一年级找规律填数字_先找规律，再填数。
5、6、7、9、10、11、13； 20、19、17、16、15、13、12
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据魔方格专家权威分析，试题“先找规律，再填数。-一年级数学-魔方格”主要考查你对
20以内的数的认识
等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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20以内的数的认识
考点名称：20以内的数的认识
20以内数的认识掌握要求： 需要掌握20以内数的组成、数的顺序，认识个位和十位，会比较数的大小： 1、认识11～20各数，正确数数、认数、读数和写数，20以内数的顺序：11、12、13、14、15、16、17、18、19、20。 2、11-20的组成：这些数是由1个十和几个一组成的。 3、认识数位“个位，十位”，知道10个一是1个十。 4、从右边起第一位是个位，第二位是十位。 5、个位是几，就表示有几个一，十位是几，就表示有几个十。 6、有1个十在十位上写1，有2个十在十位上写2，有几个一在个位写几。 20以内数的认识分类：
1、按照位数分：一位数0~9 两位数10~20 （0是个特殊的数字宝宝，它表示什么也没有，很多同学把0宝宝容易漏掉） 2、按照单双数分：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19 0、2、4、6、8、10、12、14、16、18、20 （这种分类有助于观察规律填数） 3、按照相同数字的位置分： 0、10、20 1、11、 2、12 …… （这种分类有助于理解和区分数位的意义，如：数位表中，从右边起第一位叫个位，第二位叫十位，个位上的1表示1个一，十位上的1表示1个十） 数的顺序：
①16的前面是（
），后面是（
） ②2个十是（ ），他前面的数是（
） ③8和17的中间有（
） ④与12相邻的两个数是（
） ⑤比14多5的数是（
） ⑥按规律填数1、3、（
） ⑦按从大到小排队8、15、13、6、2、20、9（
） 数的组成： （
）＝12，你还能写几组？ 大小比较：
11○10 基数和序数： 　　○○○○○○○○○○○○○ 　　把左边第四个○涂成黑色，把最右边的3个○涂成蓝色
发现相似题
找规律填数 ,说明理由找规律填数字一年级 liuyun791_maeur|08-10-17
　　好评回答超级低手 | 08-10-17 1247（11）（16） 1 间隔0个数字 2 间隔1个数字 4 间隔2个数字 7 间隔3个数字 （11）间隔4个数字（16）
其他答案（共1个回答）
　　1247（11）（16）1+1=2 2+2=4 4+3=7 7+4=11 11+5=16 |08-10-17
找规律填数1、3、4、7、11（答： 4=1+3 7=4+3 11=7+4 ()=18=11+7 ()=29=18+11 详情&&
2填方格小学一年级作业：数字1-9填方格
31247有什么规律？
4找规律填数字3,6,8,
5找规律填数1、、-04
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分辨率依然有1870× 1247 【点击奇数项为3579逐渐加2，偶数项为3456逐渐加1因此后两个数为11,7。。。。。。。。。。。。好难。。小学 一年级数学 题, 找规律填一填48,38,712121+8=2929+9=3838+10=4848+11=59
√59+12=7171+13=84
√21,29,(59)小学 一年级 数学寒假作业.、36;
9=3x3.、16.、1、相邻两个数相差的数值按照3.规律;
4=2x2。即1+3=4
2.、7、4、5.、其实这就是平方数数列：1、9.;
36=6x6.、25、11、9..;
25=5x5.的顺序递增。即1=1x120 11 -0 1 - 1 8 小学一年级数 学寒假作业有的用户通过以下关键词进入该页面：一年级找规律填、一年级找规律填数、一年级找规律、找规律填一填 三角形、三角形找规律填数字、难倒大人的小学数学题、找规律填数字、一年级下册找规律、一年级找规律练习题、二年级找规律填数字、
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投诉邮箱：日期：1、请认真读题，并按要求写数。
（1）写出个位上比十位上大2的两位数：
（2）写出十位上和个位上相同的两位数：
（3）写出个位上和十位上相加的的和是8的两位数：
（4）写出比90小比80大的数：
（5）从78写到85：
2、找规律填数。
（1）97 95 93 ( ) ( ) （ ）
（2）20 45 30 50 40 55 ( ) ( ) （ ） （ ）
（3）3 5 9 15 （ ） （ ）
3、买一本练习本0.50元，付出2元钱，应找回多少钱？
4、同学们买了23支花，送给张老师8支，送给夏老师的花和张老师的花同样...写出个位上比十位上大2的两位数的相关内容日期：林肯：成功背后的两位母亲 无论我现在怎么样，还是希望以后会怎么样，都应当归功于我天使一般的母亲。我记得母亲的那些祷告，它们一直伴随着我，而且已经陪伴了我一生。 DD亚伯拉罕?林肯 林肯是美国历史上一位伟大的...日期：8岁学生轻松写出千字文 南山区小学教育教学试验结出硕果 8岁学生轻松写出千字文 【本报讯】（深圳商报记者万红金郑恺）在南山区的许多小学校园里，经常可以看到一些二三年级的小学生能够阅读很厚的读本，他们每天近千字的习作行文流畅、条理清晰。这不...日期：十三岁女孩六年写出四部小说 别看赵荔是个13岁小女孩，可她这段时间比大人都忙：刚参加完在澳门举行的第30届国际儿童读物联盟大会，又忙着为贵州贫困山区的宏达希望小学筹建图书室，还要通过电子邮件与世界创意之父约翰。霍金斯探讨合作写书的事。这一切都源于她的写作爱好日期：第五单元试卷(一)(3.两位数加减两位数)(A) 一、 口算题(每道小题 8分 共 16分 ) 1. 83+9= 67-4= 25-7= 54+7= 20+22= 96-9= 80-3= 2+48= 2. 72-8= 38-10= 36+4= 6+47= 50-6= 5+45= 17+5= 76-20= 二、 计算题(1-4每题 2分, 5-7每题 ...日期：第五单元测试(一）(3.两位数加减两位数)(B) 一、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 在□里填正确的数． 2. 在□里填正确的数． 二、 口算题(第1小题 4分, 2-3每题 8分, 共 20分) 1. 34-8= 45-7= 8+34= 9+65= 2. 8+45-9= 46-7+...日期：第五单元试卷(一）(3.两位数加减两位数)(C) 一、 填空题(1-2每题 3分, 3-12每题 4分, 13-14每题 5分, 共 56分) 1. 在○里填 & 、 & 或 = ． 78-35○68-35 62-28○62-38 85-50○65-30 2. 在○里填 & 、 & 、 = 。 58+...日期：两位新朋友（语言） 活动名称：两位新朋友 活动目标： 1、在宽松愉快的气氛中培养幼儿说的愿望与积极性。 2、初步培养幼儿日常卫生习惯，并愿意用 我会自己&& 的句式说说自己会做的事。 活动准备：人物贴绒两个、卫生小卡四张、音乐、录音机 活动重点：培养幼
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第一周 平均数（一） 专题简析： 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使 它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 例 1 有 4 箱水果， 已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个， 梨、橘子、 桃平均每箱 36 个，苹果和桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个？ 分析与解答：1） 箱苹果＋1 箱梨＋1 箱橘子=42×3=136 个） （ 1 （ ； （2）1 箱桃＋1 箱梨＋1 箱橘子=36×3=108（个） （3）1 箱苹果＋1 箱桃=37×2=72（个） 由（1） （2）两个等式可知： 1 箱苹果比 1 箱桃多 126－108=18（个） ，再根据等式（3）就 可以算出：1 箱桃有 （74－18）÷2=28（个） 箱苹果有 28＋18=46 ，1 （个） 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个：37×2=74（个）11 箱苹果比 1 箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1 箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 练 习 一 1，一次考试，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均 分 89 分，甲、丁二人平均分 95 分。问：甲、丁各得多少分？2，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克， 甲、丙、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。 求四人的平均体重是多少千克？3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树 18 棵，甲、丙两组平均每组植树 17 棵，乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵？2例 2 一次数学测验，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人， 平均每人 92 分；男生平均每人 90.5 分。求这个班男生有多少人？ 分析：女生每人比全班平均分高 92－91.2=0.8（分） ，而男生每人 比全班平均分低 91.2－90.5=0.7（分） 。全体女生高出全班平均分 0.8×21=16.8（分） ，应补给每个男生 0.7 分，16.8 里包含有 24 个 0.7，即全班有 24 个男生。 练 习 二 1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平 均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下。