1是不是质数表?

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1既不是质数表也不是合数我记嘚有很多小学老师都这么讲过,不过应该很少有讲到其理由(注意是理由,不是证明)现在我们就从质数表本身出发来讲讲为什么

质數表的定义:其因子只有本身和1的正整数,就叫素数比如5,717。然而9就不是因为9=3??3,有不是1的因子

数论的基本目标是研究整数的性质,然而定义质数表的好处就是每一个正整数都可以被分解成不同素数幂的乘积比如

2和5是质数表,我们随便找一个正整数数都可以分解成类似于

其中pk都是不相同的质数表阿尔法k是正整数

这样的形式,于是研究整数其实与研究质数表大体相当了以上大概就是算术基本萣理所表述的内容,然而这就产生了一个问题这种分解是唯一的吗?就是说每个素数包括这个素数的指数都相同(在对一个正整数进行這样分解的操作下)我们可以证明如果不把1算在质数表之内的话(因为1的任何次方都是1,这样的话指数就不一样了)这种分解是唯一的这样的分解不唯一只是在徒增麻烦,所以我们不把1当成质数表

我们现在就来证明一下这种分解是唯一的,如果没有兴趣的读者也可以僦此打住这不会影响对这篇文章大致意思的理解。

引理若p是素数,a和b为正整数且都小于p,那么p不会是ab的因子。

证明:若p是ab的因子则

假设b是满足这个条件里最小的一个正整数,那么我们现在做带余除法得p=mb+q,q在0和b-1的范围之间(其实我就是不想打大于等于和小于号)我们僦有

现证明若ab皆非p的倍数,则p不会是ab的因子设c和d分别是a和b模p的最小剩余,那么cd皆小于p/2根据引理,若有ab=0(mod p)则cd=0(mod p)但根据引理这是错误的,故原命题得证

利用归纳法把这个命题总结为n个正整数的情况也成立。

现在我们就可以着手证明唯一分解定理了假设n有两种分解,并把這些质数表从小到大排列那么这两种分解中的质数表绝对不会比原来多,或者比原来少不然的话我们就会得到一个质数表是其非倍数嘚正整数乘积之因子,这与刚才所证的矛盾所以变化的就只能有指数了,然而如果有指数不同之项我们移项相除就会发现等式一边少叻一个素数,然而这是一个正整数的分解与前面所证的矛盾,故唯一分解定理对于正整数是成立的

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