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　按应力求解平面问题
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平面应力/应变壳单元厚度问题
平面应力/应变壳的时候需不需要设置厚度，厚度对结果有没有影响？求解...
楼主说的是截面属性里的设置吧？
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楼主说的是截面属性里的设置吧？
是的，平面壳就是在这里面设置厚度
这个好像取决于问题类型，比如常规的静力学求解，这个值的区别不大。
但是，如果做的是切削之类的问题，当厚度变化后，切削力会显著变化。最新经典ANSYS及ANSYS教程
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问题描述图3.1所示为一中心带有圆孔的薄板承载示意图，薄板平均厚度为0.2mm，两端承受均布载荷P=1000Pa，求薄板内部的应力场分布。（薄板材料弹性模量为220GPa，泊松比为0.3）
问题分析对于涉及薄板的结构问题，若只承受薄板长度和宽度方向所构成的平面上的载荷时（厚度方向无载荷），一般沿薄板厚度方向上的应力变化可不予考虑，即该问题可简化为平面应力问题（将单元关键字设置为平面应力属性）。根据平板结构的对称性，选择整体结构的1/4建立几何模型，进行分析求解。如果无法判断某一问题是否为平面应力问题，则需选择SOLID实体单元建立空间模型，施加载荷和相应的边界条件进行求解。求解步骤1．定义工作文件名和工作标题1）选择Utility MenuFileChange Jobname命令，出现Change Jobname对话框，在［/FILNAM］ Enter new jobname文本框中输入工作文件名EXERCISE1，并将New log and error files 设置为Yes，单击OK按钮关闭该对话框。2）选择Utility MenuFileChange Title命令，出现Change Title对话框，在[/TITLE]Enter new title文本框中输入ANALYSIS OF PLATE STRESS WITH SMALL CIRCLE，单击OK按钮关闭该对话框。2．定义单元类型1）选择Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete命令，出现Element Types对话框，单击Add按钮，出现Library of Element Types对话框。在Library of Element Types列表框中选择Solid，8node 82，在Element type reference number文本框中输入1，单击OK按钮关闭该对话框。2）单击Element Types对话框上的Close按钮，关闭该对话框。3．定义材料性能参数1）选择Main MenuPreprocessorMaterial PropsMaterial Models命令，出现Define Material Model Behavior对话框。2）在Material Models Available一栏中依次单击Structural、Linear、Elastic、Isotropic选项，出现Linear Isotropic Properties for Material Number 1对话框，在EX文本框中输入2.2E11，在PRXY文本框中输入0.3，单击OK按钮关闭该对话框。3）在Define Material Model Behavior对话框上选择MaterialExit命令，关闭该对话框。4．创建几何模型、划分网格1）选择Main MenuPreprocessorModelingCreateAreasRectangleBy Dimensions命令，出现Create Rectangle by Dimensions对话框，在X1,X2 X-coordinates文本框中输入0，0.025，在Y1,Y2 Y-coordinates文本框中输入0，0.015，单击OK按钮关闭该对话框。2）选择Main MenuPreprocessorModelingCreateAreasCircleBy Dimensions命令，出现Circular Area by Dimensions对话框，在RAD1 Outer radius文本框中输入0.005，在RAD2 Optional inner radius文本框中输入0，在THETA1 Starting angle（cegress）文本框中输入0，在THETA2 Ending angle（degrees）文本框中输入90，单击OK按钮关闭该对话框。3）选择Utility MenuPlotCtrlsNumbering命令，出现Plot Numbering Controls对话框，选中AREA Area numbers选项，使其状态从Off变为On，其余选项均采用默认设置，单击OK按钮关闭该对话框。4）选择Main MenuPreprocessorModelingOperateBooleansSubtractAreas命令，出现Subtract Areas拾取菜单。在文本框中输入1，单击OK按钮，在文本框中输入2，单击OK按钮关闭该拾取菜单。5）选择Main MenuPreprocessorNumbering CtrlsCompress Numbers命令，出现Compress Numbers对话框，在Label Item to be compressed下拉列表中选择All，单击OK按钮关闭该对话框。6）选择Utility MenuPlotCtrlsStyleColorsReverse Video命令，设置显示颜色。7）选择Utility MenuFileChange Title命令，出现Change Title对话框，在文本框中输入GEOMETRIC MODEL，单击OK按钮关闭该对话框。8）选择Utility MenuPlotAreas命令，ANSYS显示窗口将显示所生成的几何模型。9）选择Utility MenuPlotCtrlsNumbering命令，出现Plot Numbering Controls对话框，选中KP Keypoint numbers选项，使其状态从Off变为On，其余选项均采用默认设置，单击OK按钮关闭该对话框。10）选择Utility MenuPlotLines命令，显示所有线段。11）选择Main MenuPreprocessorMeshingSize cntrlsManualSizeGlobalSize命令，出现Global Element Sizes 对话框，在SIZE Element edge length文本框中输入0.002，单击OK按钮关闭该对话框。12）选择Main MenuPreprocessorMeshingMeshAreasMappedBy Corners命令，出现Map Mesh Area by拾取菜单，在文本框中输入1，单击OK按钮，在文本框中输入1，4，5，3，单击OK按钮关闭该拾取菜单。13）选择Utility MenuFileChange Title命令，出现Change Title对话框，在文本框中输入GEOMETRIC MODEL，单击OK按钮关闭该对话框。14）选择Utility MenuPlotElements命令，ANSYS显示窗口将显示网格划分后的结果。15）选择Utility MenuFileSave as命令，出现Save Database 对话框，在Save Database to文本框中输入EXERCISE11.db，保存上述操作过程，单击OK按钮关闭该对话框。5．加载求解1）选择Main MenuSolutionAnalysis TypeNew Analysis命令，出现New Analysis对话框。选择分析类型为Static，单击OK按钮关闭该对话框。2）选择Utility MenuPlotCtrlsNumbering命令，出现Plot Numbering Controls对话框，选中LINE Line numbers选项，使其状态从Off变为On，其余选项采用默认设置，单击OK按钮关闭该对话框。3）选择Utility MenuPlotLines命令，显示所有线段。4）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框，在第1个下拉列表中选择Lines，在第2个下拉列表中选择By Num/pick，在第3栏中选择From Full单选项。单击OK按钮，出现Select lines拾取菜单，在文本框中输入4，单击OK按钮关闭该拾取菜单。5）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框。在第1个下拉列表中选择Nodes，在第2个下拉列表中选择Attached to，在第3栏中选择Lines, all单选项，单击OK按钮关闭该对话框。6）选择Main MenuSolutionDefine LoadsApplyStructuralDisplacementOn Nodes命令，出现Apply U,ROT on N拾取菜单，单击Pick all按钮，出现Apply U,ROT on Nodes对话框。在Lab2 DOFs to be contrained列表框中选择UY，在VALUE Displacement value文本框中输入0，单击OK按钮关闭该对话框。7）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框。在第1个下拉列表中选择Lines，在第2个下拉列表中选择By Num/pick，在第3栏中选择From Full单选项，单击OK按钮，出现Select lines对话框，在文本框中输入5，单击OK按钮关闭该对话框。8）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框。在第1个下拉列表中选择Nodes，在第2个下拉列表中选择Attached to，在第3栏中选择Lines, all单选项，单击OK按钮关闭该对话框。9）选择Main MenuSolutionDefine LoadsApplyStructuralDisplacementOn Nodes命令，出现Apply U,ROT on N拾取菜单，单击Pick all按钮，出现Apply U,ROT on Nodes对话框。在Lab2 DOFs to be contrained列表框中选择UX，在VALUE Displacement value文本框中输入0，单击OK按钮关闭该对话框。10）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框。在第1个下拉列表中选择Lines，在第2个下拉列表中选择By Num/pick，在第3栏中选择From Full单选项，单击OK按钮，出现Select lines对话框，在文本框中输入1，单击OK按钮关闭该对话框。11）选择Utility MenuSelectEntities命令，出现Select Entities对话框。在第1个下拉列表中选择Nodes，在第2个下拉列表中选择Attached to，在第3栏中选择Lines, all单选项，单击OK按钮关闭该对话框。12）选择Main MenuSolutionDefine LoadsApplyStructuralPressureOn Nodes命令，出现Apply PRES on Nodes拾取菜单，单击Pick all按钮，出现Apply PRES on nodes对话框。在VALUE Load PRES value文本框中输入?1000，单击OK按钮关闭该对话框。13）选择Utility MenuSelectEverything命令。14）选择Utility MenuPlotElement命令。15）选择Main MenuSolutionLoad Step OptsOutput CtrlsSolu Printout命令，出现Solution Printout Controls对话框，在Item Item for printout control下拉列表中选择Basic quantities，在FREQ Print frequency选项中选择Every substep单选项，单击OK按钮关闭该对话框。16）选择Utility MenuFileSave as命令，出现Save Database 对话框，在Save Database to文本框中输入EXERCISE12.db，保存上述操作过程，单击OK按钮关闭该对话框。17）选择Main MenuSolutionSolveCurrent LS命令，出现Solve Current Load Step对话框，单击OK按钮，ANSYS开始求解计算。18）求解结束时，出现Note对话框，单击Close按钮关闭该对话框。19）选择Utility MenuFileSave as命令，出现Save Database 对话框，在Save Database to文本框中输入EXERCISE13.db，保存求解结果，单击OK按钮关闭该对话框。6．查看求解结果1）选择Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsDeformed Shape命令，出现Plot Deformed Shape对话框，在KUND Items to be plotted选项中选择Def+undef edge选项，单击OK按钮，ANSYS显示窗口将显示变形后的几何形状和未变形的轮廓。2）选择Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu命令，出现Contour Nodal Solution Data对话框，在Item to be contoured列表框中选择Nodal SolutionDOF SolutionDisplacement vector sum，其余选项采用默认设置，单击OK按钮。3）选择Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu命令，出现Contour Nodal Solution Data对话框，在Item to be contoured列表框中选择Nodal SolutionStressvon Mises stress，其余选项采用默认设置，单击OK按钮。4）选择Utility MenuPlotCtrlsStyleSymmetry ExpansionPeriodic/Cyclic Symmetry命令，出现Periodic/Cyclic Symmetry Expansion对话框，在Select type of cyclic symmetry选项中选择1/4 Dihedral Sym，单击OK按钮，ANSYS显示窗口将显示扩展后的结果。5）选择Utility MenuFileExit命令，出现Exit from ANSYS对话框，选择Quit－No Save！选项，单击OK按钮，关闭ANSYS。
function open_phone(e) {
var context = document.title.replace(/%/g, '％');
var url = document.location.