乙组有多少人？2，有两块棉田，平均每亩产量是 92.5 千克，已知一块地是 5 亩， 平均每亩产量是 101.5 千克； 另一块田平均每亩产量是 85 千克。 这 块田是多少亩？3，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖 7 元，乙知甲级糖有 4 千克，平均每千克 8 元；乙级糖有 2 千克，平均每千克多少元？3例 3 某 3 个数的平均数是 2， 如果把其中一个数改为 4， 平均数就 变成了 3。被改的数原来是多少？ 分析：原来三个数的和是 2×3=6，后来三个数的和是 3×3=9，9 比 6 多出了 3，是因为把那个数改成了 4。因此，原来的数应该是 4 －3=1。 练 习 三 1，已知九个数的平均数是 72，去掉一个数之后，余下的数的平均 数是 78。去掉的数是多少？2，有五个数，平均数是 9。如果把其中的一个数改为 1，那么这五 个数的平均数为 8。这个改动的数原来是多少？3，甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是 90 分。 可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了 87 分，因此，算得四 人的平均分是 88 分。求甲在这次考试中得了多少分？4例 4 五一班同学数学考试平均成绩 91.5 分， 事后复查发现计算成 绩时将一位同学的 98 分误作 89 分计算了。经重新计算，全班的平 均成绩是 91.7 分，五一班有多少名同学？ 分析：98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩 上升 91.7－91.5=0.2（分） 里面包含有几个 0.2，五一班就有几 。9 名同学。 练 习 四 1，五（1）班有 40 人，期中数学考试，有 2 名同学去参加体育比 赛而缺考，全班平均分为 92 分。缺考的两位同学补考均为 100 分， 这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？2，某班的一次测验，平均成绩是 91.3 分。复查时发现把张静的 89 分误看作 97 分计算，经重新计算，该班平均成绩是 91.1 分。问全 班有多少同学？3，五个数的平均数是 18，把其中一个数改为 6 后，这五个数的平 均数是 16。这个改动的数原来是多少？5例 5 把五个数从小到大排列，其平均数是 38。前三个数的平均数 是 27，后三个数的平均数是 48。中间一个数是多少？ 分析：先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27 ×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个 数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比 190 多，而多出 的部分就是所求的中间的一个数。 练 习 五 1，甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的平均年龄是 18 岁，乙、丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？2，十名参赛者的平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？ 3，下图中的○内有五个数 A、B、C、D、E，□内的数表示与它相 连的所有○中的平均数。求 C 是多少？6第２周 平均 数（二）例 1 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考 100 分， 才能把平均成绩提高到 86 分。问这是他第几次测验？ 分析与解答： 分比 86 分多 14 分， 14 分必须填补到前几次的 100 这 平均分 84 分中去， 使其平均分成为 86 分。 每次填补 86－84=2 分） （ ， 14 里面有 7 个 2，所以，前面已经测验了 7 次，这是第 8 次测验。 练 习 一1，老师带着几个同学在做花，老师做了 21 朵，同学平均每人做了 5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了 7 朵。求有多少个同 学在做花？2，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成 绩是 94 分， 如果数学算在内， 平均每门 95 分。 已知他数学得了 100 分，问这位同学一共考了多少门功课？3，两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳 152 次。甲组有 6 人，平 均每人跳 140 次，如果乙组平均每人跳 160 次，那么，乙组有多少 人？7例 2 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的 平均成绩是 89 分，政治、数学两科平均 91.5 分，政治、英语两科 平均 86 分，英语比语文多 10 分。小亮的各科成绩是多少分？ 分析与解答： 因为语文、 英语两科平均分 84 分， 即语文＋英语=168 分， 而英语比语文多 10 分， 即英语－语文=10 分， 所以， 语文是 （168 －10）÷2=79 分，英语是 79＋10=89 分。又因为政治、英语两科平 均 86 分，所以政治是 86×2－89=83 分；而政治、数学两科平均分 91.5 分， 数学是 91.5×2－83=100 分； 最后根据五科的平均成绩是 89 分可知，自然分是 89×5－（79＋89＋83＋100）=94 分。 练 习 二1，甲、乙、丙三个数的平均数是 82，甲、乙两数的平均数是 86， 乙、丙两数的平均数是 77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是 多少？ 2， 小华的前几次数学测验的平均成绩是 80 分， 这一次得了 100 分， 正好把这几次的平均分提高到 85 分。这一次是他第几次测验？3，五个数排一排，平均数是 9。如果前四个数的平均数是 7，后四 个数的平均数是 10， 那么， 第一个数和第五个数的平均数是多少？8例3两地相距 360 千米， 一艘汽艇顺水行全程需要 10 小时， 已知这条河的水流速度为每小时 6 千米。 往返两地的平均速度是每小时 多少千米？ 分析与解答： 用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的 平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所 用的时间。因为 360÷10=36（千米）是顺水速度，它是汽艇的静水 速度与水流速度的和， 所以， 此汽艇的静水速度是 36－6=30 千米） （ 。 而逆水速度=静水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是 30－ 6=24（千米） 。逆水行全程时所用时间是 360÷24=15（小时） ，往返 的平均速度是 360×2÷（10＋15）=28.8（千米） 。 练 习 三1，甲、乙两个码头相距 144 千米，汽船从乙码头逆水行驶 8 小时 到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶 21 千米。求汽船从甲 码头顺流行驶几小时到达乙码头？2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行 165 千米。已知客轮的静 水速度是每小时 30 千米，水速每小时 3 千米。现在正好是顺流而 行，行全程需要几小时？93，甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小时，返回原地需要 10 小时； 乙船逆水航行同样的一段水路需要 20 小时，返回原地需要多少小 时？例 4 幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的 30 个小朋友一起分饼干， 小班的小朋友每人分 10 块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友 的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干？ 分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（30 ＋20）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小 班小朋友的平均数多 2 块，30 个小朋友一共多 2×30=60（块） ，这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友，每人可得 60÷20=3（块） 。因 此，大、小班小朋友分得平均块数是 10＋3=13（块） 。一共分掉 13 ×（30＋20）=650（块） 。 练 习 四1，数学兴趣小组里有 4 名女生和 3 名男生，在一次数学竞赛中， 女生的平均分是 90 分，男生的平均分比全组的平均分高 2 分，全 组的平均分是多少分？102，两组同学跳绳，第一组有 25 人，平均每人跳 80 下；第二组有 20 人， 平均每人比两组同学跳的平均数多 5 下， 两组同学平均每人 跳几下？3，一个技术工带 5 个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各 得 120 元， 这位技术工人的收入比他们 6 人的平均收入还多 20 元。 问这位技术工得多少元？例5王强从 A 地到 B 地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12 千米。剩下的步行，每小时走 4 千米。王强行完全程的平均速度 是每小时多少千米？ 分析与解答：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用 的时间。由于题中没有告诉我们 A 地到 B 地间的路程，我们可以设 全程为 24 千米（也可以设其他数） ，这样，就可以算出行全程所用 的时间是 12÷12＋12÷4=4 （小时） 再用 24÷4 就能得到行全程的 ， 平均速度是每小时 6 千米。