf0ad60_b.jpg& data-rawwidth=&228& data-rawheight=&346& class=&content_image& width=&228&&&p&&b&综合评价&/b&：5星。这是写书狂魔，人肉名言字典，E. Zeilder的大作。此君写过一部5大卷《nonlinear functional analysis and its applications》,每一本都基本超过500页。他可能觉得这套书太长了，让人受不了，于是他好心的写了一套简略的书（总共900），没错，就是你看到的上面一套两部书。大师，你怎么这么有时间？最大的特点在于他写书的角度，大部分数学家写书都有一个倾向，倾向于系统性论述知识。此大神基本&b&以物理为准绳，以应用为导向。量子物理，弹性力学，流体力学的方程统统搞一发。让你感觉好棒棒的，以后吹逼起来非常容易。&/b&&/p&&br&&p&&b&应用度：5星，理由说了。他的应用都是实打实的，解释了很多物理背景。&br&&/b&&/p&&p&&b&可读性：需要的基础也很少，学过实分析就可以看了。写得还是非常易懂的，还有，这个人喜欢写名人名言，每个章节开头必需来两个。还有，他是一个话痨，经常讲一些数学历史，他写五大卷我一般当（历史+物理）看。&/b&&/p&&p&&b&全面度：4.5星，比较全面。基本包括了线性，非线性泛函分析的基本idea。&/b&&/p&&br&&p&&b&习题：4星。还不错，难一点的题目都有提示。&/b&&/p&&br&&h2&&b&K. Yosida: &Functional Analysis& &/b&&/h2&&p&&img src=&/v2-09e364dc01b1ebc6f5f1b43_b.jpg& data-rawwidth=&345& data-rawheight=&499& class=&content_image& width=&345&&&b&综合评价： &/b& 这本书算是比较进阶的，前面的书基本可以归类为教材。这个书不是，这个书是大家写论文的时候放心引用的一本书。所以，不推荐给&b&初学者，再看它之前最好学过一些泛函分析，推荐给希望进一步学习线形泛函分析理论的人&/b&。它上来就讨论（无界）闭算子（我记得70页左右吧），而不是一般的泛函分析那样喜欢从有界算子开始。当然了，从做研究的角度来看，闭算子理论更广泛，更有用。因为微分算子基本可以看成闭算子（空间选得好的话）。&/p&&p&&b&应用度&/b&：4星，例子不少，但是基本也就是涵盖了了三类基本方程。&br&&/p&&p&&b&可读性&/b&：3星，不知道原版是用什么语言写成的，反正英语版读起来不是很舒服。证明过程有不少省略。&/p&&p&&b&全面度&/b&：4.5星，几乎线性泛函分析的主流基本重要定理。&/p&&p&&b&习题&/b&：0星。没有习题。 呵呵呵呵&/p&&img src=&/v2-5a5d7d45af4_b.jpg& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&100& class=&content_image& width=&100&&&br&&h2&&b&Rudin: &Functional Analysis& &/b&&/h2&&img src=&/v2-680c9a36b04a1f70d012_b.jpg& data-rawwidth=&228& data-rawheight=&346& class=&content_image& width=&228&&&br&&p&&b&综合评价：&/b&逼格最高的一本，非常高冷，什么Banch space，Hilbert space都太trivial。它上来就是拓扑向量空间，一堆你基本在论文上都不太容易看到的术语。其实一般来说，做PDEs最常用就是banach空间，希尔伯特空间。最差用到度量空间就差不多了。很少需要退到拓扑向量空间。&b&不推荐给初学者，不推荐给初学者，不推荐给初学者&/b&。其实rudin另外一本书里面反而提到了一些简单的泛函分析。&/p&&p&&b&应用度： 3星。 &/b&里面的应用做到pde上的不多，反而是应用到一些其他数学问题。&br&&/p&&p&&b&可读性：3星。&/b&由于内容非常抽象，要提起精神看完比较难。&/p&&p&&b&全面度：&/b&4.5星。这和yosida的倒是一样，几乎涵盖线性泛函分析的主流基本重要定理，但是很多都是写成最抽象形式。&/p&&p&&b&习题：4星&/b&。保持了rudin的一贯高水平，但是没有答案，没有答案，没有答案！&/p&&br&&p&最后附上度娘链接，里面包含了我推荐的上面全部五本书的pdf。大家看着办吧。&/p&&p&&a href=&/?target=https%3A///s/1slUzZdV& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/s/1slUzZd&/span&&span class=&invisible&&V&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&Password: etia&/p&
泛函分析是一个研究pde好用的工具，好用到Evans的教材开头有这样一句话：PDE theory is not a branch of functional analysis 偏微分方程理论不是泛函分析的一个分支泛函的优点在于它为你处理很多问题提供一个公共的框架，比如“连续性方法”这种万金油，缺…
&img src=&/v2-f9bf6d49f5cde62cdb8a66c_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&560& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&/v2-f9bf6d49f5cde62cdb8a66c_r.jpg&&&h2&&b&一.正定与相似&/b&&/h2&&img src=&/bc41b9ad00fddc1749a83_b.jpg& data-rawwidth=&312& data-rawheight=&374& class=&content_image& width=&312&&&p&以下内容来自于很久以前为了应付期末高代考试而整理的一些结论。&/p&&p&下设矩阵均为n阶实方阵。我们用&img src=&/equation?tex=M%3E0& alt=&M&0& eeimg=&1&&来表示某实方阵M正定&/p&&p&1.我们在已知其他正定阵时，判定某个方阵是否正定可以借助已知的正定阵来发挥作用。