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2011年 天津理科卷(第5题)
的二项展开式中，
的系数为（&&&& ）
& &&　　　
&& &　　　&&&&&&&
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【正确答案】
【命题立意】
本题考查二项展开式通项公式的应用。难度较小。
【解题思路】由于
，据题意令
项的系数为
14:51:22 )
【举一反三】
，其中组合数
项的二项式系数；展开式共有
项，其中第
称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项，项的系数与二项式系数是不同的两个概念。(
14:51:22 )
相关知识点二项展开式的通项公式
相关工具书解释
二项展开式的第 r+1项是Tr+1＝...
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划S纵观历届高考数学试题,对二项式定理的考查有二项展开式的系数问题,特定项系数问题;也有考查两个二项展开式的积、三项展开式的特定项系数问题;另外还有一些与其他知识综合运用的问题.仔细研究,不难发现,所有这些都围绕着一个核心问题:二项展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr这一题根而层层展开的.下面结合一些典型试题对通项公式的应用作以阐释.1.求展开式中的常数项问题求常数项问题是高考中常见的一类问题,一般是应用通项公式:Tr+1=Cnran-rbr,根据题意列出方程,在求出n和r后,再求所需的项.例1在!x4+1x"10的展开式中常数项是(.用数字作答)解由题意Tr+1=C1r0(x4)10-r!1x"r=C1r0x40-5r,令40-5r=0得r=8,所以!x4+1x"10展开式中的常数项为T9=C180=C120=45.例2已知x2-#ix!"n的展开式中第三项与第五项的系数比为-134,其中i2=-1,则展开式中常数项是...
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用二项展开式的通项公式求二项展开式的指定项及系数是学习的一个重点,对于一些整数幂的问题直接用通项公式就可以很容易得出结果,但是对于分数指数幂的问题用通项公式运算就显得有些繁琐,并且运算容易出错,而利用通项公式的导出性质则可以很好地解决这个问题.一、性质及推论1.性质:在(axp+bxq)n(a,b是非零常数)的展开式中,常数项是Cnpp-qna-nqp-q bnpp-q.证明设展开式中第r+1项为常数项,由二项展开式的通项公式,得Tr+1=Crn(axp)n-r(bxq)r=Crnan-rbrxnp-(p-q)r.令np-(p-q)r=0,则r=npp-q,所以n-r=-nqp-q.所以在(axp+bxq)n(a,b是非零常数)的展开式中,常数项是Cnpp-qna-nqp-q bnpp-q.2.推论:在(axp+bxq)n(a,b是非零常数)的展开式中,含xm项的系数是Cnp-mp-qnam-nqp-q bnp-mp-q.证明略...
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一、求展开式中的特定项 在二项展开式中,有时存在一些特殊的项,如常 数项、有理项、系数最大的项等等,这些特殊项的求 解主要是利用二项展开式的通项公式工斗:,然后依 据条件,先确定出r的值,进而求出所求项. 1.求常数项. Tl一Ts一誓二,T,一赢X一 〔亘乡 (2004- )。 B.一14 一,一1、1___ 全囚)l乙了一~井1的服开 、VX, 式中常数项是( A.14 C.42 D.一42 睡画珍T.一。‘ZX:,’一(一岩)r =(一1),2卜,C芬扩,一3r二一份 =(一1)r21一rC冬扩,一,,一于 3.求系数最大或二项式系数最大的项. 雌延多已知(;+3x)·的展开式中,末三项 的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大 的项及二项式系数最大的项. 岖豌孙末三项的二项式系数分别为Q一,. C犷’,C:,由题设,得 C:一2+C:一’+C:二121,即以+C二+1=121. .’.”:+。一240=0...