open("/ishare.do?m=t&u=" + encodeURIComponent(url) + "&t=" + encodeURIComponent(context) + "&sid=70cd6ed4a0");
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请不要超过6个字平面偶应力问题的辛求解方法-共享资料网
平面偶应力问题的辛求解方法
大连理工大学 硕士学位论文 平面偶应力问题的辛求解方法 姓名：房桂祥 申请学位级别：硕士 专业：固体力学 指导教师：钟万勰
摘要平面偶应力理论虽然早在上世纪初就出现了，但是其分析求解一直没有得到很好的解决。现有的求解手段主要采用数值方法一如有限元法。而能给出其解析解的只限于某些特殊的偶应力问题。辛方法作为一种崭新的理论求解体系已成功应用于板、梁等弹 性力学阀题的求解，与经典的弹性力学求解体系相比有着其独特的优越性。本文目的在 于把这种解析方法应用到平面偶应力问题的求解。 本文借助于Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板与平面偶应力的模拟关系，在平面偶应力问题的类 Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ－Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理的基础上，以应力函数为原变量，部分应变为其对偶变量， 推导出力法形式的平面偶应力问题的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组。于是把平面偶应力问题引入 到Ｈａｍｉｌｔｏｎ体系，从而利用辛空间的分离变量和本征函数向量展开法获得其解。本文讨论了两种典型边界条件――对边自由和对边固支矩形域问题的解析求解。首先求解出由于用应交代替位移作为基本变量而带来的对边自由矩形域问题的所有非齐次特解，这些 解均是有特殊物理意义的解。然后，推导出这两类边界条件各自的本征值超越方程，并 进一步给出其对应的非零本征值的本征解。从而依据叠加原理，获得这两种典型边界条 件问题的解。最后，本文求解了一半无穷矩形域单向拉伸问题，数值结果证明了微尺寸 下经典弹性力学的求解方法得出的结果不再适用，由于偶应力的影响，单向拉伸问题在固定端角点处的奇异性消失。本文将辛方法成功应用于矩形域平面偶应力闯题的求解，为这～类问题提供了一条 崭新的解决途径。算例结果也很好地证明了辛方法的有效性和优越性。 关键词：平面偶应力，Ｈａｍｉｌｔｏｎ求解体系，辛对偶空间，本征展开法ＡｂｓｔｒａｃｔＰｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｐｐｅａｒｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｏｆ ｌａｓｔ ｃｅｎｔｕＴｙ，ｂｍ ｉｔ ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｗｅｌｌ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ ｓｏｌｖｅｄ ｂｅｆｏｒｅ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｉｎｌｙ ｓｏｍｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ＦＥＭ ｅｒｅ． ｐｒｅｓｅｎｔ．ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｆｅＷ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｂｅｅｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｓｏｍｅ ｐｌａｔｅ ａｎｄ ｂｅａｍ ｂｅｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ＳＵＣＣＥＳＳ“ｌｖ．Ｃｏｍｐａｒｅｄａｔｗｉｔｈ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｉｔ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｕｎｉｑｕｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｂａｓｅｄｏｎａｄｖａｎｔａｇｅｓ．删Ｓ Ｐａｐｅｒ ａｌｌｎｓ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｔｈｉｓａｎａｌｙｔｉｃｔｈｅ Ｐｒｏ．Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ－Ｒｅｉｓｓｎｅｒ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ。 ｔｈｅ ｄｕａｌ ＰＤＥＳ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏＩｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｏｅ ｍｅｔｈｏｄ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ．Ｔｈｅ ｄｕａｌｉｔｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｉｓ ｔｈｕｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ．ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ ｅｉｇｅｎｆｕｎｅｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｓｐａｃｅ ｉＳ ｕｓｅｄ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ａ ｌｏｎｇ ｓｔｒｉｐ ｄｏｍａｉｎ ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｌａｔｅｒａｌ ｅｄｇｅＳ ｆｒｅｅ．ｆｒｅｅｄ ａｔ ｏｎｅ ｅｎｄ ａｎｄ ｕｎｄｅｒ ｓｉｍｐｌｅ ｔｅｎｓｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｆａｒ ｅｎｄ．ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ．Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆｔｈｅｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｉｎｄｕｃｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ａｓ ｐｒｉｍａｒｙ ｕｎｋｎｏｗｎｓ）ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｉｇｅｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌａｔｅｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．１１１ｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉＳ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｕａｌ ＰＤＥｓ．ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎ－ｒｏｏｔ ｔｒａｎｓｃｅｎｄｅｎｔａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｔ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｅｎｄ ｄｅｒｉｖｅｄ ｖｉａ。ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｅｉｇｅｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ＳｔｒｅＳＳ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｅｎｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ．ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ击ｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ａｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙａｒｅａｔｔｈｅ ｃｏｍｅｒｏｆｆｉｘｅｄｅｎｄ．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｍｉｃｒｏ ＳＣａｌｅ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅ ＳｔｒｅＳＳ ｅ自ｆｅｃｔ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔ，ａｎｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｎｄ ａｄｖａｎｔａｇｅｏｕｓ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｗｉｔｈ ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｒｅｃｔａｎｇｌｅ ｆｉｅｌｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ，Ｄｕａｌｉｔｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ，Ｓｙｍｐｌｅｃｆｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｅｉｇｅｎ－ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．ＩＩ平面偶应力问题的辛隶解方法１绪论１．１引言弹性力学作为工程力学的一门基础学科，影响到工程力学的各个方面，而且也是数 学物理方法的主要内容。然而弹性力学问题的求解一直是其发展的一个“瓶颈”。