如：&/p&&b&①&img src=&/equation?tex=M%3E0& alt=&M&0& eeimg=&1&&，A实对称，则&img src=&/equation?tex=A%3E0& alt=&A&0& eeimg=&1&&&img src=&/equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&AM特征值全&0&/b&&br&&p&证：我们只要取&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&的平方根&img src=&/equation?tex=S%3D%5Csqrt%7BM%7D+& alt=&S=\sqrt{M} & eeimg=&1&&，则&img src=&/equation?tex=S%3E0& alt=&S&0& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&而&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&合同于&img src=&/equation?tex=SAS& alt=&SAS& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=SAS& alt=&SAS& eeimg=&1&&相似于&img src=&/equation?tex=S%5E%7B-1%7D%28SAS%29S%3DASS%3DAM& alt=&S^{-1}(SAS)S=ASS=AM& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&从而A正定等价于SAS正定，而SAS正定等价于其特征值全&0,等价于AM特征值全&0&/p&&br&&p&&b&一个问题：&/b&&img src=&/equation?tex=M%3E0& alt=&M&0& eeimg=&1&&，AM特征值全&0，那么A一定实对称从而正定吗？A一定亚正定么？(亚正定指&img src=&/equation?tex=A%2BA%5ET%3E0& alt=&A+A^T&0& eeimg=&1&&)&/p&&br&&p&从上面的结论我们可以发掘出更一般的结论，思考一下证明过程，我们有：&/p&&p&&b&②如果M正定，A实对称，则AM特征值全为实数，且AM可对角化&/b&&/p&&br&&p&证：AM相似于对称阵SAS，而对称阵总可对角化，且特征值全为实数。&/p&&br&&p&其实注意到AM相似于对称阵，性质应该就很好。&/p&&br&&p&但我们不从AM出发考虑问题，也可以证明①，因为我们有：&/p&&p&③A，B实对称，且&img src=&/equation?tex=A%3E0& alt=&A&0& eeimg=&1&&，则存在可逆阵P，使&img src=&/equation?tex=P%5E%7BT%7DAP%3DI& alt=&P^{T}AP=I& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=P%5ETBP%3DD& alt=&P^TBP=D& eeimg=&1&&，其中D为对角阵，且D的特征值即D的&b&对角元为&img src=&/equation?tex=A%5E%7B-1%7DB& alt=&A^{-1}B& eeimg=&1&&的特征值&/b&。&/p&&br&&p&证：设&img src=&/equation?tex=A%3DQ%5ETQ& alt=&A=Q^TQ& eeimg=&1&&,其中Q可逆.则考虑实对称阵&img src=&/equation?tex=%28Q%5E%7B-1%7D%29%5ETBQ%5E%7B-1%7D& alt=&(Q^{-1})^TBQ^{-1}& eeimg=&1&&,其可以正交对角化，即存在U正交阵使得&img src=&/equation?tex=U%5ET%28Q%5E%7B-1%7D%29%5ETBQ%5E%7B-1%7DU%3DD& alt=&U^T(Q^{-1})^TBQ^{-1}U=D& eeimg=&1&&为对角阵，令&img src=&/equation?tex=P%3DQ%5E%7B-1%7DU& alt=&P=Q^{-1}U& eeimg=&1&&可逆，则&/p&&p&&img src=&/equation?tex=P%5ETBP%3DD& alt=&P^TBP=D& eeimg=&1&&，代入知也有&img src=&/equation?tex=P%5E%7BT%7DAP%3DI& alt=&P^{T}AP=I& eeimg=&1&&，由&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=D%3D+U%5ET%28Q%5E%7B-1%7D%29%5ETBQ%5E%7B-1%7DU%5Csim%28Q%5E%7B-1%7D%29%5ETBQ%5E%7B-1%7D%5Csim+Q%5E%7B-1%7D%28Q%5E%7B-1%7D%29%5ETBQ%5E%7B-1%7DQ%3DA%5E%7B-1%7DB& alt=&D= U^T(Q^{-1})^TBQ^{-1}U\sim(Q^{-1})^TBQ^{-1}\sim Q^{-1}(Q^{-1})^TBQ^{-1}Q=A^{-1}B& eeimg=&1&&,其中~表示相似知D与&img src=&/equation?tex=A%5E%7B-1%7DB& alt=&A^{-1}B& eeimg=&1&&相似即证。&br&&/p&&br&&br&&p&在涉及正定与实对称阵的行列式的不等式时，③有很好的应用。&br&&/p&&br&&p&2.&/p&&p&曾经证明过&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=A%5ET& alt=&A^T& eeimg=&1&&的特征值和行列式均相同，不难猜测其为相似的。&/p&&p&④A 与 A的转置 相似&br&&/p&&p&证：考虑A 与 A的转置 的λ矩阵，其行列式因子全对应相同，故有相同不变因子，所以两者相似&/p&&br&&p&它们能不能做到正交相似呢？其实在加上规范条件后，是可以做到的结论：&/p&&p&若A规范，即&img src=&/equation?tex=A%5ETA%3DAA%5ET& alt=&A^TA=AA^T& eeimg=&1&&，则A 与 A的转置正交相似。&br&&/p&&p&证：我们注意到规范阵的正交相似标准型其实完全由其特征值确定，所以A，B规范阵，A，B正交相似等价于A，B特征多项式相同。特别地，A规范，自然有 A的转置规范，而它们特征多项式相同，就一定正交相似。&/p&&br&&p&&b&一个问题&/b&：对于一般的实方阵A，&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=A%5ET& alt=&A^T& eeimg=&1&&一定可以正交相似么？&br&&/p&&br&&p&如果试图探索出&img src=&/equation?tex=AA%5ET& alt=&AA^T& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=A%5ETA& alt=&A^TA& eeimg=&1&&的关系,可以发现&/p&&p&⑥&img src=&/equation?tex=AA%5ET& alt=&AA^T& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=A%5ETA& alt=&A^TA& eeimg=&1&&正交相似&br&&/p&&p&证明：考虑A的极分解，&img src=&/equation?tex=A%3DQM& alt=&A=QM& eeimg=&1&&,Q正交，M半正定。