11练习 五1，小明去爬山，上山时每小时行 3 千米，原路返回时每小时行 5 千米。求小明往返的平均速度。2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑 150 米，后 一半路程中每分钟跑 100 米。求他在整个长跑中的平均速度。3，把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打 30 个字，乙 每分钟打 20 个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？第 3 周 长方形、正方形的周长 同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长 =边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形 和正方形的周长。 如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形 或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化12的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周 长。 例 1 有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边 长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周 长。 思路与导航 根据题意， 我们可以把每个正方形的边长的一半 同时向左、右、上、下平移（如图 b） ，转化成一个大正方形，这个 大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。 因 此，所求周长是 18×4=72 厘米。练习一 1，下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的 周长。132，下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。3，有 6 块边长是 1 厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠 着，求重叠后图形的周长。例2一块长方形木板， 沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为 192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 思路导航 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块（如图） ， 其中 AB 的面积是 192－4×4=176（平方厘米） 。把 A 和 B 移到一起14拼成一个宽 4 厘米的长方形， 而此长方形的长就是这块木板剩下部 分的周长的一半。176÷4=44（厘米） ，现在这块木板的周长是 44 ×2=88（厘米） 。练习二 1，有一个长方形，如果长减少 4 米，宽减少 2 米，面积就比 原来减少 44 平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方 形的周长。2，有两个相同的长方形，长是 8 厘米，宽是 3 厘米，如果按 下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？3，有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出 2 米做绿 化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为 280 米。求划去的绿化带 的面积是多少平方米？15例3已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？思路导航从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（a＋b）×2， 三条竖着的线段和是 b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）×2 ＋b×2，即 2a＋4b。 练习三 1，有一张长 40 厘米，宽 30 厘米的硬纸板，在四个角上各剪 去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒， 求被剪后硬纸 板的周长。2，一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成 下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。163，求下面图形（图 2）的周长（单位：厘米） 。图（1）图（2）例4下图是边长为 4 厘米的正方形， 求正方形中阴影部分的周长。思路导航我们把阴影部分周长中左边的 5 条线段全部平移到左边，其和正好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其 和也正好是 4 厘米。因此，阴影部分的周长与边长是 4 厘米的正方 形的周长是相等的。17练习四 1，求下面图形的周长（单位：厘米） 。2，在（）里填上“＞”“＜”或“=” 、 。甲的周长（）乙的周长3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。18例5如下图，阴影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的长方形的周长。 分析 根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因 为 BC=EF， CF=DE， 所以， AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15 （厘米） ， 这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是（9 ＋6）×2=30（厘米） 。练习五 1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等， 求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）192，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是 5 厘米， 零件长 35 厘米，高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米？3，有两个相同的长方形，长 7 厘米，宽 3 厘米，如下图重叠 着，求重叠图形的周长。20第 4 周 长方形、正方形的面积 专题简析： 长方形的面积=长×宽， 正方形的面积=边长×边长。 掌握并能 运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比 较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。 这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”“平移”“旋转” 、 、 等方法， 使复杂的问题转化为普通的求长方形、 正方形面积的问题， 从而正确解答。 例 1 已知大正方形比小正方形边长多 2 厘米，大正方形比小正方 形的面积大 40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米？2B2A分析 从图中可以看出， 大正方形的面积比小正方形的面积大 出的 40 平方厘米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面积相等。因 此，用 40 平方厘米减去阴影部分的面积，再除以 2 就能得到长方 形 A 和 B 的面积， 再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的边长。 求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。21练 习 一 1，有一块长方形草地，长 20 米，宽 15 米。在它的四周向外筑一 条宽 2 米的小路，求小路的面积。2，正方形的一组对边增加 30 厘米，另一组对边减少 18 厘米，结 果得到一个与原正方形面积相等的长方形。 原正方形的面积是多少 平方厘米？3，把一个长方形的长增加 5 分米，宽增加 8 分米后，得到一个面 积比原长方形多 181 平方分米的正方形。 求这个正方形的边长是多 少分米？22例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小 的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的 面积。分析 因为 AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘 AE×CE ×DE×EB=35×6，而 CE×EB=14，所以 AE×DE=35×6÷14=15。 练 习 二 1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积 分别是 24 平方厘米、 平方厘米和 32 平方厘米， 30 求阴影部分的面 积。A M 32 F P 24 30 B E C D N2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积23如图所示（单位：平方厘米） ，求 A 和 B 的面积。15 45 A 24 12 B3，下图中阴影部分是边长 5 厘米的正方形，四块完全一样的长方 形的宽是 8 厘米，求整个图形的面积。8 8 5 8 8例 3 把 20 分米长的线段分成两段， 并且在每一段上作一正方 形，已知两个正方形的面积相差 40 平方分米，大正方形的面积是 多少平方分米？分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。 两个 正方形的面积差 40 平方分米就是图中的 A 和 B 两部分，如图。如 果把 B 移到原来小正方形的上面，不难看出，A 和 B 正好组成一24个长方形，此长方形的面积是 40 平方分米，长 20 分米，宽是 40 ÷20=2（分米） ，即大、小两个正方形的边长相差 2 分米。