以铁木 辛柯的《弹性力学》为代表的著作，其求解方法占了很大篇幅，而其求解方法是尽量消 元以使未知量尽可能减少，其结果是方程的阶次却提高了。因此数学物理方法中最有效 和最基本的分离变量法和本征函数展开法就难于实施，半逆法求解就成为其特点。１．２课题的理论意义和应用价值根据结构力学与最优控制理论的模拟关系，将由原变量和其对偶变量组成的辛空间 引入到弹性力学，从而使分离变量及辛本征函数展开的直接解析方法得以实施，形成了 弹性力学问题的求解辛体系。辛求解体系是通过理性的推导逐步进行下去的，它改变了 以前弹性力学求解中大量运用半逆法的传统，给出了一个理性的求解方法。这样就有可 能求得许多以前半逆法所不能解决的问题。而过去由于端部条件方面的困难，只能用圣 维南原理覆盖的部分现在也可以予以求解。 辛求解体系与偏微分方程的传统求解思路正好相反。相比于传统求解方法的努力消 元，尽可能减少未知变量的数目，而不惜方程阶次的升高，辛体系下则是引入对偶变量， 使阶次降低，低阶微分方程有利于数值求解，而对偶变量数目的增加也不会带来大的影 响。辛体系与数值方法相结合，将能更好的体现出辛体系的优点，充分发挥计算机的优 势，去解决工程问题。偶应力理论早在１８８７、１８９４就出现过【”，但是长时间未得到重视。在２０世纪６０年代Ｒ．Ａ．Ｔｏｕｐｉｎ［２．３１、Ｒ．Ｄ．Ｍｉｎｄｌｉｎ［４］等人就偶应力问题发表过几篇文章，但其后很长时间又 趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势，偶应力理论引起了越来 越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的热点之一。 新近的实验表明，当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时，材料具有很强的尺度 效应。例如Ｆｌｅｃｋ［５】等在细铜丝的扭转实验中观察到，当铜丝的直径为１２微米时，无量 纲的扭转硬度增加至１７０微米直径时的３倍；Ｓｔｏｌｋｅｎ和Ｅｖａｎｓ［６１在薄梁弯曲实验中也观 察到当梁的厚度从１００微米减至１２．５微米时，无量纲的弯曲硬度也显著增加。这些现象平面偶应力问题的辛求解方法用传统的力学理论无法解释。此外，裂纹尖端应力场的分析也一直是一个难题。 应变梯度理论就是一种能够解释上述尺度效应的有效方法之一，对于应变梯度理论的发展现状及进展我们将在下面给出。因为传统的弹性理论的模型不含有任何尺度，不能预测出尺度效应，所以传统的弹 性理论在微尺度下不再适用。偶应力理论在描述材料尺寸效应方面有着自己的优势。 固体材料在微米和亚微米尺度下将表现出和宏观尺度不同的力学性能。另一方面， 微电子技术的迅猛发展，同时也对科学技术的深入发展提出了迫切的要求。微型产品的 尺寸已经小到微米及亚微米量级，产品质量是一个非常期待解决的问题。 对于偶应力问题，人们对它的研究多是着眼于如何寻找新的单元，利用数值方法进 行计算。Ｒ．Ｄ．ＭｉｎｄｌｉｎＮ给出过中间带原孔的简单拉伸板等某些特殊偶应力问题的解析解。 此时，如果能求出偶应力的解析解无疑有着重要的理论和现实意义。１．３国内外研究概况及发展趋势如前所述，偶应力理论早在１８８７、１８９４就出现过【ｌ Ｊ，但是长时间未得到重视。在 ２０世纪６０年代Ｒ．Ａ．Ｔｏｕｐｉｎｐ．３】、Ｒ．Ｄ．Ｍｉｎｍｉｌｌ【４】等人就偶应力问题做过一些工作，但其后 很长时间这方面的研究又趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势， 偶应力理论引起了越来越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的 热点问题之一。 ２０世纪初Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟提出微极非线性弹性理论引起人们的注意【７Ｊ。Ｃｏｓｓｅｒａｔ理论 （一般偶应力理论）于１９０９年提出，在此理论中，考虑了每一个材料粒子作为一个完美 的刚性颗粒，在变形时，不仅有位移产生还伴随着转动。每一个物质元有６个自由度， 导致了应变和应力张量的非对称性。由于此理论已经为非线性理论，且当时并非用来分 析弹性理论框架下的一些问题，而是考虑了一些非理想的流体，并试图分析了一些电子 动力学问题。在他们的理论中，Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟并没有引进本构关系。所以一直没有引起 人们的关注。在２０世纪６０年代，由于研究连续介质理论的基本原则，而引起一些学者 的兴趣。他们将原先的Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟的偶应力理论加以拓广，引入了微极弹性理论的术 语，仅利用位移矢量来描述连续介质理论。 Ｔｏｕｐｉｎ［８，９］讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理，他假定应变能密度函数不 仅依赖于应交而且依赖于转动梯度，得ＮＴ线弹性偶应力理论。ＭｉｎｄｌｉｎＩｌ叫认为连续介 质中每一个物质点，从微观角度上可以看作是一个胞元。这个胞元不仅跟随连续介质做 宏观运动和变形，而且自身会有微观位移和微观变形。因此，应变能密度函数不仅依赖平面偶应力问题的辛求解方法于应变张量而且依赖于变形张量及微观变形梯度。弹性偶应力理论是应变梯度理论的一种退化形式ＩＬｎ］。现在国内外对应变梯度塑性理论的研究比较多ｆ７】。现在逐渐发展起来的两种应变梯度塑性理论分别为ＣＳ（ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ）应变梯度塑性理论、ＳＧ（ｓｔｒｅｔｃｈ ａｎｄ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｇｒａｄｉｅｎｔ）应变梯度塑性理论【１１】。１９９３年Ｆｌｅｃｋ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ从几何必需位错角度出发，发展了一种只考虑转动应变梯度影响的应变梯度理论；在分析裂纹尖端场或微米压痕时提出了一种完整的应变梯度理论，既考虑了转动梯度又考虑了拉伸梯度。１９９９年Ｎｉｘ和Ｇａｏ发展 了一种简单的位错模型，后来Ｇａｏ和Ｈｕａｎｇ发展了一种基于位错机制的应变梯度塑性理 论（ＭＳＧ）。中科院力学所的陈少华、王自强也建立了一种完整的应变梯度理论。清华 大学的黄克智等对应变梯度理论也有系统的研究。这些理论也得到一些渐近解应用到断 裂力学中，更多的则是采用有限单元法计算【『”。 许多学者发现对于应变梯度理论的有限元计算，单元的选择是比较复杂的，尤其是 其对具体本构关系的敏感性。Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ曾经针对平面应变裂纹问题，讨论了应 变梯度塑性有限元实现的困难。为了在计算中捕捉应变梯度效应，已针对Ｆｌｅｃｋ和 Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ的应变梯度理论发展了很多单元，并且利用这些单元研究了裂纹尖端场问题， 微米压痕问题。这些单元可分三类【７】： 第一类单元是ｃ．单元。这种单元最早是在研究板单元的时候，由Ｓｐｅｃｈｔ与 Ｚｉｅｎｋｅｉｗｉｃｚ和Ｔａｙｌｏｒ提出的，Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ与Ｂｅｇｌｅｙ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ把这种单元应 用于应变梯度理论中。在这种单元中，节点变量是位移和它们的导数，仅仅在节点处ｃｌ 连续，每个单元有三个节点。 第二类单元是混合单元。这种单元由Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ与Ｓｈｕ和Ｆｌｅｃｋ在研究ＣＳ 塑性理论时提出的，并且它的应用范围拓展到ＳＧ塑性理论中。在这种单元中，节点变 量是位移和它们的导数，单元内的位移和位移的导数由节点变量插值得到。 第三类是９节点或者１６节点等参单元。这种单元仅仅适用于高阶应力曳力自由的 情况。因为在裂纹面和远处都没有高阶应力曳力，所以在裂纹问题中可以应用这种单元。 利用这种单元，Ｗｅｉ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ研究了应变梯度塑性理论的裂纹问题。Ｈｕａｎｇ和Ｘｕｅ 等同样利用了９节点单元分析了ＭＳＧ理论下的微米压痕问题。 基于位错理论，材料的塑性强化是几何必需位错和统计位错共同作用的结果。尽管 材料中的应变梯度效应是几何必需位错引起的，存在微结构的弹性材料同样会表现出应 变梯度效应。Ｈｗａｎｇ等人（１９９８，１９９９）ｔ１２川给出了塑性和弹塑性材料Ｉ，Ⅱ，Ⅲ型裂纹的全 域解，其中存在一个材料尺度参数。 此外，对于弹性偶应力理论，Ｙａｎｇ，Ｅ，Ｃｈｏｎｇ，Ａ．Ｃ．Ｍ，，Ｌａｍ，Ｄ．Ｃ．Ｃ．，Ｔｏｎｇ，Ｐ．１ｌ州建立了平面偶应力问题的辛求解方法一种各向同性线弹性偶应力模型，给出了一弹性粱弯曲的解。肖其林及其合作者ｆ１５１、郑 长良副教授【ｌ创等人也发展了一些新的有限单元来求解偶应力问题。 除了数值方法之外，或许受经典弹性力学求解体系的限制，至今仍没有人对偶应力 问题在解析解方面做出深入、系统的求解与分析。 利用弹性力学求解辛体系的优点，借助于平面偶应力理论与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板的模拟理论， 得出其他现有方法不能求解的偶应力问题的解析解。特色在于利用的辛体系的求解方法 被誉为具有中国原创性的方法，提出一般偶应力问题的解析解法也是第一次。 在弹性力学求解辛体系领域，１９９９年钟万勰和姚伟岸［１７１建立了平面弹性与板弯曲的 相似性理论，给出了板弯曲经典理论的另一套基本方程与求解方法，然后进入哈密顿体 系用直接法研究了板弯曲问题。应用分离变量和本征函数展开法给出了条形板的分析解， 突破了半逆解法的局限。姚伟岸和隋永枫【１８】从Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的Ｈ－Ｒ变分原理出发， 导出Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的哈密顿对偶方程组。将问题导入哈密顿体系，详细求解出哈密顿 算子矩阵零本征值的所有本征解及其约当型本征解，并给出了具体的物理意义。２００２年 钟万勰、姚伟岸和郑长良【１９】在平面弹性与Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ板弯曲相似性理论的基础上，通过 对Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比，系统全面的阐明 了两者的模拟关系，为两类问题的解析与数值求解打开互相借用的桥梁。