&/p&&p&则 &img src=&/equation?tex=AA%5ET+%3D+QMM%5ETQ%5ET%3DQMMQ%5ET& alt=&AA^T = QMM^TQ^T=QMMQ^T& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=A%5ETA+%3D+M%5ETQ%5ETQM+%3DMM& alt=&A^TA = M^TQ^TQM =MM& eeimg=&1&&&p&可见有&img src=&/equation?tex=+AA%5ET+%3D+QA%5ETAQ%5ET& alt=& AA^T = QA^TAQ^T& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&注：矩阵和其转置相似亦可由k[x]这一PID上的有限生成挠模与其对偶（不典范地）同构得出。&/p&&p&3.&/p&&p&用&img src=&/equation?tex=%7C%7CA%7C%7C& alt=&||A||& eeimg=&1&&表示矩阵A的2范数.Cauchy不等式给出&img src=&/equation?tex=%7C%7CAB%7C%7C%5Cleq+%7C%7CA%7C%7C%7C%7CB%7C%7C& alt=&||AB||\leq ||A||||B||& eeimg=&1&&,取等当且仅当A为各行成比例的矩阵，而B各列成比例。&/p&&p&还有&/p&&p&⑦&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& n 阶实方阵，&img src=&/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&&同阶正交阵，则有&img src=&/equation?tex=%7C%7CAQ%7C%7C%3D%7C%7CA%7C%7C%3D%7C%7CQA%7C%7C& alt=&||AQ||=||A||=||QA||& eeimg=&1&&&/p&&p&证：只要发现&img src=&/equation?tex=%7C%7CA%7C%7C%5E2%3Dtr%28AA%5ET%29& alt=&||A||^2=tr(AA^T)& eeimg=&1&&，那么由于&img src=&/equation?tex=QQ%5ET%3DI& alt=&QQ^T=I& eeimg=&1&&&/p&&p&就可以知道三者相等。&/p&&br&&p&其实可以作进一步推广，&/p&&br&&p&⑧设&img src=&/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&任一同阶实方阵，&img src=&/equation?tex=PP%5ET& alt=&PP^T& eeimg=&1&&的特征值最小为&img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&，最大为&img src=&/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&，则&img src=&/equation?tex=%5Csqrt%7Ba%7D+%7C%7CA%7C%7C%5Cleq+%7C%7CAP%7C%7C%5Cleq+%5Csqrt%7Bb%7D+%7C%7CA%7C%7C& alt=&\sqrt{a} ||A||\leq ||AP||\leq \sqrt{b} ||A||& eeimg=&1&&&/p&&p&证明：考虑为&img src=&/equation?tex=PP%5ET& alt=&PP^T& eeimg=&1&&实对称，其正交相似于对角阵，则有&/p&&p&&img src=&/equation?tex=PP%5ET%3DQDQ%5ET& alt=&PP^T=QDQ^T& eeimg=&1&&,Q正交，D对角，设对角元为&img src=&/equation?tex=%5Clambda+_i& alt=&\lambda _i& eeimg=&1&&。&/p&&p&则&/p&&img src=&/equation?tex=%26%26+%7C%7CAP%7C%7C%5E2%3Dtr%28APP%5ETA%5ET%29%3Dtr%28AQDQ%5ETA%5ET%29+%0A%3Dtr%28Q%5ETA%5ETAQD%29%5Cleq+%5C%5C++%26%26+b%5Ccdot+tr%28%28AQ%29%5ETAQ%29%3Db%7C%7CAQ%7C%7C%5E2%3Db%7C%7CA%7C%7C%5E2%0A++%5C%5C%0A+%5C%5C%0A& alt=&&& ||AP||^2=tr(APP^TA^T)=tr(AQDQ^TA^T)
=tr(Q^TA^TAQD)\leq \\
&& b\cdot tr((AQ)^TAQ)=b||AQ||^2=b||A||^2
& eeimg=&1&&&p&第三个等号是因为迹可以交换内部顺序，不等式是利用了半正定，从而每个元素都要&=0,所以可以放缩。&/p&&p&同理a的那一端。&/p&&br&&h1&二.迹为0的矩阵一定是换位子吗？&/h1&&p&这篇文章来自于很久前的一个问题：&/p&&p&由于换位子的迹总是0.反过来，对于迹为0的n阶实矩阵C,一定存在A,B为n阶实方阵，使得[A,B]=C么？&/p&&p&见&a href=&/question/& class=&internal&&n阶实方阵矩阵的换位子问题？ - 数学&/a&&/p&&p&一般的对于n阶方阵C，是否一定有&img src=&/equation?tex=%5Coperatorname%7BTr%7D+C%3D0+%5CLeftrightarrow++C%3DAB-BA++%5Cquad+%3F& alt=&\operatorname{Tr} C=0 \Leftrightarrow