因此， 大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米） ，面积是 11×11=121 （平方分米） 练 习 三 1，一块正方形，一边划出 1.5 米，另一边划出 10 米搞绿化，剩下 的面积比原来减少了 1350 平方米。这块地原来的面积是多少平方 米？2，一个正方形，如果它的边长增加 5 厘米，那么，面积就比原来 增加 95 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？3，有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面 面积是 80 平方米。求草坪的面积。25例 4 有一个正方形 ABCD 如下图，请把这个正方形的面积扩大 1 倍，并画出来。分析 由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计 算出所画正方形的边长或面积。 我们可以利用两个正方形之间的关 系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出 4 个等腰直角三角 形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方 形面积的 2 倍。 练 习 四 1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形， 如果大、小正方形的面积分别是 49 平方米和 4 平方米，求其中一 个长方形的宽。2， 正图的每条边都垂直于与它相邻的边， 并且 28 条边的长都相等。 如果此图的周长是 56 厘米，那么，这个图形的面积是多少？263， 正图中， 正方形 ABCD 的边长 4 厘米， 求长方形 EFGD 的面积。例 5 有一个周长是 72 厘米的长方形， 它是由三个大小相等的正方 形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？ 分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形， 它的周长是原正 方形边长的 8 倍，正方形的边长为 72÷8=9（厘米） ，一个正方形的 面积就是 9×9=81（平方厘米） 。 练 习 五 1，五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 36 厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？272，有一张长方形纸，长 12 厘米，宽 10 厘米。从这张纸上剪下一 个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？3，有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形 ABCD （如下图） ，已知大长方形的面积是 35 平方厘米，且周长比原来小 长方形的周长多 10 厘米。求原来小长方形的面积。第 5 周 分类数图形专题简析： 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出 的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类28数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理 并且正确地数出图形的个数。 例题 1 下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组 成的有 6×3=18 个，2×2 的正方形有 5×2=10 个，3×3 的正方形 有 4×1=4 个。因此图中共有 18＋10＋4=32 个正方形。 练习一 1，下图中共有多少个正方形？2，下图中共有多少个正方形？293，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？例题 2 下图中共有多少个三角形？分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形， 然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有 6 个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有 3 个；30（3）由三个小三角形组合的三角形有 4 个； （4）由六个小三角形组合的三角形有 1 个。 所以共有 6＋3＋4＋1=14 个三角形。 练习二 1，下面图中共有多少个三角形？2，数一数，图中共有多少个三角形。3，数一数，图中共有多少个三角形？31例题 3 数出下图中所有三角形的个数。分析 和三角形 AFG 一样形状的三角形有 5 个；和三角形 ABF 一样形状的三角形有 10 个；和三角形 ABG 一样形状的三角形有 5 个；和三角形 ABE 一样形的三角形有 5 个；和三角形 AMD 一样形状 的三角形有 5 个，共 35 个三角形。 练习三 数出下面图形中分别有多少个三角形。例题 4 如下图， 平面上有 12 个点， 可任意取其中四个点围成一个 正方形，这样的正方形有多少个？32分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形， 从图中可以 看出：（1）最小的正方形有 6 个； （2）由 4 个小正方形组合而成的正方形有 2 个； （3）中间还可围成 2 个正方形。 所以共有 6＋2＋2=10 个。 练习四 1，下图中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共 能围成多少个长方形？2，下图中共有 6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一 共能围成多少个三角形？333，下图中共有 9 个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一 共能围成多少个梯形？例题 5数一数，下图中共有多少个三角形？分析 我们可以分类来数： 1，单一的小三角形有 16 个； 2，两个小三角形组合的有 10 个； 3，四个小三角形组合的有 8 个； 4，八个小三角形组合的有 2 个。 所以，图中一共有 16＋10＋8＋2=36 个三角形。34练习五 1，图中共有（ ）个三角形。2，图中共有（）个三角形。3，图中共有（）个正方形。第 6 周 尾数和余数 专题简析： 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商 与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利35用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例题 1 写出除 213 后余 3 的全部两位数。 分析 因为 213=210＋3，把 210 分解质因数：210=2×3×5× 7，所以，符号题目要求的两位数有 2×5=10，2×7=14，3×5=15， 3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有 7 个两位数。 练习一 1，写出除 109 后余 4 的全部两位数。2，178 除以一个两位数后余数是 3，适合条件的两位数有哪 些？3，写出除 1290 后余 3 的全部三位数。例题 2 （1）125×125×125×??×125[100 个 25]积的尾数是 几？ （2） （21×26）×（21×26）×??×（21×26）[100 个（21 ×26）]积的尾数是几？ 分析 （1）因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是 5，所以不管多 少个 125 相乘，个位还是 5；36（2）每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析 100 个 6 相乘，积的尾数是几就行了。因为个位 6 乘 6，积的个位仍然 是 6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是 6。 练习二 1，21×21×21×??×21[50 个 21]积的尾数是几？2，1.5×1.5×1.5×??×1.5[200 个 1.5]积的尾数是几？3， （12×63）×（12×63）×（12×63）×??×（12×63） [1000 个（12×63）]积的尾数是几？例题 3 （1）4×4×4×?×4[50 个 4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×?×9[51 个 9]积的个位数是几？ 分析 （1）我们先列举前几个 4 的积，看看个位数在怎样变 化，1 个 4 个位就是 4；4×4 的个位是 6；4×4×4 的个位是 4；4 ×4×4×4 的个位是 6??由此可见，积的尾数以“4，6”两个数37字在不断重复出现。50÷2=25 没有余数，说明 50 个 4 相乘，积的 个位是 6。 （2）用上面的方法可以发现，51 个 9 相乘时，积的个位是以 “9，1”两个数字不断重复，51÷2=25??1，余数是 1，说明 51 个 9 本乘积的个位是 9。 练习三 1，24×24×24×?×24[2001 个 24]，积的尾数是多少？2，1×2×3×?×98×99，积的尾数是多少？3，94×94×94×?×94[102 个 94]－49×49×?×49[101 个 49]，差的个位是多少？例题 4 少？把 1/7 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多分析 因为 1/7≈0.??，化成的小数是一个无38限循环小数， 循环节 “142857” 共有 6 个数字。 由于 100÷6=16?? 4，所以，小数点后面的第 100 位是第 17 个循环节的第 4 个数字， 是 8。 练习四 1，把 1/11 化成小数，求小数点后面第 2001 位上的数字。2，5/7 写成循环小数后，小数点后第 50 个数字是几？3，有一串数：5、8、13、21、34、55、89??，其中，从第 三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第 1000 个 数被 3 除后所得的余数是多少？