１．４本文的主要工作钟万勰、姚伟岸等人已将辛方法成功应用于板、梁等弹性问题的求解即｜２“，而且已 给出Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论模拟关系。本文就是在这些前期工作的基础上， 尝试把弹性力学求解的辛方法运用到平面偶应力理论中。主要工作包括以下几点： １．由Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比关系，仿照 Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的Ｈ．Ｒ变分原理写出平面偶应力问题的类Ｈ－Ｒ变分原理。平面偶应 力理论和以前平面弹性理论相比，剪应力ｆ。≠ｆ。，我们可以把它分解成对称如和反对 称两部分ｆ。来处理。对称部分产生剪应变，非对称部分产生一局部刚体旋转∞：，由应 力偶州平衡。２．选取应力函数Ｐ、吼、妒，为原变量和应变ｒ。、（－ｒ。／２）、‘为其对偶变量。由Ｈ．Ｒ变分原理推导出平面偶应力问题的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组。再运用分离变量法形成 问题的辛本征解。 ３．分∥：０和∥≠０求解本征方程。∥＝０时，求解出具有不同物理意义的本征解， 分别对应简单拉伸等受力情况。∥≠０时，我们先求出对称或反对称解的系数，然后代平面偶应力问题的辛求解方法入到相应的边界条件可以推导出本征值超越方程，从而我们可以求出本征值和其对应的 本征解。进一步我们可以利用本征函数向量展开法得到原问题的解。 ４．本文后面给出一个例题：一端固支的半无穷矩形域，末端受单位均布力拉伸，求 解其固支端的正应力分布。将求解结果跟经典弹性理论求解结果作比较，发现用弹性偶 应力理论求得的结果当物体尺寸与材料尺度接近时，固支端的应力集中现象弱化甚至消除。平面妈应力问题的辛求解方法２辛体系的一些基本知识瞳们２．１辛空间一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的晗密顿体系，它们的共同数学基础是辛 空间。辛空间与研究长度等度量性质的欧几里得空间不同，它是研究面积的，或者说是 研究做功的。 定义１设ｙ是实数域Ｒ上的一个疗维线性空间，ｙ’为其对应的甩维线性空间，定义：矽＝ｖｘｖ，｝亿?，则称线性空间∥为由矿和Ｖ’组成的实数域Ｒ上的２万维相空间。 定义２设矽是实数域Ｒ上的２Ｈ维相空间，对∥中的任意两个向量ａ，Ｐ依一定法则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记作（口，卢），并且辛内积（口，卢）计算满足下列四个条件：（１）（口，∥）＝－＜ｐ，口） （２）（ｔ口，∥）＝．｜｝和，Ｐ），七为任意实数 （３）扛十一卢）＝扛．∥）＋（＂∥），，，是矽中的任意向量（４）若向量口对∥中的任一向量声均有（口，∥）＝０，则口＝０称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。 由上面第一式可知，任一向量与其自身的辛内积一定是零，即对任意向量口有＠，口）＝０（２．２）定义３若向量口，∥的辛内积（吼∥）＝０，则说口，夕辛正交：否则说口，∥辛共轭ａ由定义２知，任一非零向量一定存在与其辛共轭的非零向量。事实上，若口≠０，则口与肛一定是辛共轭的。若向量组ｂ。ｄ：…ｑ届卢：…羼）（，蔓一）的向量满足：平面偶应力问题的辛求解方法０ｑ ％∥、“口●＝文恪以产 卢０印ｂ睁（ｆ，，＝１，２，…，ｒ）、，＿：¨川“（２．３）则称向量组慨口２…口，属屈…屏Ｊ是共轭辛正交向量组；若上式中的 ｋ。＊１（ｆ＝１，２，…，），则称向量组杠。口：…口，麒展…∥，）是标准共轭辛正交向量组。定理１共轭辛正交向量组是线性无关向量组。定理２２ｎ维辛空间中任一个共轭辛正交向量组都能扩充成一组共轭辛正交基。定理３设Ｗ是２玎维辛空间，（％）为一组标准共轭辛正交基，则Ｗ中任意一个向量，在基扛，）下的坐标Ｇ１…ｘ。Ｘ＾＋ｌ…工２。）１为：ｉ＝１，２，－??玎ｘ，＝（∥，口。＋。），ｘ。“＝－＜Ｂ，口ｆ）定义４如２ｎＸ２ｎ矩阵Ｓ满足：Ｓ７ＪＳ＝．，（２．４）（２．５）则称Ｊ是辛矩阵，其中‘，是单位辛矩阵。 辛矩阵有如下性质： （１）辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵； （２）辛矩阵的转置矩阵还是辛矩阵； （３）辛矩阵的行列式值等于ｌ或一１； （４）辛矩阵的乘积还是辛矩阵。 定义５如果２ｎ×２ｎ矩阵日对任意２ｎ维向量ｘ，Ｙ满足：《ｘ，ｈｒｙ）＝（，，―Ｅｈ）则称矩阵日为哈密顿矩阵。（２．６）定理４如Ⅳ是哈密顿矩阵日的本征值，重数为ｍ，则一∥也一定是其本征值，重数也 为ｍ：如哈密顿矩阵日存在零本征值，则其重数一定为偶数。 今后称土∥的两个本征值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。我们通常将哈密顿矩阵 的非零本征值分成两组：＠）／．ｚ?，脚ｉ＜０或脚?２０＾１掣ｔ＜ｏｌ（卢）∥。“＝一∥。Ｊ（２７）、。在位）组中还可以按／．ｔ。的绝对值的大小来编排，越小越在前。需要说明的是上式没有包 含零本征值，它是特殊的辛本征值，即其互为辛共轭的本征值是其本身。定理５设日是哈密顿矩阵，ｙＰ，“”，…ｙ｝ｍ）和ｙｊｏ），¨１’，…时’分别是本征值以，一对平面偶应力问题的辛求解方法应的基本本征向量及约当型本征向量，则当Ｈ＋ｌＪｉ≠０时本征向量间有如下辛正交关系：（∥“，妒ｊｆ））＝妒ｊｎ．，时’＝０ Ｇ＝ｏ，１，…，棚；ｔ＝ｏ，１，…，ｎ）（２．８）上面的定理说明了非辛共轭的本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量间存 在辛正交性质。下面我们讨论互为辛共轭本征值对应的本征向量间的关系。为简化，我 们假设每个本征值只有一个约当链。 定理６设±口≠０为哈密顿矩阵日的一对互为辛共轭本征值，重数为ｍ，则一定存在一组共轭辛正交向量组◇扣’妒ｏ）…妒枷一‘’妒（ｍ。‘）…≯ｏ’妒（ｏ’），即：（＾“））＝｛∽７∥兽：歹：：二器型本征向量。（２．９）其中ｐ（ｏ）矿（１）…∥加一‘））和如（０’妒ｏ）…一（“’）分别是卢，一一对应酌基本本征向量及约当上面我们讨论了共轭非零本征值的本征向量之间的共轭辛正交关系。由定理４知道， 如哈密顿矩阵日存在零本征值，则一定是偶重根。零本征值通常存在约当型，由它们组 成的解在具体问题中是有特殊物理意义的，这些将在后面结合实际问题加以介绍。 零本征值因为其特殊性∥＝－ｐ＝０，其基本本征向量及其约当型本征向量自身可以 组成一组共轭辛正交向量组，为讨论其共轭辛正交性，首先引入如下引理：引理设哈密顿矩阵日存在零本征值，而缸０１妒ｏ）…∥（２”一１’）是零本征值对应的任一组基本本征向量及约当型本征向量，则对任意１≤Ｐ≤２ｍ一１，０≤ｇ茎２ｍ一２有：（ｙｏ），ｙ（ｇ’）＝一ｆ／（Ｐ一”，妒““’）并且当Ｐ＋ｇ为偶数时有（２．１０）ｆ矿（ｗ，吵（口））．０（２．１１）定理７如哈密顿矩阵日存在零本征值，其重数为２朋，则一定存在一组零本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量ｐｏ’矿ｏ）…ｙ（２“’），它们有如下的共轭辛正交关系：（以∥）＝Ｐａ。鲫管麓２２¨ｍ－ｍ时））由它们的列向量组成的矩阵当然是辛矩阵。（２．１２）定理４－－７表明２玎维辛空间～定存在一组由哈密顿矩阵日的基本本征向量和约当型 本征向量组成的共轭辛正交基；然后再通过归一化，可以形成一组标准共轭辛正交基，平面偶应力问题的辛求解方法关于哈密顿本征值问题的特点定理４已经有了介绍。由于哈密顿矩阵不是对称阵，因此可能出现重本征值，而且可以有约当型的本征向量。如‰。）是重本征值∥的基本本征向量，根据式线性空间的理论知其各阶约当型本征向量叛。），掣（：），…，甲（。）应分别由下列方程求得：／ＰＰ（Ｏ＝∥‰）＋毁ｏ】日妒（２）＝∥甄２）＋Ｐ（１）日妒∽２声妒（＾）＋妒（女一１） （２．１３）对基本本征向量毁。）来言，它对应的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组的解为 ’（ｏ）＝ｅ“譬，（ｏ）（２．１４）可是约当型本征向量不能按式（２．１４）直接构成齐次Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程的解，但由它们可 以组成原方程的解：‰＝ｅ一陬。）＋ｘ％）】Ｖｔ：，＝ｅ”［ｒｃ：，＋ｘ甲。，＋ｉ１ ｚ２甲。，］ｆ２．１５）№矽ｈ％）＋．．．＋≯‰］这里需要强调指出的是本征值∥＝０是一个特殊情况，它不包括在（２．７）中，所以说式（２．７） 的划分是不够严格的。在弹性静力学中，零本征值是常见的，而且通常存在约当型，其 对偶的本征向量与其约当型的解混在一起，这在理论上带来了某种不便。其处理是应该 将零本征值的本征解子空间先行求出，并将哈密顿阵降维降到不含有零本征值，使之适 应（２．７）的划分。２．２哈密顿原理与哈密顿正则方程“大自然总是走最容易和最可能的途径”，这是著名的费马原理。在经典力学中最小作用量原理归结为哈密顿原理，通常用有限自由度，ｌ维的广义位移ｇ。Ｏ＝１，２，…，ｎ）或用向量口来描述。用口。表示其对时间的微商，则动力系统的拉格朗Ｅｌ函数（动能一势能）为：上瓴雪）或￡Ｑ１，ｇ：，…，鼋。；口。，寸：，…，口。）（２．１６）哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点Ｑ。，ｆｏ）运动到终止点白。，ｔ。），其真实的运９平面儡应力问压的辛求解方法动轨道眨使作用量么成为驻值。４＝Ｃ工白雪）ｄｆ，跗＝０事实上展开变分式（２．１７），并作分部积分有：（２．１７）跗＝蜷一鲁［新靴＝。由于硒可以任意变分，因此就导出了拉格朗臼方程： ∞ 旦ｄｔ㈦ｋｏｑＪ＝詈仁嘞㈣、７因此说哈密顿原理式（２．１７）对应于拉格朗日方程（２．１９），它是二阶常微分方程组。我们看 到，以上的表述只有位移这一类变量，所以它是单类变量的变分原理。 在经典分析力学中早己发展了哈密顿正则方程体系，它是通过勒让德变换，把拉格 朗日函数Ｌ中的～类独立变量圣（广义速度）变换为ｐ（广义动量，即对偶变量）：ｐ：罢由式（２．２０）我们可以解出口，使圣是ｐ、叮的函数，即：（２．２０）尊＝圣（ｐ，譬）按照勒让德变换的规则，应引入交换函数，即哈密顿函数（动能＋势能）：（２．２０．日Ｃ“口）＝ｐ１圣一三白雷（ｐ，口））于是根据勒让德变换有：（２，２２）罢：一百ＯＨ，尊：婴 向 阳’１ 勿另一方面，由式（２．１９）｝知：（２．２３）、６砚＝－ａｄ故得：ｒＣ引６）ｄｔ＝ｐＪ（２．２４）’，圣：掣，ｐ：一掣 ｃｐ 叼（２’２５） ｇ＝―：一，ｐ＝一―ｉ―Ｌ厶二）Ｊ平面偶应力问题的辛求解方法式（２．２５）就是哈密顿正刚方程，其中采用了二类变量：广义位移窖与广义动量ｐ。与哈密 顿方程（２，２５）相对应的变分原理是６ｅｂ７口一日（ｇ，尹）】ｄｆ＝ｏ到式（２．２５）。（２．２６）其中ｇ与Ｐ应当看成为互不相关独立变分的变量。