\quad ?& eeimg=&1&&这里我们考虑系数都在某个域&img src=&/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&（或者一般的交换幺环&img src=&/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&&）里面。&/p&&p&&b&0.定义&/b&&/p&&p&nxn矩阵&img src=&/equation?tex=A%3D%28a_%7Bij%7D%29& alt=&A=(a_{ij})& eeimg=&1&&的迹(Trace,简记为Tr)定义为其所有对角元之和，简单的计算表明&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Coperatorname%7BTr%7D%28+AB%29%3D%5Coperatorname%7BTr%7D+%28BA%29& alt=&\operatorname{Tr}( AB)=\operatorname{Tr} (BA)& eeimg=&1&&,即&img src=&/equation?tex=%5Coperatorname%7BTr%7D%28AB-BA%29%3D0& alt=&\operatorname{Tr}(AB-BA)=0& eeimg=&1&&对任意同阶方阵A,B都成立。&br&&/p&&p&&b&形如AB-BA的矩阵称为换位子&/b&，自然提出对于一个迹为0的矩阵，其是否总是一个换位子？这是下面要讨论的问题。&/p&&p&&b&例1:&/b&一维时，a迹为0等价于a=0,0自然是换位子，命题成立。&/p&&p&&b&例2: &/b&做一些简单的计算，考虑2维情形，矩阵&img src=&/equation?tex=C%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26++c_1++%5C%5C%0A+++c_2+%26+0+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%0A& alt=&C= \begin{bmatrix}
c_2 & 0 \\
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&，迹为0，如何找A,B,使得C=AB-BA？&/p&&p&让我们待定系数法暴力一次，设&img src=&/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++a+%26++b++%5C%5C%0A+++c+%26+d+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CB%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++e+%26++f++%5C%5C%0A+++g+%26+h+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&A=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&那么&img src=&/equation?tex=AB-BA%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++bg-cf+%26++%28a-d%29f%2Bb%28h-e%29++%5C%5C%0A+++%28d-a%29g%2Bc%28e-h%29+%26+cf-bg+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&AB-BA=\begin{bmatrix}
(a-d)f+b(h-e)
(d-a)g+c(e-h) & cf-bg \\
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&,&/p&&p&八个未知量四个方程，我们来看非对角元的两个方程：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28a-d%29f%2Bb%28h-e%29+%3Dc_1+%5C%5C%0A+++%28d-a%29g%2Bc%28e-h%29+%3Dc_2& alt=&(a-d)f+b(h-e) =c_1 \\
(d-a)g+c(e-h) =c_2& eeimg=&1&&,&/p&&p&假设bg=cf已经取好，那么第一行xc+第二行xb，我们得到了&img src=&/equation?tex=c_1c%2Bc_2b%3D0& alt=&c_1c+c_2b=0& eeimg=&1&&,于是可以大胆取&img src=&/equation?tex=c%3D-c_2%2Cb%3Dc_1& alt=&c=-c_2,b=c_1& eeimg=&1&&,为了使bg=cf大胆取&img src=&/equation?tex=g%3Dc_2%2Cf%3D-c_1& alt=&g=c_2,f=-c_1& eeimg=&1&&,然后代入非对角元两个方程会发现我们要求&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28a-d%29%28-c_1%29%2Bc_1%28h-e%29%3Dc_1& alt=&(a-d)(-c_1)+c_1(h-e)=c_1& eeimg=&1&&，也就是说只要取&img src=&/equation?tex=d%2Bh-a-e%3D1& alt=&d+h-a-e=1& eeimg=&1&&就行，于是我们有：&/p&&p&&b&Lemma 1：&/b&&/p&&p&&b&给一个交换幺环R，对于任何R上方阵&img src=&/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++a+%26++c_1++%5C%5C%0A+++-c_2+%26+d+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CB%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++e+%26++-c_1++%5C%5C%0A+++c_2+%26+h+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&A=\begin{bmatrix}
-c_2 & d \\
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
c_2 & h \\
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&&/b&且a，d，e，h在R中可任意取，只要&img src=&/equation?tex=d%2Bh-a-e%3D1& alt=&d+h-a-e=1& eeimg=&1&&，均成立&/p&&p&&img src=&/equation?tex=AB-BA%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26++c_1++%5C%5C%0A+++c_2+%26+0+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&AB-BA=\begin{bmatrix}
c_2 & 0 \\
