用Python学《微积分B》（定积分） - CSDN博客
用Python学《微积分B》（定积分）
本文主要学习《微积分B》第7章——“定积分的概念和存在条件”，结合课程中的知识进行一些扩展，并用Python辅助求解课后练习题。关于定积分（Definite Integral）的概念，课本中只介绍了“黎曼积分”（Riemann Integral），而wiki上对定积分的介绍更全面：。此外，再介绍一个好玩的数学知识讲解网站：，它上面对和进行了非常形象的讲解，值得一看。
一、知识点
Riemann积分是从求曲线在某区间内与x轴围成的区域的面积出发，分为五个步骤推演出来的。这五个步骤分别是（详见）：
如上图所示，将区间[a, b]“任意”分割成n份。其中，a=x0&x1&x2&...&xn-1&xn=b。分割是任意的，从上图也可以看出，各分割区域（子区间）并不相等。我们先引入一个描述分割程度的量λ=max{Δxi}，其中，Δxi表示各子区间的大小。
在各子区间上任取一点，如上图所示，有些点取在子区间的左端点（x*1,x*5），有些点取在子区间的右端点（x*2,x*3），有些取在任意中间点（x*4）。需要注意的是：Riemann积分的推演，在分割和取点时，都是任意的。网上很多图片都没有真正反映这两个“任意性”，要么分割时进行的是等分，要么取点只取左端点或右端点。这张图是我难得才找到的，能够很好反映这两个“任意性”的图。
在计算各子区间所围成的面积时，将它近似地当作一个{height:f(ξi),width:Δxi}的矩形。这就是“矩形逼近”法。为什么能够这样近似，后面我将给出一个“粗略的证明”。
4）取极限，求和
limλ→0+∑i=0n[f(ξi)*Δxi]=∫baf(x)dx
取极限，求黎曼和（Riemann Summation），这就是Riemann积分的定义。事实上，积分符∫就是来自“Summation”的首字母。
5）证明“极限值与分割的任意性和取点的任意性无关”
这个证明其实非常重要，只有保证“这个极限值与分割的任意性和取点的任意性无关”，才能说“这个极限值等于函数f(x)在区间[a, b]的定积分”。当然，要直接去证明“任意性”是很难的，因此，后面将给出一个“可积”的定理。
2，“矩形逼近”
现在，我来粗略地证明“为什么可以用矩形来近似各子区间围成的面积”，即证明“矩形逼近”的合理性。这个证明的过程，我把它分为两步：
1）“梯形近似”
在前面讲“函数微分的定义”（，详见《微积分B》4-2节）的时候，提到：曲线f(x)在x0的邻域内可以用点(x0,f(x0))的切线来近似，（），事实上，这就是“一阶Taylor公式”近似。
如果我们把每个子区间的曲线段都用它在该区间上任意一点的切线来近似替代，每个子区间所在区域就变成了“梯形”（Trapeziod），这就是“梯形近似”。更通过更精确地描述来计算这种近似的误差。
Δy=f′(x)Δx+O[(Δx)2]
其中误差（error）?=O[(Δx)2]。而每个子区间的面积ΔSi与Δy是一次线性关系，即ΔSi~Δy，因此，梯形近似后，个子区域面积的误差?i=?=O[(Δx)2]。
而总面积S=∑Si，那么总面积的误差
?S=n*?i=1Δx*O[(Δx)2]=O(Δx)
注：这里为了方便计算，假设子区域误差是相等的。
所以，当Δx→0时，?S→0，即误差趋于0。
2）矩形近似等于梯形近似
梯形面积计算公式和矩形面积公式分别是：
Sti=a+b2*Δxi,Sri=f(ξi)*Δxi
为了简化计算，我只取左端点，计算两种近似之间的误差如下：
Sti=a+b2*Δxi=[f(xi-1)+dyi2]*Δxi=[f(xi-1)+f′(ξi)2Δxi]*Δxi=f(xi-1)*Δxi+O[(Δxi)2]
显然，各子区域在两种近似之间的误差?i=Sti-Sri=O[(Δx)2]，同样的，总面积误差为：
?S=n*?i=1Δx*O[(Δx)2]=O(Δx)
综上，矩形近似等于梯形近似。
3，“可积”的定理与推论
1）不可积的反例
“”在区间[0, 1]上的积分：
D(x)={10x∈Qx∈R\Q
此时，有两种取点方式：全取有理点或全取无理点，如下：
limx→0+D(ξi)*Δxi{ξi∈[xi-1,xi]=1ξi∈[xi-1,xi]=0∈Q∈R\Q
2）可积的等价定理
f为[a, b]上的有界函数，
f∈R[a,b]limλ→0+∑i=1nΔωi(f)Δxi=0
其中Δωi(f)称为振幅。
C[a,b]?R[a,b]
f在[a, b]上只有有限个间断点，则f∈R[a,b]
[a, b]上的单调函数可积。
4，不定积分与定积分的异同
不定积分与定积分在形式上（表达式和计算方法）是一致的，但具体的物理意义却不同。