例题 5 555?55[2001 个 5]÷13，当商是整数时，余数是几？ 分析 如果用除法硬除显然太麻烦， 我们可以先用竖式来除一 除，看一看余数在按怎样的规律变化。39从竖式中可以看出，余数是按 3、9、4、6、0、5 这六个数字 不断重复出现。??3，所以，当商是整数时，余数是 4。 练习五 1，444?4÷6[100 个 4]，当商是整数时，余数是几？2，当商是整数时，余数各是几？ （1）666?6÷4[100 个 6]（2）444?4÷74[200 个 4]（3）888?8÷7[200 个 8]40（4）111?1÷7[50 个 1]第７周 一般应用题（一） 专题简析： 一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在 一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和 顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规 律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示 手段帮助分析。 在分析应用题的数量关系时， 我们可以从条件出发， 逐步推出所求问题（综合法） ；也可以从问题出发，找出必须的两 个条件（分析法） 。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活 运用这两种方法。 例 1 五年级有六个班， 每班人数相等。 从每班选 16 人参加少先队 活动，剩下的同学相当于原来 4 个班的人数。原来每班多少人？ 分析与解答： 从每班选 16 人参加少先队活动， 个班共选 16×6=96 6 （人） 。剩下的同学相当于原来 4 个班的人数，那么，96 人就相当 于原来（6－4）个班人人数，所以，原来每班 96÷2=48（人） 。41练习 一1，五个同学有同样多的存款，若每人拿出 16 元捐给“希望工程” 后，五位同学剩下的钱正好等于原来 3 人的存款数。原来每人存款 多少？2，把一堆货物平均分给 6 个小组运，当每个小组都运了 68 箱时， 正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了 6 棵时，发 现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少 棵？例2某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天加工 56 个零件。这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且还多加 工了 120 个零件。这个车间实际加工了多少个零件？ 分析 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多 5642×3＋120=288（个） 。为什么会多加工 288 个呢？是因为每天多加 工了 56－50=6（个） 。因此，原计划加工的天数是 288÷6=48（天） ， 实际加工了 50×48＋120=1520（个）零件。 练 习 二1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行 40 千米，实际每小时多 行了 10 千米，这样比原计划提前 2 小时到达了乙地。甲、乙两地 相距多少千米？2，小明骑车上学，原计划每分钟行 200 米，正好准时到达学校， 有一天因下雨，他每分钟只能行 120 米，结果迟到了 5 分钟。他家 离学校有多远？3，加工一批零件，原计划每天加工 80 个，正好按期完成任务。由 于改进了生产技术，实际每天加工 100 个，这样，不仅提前 4 天完 成加工任务，而且还多加工了 100 个。他们实际加工零件多少个？43例3甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工 6 个零件，乙中途停了 15 天没有加工。40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一 半。这时两人各加工了多少个零件？ 分析 甲工作了 40 天， 而乙停止了 15 天没有加工， 乙只加工了 25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲 20 天加工的零 件和乙 25 天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工 6 个，20 天一共多加工 6×20=120 个）这 120 个零件相当于乙 25-20=5 天） （ 。 （ 加工的个数，乙每天加工 120÷（25-20）=24（个） 。乙一共加工了 24×25=600（个） ，甲一共加工了 600×2=1200（个） 练 习 三1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工 10 个。途中乙因 事休息了 5 天，20 天后，甲加工的帽子正好是乙加工的 2 倍，这时 两人各加工帽子多少个？2，甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时比乙车多行 20 千米。途中乙因修车用了 2 小时，6 小时后甲车到达两地中点， 而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B 两地相距多少千米？443，甲、乙两人承包一项工程，共得工资 1120 元。已知甲工作了 10 天，乙工作了 12 天，且甲 5 天的工资和乙 4 天的工资同样多。求 甲、乙每天各分得工资多少元？例4服装厂要加工一批上衣， 原计划 20 天完成任务。 实际每天比计划多加工 60 件，照这样做了 15 天，就超过原计划件数 350 件。 原计划加工上衣多少件？ 分析 由于每天比计划多加工 60 件， 天就比原计划的 15 天多加 15工 60×15=900（件） ，这时已超过计划件数 350 件，900 件中去掉 这 350 件，剩下的件数就是原计划（20－15）天中的工作量。所以， 原计划每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件） ，原计 划加工 110×20=2200（件） 。 练 习 四1，用汽车运一堆煤，原计划 8 小时运完。实际每小时比原计划多 运 1.5 吨，这样运了 6 小时就比原计划多运了 3 吨。原计划 8 小时 运多少吨煤？452，汽车从甲地开往乙地，原计划 10 小时到达。实际每小时比原计 划多行 15 千米，行了 8 小时后，发现已超过乙 20 千米。甲、乙两 地相距多少千米？3，小明看一本书，原计划 8 天看完。实际每天比原计划少看了 4 页。这样，用 10 天才看完了这本书。这本书一共有多少页？例 5 王师傅原计划每天做 60 个零件，实际每天比原计划多做 20 个，结果提前 5 在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？ 分析 按实际做法再做 5 天，就会超产（60＋20）×5=400（个） 。为什么会超产 400 个呢？是因为每天多生产了 20 个， 里面有几 400 个 20，就是原计划生产几天。400÷20=20（天） ，因此，王师傅一 共做了 60×20=1200（个）零件。 练 习 五1，食堂准备了一批煤，原计划每天烧 0.8 吨，实际每天比原计划 节约了 0.1 吨，这样比原计划多烧了 2 天。这批煤一共有多少吨？462，造纸厂生产一批纸，计划每天生产 13.5 吨，实际每天比原计划 多生产 1.5 吨，结果提前 2.5 天完成了任务。实际用了多少天？3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产 15 台，实际每天生产 18 台，这样比原计划提前 3 天完成了任务。这批机床一共有多少台？第８周 一般应用题（二） 专题简析： 较复杂的一般应用题， 往往具有两组或两组以上的数量关系交 织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问 题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问 题简单化，从而正确解答。 例 1 工程队要铺设一段地下排水管道， 用长管子铺需要 25 根， 用 短管子铺需要 35 根。已知这两种管子的长相差 2 米，这段排水管 道长多少米？ 分析 因为每根长管子比每根短管子长 2 米，25 根长管子就比 2547根短管子长 50 米。 而这 50 米就相当于 （35－25） 根短管子的长度。 因此，每根短管子的长度就是 50÷（35－25）=5（米） ，这段排水 管道的长度应是 5×35=175（米） 。 练 习 一 1，生产一批零件，甲单独生产要用 6 小时，乙单独生产要用 8 小 时。 如果甲每小时比乙多生产 10 个零件， 这批零件一共有多少个？2，一班的小朋友在操场上做游戏，每组 6 人。玩了一会儿，他们 觉得每组人数太少便重新分组，正好每组 9 人，这样比原来减少了 2 组。参加游戏的小朋友一共有多少人？3，甲、乙二人同时从 A 地到 B 地，甲经过 10 小时到达了 B 地， 比乙多用了 4 小时。已知二人的速度差是每小时 5 千米，求甲、乙 二人每小时各行多少千米？48例 2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙 都比丙多拿 24 千克。结帐时，甲和乙都要付给丙 24 元，每千克苹 果多少元？ 分析 三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。24×2÷3=16（千克） ，也就是丙少拿 16 千克苹果，所以得到 24×2=48 元。 每千克苹果是 48÷16=3（元） 。 练 习 二 1，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿 了 13 支，乙拿了 7 支，因此，甲又给了乙 6 角钱。每支铅笔多少 钱？2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了 6 个面包，中午发现小 红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明 和小军各 2.2 元钱。每个面包多少元？