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&br&&br&即&b&任意交换幺环上对角元为0的二阶方阵都是换位子&/b&。&/p&&p&上面只是一个Toy model，为了简化我们只考虑对角元为0（从而迹为0）的方阵，不过很容易从这个简单的计算中发现一般的性质：&/p&&p&①上面看到了a,d,e,h的不确定性。若C=AB-BA，A,B是不能够由C决定的，事实上&img src=&/equation?tex=%28A%2BkI%29B-B%28A%2BkI%29%3DAB-BA%3DC& alt=&(A+kI)B-B(A+kI)=AB-BA=C& eeimg=&1&&,所以A，B可以加上若干纯量阵，仍使得AB-BA=C&/p&&p&②既然A，B不能由C确定，直接解A，B是一件很棘手的事，如果关心存在性应该有更代数的方法（不过也有解法，比如说利用Kronecker积把AB-BA=C化成一个线性方程组）；另外，上面没有用到任何域的性质（非零元可逆等等），可见对一般的交换幺环的考虑不是无意义的。&/p&&p&&b&1.观察以及&img src=&/equation?tex=F%3D%5Cmathbb+R+%2C%5Cmathbb+C& alt=&F=\mathbb R ,\mathbb C& eeimg=&1&&时&/b&&br&&/p&&p&考虑系数在某个域F中。&/p&&p&注意到&/p&&p&&img src=&/equation?tex=P%28AB-BA%29P%5E%7B-1%7D%3D%28PAP%5E%7B-1%7D%29%28PBP%5E%7B-1%7D%29-%28PBP%5E%7B-1%7D%29%28PAP%5E%7B-1%7D%29& alt=&P(AB-BA)P^{-1}=(PAP^{-1})(PBP^{-1})-(PBP^{-1})(PAP^{-1})& eeimg=&1&&，对于P可逆。&/p&&p&所以如果一个矩阵是换位子，与其相似的矩阵也是。&/p&&p&注意到Tr相似不变，线性，&img src=&/equation?tex=V+%3D+%5C%7BA%5Cin+M_n%28F%29%7C%5Coperatorname%7BTr%7D%28A%29%3D0%5C%7D& alt=&V = \{A\in M_n(F)|\operatorname{Tr}(A)=0\}& eeimg=&1&&是一个向量空间。&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=M_n%28F%29& alt=&M_n(F)& eeimg=&1&&是一个F向量空间，我们用&img src=&/equation?tex=V_1& alt=&V_1& eeimg=&1&&表示换位子生成的子向量空间，那么&/p&&p&&img src=&/equation?tex=V_1+%5Csubseteq+V& alt=&V_1 \subseteq V& eeimg=&1&&，希望证明&img src=&/equation?tex=V_1%3DV& alt=&V_1=V& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&如果&img src=&/equation?tex=F%3D%5Cmathbb+R& alt=&F=\mathbb R& eeimg=&1&&,那么&img src=&/equation?tex=%5Clangle+A%2C+B+%5Crangle+%3D+%5Coperatorname%7BTr%7D+%28A%5ET+B%29& alt=&\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr} (A^T B)& eeimg=&1&&给出&img src=&/equation?tex=M_n%28%5Cmathbb+R%29& alt=&M_n(\mathbb R)& eeimg=&1&&上一个内积，考虑正交补，&/p&&p&如果&img src=&/equation?tex=%E8%8B%A5X+%5Cin+V_1%5E%5Cbot+& alt=&若X \in V_1^\bot & eeimg=&1&&，那么&img src=&/equation?tex=%5Clangle+X%2C+AB+%5Crangle+%3D+%5Clangle+X%2C+BA+%5Crangle& alt=&\langle X, AB \rangle = \langle X, BA \rangle& eeimg=&1&&对任意A,B成立，通过取A,B为形如只在(i,j)位置为1其余位置均为0的矩阵，可以很容易证明X一定是单位阵的倍数。&/p&&p&也就是说&img src=&/equation?tex=dim%28V_1%5E%5Cbot%29%3D1& alt=&dim(V_1^\bot)=1& eeimg=&1&&于是&img src=&/equation?tex=V_1& alt=&V_1& eeimg=&1&&维数只比&img src=&/equation?tex=M_n%28F%29& alt=&M_n(F)& eeimg=&1&&小1，而&img src=&/equation?tex=V_1+%5Csubseteq+V& alt=&V_1 \subseteq V& eeimg=&1&&,显然V不是全空间，所以比较维数有&img src=&/equation?tex=V_1%3DV& alt=&V_1=V& eeimg=&1&&&/p&&p&同理，&img src=&/equation?tex=F%3D%5Cmathbb+C& alt=&F=\mathbb C& eeimg=&1&&，考虑内积&img src=&/equation?tex=%5Clangle+A%2C+B+%5Crangle+%3D+%5Coperatorname%7BTr%7D+%28A%5E%5Cast++B%29& alt=&\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr} (A^\ast
B)& eeimg=&1&&，我们证明了&/p&&p&&b&Lemma 2:&/b&&/p&&p&&b&&img src=&/equation?tex=F%3D%5Cmathbb+R+%2C%5Cmathbb+C& alt=&F=\mathbb R ,\mathbb C& eeimg=&1&&时，F上迹为0的方阵一定是有限个换位子的F线性组合。&br&&/b&&/p&&p&这是因为&img src=&/equation?tex=V_1%3DV& alt=&V_1=V& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=V_1& alt=&V_1& eeimg=&1&&表示换位子生成的子向量空间，所以其中每个元素都是有限个换位子的线性组合，不能够就此推断就是每个元素就是换位子，因为不清楚：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=C%3DA_1B_1-B_1A_1%2CD%3DA_2B_2-B_2A_2& alt=&C=A_1B_1-B_1A_1,D=A_2B_2-B_2A_2& eeimg=&1&&,那么C+D能写成&img src=&/equation?tex=A_3B_3-B_3A_3& alt=&A_3B_3-B_3A_3& eeimg=&1&&吗？