只要展开变分式（２．２５），就可以立即得从单类变量的变分原理式（２．１７）变换到二类变量的变分原理式（２．２６）的过程具有典型性，它是通过勒让德变换实现的。平面偶应力问最的辛求解方法３具有应力偶的平面弹性理论及与Ｒｅ ｉ ｓｓｎｅｒ板的模拟关系３．１具有应力偶的平面弹性理论。３３．１．１引言经典应力理论与含应力偶的应力理论之间基本的区别在于对于表面单元的两面所假 设的材料相互作用的性质不同。在经典理论中，假设在表面一面的材料对表面另一面的 材料的作用与～力是等价的。在应力偶理论中，假设相互作用与一力和一力偶（应力偶） 等价。进一步改进还允许假设体力偶的性质。应力偶取为单位面积的力矩，而体力偶取 为单位体积的力矩。 应力偶理论与经典应力理论相比具有更少的限制性。此外，有应力偶的弹性力学理 论应用到经典解产生局部无界应力或无界变形的问题表面时，该结果（例如奇异性）被 改变、被弱化或者可能被消除。 对于平面应变，应变一位移关系可以得到如下形式： 抛Ｌａｖ．２否’占，２万＾～㈤％２面＋瓦’，，。２‰２０应力一应变关系可写成如下形式：毛＝．半ｋ―ｙ乜＋盯，）】占一２―１■【（０一ｙ≈以＋盯，Ｊｊ旷半ｂ，一ｖｐ；＋ｑ）】占，＝―。ｒＩＦｙ―Ｖｐｚ＋盯，月。净（３２） Ｕ‘ｚ，ｙ。：．２０辜ｖ＿＿Ａｒ。’掣３．１。２平衡方程对于相对Ｇ，ｙ）平面并且无体力和体力偶的平面问题，能够支撑应力偶的～介质的应力平衡方程为（正应力方向如图３．１所示）：平面儡应力问题的辛求解方法∑只｜｜Ｏ堕缸＋＝∑０ ＝ Ｏ笠苏 坠砂堡砂十｜１∑蜘。：警＋等＋～＾＝。（３ｓ）因此，对非常数应力偶（ａｍ。／知≠０，锄，／勿≠０），剪应力不必相等（即ｒ，≠％）。反过来，如果（～，ｒ，）相等或为零，则应力偶（ｍ。，ｍ，）不比为零ａ方程（３．３）为略去体力和力偶的平面问题的Ｃｏｓｓｃｒａｔ平衡方程（Ｃｏｓｓｅｒａｔ，１９０９）。图３．１正应力图Ｆｉｇｕｒｅ ３．１ Ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｔｒｅｓｓｅｓ３．１．３应力偶理论中的变形现在我们处理平面应变情况。相对Ｇ，ｙ）平面的平面应变，位移分量０．ｖ）只是Ｇ，），）的函数并且ｗ＝０。因此，对各向同性弹性介质，正应变ｂ，，ｓ，）由方程（３．２）的前两式与正应力ｂ，，仃，）联系，－，，ｑ）由方程（３．１）的前两式与０，Ｖ）联系。此外，剪应变Ｙ。由方程（３．１）的第四式与（“，ｖ）联系。然而，因为通常ｆ。≠ｒ，，方程的（３．２）第三式不再成立。因此，１３平面羁应力问题的事求解方法仿效Ｍｉｎｄｌｉｎ（１９６３），我们将％，％分熊成为对称部分％和菲对称部分＿：。＝委ｋ＋‰）由下图，对称部分珞产生剪应交ｆ＾±圭（ｆ掣一彳声）（３．４）％２石ｈ。丁ｂ竹”』 ％＝石１”半（『∥，）（３．５）停 芦 母～，上ｘ一＿），ｆ？彰。．‘”一ｆＳ飞－Ａ％ §ｙｔ．―（―，―一’■图３．２剪应力的对称和反对称部分Ｆｉｇｕｒｅ ３．２ Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅＷｙ ａｎｄ ａｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐａｒｔ ｏｆｓｈｅｍ＂ｓｔｒｅｓｓ其中Ｇ＝，Ｅ／［２０＋ｙ）】为剪切模量。类似的，非对称部分＿产生一局部刚体旋转（如上图）１ｆ加融１呸２ｉ临一面ｊ此外，非对称部分‘由应力偶平衡。（３．６）１４平面儡应力问题的辛求解方法研究应力偶对单元陋，妙）的影响，图３．３，我们注意到ｍ。ｍ。产生与旋转国：相关的曲率芷。Ｋ。并由方程：疋娑Ｏ＇Ｘ缸＝船＆警渺＝砂 ’卵或者（３．７）ｒ。＝警％＝鲁 ｒ。２ｉ％２畜表示其关系。（３８） （３省’类似于剪应变％与ｆ。‰的对称部分ｂ的关系，我们假设曲率（ｋ，彭，）（变形）与应力偶（ｍ。，ｍ，）（力）成正比：１ １茁。２右ｍ。ｂ ２右ｍ”的量纲。（３?９）其中Ｂ为曲率或弯曲模量而因子４是为以后的计算方便而取的。我们注意到由于应力偶 具有单位面积力矩的量纲或单位长度力的量纲而曲率为长度的倒数，所以模量Ｂ具有力Ｒ。＝１／盯。（ａｑ／缸玲～～蔓．ｍ立平面偶应力问题的辛求解方法图３．３应力偶对单元的影响Ｆｉｇｕｒｅ ３．３ Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｓ缸ｔｓｓ３．１．４协调方程方程（３．１），（３．６）和（３．８）由用两个位移分量表达的五个变形量（‘，富ｙ，％，ｋ，茁ｐ）组成，从方程（３．１）中消去位移分量，我们得到通常的应变协调方程丛＋生：盟 Ｏｙ２’苏２踟＇类似地，从方程（３．８）中消去旋转缈：得出：（３．１０）、坠：坠 苏勿（３．１１）现在由方程（３．１）和方程（３．６），我们发现：言２ｉＩ萨一丽ｊ２ｉｉ一百知。１０２ｖａ２“１１ａ％溉（３．１２ａ）―』＝一ｌ¨１２一一８０Ｊ：１砂ｒ ａ２ｖ ａ２“１ ２Ｌ苏砂砂２ Ｊｌ＾ａｓｙｌ％良（３．１２ｂ）２砂因此由方程（３．８）得出：平面偶应力问题的辛求解方法～１铆ｑ ｋ ２互蔷一蓄８ｓｌｂ２吉一ｊ蓄ｄ￡ｖ１ ａｙｑ（３．１３）看起来我们已得到４个协调关系【方程（３．１０），（３．１１）和（３．１３）］。然而，我们观察到方程（３．１３） 隐含方程（３．１１）。因此我们有协调关系：堕．堡：～０２ｙ。， 勿２。叙２姗ｙ坠：坠 玉砂ｋ一１ ２ｉ蓄一亏ａ％ａｓ。ｂ＝等一ｉＩ百Ｏｙ￡ｙ ２言一ｉ百ｂ其中只有三个关系是独立的，因为第二个方程被其余三个隐含。 （仃，，盯，，勺，ｆ，）和应力偶（矾。，ｍＦ）写出，我们得到：（３．１４） ｕ?Ｈ，最后，我们注意到，４个协调关系可用方程（３．５），（３．９）ｆＦｌｌ（３．２）的前两式按照应力分量等＋誓卅ｐ，坞）＝茜Ｇ∥，）锄，锄。砂苏拼。玎昙ｋｑ）叫２刍ｂ；一Ｖ◇；坞）】ｍ，划２昙ｐ，一ｙｐ：螺粕专（ｒ∥，）其中（３１５）平面得应力问惩的辛求解方法Ｖ２＝罢ＣＯｔ：＋芸Ｏｒ＇Ｅ＿●＿＿（３?ｓ），：；堑±坐：旦“．（３．１７）其中，２为材料常数Ｂ、Ｇ的比值。由方程（３．１５）的后两式，我们注意到当，２≠０时，大的梯度可能导致大的应力偶（胁。，掰。）值，如果，＝０，则材料对曲率的效应（纠Ｇ＝０）无相应的抗力。因为方程（３．１５）第二式被其它三个方程隐含，所以四个协调方程中只有三个是独立的。３．１．５具有应力偶的平面问题的应力函数方程（３．３）可按类似于用Ａｉｒｙ应力函数解方程（３．１８）的方式来解（Ｃａｌｓｏｎ，１９６６）。墼＋冬＋ｚ－ｏ，冬＋孕＋ｒ：ｏ 嗽 咖 砂Ｏｘ（３．１８）按照全微分的理论，方程（３．３）的第一式是存在Ｇ，ｙ）的一个函数妒使得有ｑ２苗’‰一言ａ占 ａ口（３．１９）的充分必要条件，而方程（３．３）的第二式以类似方式得出：盯户石Ｈｐ一百其中口＝ｅ（ｘ，Ｙ）。此外方程（３．１５）的第二式允许一个函数ｙ＝５ｃ，Ｇ，＿ｙ）以致（３．２０）％５素’掰一５苗将方程（３．１９）、（３．２０）、 （３．２１）代入方程（３＇３）的最后一式得出：ａ矿ａｙ（３．２１）杀（警＋庐）＋专愕一口）－０稼Ｌ缸 ’，砂Ｌ砂 Ｊ（３．２２）这又是存在函数日＝Ｈ（ｘ，），）的充分必要条件，使得：平面儡应力问题的辛求解方法警巾警，或者塑一ｐ：一型劫苏ｆ３．２３）妒＝等一警，这样我们得到公式：口：塑＋业缸砂（３．２４）因此方程（３．２４）代入方程（３．１９）、（３，２０）得出用ｙ、日表示的盯，，盯，，ｆ。，ｆ，的表达式。咿矿一１０ｘＯｙ加ｙ ２－ｇｒ＋１０ｘｏｙ 铲一丽一铲Ｈ一一丽＋蔷矾。＝娑，脚，＝譬 矾。２素’脚Ｆ ２亩（３，２５） ｕ’ａ２Ｈａ２Ｉ圹ａ２Ｈａ２ｗａ２日ａ２ｉ∥ａ２Ｈａ２ｔ矿其中所有的应力和应力偶分量都按两个应力函数ｙ、日表达。对妒＝０，ｍ。＝ｉ＇ｎ，＝０， 方程（３．２５）简化为古典加ｒｙ应力函数关系【具有矿＝０的方程（３．２６）】：铲矿０２Ｆ＋．¨，＝万０２Ｆ彬铲一苗函数Ｆ为Ａｉｒｙ应力函数。 （３．２５）的前四个方程代入（３．１５）的第一式得出：Ｖ ２Ｖ２Ｈ＝Ｖ４Ｈ＝０（３２６）日和ｖ的微分方程。保留的协调方程【方程（３．１５）】定义了函数日，ｙ?因此，将方程（３，２７）这样，日是经典应力理论的Ａ酊应力函数【见（３．２８）］。Ｖ２Ｖ２Ｆ＝窑＋２祟＋矿Ｏ＊ＦＯＸ。Ｏ＇ＸｏＴ洲＝。（３２８）最后，将方程（３．２５）代入方程（３．１５）最后二式得出：戗 昙ｐ－１２Ｖ２Ｖ，－）＝－２（１一ｙ），２昙ｏｙ勺２日）平面偶应力问题的辛求解方法昙ｐ－１２Ｖ２ｙ）＝２（１一ｐＦ２昙（Ｖ２Ⅳ）由方程ｆ３．２９），通过其第一式对ｘ求导而第二式对Ｙ求导并相加，我们得到：Ｖ ２妒一ｉ２ｖ４ｙ＝０（３２９）因此函数ｙ一，２Ｖ２ｙ和２（１一ｙ），２Ｖ２Ｈ为共轭调和函数；即它们满足Ｃａｕｃｈｙ―Ｒｉｅｍａｎ方程。（３．３０）类似地，先对ｙ再对ｘ求导得出方程（３．２７）。这样定义Ｈ￥１２ｖ的方程为（３．２７）（３，３０）ａ３．２Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论模拟关系“钔基于平面弹性与Ｋｉｃｒｃｈｈｏｆｆ板弯曲的相似性理论，Ｋｉｒｃｈｉｈｏｆｆ板弯曲的挠度ｗ对应于平面弹性的艾里应力函数，反过来平面弹性的位移对应于Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ板弯曲的两个弯矩函 数≯：，≯。。在此基础上，分别在平面应力理论中弓｜入与Ｒｅｓｓａｅｒ板弯曲的转动虬，ｙ，对 应的应力函数％，Ｐ。，从而可以建立起Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论模拟关系，归纳整理成下表３．１。在坐标旋转下还要分析这些量的变换规则。吐是纯量，从而ｋ，，一暂。；１是向量，｛－ｍ，，ｍ。｝Ｔ也是按向量变换的。显然盯，，ｃｒｙ，（～＋‰），２及岛，￡，，抽是传统平面弹性的张 量【”，故移，，妒，｝Ｔ还是向量。注意（ａ冲ｋ／良＋锄，／砂）在坐标旋转变换之下不变，故是纯量，从而ｋ―ｆ。）也是纯量。在Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题中相对应的量都有相同的性质，再次表明了模拟关系的性质。 Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论的给力边界条件对应于平面偶应力理论的给定位移边界条件， 反过来Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论的给定位移边界条件对应于平面偶应力理论的给力边界条 件。按照平面偶应力理论与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲之间的模拟关系。通过引入与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯 曲的位移和转动对应的平面偶应力的应力函数Ｐ，吼，吼，于是就有如下的应力与应力函 数的关系：垆誓，～＝一斋，％一誓一＝誓，％＝考一乃，％一謇＋ｑｋ（３．３１，采用代入验证，即知平衡方程已自然满足。２０平面偶应力问题的辛求解方法表３．１Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲与平面偶应力理论之间的数学同构关系Ｔａｂｌｅ ３．１Ｔｈｅ ａｎａｌｏｇ ｒｄａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＲｅｉｓｓｎｅｒｐｌａｔｅｂｅｎｄｉｎｇａｎｄｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓｔｒｅｓｓ切力：Ｑ：缸，ｇ｝Ｔ偶曲率：Ｋ＝ｋ，，一Ｆ。｝Ｔ应变：Ｊ．，ＪＦ，ｊｑ，ｓ， 切应变：以，以平衡方程：应力：拶，，ｆ掣，ｆＦ，盯ｊ偶应力：一聊，，ｍ。 协调方程：Ｑｌ＝ａＭｔ｜ａｘ―ａＭ。／８ Ｑｙ＝一ａＭ。溆＋ＯＭｙ／８Ｙ｜瓠一ａ７。／２８ －－Ｋ＂ｎ＝８ｓＩ｛￡ｙ―ａｙ”｝２ａ）：Ｋ。＝８ｓ‘等一２等＋等…。叙２ 苏ａｙ 却。堡一一０２ｙ日，＋垒：ｏ”咖２缸砂’缸２内力―弯矩函数关系： Ｍ ｖ＝８母ｘ｝瓠Ｍｌ＝劭ｖ｜匆应变一位移的几何关系： ￡｜＝８ｌ‘ｉａｘ ￡ｖ＝ａｖ｜劬２Ｍ。＝８《Ｉｉ｜卸＋８审，｜瓠ｙ。＝孔｜劬七∞｜瓠｛｝ｍ＝婶争ｙ胁一８母ｌ／８）／２Ｑｔ＝ｏ声ｏ｜卸．Ｑ，＝一ａ矿ｏ｛瓠转动一曲率关系：０９；＝（ａｖ／缸－０ｕ／８）ｔ２ｘＲ＝ａ∞Ｉ｜却，一Ｘｎ＝一８∞ｚ｝瓠应力―应力函数关系：ｓＩ＝ｅ妒ｔ｜瓠。ｓ。＝一８ｖ。／８ｄｒｙ，＝８９Ｉ｜瓠，ｔ口＝一８币；｜铆２ｌ＝―――――――――塑丝垫墅燮 ――――――――――――――――――――――――――――――――一一协调方程：２ｓ平衡方程：Ｙ｜瓠壬ａｓｑ｜秭＝日 ８ｓ”？瓠＋８ｓ：｛努＝０ａ口ｘｌ敏七娩。｜匆：０ａｆ。｛敏＋ａｄ ｖ｜。ｙ：０等一誓＂。叫，＝。物性关系： Ｍ ｙ ２ ＤＱ ｙ＋埔１）警＋警＋～一‰：。物性关系：￡｜＝扣。一ｖｃｒｙ）ｌＥ占，＝ｐ。～ＶＯ＂。）／Ｅ鸩２Ｊ９瓴＋增ｙ）２肘捌＝Ｊ凸ｑ―ｐ）（Ｊ廿＋ｓ片），０＝（ｆ掣＋ｆ掉）（１＋ｙ）／Ｅ‰＝Ｑ％，ｋ＝跏。 垒三二垦！竺：垒三二鱼７ｃ ―――■■―■――――――――――――――――――――－二二――ｏ，二―＿＝．一―＿一首先应看到，类同于Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的刚体位移，应力函数ｐ：％＋ａ。ｘ＋ａ２ｙ、 吼２ｑ与妒，２Ｇ３不产生任何应力，其中口。，口。，疗：为任意常数。以后称之为零力函数。其 次应当考察在坐标旋转时，应力函数仗，％与ｐ的变换公式。当坐标旋转ａ角时，应力《＝ｄ＇ｚＣＯＳ ２留＋ｑ ｓｉｎ２货＋（岛＋ｒＦ）ｓｉｎａｃｏｓａ盯；＝仃ｊ ｓｉｎ２口＋盯，ＣＯＳ２ｔ２＇－（ｒ掣＋ｆ月）ｓｉｎａｃｏｓａｆ０＝ｐｙ一盯＃）ｓｉｎａｃｏｓａ＋ｆ掣ＣＯＳ２口一ｆ岸ｓｉｎ２ａ哆２（ｔＴｒ一盯，）ｓｉｎｔｚｃｏｓａ＋％ＣＯＳ２口一ｆｗ ｓｉｎ２口加二＝肌ｎｃｏｓ口一埘。ｓｉｎａ（３１３２）槐二＝ｍｙｚＣＯＳＧｒ＋柳。ｓｍ口相应地吸，伊，与Ｐ也应当转换为：纯＝ｐｘ ＣＯＳ＋乃ｓｉｎｚｚ，矿＝一以ｓｉｎ口＋妒ｙｃｏｓ口，Ｐ’＝Ｐ（３．３３）容易验证，（３．３１）式在（ｘ’，Ｙ’）坐标中仍成立。即败，吼的变换规则与向量相同，而Ｐ为纯 量。 给力边界厂搠上的边界条件为：。．令下是连界条件?为简单记，我们讨论的都是童边边界条件。对平面偶应力问题其ｐ。＝）等＝瓦，ｋ＝）一－舰ｄ－＝乙，ｈ。＝）鲁一仍＝配（３｜３４）其中外法线记为，ｚｔ沿周界方向为，，（珥ｆ）构成右手系。令上式中的吸＝磊＝玩：０，平面偶应力阿匿的辛求解方法即给出所谓的自由边界条件。注意到上式只含有沿边界ｒ的微商，因此可以积分，有：吼２两２Ｅ瓦出’＋ｑ，吼＝＿月＝～￡气出。＋屯，ｐ＝芦＝￡（稚＋￡瓦出’）出’＋ａ０＋吼ｓ（３．３５）其中吼，ａ。，ａ：为待定常数，其余皆为已知函数。由于给力边界可以有若干段，因此不能将各分段的ａ０ ａ。，ａ：皆行消除，但利用零力函数的任选性，总可将其中一段的三个 常数予以消除。平面偶应力问题的给定位移ｆ。上的边界条件为：“。＝瓦， “。＝瓦，∞：＝砭（３．３６）令上式中的瓦＝霹＝匾＝０，即给出所谓的固支边界条件。上式也可用应变表示为：ｑ＝鲁＝互，‰＝警＋豢＝‰ｋ＝警＝瓦体系嘲就可以直接应用于平面偶应力问题的求解。Ｂｓ，，根据平面偶应力理论与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲之间的模拟关系，Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的辛求解３．３Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论的Ｈ－Ｒ变分原理讨论Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板占有区域一ａ＜ｘ＜ａ，０＜），＜，，而Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的内力正向规定如图３，４所示；而对应广义位移有板的挠度ｗ及转角¨和％。Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的基本 方程可以从下面的ＨｅＵｉｎｇｅｒ－Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理导出６１－１２＝０ｆ３．３ｓ）这里以一㈨一州 吩以 Ｍ卜 彤吨 鼬丝叙￡，一 虬 虬０√而其中余能密度函数为生ｙ 盟砂计 挚ｑ 塑锣盟良 ，吖饥 ” 争一＋％幽１ｌ ｌ，●Ｊｕ＝面杀而ｋ：＋Ｍ，２一ｚ洲，Ｍ，＋ｚ（１＋ｙ蛾卜去赎＋彰）系，可以得出平面偶应力理论的类Ｈ－Ｒ变分原理如下：（３加）根据上节平面偶应力理论与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论的模拟关系，由各物理量的对应关平面偶应力问题的辛求解方法６盯．＝０（３．４１）其中，泛函：皿＝（Ｅｌ警＋矗等一等陪＋割一％罡一％）＋茁。岛一吼］一ｕ卜一ｌｋｐ一劢＋ｑ（纯一万）＋（＿‰／２ｘ识一列出一Ｌｂ瓦＋仍爵＋％（－死／２）】出’ｆ３．ａ２）应变能密度函数：ｕ＝高ｍｓ；＋２咿，）＋丽Ｅ，刍＋壶眩＋ｒ三）（３．。ｓ）之所以成为类Ｈ＿Ｒ变分原理是因为它是由相似性得来的。图３．４Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲内力正向规定示意图Ｆｉｇｕｒｅ ３．４ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｔｒｅｅｔｓ ｏｆＲｅｉｓｓｎｅｒ ｂｅｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ平面偶应力问题的辛求解方法４平面偶应力问题的辛求解体系４．１导入哈密顿体系由３．３节，我们已经得到平面偶应力的类Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ－Ｒｃｉｓｓｎｅｒ燹分原理：８Ｈ２＝０ （４．１）其中，泛函：皿＝ｆｆ：卜警＋ｑ警一≥（等＋割一‰瞎一吼］＋ｋ陪一乃］一扣一Ｌ【Ｋｏ一；）＋‘（％一万）＋（－‰／２Ｘｃｐｔ一瓦）】山一Ｌｂｋ＋识瓦＋钆（一只ｒ／２）］ｄｓ’（４．２）应变能密度函数：ｕ＝高ｍ占；＋ｚ峨Ｆ，）＋丽Ｅ具甲丘ｇ＝【Ｉ＋¨／Ｌ‘，Ｌ刀羽币斗尺厦系鳅ａｙ弓＋南ｋ＋Ｋ三）㈤）我们对泛函（４．２）施行变分，变分式如下：趼：＝ｆ￡Ｉ ｓ。警＋ｑｓ警＋ｓｑ等＋ｑｓ－融虿－一ａ等（等＋誓］ 一等ｓ陪＋警］＿ｓ‰瞎一败）－‰《罢一致］＋ｓｋ陪一竹］＋ｋ《考一以］一五兰巧ｋａｔ＋ｑｓｑ＋岷ａｑ＋ｑｓｑ卜互杀可％ｓ‰ 一刍ｋ６％＋ｋ６ｋ）］出妙＋边界项变分按勋，６纵，６吼集项，我们可以得到平面偶应力问题的协调方程如下川、――――――――――立堕婴塑竖塑堂％。蔷一茜叫ｎ。方一杰｝一，一０￡ｘ。一８Ｅ ｙａｙ¨ｄ７≈（４．５）。婆一望＋鼻：。 砂２蠡砂 缸２按６ｓ，，６０，６盯，，６ｒ。，６％集项，我们可以得到平面偶应力问题的物性关系如下：‘铲（鲁叫争慨（卟吲／Ｅ 卿 铲嗉－ｖ警汪＝姆。～＂淞积一…岛一玺＋》”Ｄ／Ｅ＝ｃ”觑…邶％５∽６’Ｑ（詈一织）＝跏，，‰＝Ⅸ等一吼）＝跏。通过上面的推导，可见从变分原理完全可以推出平面偶应力问题的控制方程。这也证明 了变分原理的正确性。为将问题导入Ｈ锄ｉＩ。。ｎ体系，这里我们选择Ｊ，模拟成常规Ｈ舭ｌｉｌｏｏｎ体系的时间坐标‘，即在下面的推导过程中符号‘?’代表对夕求导，例如（‘）＝彰缈。将盯，分别对勺和％旷半（铡吨 铲一程飞）将（４．４）式代入（４．Ｉ）式，得：∽，６江￡咕７圣一胃ｋ４ｙ一￡ｋ。ｐ一＿）＋岛＜霰一动＋（一％／２）（仍一西】出 一ｆｒ－扫矛一仍￡魄（＿死／２）叫：ｏ＠’８’一鬻２ｉ吼＋ｋ以＋要《＋磊‰焉＋吩誓＋去ｒ三２Ｑ２―．舀＠，，¨。’―――――――――型鲤缕幽堑刀ｚ＝ｎ：卜以一孚丸＋％ｐ＋等（铡２＋詈（勃２～噻吼一垃２堡盘Ｚ＋边界项＋詈《一ｋ吼一高《＋赫《一志砖 吨誓一面１ｆ．３芷纠蛐‘ｊ’变分后得到：ｆ４．１０）汨：２肛［僦ｗ‘＋丸《一刳＋（一钟丸％酗＋阮＋警警ａ警＋Ｑ－２ａ詈一噻瓴一Ｑ纹噻＋卜等≯誓＋誓ａ（－刳州”蛹，嘎毗一南毫＋ｇ哪ｑ∽１１’＋熹如ｓ（一刳州警一ｙ等ｓＬ 一吾轧ｗ妒ｙ＋边界项变分分别按５ｒ。，ａ（－－孥－），６ｑ，劬，６纵，６吼整理可得：（其中要用到分部积分）卜，茁玎鱼＆ 沁一ａ 扣岳１＿ｒ一Ｆ一｝一ｙ驴ⅣＥ”ｙ誓一器‘ ｗ言一丁＝丁‘９，２『＝≯ｑ疋＝～Ｑ矿ｄ２ｐ＋Ｑ警Ｃ％’Ｃ％（一马２＝一生Ｅ磐ａｘ一噻慨＋ｙ等、 ’２。叙’ｚｒ‘‘…敏平面偶应力问题的辛求解方法ｔ＝一―＃一ｋ为方便，我们取：ａ（一华）（４．１２）ｐ比如概）＝卜专＾）’，口乩棚：乜）＝扫～，｝Ｔ方程组形式：ｔ＝Ｈｖ＋．Ｉｌ。㈣这就组成了辛空间中的状态变量ｖ＝ｋ１，Ｐ’，７。于是（４．１２）可改写成标准的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶（４．１４）Ｊｌ。是与外力有关的非齐次项，其中算子矩阵为：Ｏ ０ ０ ０ １ｌ／Ｑ０ ０ ０―１００一纠彘００ ０ ０ ０ｚＥ／（１＋ｌ，）００ ０ ０ Ｅ ０日＝Ｏｙｏ／０ｘ０８｜０ｘ（４．１５）―Ｑ０２／缸２一Ｑ８｝ａ）：０Ｑ一（１一Ｖ２）ａ２／胁２０ｖＯ／Ｏｘ一ａ／良０定义：＜Ｖｊ，Ｖ：＞＝￡Ｖｊ西：妙：咖舶：＋铷～：蟾％慨ｃ宁－－Ｙ一２坞＾：户＠１６’其中．，为单位辛矩阵：．，＝匕：］辛几何空间。 通过分部积分我们可以得到：∽∽显然式（４．１６）满足辛内积的４个条件，即按式（４．１６）的辛内积定义，全状态向量组Ｖ成一平面偶应力问题的辛求解方法“凰）＿（％Ｉ－Ｉｖｌ）＋＠。（誓呗：卜峄陪一苦％］二 锄（善吨Ｊｌ一毕陪一苦％］：口㈣岬¨Ｉ一于．ｆ％：鸣：ｆ－等下面我们推导用全状态量表示的两种矩形域典型对边边界条件。 Ａ．对边固支 对边固支条件下的位移边界条件为：Ｕ＝０，ｖ＝０，ＣＯ：＝０当Ｘ＝±口时（４．１９）为了得出其全状态变量表示，由上式得考－ｏ，考＿ｏ，ｔＣ，＝０孙蜘时即｝，＝０（４．