不定积分一般看作求导的逆运算，“Math is fun”上用“水龙头与水缸”（）的例子很好地说明了积分与求导之间的关系。它甚至解释了原函数族中的“C”的物理意义（水缸中的存量水）。
定积分源于计算“曲线在某区间上与x轴围成的面积”。
5，微分与定积分的几何意义
微分就是在小范围内用切线近似曲线（），这是一种降维思想。导函数则是各点切线斜率与x轴坐标的映射关系。
定积分源于计算“曲线在某区间上与x轴围成的面积”，它是面积与x轴坐标区间的映射关系。
知乎上有人对进行了通俗的比较，可以参考。
定积分的性质总结为三大类共9个性质，可以参考wiki。所有的这些性质，从面积法的角度来理解，还是很容易的。
1）线性关系：被积函数的加法、数乘的组合。
2）不等式关系：有界性、保号性、保序性等。
3）积分区域的性质：加法、反号等。
二、思考题
1，判断下列两个函数在[-1,1]区间是否可积？
f(x)={x+1,ex,x≤0x&0
g(x)={x,ex,x≤0x&0
答：本题主要根据“可积”的等价定理及其推论来解答
f(x)在 x = 0 这一点连续，limx→0-f(x)=1=f(0)=limx→0+f(x)。根据推论一，连续函一定可积。
g(x)除 x = 0 这一点外，都是连续的，且 x = 0 这一点是g(x)的跳跃间断的。根据推论二，它也是可积的。此外，需要注意的是，原题中g(x)的表达式是有误的， x = 0 时，g(x)既等于0也等于1，违反了函数映射关系。
下面从图形（面积）上来直观的理解g(x)为什么可积：
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Polygon
a, b, c = -1, 0, 1
x1 = np.linspace(-2, 0)
x2 = np.linspace(0, 2)
y2 = np.exp(x2)
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x1, y1, 'b', linewidth=2, zorder=10)
plt.plot(x2, y2, 'g', linewidth=2, zorder=10)
ix1 = np.linspace(a, b)
verts = [(a, 0)] + list(zip(ix1, iy1)) + [(b, 0)]
poly = Polygon(verts, facecolor='0.9', edgecolor='0.5')
ax.add_patch(poly)
ix2 = np.linspace(b, c)
iy2 = np.exp(ix2)
verts = [(b, 0)] + list(zip(ix2, iy2)) + [(c, 0)]
poly = Polygon(verts, facecolor='0.9', edgecolor='0.5')
ax.add_patch(poly)
l = plt.axhline(color='red')
plt.figtext(0.9, 0.05, '$x$')
plt.figtext(0.1, 0.9, '$y$')
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.set_xticks((a, b, c))
ax.set_xticklabels(('$-1$', '$0$', '$1$'))
ax.set_yticks((0,))
ax.set_yticklabels(('$0$',))
plt.show()
limn→+∞∫10xnx2+1dx=0
证明：根据微分中值定理可得
∫10xnx2+1dx=ξnξ2+1,ξ∈(0,1)
limn→+∞∫10xnx2+1dx=limn→+∞ξnξ2+1=0
三、选择题
下面先用python直接给出各个求定积分的题的答案。
from sympy import *
init_printing()
x = Symbol('x')
y = integrate(x * atan(x), (x, sqrt(3) / 3, sqrt(3)) )
y, y & pi / 9, y & 2 * pi / 3
(-3√3+5π9,True,True)
x = Symbol('x')
n = Symbol('n', integer=True)
f = x ** n / (x ** 2 + 1)
limit(integrate(f, (x, 0, 1 / 2)), n, +oo)
Exercise 7-1-3
limn→+∞∫10xnexex+1dx=?