3， “六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了 7 张红纸，小英买 来了和红纸同样价格的 5 张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、49小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师 9 元钱。老师 把 9 元钱怎样分给小华和小英？例 3 甲城有 177 吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是 10 升和 5 升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？ 分析 大汽车一次运 5 吨， 耗油 10 升， 平均运 1 吨货耗油 10÷5=2 （升） 小汽车一次运 2 吨， ； 耗油 5 升， 平均运 1 吨货耗油 5÷2=2.5 （升） 。显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。177÷5=35 （辆）??2 吨，余下的 2 吨正好用小卡车运。因此，用 35 辆大汽 车和 1 辆小汽车运耗油量最少。 练 习 三 1，五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相同， 并且都是整数。如果最高分是 90 分，那么得分最少的选手至少得 多少分？502，用 1 元钱买 4 分、8 分、1 角的邮票共 15 张，那么最多可以买 1 角的邮票多少张？3，某班有 60 人，其中 42 人会游泳，46 人会骑车，50 人会溜冰， 55 人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会？例 4 有一栋居民楼，每家都订 2 份不同的报纸，该居民楼共订了 三种报纸，其中北京日报 34 份，江海晚报 30 份，电视报 22 份。 那么订江海晚报和电视报的共有多少家？ 分析 这栋楼共订报纸 34+30+22=86（份） ，因为每家都订 2 份不 同的报纸，所以一共有 86÷2=43 家。在这 43 家居民中，有 34 家 订了北京日报，剩下的 9 家居民一定是订了江海晚报和电视报。 练 习 四 1，五（1）班全体同学每人带 2 个不同的水果去慰问解放军叔叔， 全班共带了三种水果，其中苹果 40 个，梨 32 个，桔子 26 个。那51么，带梨和桔子的有多少个同学？2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里 都拿两种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有 56 只，黄色的有 60 只，绿色的有 46 只。那么，手拿红、绿两种气球 的有多少个同学？3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学 们每人都参加了其中的两个小组，其中 9 人参加球类小组，6 人参 加美术小组，7 人参加音乐小组的活动。参加美术和音乐小组活动 的有多少个同学？例 5 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此 时已进水 800 桶。一台抽水机每分钟抽水 18 桶，另一台每分钟抽52水 14 桶，50 分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？ 分析 50 分钟内， 两台抽水机一共能抽水 （18＋14） ×50=1600 桶） （ 。 1600 桶水中，有 800 桶是开始抽之前就漏进的，另 800 桶是 50 分 钟又漏进的，因此，每分钟漏进水 800÷50=16（桶） 。 练 习 五 1，一个水池能装 8 吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。 两管齐开， 分钟能把一池水放完。 20 已知进水管每分钟往池里进水 0.8 吨，求出水管每分钟放水多少吨？2，某工地原有水泥 120 吨。因工程需要，又派 5 辆卡车往工地送 水泥，平均每辆卡车每天送 25 吨，3 天后工地上共有水泥 101 吨。 这个工地平均每天用水泥多少吨？3，一堆货物重 96 吨，甲队用 16 小时运完，乙队用 24 小时运完。 如果让两队同时合运，几小时运完？53第９周 一般应用题（三）专题简析 解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行： 1，弄清题意，找出已知条件和所求问题； 2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； 3，拟定解答计划，列出算式，算出得数； 4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 例 1 甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产 700 个。 由于改进技术，甲每天多生产 100 个，乙的日产量提高了 1 倍，这 样二人一天共生产 1020 个。 乙原计划每天各生产多少个零件？ 甲、 分析 二人实际每天比原计划多生产 0（个） 。这 320 个零件中，有 100 个是甲多生产的，那么 320－100=220（个）就是 乙日产量的 1 倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产 700－ 220=480（个） 。 练 习 一 1，工厂里有 2 个锅炉，原来每月烧煤 5.6 吨。进行技术改造后，1 号锅炉每月节约 1 吨煤，2 号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每 月共烧煤 3.5 吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？542，甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产 80 个。由于更 换了机器，甲每天多做 40 个，乙每天生产的是原来的 4 倍，这样 二人一天共生产零件 300 个。 乙原计划每天各生产多少个零件？ 甲、3，甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖 100 米，实际 甲队因有人请假，每天比计划少挖 15 米，而乙队由于增加了人， 每天挖的是原计划的 2 倍，这样两队每天一共挖了 150 米。求两队 原计划每天各挖多少米？例 2 把一根竹竿插入水底， 竹竿湿了 40 厘米， 然后将竹竿倒转过 来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长 13 厘米。求竹竿 的长。 分析 因为竹竿先插了一次，湿了 40 厘米，倒转过来再插一次又 湿了 40 厘米，所以湿了的部分是 40×2=80（厘米） 。这时，湿的部 分比它的一半长 13 厘米， 说明竹竿的长度是 （80－13） ×2=134 （厘 米） 。55练 习 二 1，有一根铁丝，截去一半多 10 厘米，剩下的部分正好做一个长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？2，有一根竹竿，两头各截去 20 厘米，剩下部分的长度比截去的 4 倍少 10 厘米。这根竹竿原来长多少厘米？3，两根电线一样长，第一根剪去 80 米，第二根剪去 320 米，剩下 部分第一根是第二根长度的 4 倍。两根电线原来各长多少米？例 3 将一根电线截成 15 段。 一部分每段长 8 米， 另一部分每段长 5 米。长 8 米的总长度比长 5 米的总长度多 3 米。这根铁丝全长多 少米？ 分析 设这 15 段中有 X 段是 8 米长的，则有（15－X）段是 5 米长 的。然后根据“8 米的总长度比 5 米的总长度多 3 米”列出方程，56并进行解答。 练 习 三 1，某人过一个小山坡共用了 20 分钟，他上坡每分钟走 80 米，下 坡每分钟走 102 米。上坡路比下坡路少 220 米。这段小坡路全长多 少米？2，食堂里买来 15 袋大米和面粉，每袋大米 25 千克，每袋面粉 10 千克。已知买回的大米比面粉多 165 千克，求买回大米、面粉各多 少千克？3，老师买回两种笔共 16 支奖给三好学生，其中铅笔每支 0.4 元， 圆珠笔每支 1.2 元，买圆珠笔比买铅笔共多用了 1.6 元。求买这些 笔共用去多少钱？57例 4 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去 2.5 小时改装机器， 因此前 4 小时甲比乙少做 400 个零件。又同时加工 4 小时后，甲总 共加工的零件反而比乙多 4200 个。甲、乙每小时各加工零件多少 个？ 分析 （1）在后 4 小时内，甲一共比乙多加工了 0 （个）零件，甲每小时比乙多加工 0 个零件。 （2） 在前 4 小时内， 甲实际只加工了 4－2.5=1.5 小时， 1.5 甲 小时比乙 1.5 小时应多做 =1725 个零件，因此，1725＋ 400=2125 个零件就是乙 2.5 小时的工作量，即乙每小时加工 2125 ÷2.5=850 个，甲每小时加工 850＋ 个。 练 习 四 1，甲、乙二人同时从 A 地去 B 地，前 3 小时，甲因修车 1 小时， 因此乙邻先于甲 4 千米。又经过 3 小时，甲反而领先了乙 17 千米。 求二人的速度。2，师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早 2 小时开工，当师傅 生产了 2 小时后， 发现自己比徒弟少做 20 个零件。 二人又生产了 2 小时，师傅反而比徒弟多生产了 10 个。师傅每小时生产多少个零58件？3，甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人 同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前 5 小时完成了任务。问： 甲一共生产了多少个零件？例 5 加工一批零件， 单给甲加工需 10 小时， 单给乙加工需 8 小时。 已知甲每小时比乙少做 3 个零件，这批零件一共有多少个？ 分析 因为甲每小时比乙少做 3 个零件， 小时就比乙少做 3×8=24 8 （个）零件，所以，24 个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲 每小时加工 24÷（10－8）=12（个） ，这批零件一共有 12×10=120 （个） 。 