２。）（４．２１）用全状态量表示为警一啬ｉ ｔ－ｏ，罢一纯＝ｏ假一Ｖ’傩（４．２２）另外，由应变位移几何关系：考＝。ｙ。＝考＋瓦Ｏｖ∞，＝㈨苏一锄胁）／２由（４．２０）第一式知：ｎ＝ＯｏＪ，胁（４．２３）ｙ。＝豢国：＝（Ｏｖ／Ｏｘ）／２ 积。（４．２４）再ｇｔ：ｌ（４．１９）知珊，＝０，Ｎｌｌ七我－ｆｉｑ得到：，ｄ＝０（４．２５）所以综合起来，全状态向量表示的边界条件如下：警一苦巳＝ｏ罢哏＝。（鸣／２）＝ｏ一口时（４．２６）Ｂ．对边自由平面偶应力问题的辛求解方法力边界条件如下：盯；＝０ ｒ计＝０ ｔ＇ｒ／赶＝０ｘ＝±ｄ时（４．２７）用全状态变量表示为：等一ｏ，一等一ｏ，考吨＝０砂 砂砂。＠ｚｓ，积分后：Ｐ＝Ｃｏ＋Ｃ１ｘ＋Ｃ２Ｙ Ｐ；＝Ｃｌ伊ｙ＝Ｃ２ｘ＝±口时（４．２９）所以，对两侧边固支边界条件有ｆ４．２６）所示。对两侧边自由边界条件有：Ｐ＝０，９；＝０， ｐ，＝０ｚ＝±口时（４．３０）可见如果ｖ。，ｖ：是满足两侧边固支（４．２６）或自由边界条件（４．３０）的连续可微全状态向 量，则恒有：（Ｖ。，协：）＝（Ｖ：，Ｈｖ。）（４．３１）即算子矩阵日为辛几何空间的哈密顿算子矩阵。 至此，我们已经将平面偶应力问题导入哈密顿体系，余下的是按照哈密顿体系的常 规进行求解。 对偶方程组（４．１４）的求解大致上有两类方法：直接积分法与分离变量法。直接积分法 对于当前的两点边值阅题的积分比较费事，对于维数黠不大时可以用精细积分法来计算， 但弹性力学要处理的问题是连续体，相当于无穷多未知数。对于连续体或以很大时，分 离变量法是适宜的：其实ｎ较小时，分离变量法也是很好用的。 按照常微分方程的理论，要求解非齐次方程（４．１４），应首先将其齐次方程解好，即先求解：蕾＝Ｈｖ 设： ｒ４．３２）Ｋｘ，Ｙ）＝ｆ（＿ｙ）掣（ｘ） 代入到式（４．２２）我们可以得到：日ｙ＠）＝卢ｙ（ｚ） ｆ（＿ｙ）＝ｅｘｐ（／．，，ｙ）（４．３３） （４．３４） （４．３５）上式即为啥密顿矩阵的辛本征值问题。当本征值Ⅳ出现重根时，本征解便出现约当型，其本征解形式见２．１节。平面偶应力问题的辛求解方法４．２矩形域两种典型边界条件下的零本征值的本征解零本征值是一类很特殊的解，这类解在弹性力学中还具有特殊的重要性，应首先予 以求解。 Ａ．对边固支解 现在我们要讨论零本征值的本征解，本征值方程为：日甄＝０（４．３６）设‰＝阮，毡，‰，ｘ；，ｘ：，ｂ）Ｔ代入（４．３６）可得：一ｇＱ可０２Ｘ＋＋哮＝。ｙ鲁一哮慨一半等＝。＿一拿。０ 撒．（４．３７）丝ｘ．一堕；０ 斑ｌ＋ｌ，＋言而＋Ｘ６。０Ｅｘ＋＋ｖｅ窿ｘ＋＝０由（４．３７）一③、④可得：ａｎ ｌ １ ６‰铲一言㈡ｅ一西墨。西蔷代入⑤得（４．３８）石１可０２ｘ２一羔１铲ｏ Ｑ氟２＋ｙ‘（４，３９）ｍ＝磊３Ｉ（４．４０）我们可以求得ｘ２＝Ｃｔｅｍｘ＋Ｃ２ｅ‘“（４．４１）平面偶应力问题的辛求解方法由齐次边界条件（４．２６）第三式，即：ｊＣｌｅ“ａ＋Ｃ２ｅ一＝０ｌｃｌｅ”。＋Ｃ２ｅ”＝０可得到：ＣＩ＝Ｃ２＝０（４．４２）（４．４３）所以：Ｘｌ＝０，Ｘ２＝ｏ，工６＝０ｆ４．４４）由（４．３７）一①、②、⑥，我们得到：掣＝南＋口‘（ｙ）ｘ，：一＿ｖ３（４．４５）（４．４６）ｏｘ＿＿ｚＥ西将上面两式代入（４．３７）－②式整理得：警＝一鳓７设：（４．４７）Ｍ＝－ｅＱ 求解上谣微分方程得到：（４．４８）铲毕ｘ２＋ｂ＇咖Ｙ“（ｊ，）由边界条件（４．２６）第二式，即：（４．４９）缸‘ｘ＋ｂ’Ｌ。＝ｏ得到：ａ’＝０，ｂ。＝０（４．５０）（４．５１）所以：Ｘ３＝０，ｘ４＝ｃ。ｘ＋ｄ。，ｘ５＝ｃ１（４．５２）所以：甄＝ｂ＋ｄ。我们可以得到：ｃ‘００００）Ｔ（４．５３）平面偶应力问题的辛求解方法ｖＰ）＝螂）＝（１ ｖ５２）＝州２）＝Ｇ位移场：００００ｏ）７ ｏ）Ｔ（４．５４）１０００（４．５５）“＝０，ｖ＝０（４．５６ａ）彳掣＝ｒＦ＝０应力场：ｍ茸＝／７＇Ｉ芦＝０， 盯ｊ＝０， 盯ｙ＝０，（４．５６ｂ）显然这是原问题的增解。它是由于圃支边界条件采用应变表示而引起的，应该舍去。 所以，在对边固支情况下原问题的解只有非零本征解。 Ｂ．对边自由解 对边自由情况下边界条件为（４．２９），其中存在非齐次项，所以我们应先对此进行求解。１．对于Ｅ项，令己＝ｌ其余两个为零，得边界条件：ｘ＝一口时Ｐ＝０、伊，＝０、妒，＝０（４．５７ａ）（４．５７ｂ）ｘ＝ａ时Ｐ＝ａ、伊；＝１、伊，＝０求解方程日妒。＝０，由缈，＝Ｏ可求得：ｘｌ＝ｘ２＝ｚ６＝０（４．５８）结合边界条件（４．５７）：等ｎ如“＝ｏ警＾如“－１一Ｍａ口３＋―ｂ―口２一（ｃ。＋口’）口＋ｄ’＝Ｏ６ ２、 。丝口，＋生ａ２＋（ｃ１＋口’Ⅻ＋ｄ１：ｄ（４．５９）６ ２、。‘ ‘求得：拈去ｄ‘＝旦４口’＝“＝土２２口（４．６０）可求得解：蚶，趔，＝降，警“…，一去｝１物理意义：单向拉伸解。位移场：㈣平面偶应力问题的辛求解方法“＝一＂∥２Ｅａ，ｖ＝ｙ／２Ｅａ应力场：（４．６２ａ） （４．６２ｂ）聊ｎ＝掰Ｆ＝０，仃，＝０，盯ｙ＝ｉ／２ａ，勺＝ｆＦ＝０２．对于五项，令己＝Ｉ其余为零，得边界条件：ｚ＝一ａ时Ｐ＝０、伊，＝０、妒，＝０ｘ＝ＣＩ时Ｐ＝１、９；＝０、妒，＝０ （４．６３ａ） （４．６３ｂ）求解方程腰％＝０，由吼＝０可求得ｚｌ ２工２ ２ｘ６ ２０（４．６４）再由边界条件 ―Ｍ―ａ口２―６‘口＋ｃ’：０２Ｍａ２ａ２＋６‘口＋ｃ’：Ｏ一Ｍ６ａ ａ３＋ｂ２ ａ２－（ｃ’＋口’）口＋ｄ‘＝”Ｍ６ａ 可求得：ａ３＋ｂ２＿＿ａ２＋（ｃ’＋ａ’）口“＝１（４．６５）口＋＝二Ｉ五函丽３ 一２胁’＋６口于是我们得到：６‘＝ｏｃ’＝互ｉ五３函Ｍ两ａ２ｆ２＾如２―６）ｄ。。圭２（４．６６）‘’ｖ５１）＝《”＝｝ＥＱ．戤３＋３Ｒ（ＥＱａ２＋２弦＋ｏ．５，３ＥＱＲ（ａ２一Ｘ２）＇０，ｏ’０，６ＱＲ珏｝Ｔ其中：（４．６７）Ｒ＝ｌ／４ａ（Ｅ９ａ２＋３）物理意义：常偶应力解。相应的位移场：Ｈ＝３ＱＲ（ｙ２＋Ⅸ２），ｖ＝－６Ｑｅ．－．ｙ（４．６８）（４．６９ａ）应力场：ｍ岿＝―６Ｒ，ｍ材＝０，口，＝０，盯ｙ＝－－６ＥＱ瓜，ｆ掣＝ｒ芦＝０３．对于０：项，令Ｃ２＝１其余为零，得边界条件：（４．６９ｂ）平面偶应力问题的辛求解方法ｘ＝一ｄ时Ｐ＝Ｏ、９，＝０、妒，＝０Ｘ＝口时Ｐ＝０、致＝０、吼＝１（４．７０ａ）（４．７０ｂ）由于在式（４．２９）中关于Ｃ２的项中有ｙ的乘子存在，因此其解一定是对应ｐ＝１非齐次项的解Ｐ５１’的次级约当型解，所以对于Ｃ２项的解应当求解方程： 日蛾２’＝Ｐ５”方程组（４．３７）的第３―５个方程变为：（４．７１）１可得羔矿警＝高＋硒３Ｍ两ａ１ 石１可０２Ｘ２一苦铲蒙岛＋２面而＋――一瓦沥两 ―３－３Ｍ―ａ２一丽３Ｍｙ２Ｍａ３－６ａ西ｘＩ¨６＋ｙ‘ａｘ叫１ 一 言一Ｅ ２―２（－２Ｍａ―３＋６ａ）＋―２（２Ｍａ―３－６ａ）舯１２ａｘ，ｖ３Ｍｘ ２Ｍａ３－６ａ胁３３Ｍａ２―６１２（―２。＾４．口’＋６口１２（２』Ｌ如２―６）（４，２）、。西可一而ｘｚ先求特解，设（４．７３） 竹√３Ｊ工：＝五ｌｘ２＋Ｒ２代入上式可求得：（４．７４）ＲＩ＝一３ＱＲ０＋ｖ），Ｒ２＝３ＱＲ（Ｉ＋ｙｋ２所以（４．７５）ｘ１＝６ＱＲ［ｘ―ｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）】ｘ２＝ｃｌｅ桩＋ｃ２ｅ’枢＋五ｌｘ２＋Ｒ２工６＝６Ｒｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）一点Ｑ嗯ｘ ３＋３ＥＱＲａ２ｘ＋０．５ （４．７６）由边界条件（４．７０），可求得： ｃｌ＝Ｃ２＝３ＱＲｔ所以３５工３＝ｘ４＝ｚ５＝０（４．７７）――．．兰耍堡垦查塑曼塑主苎箜查鲨０妒５２’＝６Ｒｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）一耽３＋３ＥＱＲａ２ｘ＋Ｏ．５６ＱＲ［ｘ―ｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）】０似．７８）６ＱＲｔｃｏｓｈ（ｒｎｘ）一３ＱＲ（１＋ｙ妇２一９２）而问题的解为ｙ５２’＝妒５２’＋ｙ甲５１’即：（４．７９）一点驰３ｙ＋３【―酲９口２＋２蛔＋ｏ．５ｙ３占缎（口２一ｘ２ｂ６Ｒｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）一压耍幢ｘ３＋３ＥＱＲａ２ｚ＋０．５６ＱＲ［ｘ―ｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）Ｊｆ４．８０）６ＱＲｔｃｏｓｈ（ｒａｘ）一３０ＲＯ＋ｙ妇２一口２）６ＱＲｖｘｙ其中（４．８１）位移场：Ｕ＝ＱＲｙ［３ｖｘ２＋Ｙ２―３ａ２（１＋ｙ）】Ｖ＝ＱＲ【―－３习７２＋ｘ３（２＋ｙ）－３ａ２（１＋ｖ）ｘ一１２ｔｓｉｎｈ（ｍｘ）／ｍ】应力场： ｍＦ＝－６Ｒｙ，ｍ。＝６Ｒ［ｘ―ｍｔｓｉｎｈ（ｍｘ）】，盯，＝０，盯，＝－６ＥＱＲｘｙ（４．８２）ｆＨ＝３ＥＱＲ（ｘ２－ａ２），ｆ＂＝－６Ｒｍ２ｔｃｏｓｈ（ｍｘ）＋３ＥＱＲ（ｘ２一ａ２）（４．８３）需要说明的是，由于在对偶变量中没有位移变量，因此与刚体位移对偶的解就以非齐次 特解的形式出现了。如果采用位移变量为其中的对偶变量，则将出现三个刚体位移以及 这三个基本解。 求出上述非齐次特解以后，余下的是讨论相应齐次边界条件的解，对边自由板的齐次边界条件为（４３０）。先求零本征值的解日冁＝０，由条件伊。＝０可以求得：耳＝ｘ２＝ｘ６＝０铲一詈汹‘ｚ＋ｂ’）平面偶应力问题的辛求解方法－：粤ｘ，＋等ｘ：心‘“）ｘ＋ｄ －＝Ｔｘ。＋丁ｘ‘＋婶＋口弦＋ｄｚ。：丝ｘ２＋以＋ｃｚ５＝―‘：：一ｘ＋Ｏｊｃ＋ｃ（４．８４）由条件Ｐ＝０、吸＝０即 Ｍａ口２＋６。口＋ｃ’：０２―Ｍ―ａ口２―６’ｄ＋ｃ’：Ｏ２一等＾等＾∥“灿如。丝６“冬＾（ｃｔ“）ｄ＋ｄ。＝。（４８５）可求得：ｂ。＝０ ｄ’＝０ ａ’＝ｃ１＝０（４．８６）因此不存在有真实物理意义的零本征解。 满足式爿妒（ｘ）＝∥ｙ（ｘ）和边界条件（４．３０）的只有非零本征解。它可以分成两组，即关 于Ｙ轴的对称解和非对称解。４．３非零本征值的本征解零本征值的本征解对应的是圣维南问题的解，而由圣维南原理覆盖的部分对应的是 非零本征值的本征解，为了满足两端的边界条件，或者是域内的外载荷有突变时，这一部分的解是很重要的。由前面的推导得到Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵，我们写出本征方程为：用ｙ（砷＝∥妒（ｘ）将其展开如下：（４．８７）平面偶应力问题的辛求解方法ｏ＋ｏ＋ｏ―Ｑ丽ａ２ｐ＋Ｑ警＋ｏ＝阢…＋ｐ鲁一噻＋Ｑ败一Ｔｌ－ｖ２一ａ２吼ｏｘ＋ｏ一∥卜等］盥积占‘Ｉ２Ｊ一茁。一―ａ―（－―＝ｒ口――／一２）＋ｏ＋ｏ＋ｏ＋ｏ：卢ｓ；ｒ。＋。＋善：。＋。＋妒，：坤 西１缸… ｏ＋羔１（＿堡２］＋０＋…一誓御；＋ｙＩ Ｊ‘４?８８’Ｏ＋Ｏ＋Ｅｅ，＋ｍ誓＋ｏ＝隅 盛’一ｕ０一／ｔ１ 一２我们求得：０１／Ｑ０Ｏ００ ０２Ｅ／０＋力０Ｏ Ｅ Ｏ以一“０＝０Ｑ￡０Ｑ九０一／ｔ０ ００一“ 一＾似．８９）－∞Ｑ一（１一’，２）牙／Ｅ００―１Ｍ一∥＾．２＝／．ｔｉ厶．４＝一，ｕｉ＾．６＝我们设“＝士，ｆ丝一ｐ：Ｖ １＋ｙ’（４．