解：这道题直接用sympy解不出来，可以参考思考题2，用微分中值定理解答。
Exercise 7-1-4
设f(x)为(0,+∞)上的单调减函数，比较下面几个式子的大小：
∫n1f(x)dx,∫n+11f(x)dx,f(1)+∫n1f(x)dx,∑k=1nf(k)
解：本题主要从面积法来分析。
先看1式和2式，从面积法很容易理解，它们之间的大小关键看f(x)是否穿过x轴。
对于最后一个式子，可以将f(k)看作“阶梯函数”，将求和转变为积分。然后，再应用面积法，将对积分的比较转变为对函数曲线的比较。于是，有如下关系：
∫n+11f(x)dx≤∑k=1nf(k)≤f(1)+∫n1f(x)dx
Exercise 7-1-5
limn→+∞∑k=1n2nn2+k2=?
解：这一题直接用sympy的summation函数也是解不出来的。同样地，我们需要利用“阶梯函数”将求和转变为积分。
函数f(x)=nn2+x2显然是一个单减函数，可以直接利用上一题的结论。
∫n+11nn2+x2dx≤∑k=1nnn2+k2≤f(1)+∫n1nn2+x2dx
又∫nn2+x2dx=arctan(xn)+C，根据“Newton-Leibniz公式”，可得
arcarctan(xn)∣n+11≤∑k=1nnn2+k2≤f(1)+arcarctan(xn)∣n1
然后再用极限的“夹逼定理”，两边极限值都等于arctan(1)=π4
解2：利用极限的定义，进行不等式缩放
12=∑1nnn2+n2≤∑k=1nnn2+k2≤∑1nnn2+12≤∑1nnn2=1
则S(n)=∑nk=1nn2+k2是单调有界数列，必定收敛。（只能到这一步了，待高手）
下面结合这两题，用图形法来直观理解：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker
def func(x):
return n / (n ** 2 + x ** 2)
a, b = 2, 9
x = np.linspace(0, 11)
y = func(x)
x2 = np.linspace(1, 12)
y2 = func(x2-1)
ix = np.linspace(1, 10, 10)
iy = func(ix)
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, 'r', linewidth=2, zorder=15)
plt.plot(x2, y2, 'g', linewidth=2, zorder=15)
plt.bar(ix, iy, width=0.95, color='gray', align='edge', ec='olive', ls='--', lw=2,zorder=10)
plt.ylim(ymin=0)
plt.figtext(0.9, 0.05, '$x$')
plt.figtext(0.1, 0.9, '$y$')
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.xaxis.set_major_locator(ticker.IndexLocator(base=1, offset=1))
plt.show()
如上图所示：红色曲线表示函数f(x)，它在(0,+∞)是单减函数，它在[1, n]区间上的积分∫n1f(x)dx就是红色曲线在区间[1, n]之间与x轴围成的面积；∑nk=1f(k)表示对应的矩形面积和。很明显，矩形面积和大于或等于曲线在对应区间与x轴围成的面积。也许你会说，明明只看到大于，怎么会等于呢？那是因为我画图时，取的 n = 10，随着n取值的增大，超出的面积会越来越小，当n→+∞时，是有可能相等的。
再看上图的绿色曲线，它表示函数f(x-1)。很明显，矩形面积和是小于或等于绿色曲线的积分的。下面通过公式推演，将绿色曲线的积分与最右边的式子联系起来：
∫n+11f(x-1)dx=∫n0f(t)dt=∫n1f(t)dt+∫10f(t)dt
现在，只需证明下式即可
limn→+∞∫10f(t)dtf(1)=1
应用微分中值定理：
limn→+∞∫10f(t)dtf(1)=limn→+∞f(ξ)f(1)=C,ξ∈(0,1)
对于f(x)=nn2+x2，是很容易证明的这个极限值为1。
另解：前面我们在讲“Riemann Integral”时，粗略地证明了“用矩形来逼近积分面积”，其中矩形的取法可以是左端点，也可以是右端点，即“取点的任意性”。事实上，这就是“Darboux Integral”。不论怎样的取法，不影响极限值（积分结果），从图形上来看，相当于保持曲线不动，左右移动矩形（左端点、右端点），极限值相等。而这道题刚好是反过来，相当于保持矩形不动，左右移动曲线，同理可得它的极限值也是相等的。
Exercise 7-1-6
∫1-1[sin5(x)+1+x2-----√]dx=?