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　　大海一...【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；123作，则方案有C3?C4?A3?108种，所；（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的；解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出；（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，；【答案】1080；【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考；C6C4AA2211?A
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C32?A33?18；若有1人从事司机工123作，则方案有C3?C4?A3?108种，所以共有18+108=126种，故B正确 （2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）. 解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题 （2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有
种（用数字作答）。 【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组C6C4A2222两个一人组C2C1A2211，再全排列得： C6C4AA0 4（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
种.(用数字作答) 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C3C4种不同的选法.所以不同的选法共有C3C4+C3C4?18?12?30种. 333【解析2】: C7?C3?C4? 二项式定理 标纲解读：1.能用计数原理证明二项式定理。
2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题。
3.掌握二项式定理和二项式展开式的性质。
4.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题。
命题规律与趋势：高考对二项式定理的考查，主要设计利用通向公式求展开式的特定项，利用二项式展开式的性质球系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算。题型以选择、填空为主，少有综合性大题。高考命题一般保持稳定，因此二项式定理仍为必考内容。 一、知识导学 1.二项式定理：(a?b)n?Cna0n?Cna1n?1b?Cna2n?2b?????Cna2rn?rb?????Cnb,n?N rnn*上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式，它一共有ｎ＋1项. 其中各项的系数Cnr(r?0,1,2,???,n)叫做二项式系数. 式中的Cnran?rbr叫做二项展开式的通项，用Tr?1表示， 即Tr?1＝Cnran?rbr. 2.二项式系数的性质：
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接mn?m由公式Cn?Cn得到.
r （2）增减性与最大值. 二项式系数Cn(r?0,1,2,???,n)，当ｒ＜n?12时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和. (a?b)的展开式的各个二项式系数的和等于2. nn二、疑难知识导析 1．二项式定理是代数公式 (a?b)?a?2ab?b 和(a?b)?a?3ab?3ab2223322?b的概括和推广，它是3以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解. 2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式Tr?1＝Cnanrn?rb在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是r(a?b)的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项. 3．二项式定理的特殊表示形式 1n?1rrn?rrnnn（1）(a?b)n?Cn0an?Cnab?????(?1)Cnab?????(?1)Cnb.
这时通项是Tr?1＝(?1)nCnran?rbr. 1122rrn（2）(1?x)n?1?Cnx?Cnx?????Cnx?????x.
这时通项是Tr?1＝Cnrxr. 12rn（3）(1?1)n?Cn0?Cn?Cn?????Cn?????Cn.
即各二项式系数的和为2n. 4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 13n?1?Cn?????2
Cn0?Cn2?????Cn例7、求二项展开式中的指定项 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． （l）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有有理项． 分析：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数、常数项和有理项的概念区别． 解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，，
（n=1舍去） ，即
（1）若为常数项，当且仅当，即3r=16， ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项。 （2）若为有理项，当且仅当，4，8， 为整数。 即展开式中的有理项共有三项，它们是
例8、求二项展开式中系数最大的项 在的展开式中，求：
（l）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项． 分析：求二项式系数最大的项，利用性质考虑，展开式中的中间项（或中间两项），系数最大的项，必须将x、y 前的系数均考虑进去，包括“＋、－”号．
（1）二项式系数最大的项是第11项。
（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是
所以r=8，即，解之得 是系数绝对值最大的项。
（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r－1项系数最大，于是
解之得r=5，得2×5－1=9项系数最大。
点评：二项式系数、系数是两个不同的概念，二项式系数最大的项一定是展开式中的中间项（或中间两项）；而系数最大的项通过解不等式组的方法解决，且一定要考虑到系数前的符号．
例9、求展开式中各项系数的和 若
（1） ，求： （2）（3）
令则 解析：（1）令x = 0，则
（2）令x=－1，则
（3）由得：
例10、整除或求余问题 （1）求证：（2）求证：
分析：（1），而能被25整除； 能被26整除（n为大于1的偶数） ，将此二项式展开后就会出现 ；
（2）先利用等比数列求和，然后应用类似（1）的方法。
解析：（1）原式
以上各项均为25的整数倍，故得证。 （2）因为
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