练 习 五 1，快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了 4 小时， 而慢车用了 6.5 小时。已知快车每小时比慢车多行 25 千米。甲、乙 两地相距多少千米？592，妈妈去买水果，她所带的钱正好能买 18 千克苹果或 25 千克的 梨。 已知每千克梨比每千克苹果便宜 0.7 元， 妈妈一共带了多少钱？3，师徒二人加工零件，已知师傅 6 小时加工的零件和徒弟 8 小时 加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工 3 个零件，那么， 徒弟每小时加工多少个零件？第 10 周 数阵专题简析： 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出 来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨 论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分60析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问 题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口， 确定填数的可能范 围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应 填的数。 例题 1 把 5、6、7、8、9 五个数分别填入下图的五个方格里，如 图 a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是 21。先把五格方格中的数用字母 A、B、C、D、E 来表示，根据题 意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填 7。然后再根据 5 ＋9=6＋8 便可把五个数填进方格，如图 b。 练 习 一 1，把 1――10 各数填入“六一”的 10 个空格里，使在同一直 线上的各数的和都是 12。612，把 1――9 各数填入“七一”的 9 个空格里，使在同一直线 上的各数的和都是 13。3，将 1――7 七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上 三个数的和相等。例题 2将 1――10 这十个数填入下图小圆中， 使每个大圆上六个数的和是 30。62分析 设中间两个圆中的数为 a、b，则两个大圆的总和是 1＋ 2＋3＋??＋10＋a＋b=30×2，即 55＋a＋b=60，a＋b=5。在 1― ―10 这十个数中 1＋4=5，2＋3=5。 当 a 和 b 是 1 和 4 时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6， 8，9）和（3，5，7，10） ；当 a 和 b 是 2 和 3 时，每个大圆上另外 四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8） 。 练习二 1，把 1――8 八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个 ○内数的和相等。2，把 1――10 这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形 顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。633， 1――8 八个数填入下图方格里， 将 使上面四格、 下面四格、 左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是 18。例题 3 将 1――6 这六个数分别填入下图的圆中， 使每条直线上三 个圆内数的和相等、且最大。分析 设中间三个圆内的数是 a、b、c。因为计算三条线上的 和时，a、b、c 都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5 ＋6＋（a＋b＋c）除以 3 没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6=21，21÷643=7 没有余数，那么 a＋b＋c 的和除以 3 也应该没有余数。在 1― ―6 六个数中，只有 4＋5＋6 的和最大，且除以 3 没有余数，因此 a、b、c 分别为 4、5、6。 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12， 所以有下面的填法：练习三 1，将 1――6 六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数 的和相等。2，将 1――9 九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数 的和都是 17。653，将 1――8 八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数 的和相等。例题 4 将 1――7 分别填入下图的 7 个○内， 使每条线段上三个○ 内数的和相等。分析 首先要确定中心圆内的数， 设中心○内的数是 a， 那么， 三条线段上的总和是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a， 由于三条 线段上的和相等，所以（28＋2a）除以 3 应该没有余数。由于 2866÷3=9??1，那么 2a 除以 3 应该余 2，因此，a 可以为 1、4 或 7。 当 a=1 时， （28＋2×1） ÷3－1=9， 即每条线段上其他两数的和是 9， 因此，有这样的填法。 练 习 四1，将 1――9 填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于 25。2， 1――11 这十一个数分别填进下图的○里， 将 使每条线上 3 个○内的数的和相等。3， 1――8 这八个数分别填入下图○内， 将 使外圆四个数的和， 内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于 18。67例题 5 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。 如果在这些 圆圈中分别填上六个质数， 它们的和是 20， 而且每个小三角形三个 顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？分析 设每个小三角形三个顶点处○内数的和为 X。因为中间 的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形 顶点处数的总和是 4X=20＋2X，解方程得 X=10。由此可知，每个小 三角形顶点处的三个质数的和是 10，这三个质数只能是 2、3、5。 因此这 6 个质数的积是 2×2×3×3×5×5=900。如图（b） 。68练习五 1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对 角线上三个数的积都相等。2，将 1――9 九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使 靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数 之和最大是多少？3，将 1――9 九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内 数之和等于里面三角形边上○内数之和。69第 11 周 周期问题 专题简析： 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中， 某些特征循环往 复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅 有专门研究周期现象的分支， 而且平时解题时也常常碰到与周期现 象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分 加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题 关键。 例题 1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2 个黑，再 1 个白，然后又依次 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白??如此涂下去，到 2001 个小球该涂什么颜色？70分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是 5 红、4 黄、3 绿、 2 黑、1 白，即 5＋4＋3＋2＋1=15 个球为一个周期，不断循环。因 为 ??6，也就是经过 133 个周期还余 6 个，每个周 期中第 6 个是黄的，所以第 2001 个球涂黄色。 练习一 1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下 去，第 50 面该插什么颜色？2，有一串珠子，按 4 个红的，3 个白的，2 个黑的顺序重复排 列，第 160 个是什么颜色？3，1/7=0.??，小数点后面第 100 个数字是多 少？例题 2 有 47 盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列 着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之71几？ 分析 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这 9 盏灯 看作一组，47÷9=5（组）??2（盏） ，余下的两盏是第 6 组的前 两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯； （2）由于 47÷9=5（组）??2（盏） ，所以红灯共有 2×5＋12 20 ；蓝灯共有 4×5=20（盏） ，占总数的 ； 47 47 15 黄灯共有 3×5=15（盏） ，占总数的 。 