解：根据定积分的线性组合性质，可以把这个定积分分为“三角函数部分积分”+“无理式部分积分”，其中，三角函数部分是奇函数，在对称区间的积分，等于0，而无理式部分的积分是一个简单二次根号，很容易想到“三角函数平方公式”进行有理化，如下：
∫1-11+x2-----√dx=∫π2-π2cos(θ)d[sin(θ)]=∫π2-π2cos2(θ)dθ=π2
Exercise 7-1-7
∫1-1x2ln(x+1+x2-----√)dx=?
解：先分部积分，再三角函数平方公式有理化
∫1-1x2ln(x+1+x2-----√)dx=13[x3*ln(x+1+x2-----√)∣1-1-∫1-1x3d[ln(x+1+x2-----√)]=13[x3*ln(x+1+x2-----√)∣1-1-∫1-1x3x2+1-----√dx=13[x3*ln(x+1+x2-----√)∣1-1-∫1-1x3x2+1-----√dx]
前一部分计算化简后等于0，后一部分是“奇函数在对称区间积分等于0”
Exercise 7-1-8
比较两个积分的大小，直接画图如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, np.pi / 2)
y = np.sin(np.sin(x))
y2 = np.cos(np.sin(x))
plt.plot(x, y, 'r', zorder=10)
plt.plot(x, y2, 'g', zorder=10)
plt.grid(True, zorder=5)
plt.show()
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海淀分局备案编号导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率；微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数；积分学；积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数；微积分的符号；微分学中的符号“dx”、“dy”等，系由莱布尼茨；微积分学的应用；微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域；微积分学课程；在高校理、工科教学中，微积分是“高等数学”的主要；微积分的基本介
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。微分学
微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。 积分学 积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。 微积分的符号 微分学中的符号“dx”、“dy”等，系由莱布尼茨首先使用。其中的d源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s的伸长(和Σ有相同的意义)。 微积分学的应用 微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具。 微积分学课程 在高校理、工科教学中，微积分是“高等数学”的主要内容之一。其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。
微积分的基本介绍
微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算，把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数――你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
Differential and Integral Calculus
数学中的基础分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。17世纪后半叶，英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础。19世纪A.L.柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上；加之19世纪后半叶实数理论的建立，又使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。
极限的思想方法可追溯到古代，3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率π的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少 ，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现 。数列极限是函数极限的基础， 一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作例如，数列的极限为0。
微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。如果对每一x∈I ，有f(x)＝F′（x），则称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数，则＝F(x)＋C，其中C为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f(x)为定义在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜?＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝ ，任取 xi ∈Δxi，如果有一实数I，有下式成立 ： ，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分，记为I＝f(x)dx。当f(x)≥0时，定积分的几何意义是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。
联系微分学和积分学的基本公式是：若f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)的原函数，则f(x)dx＝F(b)－F(a)。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使f(x)为初等函数，计算不定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯形法和抛物线法。
微积分学的建立
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。
其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布?贝努利和他的兄弟约翰?贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西??
欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。 微积分历史
积分的起源很早，古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。
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