&br&&/p&&p&一般的域上，为了求出来至少一些典型的换位子，我们来凑一凑&img src=&/equation?tex=AB-BA& alt=&AB-BA& eeimg=&1&&的形式，不妨A=&img src=&/equation?tex=diag%5C%7B+a_1%2C%5Chdots%2Ca_n+%5C%7D& alt=&diag\{ a_1,\hdots,a_n \}& eeimg=&1&&对角阵，&img src=&/equation?tex=B%3D%28b_%7Bij%7D%29& alt=&B=(b_{ij})& eeimg=&1&&,那么&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=AB-BA%3D%28%28a_i-a_j%29b_%7Bij%7D%29& alt=&AB-BA=((a_i-a_j)b_{ij})& eeimg=&1&&,注意到对角元都是0，&/p&&p&现在假设我们有个对角元全是0的矩阵C，&img src=&/equation?tex=C%3D%28c_%7Bij%7D%29& alt=&C=(c_{ij})& eeimg=&1&&,我们希望解 &br&&/p&&img src=&/equation?tex=%28a_i-a_j%29b_%7Bij%7D%3Dc_%7Bij%7D& alt=&(a_i-a_j)b_{ij}=c_{ij}& eeimg=&1&&&br&&p&注意我们如果可以取a_i互不相同，那么上面这个式子可以解出所有的b_ij,于是得到&/p&&p&&b&Thm1：&/b&&/p&&p&&b&对任意域上迹为0的矩阵C，如果C对角元全是0，并且A为一个对角元不同的对角阵，那么存在唯一的B，使得&/b&&/p&&img src=&/equation?tex=AB-BA%3DC& alt=&AB-BA=C& eeimg=&1&&&br&&p&&b&2.域F上的有理标准型&/b&&/p&&p&1中提到过&img src=&/equation?tex=P%28AB-BA%29P%5E%7B-1%7D%3D%28PAP%5E%7B-1%7D%29%28PBP%5E%7B-1%7D%29-%28PBP%5E%7B-1%7D%29%28PAP%5E%7B-1%7D%29& alt=&P(AB-BA)P^{-1}=(PAP^{-1})(PBP^{-1})-(PBP^{-1})(PAP^{-1})& eeimg=&1&&，&/p&&p&现在给一个迹为0的矩阵C，要证明C是换位子，只需要考虑对于与C相似的某一矩阵证明，这就会想到标准型。&/p&&p&简单的标准型就是Jordan标准型，可惜这种标准型对于代数闭域（如复数域）才有。不过有理标准型总是有的，证明见大多数线性代数书。也可以用模的一些结果得到：&/p&&p&&b&Lemma3：&/b&&/p&&p&&b&R为PID，则R上有限生成模M一定可以写成&img src=&/equation?tex=M%3DRa_1%5Coplus+Ra_2%5Coplus+%5Chdots+%5Coplus+Ra_n& alt=&M=Ra_1\oplus Ra_2\oplus \hdots \oplus Ra_n& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=ann+%28a_1%29%5Csupseteq+ann+%28a_2%29+%5Csupseteq+%5Chdots%5Csupseteq+ann+%28a_n%29& alt=&ann (a_1)\supseteq ann (a_2) \supseteq \hdots\supseteq ann (a_n)& eeimg=&1&&&/b&&/p&&p&于是F为域，&img src=&/equation?tex=F%5Bx%5D& alt=&F[x]& eeimg=&1&&PID,V上一个线性变换给出V一个&img src=&/equation?tex=F%5Bx%5D& alt=&F[x]& eeimg=&1&&模结构，于是我们利用上面分解式，不难得到：&/p&&p&&b&Lemma4（有理标准型）：&/b&&/p&&p&域F上n阶矩阵C一定相似于&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++F_1%26++0+%260++%5C%5C%0A++0+%26+%5Cddots+%26+0+%5C%5C%0A+++0+%26+0+%26+F_s+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&\begin{bmatrix}
0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & F_s \\
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&,分块对角阵，&img src=&/equation?tex=F_i& alt=&F_i& eeimg=&1&&均形如&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26+1+%26++0+%26+0+%26++0++%5C%5C%0A+++0+%26+0%26+1+%26+0+%260++%5C%5C%0A++%5Cvdots%26%5Cvdots%26+0+%26+%5Cddots+%26+%5Cvdots+%5C%5C%0A+++0+%26+0%26+%5Cddots+%26+%5Cddots+%26+1+%5C%5C%0A+++%5Cast++%26+%5Cast+%26+%5Chdots+%26%5Cast+%26+%5Cast+++%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&\begin{bmatrix}
0 & 0& 1 & 0 &0
\vdots&\vdots& 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 0& \ddots & \ddots & 1 \\
& \ast & \hdots &\ast & \ast
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&或者是一阶矩阵。&/p&&p&我们发现有理标准型对角元好多0，在Toy Model里面我们处理了对角元全0的矩阵，我们自然希望任何迹0阵都相似于一个对角元全为0的矩阵。&/p&&p&&b&Lemma5：&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=A+%5Cin+M_n%28F%29& alt=&A \in M_n(F)& eeimg=&1&&迹为0，那么A相似于一个对角元全是0的矩阵。&br&&/p&&p&pf：&/p&&p&对n归纳。n=1显。n&1，只要证明A相似于&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0%26++%5Cast+++%5C%5C%0A++%5Cast++%26+A_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&,再对A1用归纳假设即可。&/p&&p&考虑A有理标准型，如果某块阶大于1，它(1,1)位置就是0,那么把它放在有理标准型最前面；&/p&&p&如果每块全是一阶阵，那么A相似于一个对角阵，不妨A对角&img src=&/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++%5Clambda+_1%26++0+%260++%5C%5C%0A++0+%26+%5Cddots+%26+0+%5C%5C%0A+++0+%26+0+%26+%5Clambda+_n+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&A=\begin{bmatrix}
