线性代数 特征值 特征向量，特征向量问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-24 07:00 标签： 已知特征值求特征向量
线性代数之特征值与特征向量 - 告别年代 - 博客园
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0. 我们可以将特征值与特征向量类比于信号与系统课程中的特征函数。在那里，系统对特征函数的作用相当于乘以一个（复）常数。
& & 于是，我们可以将矩阵A想象为一个&系统&，输入到该系统的&信号&x可分解为特征向量的加权和，
& & 这样，矩阵A这个&系统&对任意向量x的作用就可分解为A系统对特征向量作用的加权和。
1. 一个例子：随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q，此时 特征值&=1，特征向量即稳态向量q。
2. 由Ax=&x，可以推出(A-&I)x=0。由于特征向量不能为0，该方程必须有非平凡解，因此A-&I不可逆；
& & 所以det(A-&I)=0。据此可解出所有&，再跟据&可解出特征向量。det(A-&I)=0称为特征方程。
3. 根据齐次线性方程组的特点，一个特征值对应的特征向量有无限多个，且对应于&的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间，称为矩阵A对应于特征值&的特征空间。
4. n阶矩阵的特征方程是&的n阶方程，如果将特征向量限制在R中，那么特征方程未必有解，即不是所有的矩阵都有R域中的特征值；但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值（k重根按k个特征值计）。
5. 设&1,...&r是n阶矩阵的r个相异特征值，v1,...vr是对应的r个特征向量，那么向量集{v1,...vr}线性无关。
6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A，B满足A=PBP-1，则称A，B相似。
7. 若n阶矩阵A，B相似，那么这两者有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（包括相同的代数重数）。但特征向量一般不同！！！
8. 特征向量的应用举例
& & 假设我们现在要分析xk+1=Axk，x0已知。如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合，比如x0=c1v1+c2v2，v1，v2为A的特征向量，
& & 那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出xk：
& & x1=Ax0
& & & &=A(c1v1+c2v2)
& & & &=c1Av1+c2Av2
& & & &=c1&v1+c2&v2
& & x2=Ax1
& & & & =A(c1&v1+c2&v2)
& & & & =c1&Av1+c2&Av2
& & & & =c1&2v1+c2&2v2
& & xk=c1&kv1+c2&kv2
9. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。
& & 若A=PDP-1，D为对角阵，那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量，D的主对角线元素是A的对应于P中特征向量的特征值。
& & 换言之，A可对角化的充分必要条件是有足够多的特征向量形成Rn的基。这样的基称为特征向量基。
10. 某特征值对应的特征空间的维数小于或等于该特征值的代数重数。
11. 矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数和为n，即每个特征值对应特征空间的维数等于该特征值的代数重数。
12. 若A可对角化，那么所有特征空间的基的向量的集合是Rn的特征向量基。
13. 若V是n维向量空间，W是m维向量空间，T是V到W的线性变换，B和C分别是V和W的基，那么T相对于基B和C的矩阵为：
& & & M=[ [T(b1)]c &... &[T(bn)]c ]
& & & 用M来表示V到W的变换：
& & & [T(x)]c = M[x]B
& & & 直观的解释：V中的任意一个向量都能表示为基B中各向量的线性组合，因此，只要知道了B中各向量经变换T后在W中的&样子&，就能知道V中任意向量经变换T后在W中的&样子&。
& & & 若W=V，C=B，上式即简化为：
& & & [T(x)]B = [T]B[x]B
& & & &此时M=[T]B，称为T相对于B的矩阵，或简称为T的B-矩阵。
14. 设A=PDP-1，D为n阶对角矩阵，若Rn的基由P的列向量组成，那么D是变换x|-&Ax的B-矩阵。
&&&&& 写成表达式就是，若x|-&Ax，那么[x]B|-&D[x]B，[x]B是x在P的列向量所组成的基下的坐标。
&&&&&&上面两个变换式x|-&Ax和[x]B|-&D[x]B描述的是相对于不同基的同一个线性变换。
&&&&&&这也解释了什么叫做&相似&：两个相似矩阵可用来描述（相对于不同基的）同一个线性变换。
& & & 实际上，上述表述中，D不一定要是对角矩阵。
& & &设y=Ax，且A可表示成PDP-1，那么：
& & &=& y=PDP-1x
& & &=& P-1y=P-1PDP-1x
& & &=& P-1y=DP-1x
& & &=& (P-1y)=D(P-1x)
& & &P-1y和P-1x可分别看作y和x在Rn的基P下的坐标。
& & &对于差分方程xk+1=Axk，上式就成为：
& & &P-1xk+1=D(P-1xk)
& & &用w表示x在P下的坐标，就是：
& & &wK+1=Dwk
& & &矩阵A对角化后的最大优点是解耦了向量x的各分量。如果A可对角化，那么在A的特征向量基下，运算Ax将简化为各方向上的缩放（Du）。关于特征值与特征向量的问题求解答 谢谢各位大神！【线性代数吧】_百度贴吧
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来源：　　作者：吴江;孟世才;许耿;
浅谈《线性代数》中“特征值与特征向量”的引入　 “方阵的特征值与特征向量”是《线性代数》的一个重要内容,但是普遍教材对它的呈现很突然,引入部分很简略且不到位。例如,《线性代数(》同济三版)是这样引入的,“工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值与特征向量的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。”于是接着定义了特征值与特征向量。可是,为什么要如此定义特征值与特征向量呢?其实际背景或者逻辑来源是什么呢?仍然是让人一头雾水。经过几届《线性代数》的教学,我们觉得可以采取如下的教学处理:第一步,在介绍完向量与向量空间的概念后,接着把这些概念推广和进一步抽象,从而得到线性空间Vn的定义及线性空间中维数、基与坐标的定义。同向量空间一样,在线性空间Vn中,基不唯一,同一向量在不同的基下有不同的坐标,那自然会追问:“随着基的改变,同一向量的坐标是怎么变化的呢?”从而引出由基1α,2α,…,nα到基1β,2β,…,nβ的过度矩阵P(是可逆的),以及坐标变换公式。第二步,在线性空间Vn中定义变换(或映射)及线性变换y=Tx后,为了利用矩阵知识来研究线性变换y=Tx,于是,设1α,2α,(本文共计2页)　　　　　　　　　　
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