９０）ｆ４．９１）为了求解，我们把全状态变量展开成如下形式：ｓｉｎ（ｍ）＋ＣＰｘｓｉｎ（，ｕｘ）＋ＤＰｘｅｏｓ（／口）＋Ｅ，ＣＯｓｈ（／Ｖ∞＋‘ｓｉｎｈ（肚） ｑ ２＝Ａｎ ｓｉｎ（，ｍｃ）＋Ｂ“ｃｏｓ（声Ⅸ）＋Ｃ“ＸＣＯＳ∽）＋Ｄｔｘｓｉｎ（，ｕｘ）＋Ｅ“ｓｉｎｈ（／Ｙ５０＋‘。ｃｏｓｈ（，ｕＳｃ） ｑ３＝Ａ＾ｃｏｓ０』ｘ）＋Ｂ竹ｓ叫膨）＋Ｃ竹ｘｓｉｎ（冉ｘ）十Ｄ竹ｘｃｏｓ（／．ｕ）＋■ｃｏｓｈ（／．ｔｋ）＋‘，ｓ劬（∥＿）（４．９２）ｑｌ＝Ａｐｃｏｓ（／＝）＋ＢＰｐｌ＝Ａ。ｃｏｓ（／ｚｘ）＋风ｓｉｌｌ（肛）＋ｑｘｓｉｎ（肛）＋破ｘｃｏｓ（／口）＋最ｃｏｓｈ（ｐｋ）＋只ｓｉｎｈ（ｕ［ｘ）Ｐ２＝Ａｒｓｉｎ（，ｗｃ）＋Ｂｒ ｃｏｓ（／ｔｃ）＋ｃｒ工ｃｏｓ（肛）＋Ｄｒｘｓｉｎ（／ｔｘ）＋Ｅ，ｓｉｒｔｈ（∥＇ｘ）＋‘ｃｏｓｈ（，ａＳｃ）Ｐ３＝Ａ，ｃｏｓ（ｍ）＋Ｂ。ｓｉｎ（／ｔｘ）＋Ｃ。ｘ ｓｉｎ（ｕｘ）＋Ｄ，ｘｃｏｓ（ｕｘ）＋占。ｃｏｓｈ（／．ｔ＇ｘ）＋‘ｓｉｎｈ（／ａＳｃ）平面偶应力问题的辛求解方法其中这些常数并不是完全独立的，从中可以看出，Ａ，Ｃ，Ｅ组对应对称解，嚣，Ｄ，Ｆ对应反对称解。４．３．１对称变形非零本征值的本征解先求对称解，取彳，ｃ，Ｅ组代入式（４．８７）合并同类项我们得到：～∥０ ０ ０一芦１ｌ／Ｑ００Ｃ， Ｃ％ Ｃ钆 Ｃ。 ＝０一芦０ 一∥０２别（１＋ｐ）００ ０一∥ 卢一堆Ｅ ０ｖ，ｕＱ扛２０鲫０一ｕ００ ０ ―１ ０（４．９３ａ）一Ｑ卢Ｑ＋０一Ｖ２）∥２／Ｅｃ，Ｃ。一∥一∥０ ０ ０一Ⅳ１１／Ｑ００Ｏ Ｏ Ｅ卢０一ｕ２Ｅ／（１＋ｙ）Ｏｗ劬２Ｏ幽Ｏ０一／ａ ０ ０ ０ Ｃ钆 ０ ―１０一廿 一“一Ｑ∥Ｑ＋（１一Ｖ２）∥２／Ｅ一Ｏ叩伊 Ｖｉ ｉ Ｋｉ ｉ 八 办如砧以Ａ止（４．９３协一心“一ＱＣｐ。＋２ＱｕＣ ｐ―ｑ＋Ｏ．ｃ，一鼍笋ｃ。Ｃ７Ｏ―Ｕｖｕ一∥ ０ ０ｌ 一弘 一∥ＶＱ０Ｏ０ｏ ｏ Ｅ ＝０２ｅ／（１＋¨Ｏ（４．９３ｃ）甜’０ 一甜。 一劬１ Ｑ―ｑ―Ｖ２、ｕ。｜Ｅ ００ ０ ０一∥０ ０ 一１一∥ 一∥。ｏ弘吖 Ｗｉ ｉ Ｕｎｉ ｉ 八 西如“豇易艮可求得展开式系数平面偶应力问厦的辛求解方法４一南ｃ，Ａｒｑ＝０ Ｃ＝ｅＥ；一面Ｑ而Ｅ，ｕ＇Ｅｒ。‘２∥Ｉ（１－－＋Ｖ矿）ｃｒ―Ａ，４．（ＥＱ－２／ｕ２）ｃｒ―Ｅ纵４厶：熹４ ２而面＿，４ｎ２――页石驴一≮５碲 ｒ：旦ｎ‰。面ｉ而彬’（１＋ｎＥｒＥＱ一∥２（１＋ｙ）Ｅｐ＝０ＰＥＣｒ“．９４）Ｅ／Ｊ．Ｅ，～。（Ｉ＋ｖ）ｕ，’ＥＰｒ。～２可蒂，ＥＣ，一掣ｒ％２而 易。＝―ＥＱ―－―二，ｕ２Ｌ（１＋ｖ）ＥＣｔ２一―ＥＱ－ｐ―２（１＋ｖ）Ｅ“Ｅｒ也就是说独立的常数有三个，这里我们选择４，，Ｃ，，Ｅ，为独立常数，当然也可以选择其它的。４．３．１．１对边自由对称非零本征解将对称解部分代入齐次边界条件（４．８３），并结合所求系数（４．９４），整理得一篇妒膀一厕２ｃｏｓ（，ｕａ）＋矧ｃ，一。篇４＋警警Ｃｒ一面Ｅｌａ棚画ｍｈ（＃州ａ）Ｅ，２。（１＋ｙ）∥’（１＋ｙ）∥ＱＥ一∥‘（１＋Ｖ）。一―Ｅ石ｃ而ｏｓ（，ｕａ）４，＋（ＬＥ（ａｌｓ＋ｉｎ”（／“∥ａ）?＋Ｅ（１ｃ＋ｏｓｙ（）＃∥ａ：）１ｊｃ，＋乏Ｅ疆ＵＦ＇二ｃｊｏ≯ｓｈｉ（ｉ＿ｇ；＇ｉａ）ｉ占，＝。（４?９５）由其行列式等于零可得非零本征值超越方程为：ｓｉｎ（２心）＋２，ｕａ＋同时还得到方程组的一组非平凡解 以―２＃―２ｓｉ＝：ｎ（＿２，ｕ―ａ）：０∞（４．９６）型∞堕，丝妒卿券加ｏ平面偶应力问题的辛求解方法乓＝篙篡‰【ｓ吣棚４Ⅵ…ｓ（删相应的本征函数向量为：㈣■＝［志ｃ，一面‰４卜小高石ｃ，ｘｓｉｎ（，ｕ，ｘ）４－笔筹将髟㈣一而２ ｃ，ｃｏｓ㈣一瓦要南驷ｎ…４ｓｉｎ∞。ｘ）＋ｃ，瓣ｏｓ∞。的＋Ｅｒｓｉｎｈ（，ｕ＇。曲［１－ｖ Ｃ－Ａｒ］ｃ毗曲＋ｃ，ｘｓｉｎ（，ｕ．ｘ）－．－差筹篙驷ｓｎ…因为本征值为复数，因此其本征解也为复型。而相应原问题（４．３２）的解为：ｙ。＝ｅ－ｕ．。’＇ｔａ／ｔ（４．９９）４．３．１．２对边固支对称非零本征解将对称变形部分代入（４．２６），我们同样可以得到本征值超越方程如下；ｓｉ删＝。 若ｓｉｎ㈨一驰＋型塑蓦笋堕蚴一面／．／２同时可以得到一组非平凡解：（４ｌｏｏ）Ｅ，＝以，ｃ，＝一瓦Ｅ，ｕ蕊．２ ｓｉ丽ｎｈ（／．再ｔ，ａ）再Ｑ（１＋而ｖ），爿，＝一竺耋：等ｃ，一哿＠．ｔ。?，代入式（４．９８），我们可以得到对边固支边界条件下的对称变形非零本征解和原问题的解。４．３．２反对称变形非零本征值的本征艇同样取反对称解口，Ｄ，Ｆ组代入哈密顿方程（４．８７），整理得到平面偶应力问题的辛求解方法 ０一ｕ一／ａ ０ ０１ ／ａ一ｕｘ／Ｑ０ ０００］ｈｏ２ｅ／（１＋ｙ）０掣２ａ，ｕ０Ｏ／ｚ００ ０ ０１一∥０ ０ ―１－／ａ一∥纵Ｑ＋（１一ｖ２）／ａ ２／ｅｆ一∥０ １ ０ 一∥一掣｜１Ｅ。悖ＤｒＩＩ珥，＝０（４．１０２ａ）一∥Ｊｌ以０］ｆ丑，ｏ Ｅ ０ｌ／Ｑ００一∥０－／ａ２Ｅ／（１＋ｙ）０１１％Ｂ。ｌ０一ｖ／．ｔｌ幽２【０一幽０一ｐ０００一ｐ ／ａＩ―Ｑ∥Ｑ＋０一ｙ２）卢２／ｅ００―１驯爱０气 ｌＩ（４．１０２ｂ）０Ｄ，，一峨一ＱＤｐ。一２Ｑ，ｕＤｐ一咄＋Ｏ．Ｄ，＋等竽％Ｄ，一∥Ｏ 一∥ｌ１／Ｑｏ Ｏ――ｕｏ０Ｏ Ｅ ＝００ ０一∥一∥２ｅ／（１＋ｙ）０ ０一∥一ｕ‘２州纵’０ 一纵。２ 一幽。 Ｑ一（１一ｖ：）∥’２／ｅ ００ ０ ０ｒ４．１０２ｃ）０ 一１Ｏ弘¨ Ｗ¨ ¨ Ｕｎ¨ ¨ 儿Ｂ■■‘‘Ｃ我们可以求得平面偶应力问鹿的辛隶解方法坟一南Ｄ，Ｂ。＝―∑二兰ｉＤｒ＋Ｂｒ ／ａ（１＋们。‘坟＝０７ｃ＝一面Ｑ而Ｅ，ｕ＇Ｆｒ‘‘Ｄ。＝一ＤＹＦ：丝坠！姿Ｌ＝０。．昱Ｑ一∥２（１＋ｖ）丑，＝―（ＥＱｌ－２ｋ而ｔ２）Ｄ面，＋『＿ＥＱ，一ｕＢｒ。Ｐ＝一（１＋ＥＤｖ）ｙ∥２耻志Ｂｎ％＝蒜纬，２司而尹ＥＤＴ＋Ｅ汹ｒ％２ 一 一Ｅ Ｑ － Ｉ － ｆ ｌ （ １ ＋ ｖ ） ％＝一ｉ而ＢＯｙ．鹕（４?１０３）‘。＝―ＥＱ－丝／ｄ＇（Ｌｌ＋ｖ）这里我们选择占，，Ｄｒ，Ｃ为独立常数，当然我们也可以选择其它常数为独立常数。４．３．２．１对边自由反对称非零本征解掣Ｂ＋ｆ掣一２ｓｉｎ（＃ａ）罂型盟ｈ：０ 篇Ｂ＋篙等Ｄ，一面Ｅｉｔ∥ｃｏｓｈ（…／ａ＇ａ））铲Ｆ。（１＋ｖ）∥２＿７。ｌ（１＋ｖ）∥３７∥（１＋Ｖ）Ｑ／ａ２（１＋Ｖ）Ｊ７（１＋ｐ）卢（１＋ｙ）∥７ＱＥ一∥２（１＋ｙ）。一湍Ｂ＋Ｉ㈨Ｅａｃ卅ｏｓ（，ｕ∥ａ）?＋ｉＥｌｓ＋ｉｎ咖（，ｕａ丁））Ｄ＋面Ｅｕ∥＇ｓｉｎｈ（（１＃＋＇ａ∥）Ｆ＝。（４－１０４）（１＋ｙ）∥７Ｌ（１＋Ｖ）∥（１＋ｙ）∥２，’Ｑ＿Ｅ一∥‘（１＋ｙ）。我们可以得到反对称情况下的关于本征值的超越方程：ｓｉⅡ（２，衄）一２ｐａ一―４，―ｕ―３ｓ―ｉ―ｎ２―（孬／．ｎｉ互）ｅ＿ｏｍ（ｕ＇ａ）一！ ‘！：＿！ｉ 笋＝。Ｄ，＝卢。，（４?１。５）同时，我们得到一组非平凡解：‘；毒訾烘【ｃ。ｓ㈨）ｑ讹口ｓｉｎ（／ｕ㈡】（４．１０６）’驴错＿十誓，ｓｍ￡∥．矗）彰乜４３‘７（１＋ｙ）以２ｃｏｓｈ（，ｕ‘。口）。…………１平面偶应力问题的睾求解方法－ｃ呒：｛［志ｑ＋高万计蝴卜而岳ｑｘｃｏｓ（ｕ．ｘ）＊一Ｅ盼／ｚ＇．．ｓ砰＇ｍｌａ讧…＇．ｘ）Ｆ删７）一丽２ Ｄ，ｓ嘶抄瓦筹南‘ｓ州一曲Ｂ，ｃｏｓ（ｕ。ｘ）＋Ｄｒｘｓｉｎ（，ｕ．ｘ）＋ＦＴｅｏｓｈ（ｕ＇。曲ｌ高乏Ｂｃｏｓ（ｕ．ｘ）＋去Ｂ鹋峨∞一―ＥＱ－鐾Ｉａ．－（１＋ｖ）Ｆ，ｃｏｓ姒曲Ｅ万一百磊卜＋赤４］ｓｉｎ∞．ｘ）－ｍ…Ｅ订Ｄ―ｓ“的［乏南珥＋咔眠鹕嚣。魄小差筹篙渺∽曲因为本征值为复数，因此其本征解也为复型。而相应原问题（４．３２）的解为：ｖ＾＝ｅ“７妒＾（４．１０８）４．３．２．２对边固支反对称非零本征解将反对称变形解代入边界条件（４．２６），我们可以得到本征值超越方程如下―３－－―Ｖｓ诅Ｇ脚＋枷 １＋ｙ一。。同时得到一组菲平凡解：‘讹，Ｄ，＝豢焉２端ｔ 妒一鬻Ｄ，一酱（４１ｔｏ）至此，求出了所有的非零本征值的本征解，它们除了互为辛共轭的本征值对应的本 辛正交是十分重要的性质，只要再作归一化，就可以适用展开定理了，这对求解十分重要的。 这些非零本征值的本征解当然全部都是向远处衰减的，这是由其本征值的特点所决燮学一簪ｍ㈤一ｏ１。ｏＥＱＥ（４．１０９）代入式（４．１０７），我们可以得到对边固支边界条件下的反对称变形非零本征解和原问题的解。征向量是辛共轭的外，均为辛正交关系，包括与零本征值的本征向量全部辛正交－共轭定的。口类解向的Ｙ正向衰减，Ｐ类向Ｙ的负向衰减。这些都是圣维南原理覆盖的部分。平面佣应力问题的辛求解方法４．４算例４，４．１算例及其解例题：一端固支的半无穷矩形域，另一端受单位拉伸，求固支端正应力分布。如下 图所示：２匹图４．１偶应力例题图Ｆｉｇｕｒｅ ４．１ Ａ ｐｌａｎｅ ｃｏｕｐｌｅ ｓ廿ｅｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ根据展开定理，我们得到：ｖ＝∑琦ｖ嚣＋∑矗ｉ，ｒ。（ｏ。＋∑饥％＋，．．Ｖ一。）ｆ（４．１１１）』月ｌｌ按题意，当Ｙ－－），ｏｏ时只有单位拉力，并且其对于ｙ轴是对称变形状态，因此其展开 式只能由（４．６１）和对称的非零本征解（４．９８）所组成，并且只选用Ｒｅ（／『』。）＜０类的本征解 ｖ＝＾ｖ ５０）＋∑五％（４．１１２）式（４．１１２）已经满足域内的微分方程及两侧边ｚ＝±ｄ，厶要满足ｙ―ｍ端的合力边界条件，Ｙ＝Ｏ的边界条件用于确定常数Ｚ，（ｆ＝１…２．．），表示如下：“＝０，ｖ＝０，∞，＝０Ｙ＝０时（４．１１３）４．４．２边界条件变分我们考虑的是带有两侧齐次边界条件（４．１９）的齐次方程（４．２４）（Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程），因此其平面偶应力问题的睾求解方法变分原理退化为：６ｌｃ￡【ｐｌｔ一日】如妙＋以ｊ＝ｏ（４．１１４）其中日为哈密顿函数。 如果两端给定位移边界条件：Ｕ。＝￡６窖ｊ（肼一两）血一￡ａ。ｑ。Ｔ（ｐ。一风）血然后进行求解。（４．１１５）由于本征值出现复数，在具体计算过程中，要将方程（４．１１２）转化为实型正则方程，Ｒｅ（，（以））；堂掣：堂掣Ｉｌｎ（咄．））；堂《验：堂导盟、。将式（４．Ｉ １２）转化为实型正则方程：ｖ＝＾Ｖ：ｏ）＋∑∽Ｒｅｖ．＋五＋。Ｉｍｖ¨）（４．１１７）由于现在的表达式（４．１１７）已成为实型，并且已经满足了偏微分方程及侧边的边界条 件，运用交分原理可以得出两端边界条件的变分方程。 对固支端为给定位移边界条件（４．１１２），执行式（４．１１４）和式（４．ｉ１５）的变分得到：肛Ｍ雷一豺叭ｐ＋铡蛐一Ｅ研ｊ（Ａ一磊）出一『二ａ。ｇ。Ｔ（ｐ。一≯ｏ）ｄｘ＝Ｏ两端边界条件的变分式：…，由于Ｐ，口采用的是本征向量展开的形式（４．１１＂０，因此变分式的第～项恒为零，仅余留『。６彳ｊ（Ａ一磊）（ｉｘ―ｆａ．ｏｇｏＴ（，ｏ一磊）ｄｘ＝０（４．１１９）这样，边界的给定位移边界条件（４．１１３）ｎ－ｑ以用变分方程（４．１１５）来表示。一般情况下，将ｙ＝０，ｙ＝？代入式（４．１１７），则蜘，吼Ｐｏ，Ａ都成为待定常数二，Ｚ的函数ａ这些待定参数都是变分的参数，而变分产生的联立方程组可以用于求解这些待定参数。这 个联立方程组就是正则方