\lambda _1&
0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \lambda _n \\
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&，如果对角元全相等，那么由迹为0，所以A=0，没什么要证的；如果对角元不一样，不妨前两个不一样，做一个简单的相似变换&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++%5Clambda+_1%26++0+++%5C%5C%0A++0+%26+%5Clambda+_2++%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Crightarrow+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26++%5Cfrac%7B%5Clambda+_1%7D%7B%5Clambda+_2-%5Clambda+_1%7D+++%5C%5C%0A++%5Clambda+_2-%5Clambda+_1+%26+%5Clambda+_1%2B%5Clambda+_2++%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&\begin{bmatrix}
\lambda _1&
0 & \lambda _2
\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
\frac{\lambda _1}{\lambda _2-\lambda _1}
\lambda _2-\lambda _1 & \lambda _1+\lambda _2
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&，证毕。&/p&&p&于是现在只需要研究C为对角元全为0的矩阵。似乎由定理1的结果，一切已经准备就绪，对于迹0阵&img src=&/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&，先相似到对角元全0阵&img src=&/equation?tex=C_2%3DP%5E%7B-1%7DCP& alt=&C_2=P^{-1}CP& eeimg=&1&&，然后随便选一个对角元均不同的对角阵&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，那么就可以有&img src=&/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&，使得&img src=&/equation?tex=C_2%3DAB-BA& alt=&C_2=AB-BA& eeimg=&1&&，从而&br&&img src=&/equation?tex=C%3DPC_2P%5E%7B-1%7D%3D%28PAP%5E%7B-1%7D%29PBP%5E%7B-1%7D-%28PBP%5E%7B-1%7D%29PAP%5E%7B-1%7D& alt=&C=PC_2P^{-1}=(PAP^{-1})PBP^{-1}-(PBP^{-1})PAP^{-1}& eeimg=&1&&为换位子。&br&&/p&&p&于是有&/p&&p&&b&Thm2：&/b&&br&&/p&&p&&b&F为无限域&/b&，则对于&img src=&/equation?tex=C+%5Cin+M_n%28F%29& alt=&C \in M_n(F)& eeimg=&1&&,有&img src=&/equation?tex=%5Coperatorname%7BTr%7D+C%3D0+%5CLeftrightarrow++C%3DAB-BA++%2C+%5Cquad+A%2CB+%5Cin+M_n%28F%29& alt=&\operatorname{Tr} C=0 \Leftrightarrow
, \quad A,B \in M_n(F)& eeimg=&1&&。&/p&&p&并且C迹为0时，对F中n个不同元，可以选A使得其特征值为这些值，特别地A对角阵且各元不同时，B是由A唯一确定并存在的。&/p&&p&推论：对于迹为0的n阶实矩阵C,一定存在A,B为n阶实方阵，使得[A,B]=C&/p&&p&推论：换位子+换位子还是换位子&/p&&p&&b&3.有限域&/b&&br&&/p&&p&上面强调是无限域，原因在于如果域的个数有限，&b&那么我们不一定能够取出一个对角阵使得它的元素各不相同&/b&（比如&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+F_2& alt=&\mathbb F_2& eeimg=&1&&上三阶阵对角元一定有两个相同，这是抽屉原理）&/p&&p&不过对于有限域&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+F_q& alt=&\mathbb F_q& eeimg=&1&&，至少对于不大于q阶方阵上面的方法还有效。这就想到，我们继续对矩阵阶数n做归纳法。注意到q不小于2，所以n=1，2都是对的。&br&&/p&&p&n成立，来看n+1，对于n+1阶矩阵C,由于已经在Lemma5中证明了C相似于&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0%26++%5Cast+++%5C%5C%0A++%5Cast++%26+A_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A& alt=&\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}
& eeimg=&1&&，也就是说只用考虑&img src=&/equation?tex=C%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0%26++%5Cbeta%5ET+++%5C%5C%0A+++%5Calpha+++%26+C_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&C=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&由于&img src=&/equation?tex=%5Coperatorname%7BTr%7DC_1%3DTrC%3D0& alt=&\operatorname{Tr}C_1=TrC=0& eeimg=&1&&,所以由归纳，存在&img src=&/equation?tex=A_1%2CB_1%2CC_1%3DA_1B_1-B_1A_1& alt=&A_1,B_1,C_1=A_1B_1-B_1A_1& eeimg=&1&&,考虑&img src=&/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26++0++%5C%5C%0A++0++%26+A_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&A=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=B%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0%26++y%5ET+++%5C%5C%0A++x++%26+B_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&B=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&则&img src=&/equation?tex=AB-BA%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0%26+++y%5ETA_1++%5C%5C%0A++A_1x++%26+C_1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&AB-BA=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&如果A_1可逆，那么恰当选取x，y可以使得&img src=&/equation?tex=AB-BA%3DC& alt=&AB-BA=C& eeimg=&1&&&/p&&p&假设A_1不可逆，那么&img src=&/equation?tex=C_1%3DA_1B_1-B_1A_1& alt=&C_1=A_1B_1-B_1A_1& eeimg=&1&&，A_1可以加上一个&img src=&/equation?tex=kI%2Ck%5Cin+F_q& alt=&kI,k\in F_q& eeimg=&1&&不影响结果。如果可以适当选择k,使得A_1可逆，那么就搞定了，再由归纳，一步步做下去。&/p&&p&问题：可能有这样的情况发生：&img src=&/equation?tex=A_1%2BkI%2Ck%5Cin+F_q& alt=&A_1+kI,k\in F_q& eeimg=&1&&都不可逆，这是与无限域最大的区别。&/p&&p&&b&例3&/b&:&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+F_2& alt=&\mathbb F_2& eeimg=&1&&上矩阵&img src=&/equation?tex=T%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26++0++%5C%5C%0A++1+%26+1+%5C%5C%0A++%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&T=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&就是一例。&br&&/p&&p&（可以证明，任选一个&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+F_q& alt=&\mathbb F_q& eeimg=&1&&上的n阶矩阵，其可逆的概率为&img src=&/equation?tex=%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D+%281-%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%5Ei%7D%29& alt=&\prod_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{q^i})& eeimg=&1&&,取q=2，那么n充分大时，&img src=&/equation?tex=%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D+%281-%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%5Ei%7D%29%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%3C37%5C%25& alt=&\prod_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{q^i})&\frac{1}{e}&37\%& eeimg=&1&&，所以任取一个&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+F_q& alt=&\mathbb F_q& eeimg=&1&&上的n阶矩阵，至少有1/4的概率发生上面的情况）&/p&&p&于是有限域的情况似乎变得非常有趣，我们必须找一个通法而不是只依赖可逆阵的选取。&/p&&p&现在的局势是：&/p&&p&①有理标准型还成立，所以可以利用&/p&&p&②就和选择矩阵A=&img src=&/equation?tex=diag%5C%7B+a_1%2C%5Chdots%2Ca_n+%5C%7D& alt=&diag\{ a_1,\hdots,a_n \}& eeimg=&1&&对角阵，&img src=&/equation?tex=B%3D%28b_%7Bij%7D%29& alt=&B=(b_{ij})& eeimg=&1&&,&/p&&p&&img src=&/equation?tex=AB-BA%3D%28%28a_i-a_j%29b_%7Bij%7D%29& alt=&AB-BA=((a_i-a_j)b_{ij})& eeimg=&1&&,很好的解决了之前的问题一样，我们也可以选其他的矩阵再造一些典型的生成子。&/p&&p&上面已经证明了n=1，2的情况，下设n不小于3.&br&&/p&&p&考虑&img src=&/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A+++0+%26+0+%26++%5Chdots+%26+0+%26++0++%5C%5C%0A+++1+%26+0%26+%5Chdots+%26+0+%260+%5C%5C%0A++0+%261%26+0+%26+%5Cddots+%26+0+%5C%5C