472=12（盏） ，占总数的练习二 1，有 68 面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着， 这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2，黑珠和白珠共 2000 颗，按规律排列着：○●○○○●○○ ○●○○??，第 2000 颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多 少颗？3，在 100 米长的跑道两侧每隔 2 米站着一个同学。这些同学 以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学72中共有多少个女生？例题 3 2001 年 10 月 1 日是星期一，那么，2002 年 1 月 1 日是星 期几？ 分析 一个星期是 7 天，因此 7 天为一个周期。10 月 1 日是 星期一，是第一个周期的第一天，再过 7 天即 10 月 8 日也是星期 一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如 10 月 8 日就用（8－1）÷7=1，没有余数说明 8 号仍是星期一。题 中说从 2001 年 10 月 1 日到 2002 年 1 月 1 日，要经过 92 天，92÷ 7=13??1，余 1 天就是从星期一往后数一天，即星期二。 练习三 1，2002 年 1 月 1 日是星期二，2002 年的六月一日是星期几？2，如果今天是星期五，再过 80 天是星期几？3，以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？73例题 4 将奇数如下图排列，各列分别用 A、B、C、D、E 为代表， 问：2001 所在的列以哪个字母为代表？ A B 1 15 13 17 31 29 ? ? ? C 3 11 19 27 ? ? D 5 9 21 25 ? ? ? 23 E 7分析 这列数按每 8 个数一组有规律排列着。2001 是这一列 数中的第 1001 个数， ??1， 2001 是这列数中第 126 即 组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母 B 为代表的。 练习四 1，将偶数 2、4、6、8、??按下图依次排列，2014 出现在哪 一列？ A 8 B 6 10 24 22 C 4 12 20 D 2 14 1874E1626 ? ? ?28 ? ?30 ? ?32?2，把自然数按下列规律排列，865 排在哪一列？ A 1 B 2 6 7 8 12 ? ? ? C 3 5 9 11 ? ? ? 10 4 D3， 上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热） ， 第二组为（学爱） 。求第 460 组是什么？75例题 5 888??8[100 个 8]÷7，当商是整数时，余数是几？ 分析从竖式中可以看出，被除数除以 7，每次除得的余数以 1、4、 6、5、2、0 不断重复出现。我们可以用 100 除以 6，观察余数就知 道所求问题了。 100÷6=16??4 余数是 4 说明当商是整数时，余数是 1、4、6、5、2、0 中的 第 4 个数，即 5。 练习五 1，444??4[100 个 4]÷3 当商是整数时，余数是几？2，444??4[100 个 4]÷6 当商是整数时，余数是几？763，111??1[1000 个 1]÷7 当商是整数时，余数是几？第 12 周 盈亏问题 专题简析： 盈亏问题又叫盈不足问题， 是指把一定数量的物品平均分给固 定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈） ；按另一 种标准分，分配后又会有不足（亏） ，求物品的数量和分配对象的 数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分 3 块，多 12 块；如果每人分 4 块，少 8 块。小朋友有多少人？饼干有多少块？ 这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。 盈亏问题的基本数量关系是： （盈＋亏） ÷两次所分之差=人数； 还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类： 1，两盈：两次分配都有多余； 2，两不足：两次分配都不够； 3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；774，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。 一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。 解 题时我们可以记住： 1， “两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差 =参与分配对象总数； 2， “两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差 =参与分配对象总数； 3， “一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的 差=参与分配对象总数。 例 1 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男 生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男 生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？ 分析 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多 2 人； （2） “少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多 2＋ 2=4 人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有 4×2=8 人。原 来女生有 8－1=7 人，男生有 7－2=5 人，共有 7＋5=12 人。 练 习 一1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少 10 盒，78彩色粉笔增加 8 盒，两种粉笔就同样多；如果再买 10 盒白粉笔， 白粉笔的盒数就是彩色粉笔的 5 倍。 学校买来两种粉笔各多少盒？2，操场上有两堆货物，如果甲堆增加 80 吨，乙堆增加 25 吨，则 两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走 5 吨，剩下的乙堆正好是甲 堆的 3 倍。两堆货物一共有多少吨？3，五（1）班的优秀学生中，苦增加 2 名男生，减少 1 名女生，则 男、女生人数同样多；苦减少 1 名男生，增加 1 名女生，则男生是 女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人？ 例 2 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则 少 4 个；如果每个小朋友只发给 4 个，则老师自己也能留下 4 个。 有多少个小朋友？共有多少个苹果？ 分析 如果平均分给小朋友，则少 4 个，说明小朋友人数大于 4；如果每个小朋友只发给 4 个，则教师也能留下 4 个，说明每人少拿79若干个，就少拿 4＋4=8 个苹果。因为小朋友人数大于 4，所以，一 定是每人少拿 1 个，有 8÷1=8 个小朋友，有 8×4＋4=36 个苹果。 练 习 二1，给小朋友分梨，如果每人分 4 个，则多 9 个；如果每人分 5 个， 则少 6 个。有多少个小朋友？有多少个梨？2，老把一些铅笔奖给三好学生。每人 5 支则多 4 支，每人 7 支则 少 4 支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正 好每船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船上坐 9 人。这个班一 共有多少个同学？80例 3 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每 人 5 个余 10 个；如果分给小班的学生每人 8 个缺 2 个。已知大班 比小班多 3 人，这筐苹果有多少个？ 分析 如果大班减少 3 人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人 5 个就多余 3×5＋10=25 个。由于两班人数相等，小班每人 多分 3 个就要多分（25＋2）个苹果，用（25＋2）÷（8－5）就能 得到小班同学的人数是 9 人， 再用 9×8－2 就求出了这筐苹果有多 少个。 练 习 三1，一些学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果每 人搬 5 块，就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多 少块？2，老师给幼儿园小朋友分糖，每人 3 块还多 10 块；如果减少 2 个 小朋友再分，每人 4 块还多 7 块。原来有多少个小朋友？有多少块 糖？813，筑路队计划每天筑路 720 米，正好按期筑完。实际每天多筑 80 米，这样，比原计划提前 3 天完成了筑路任务。要筑的路有多长？例 4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人 分得 6 块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得 4 块。 如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？ 分析 这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分 4 块。说明中班的人数是 小班人数的 6÷4=1.5 倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每 位小朋友可多分到 6×1.5=9 块，一共可分到 6＋9=15 块饼干。 练 习 四1，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借 4 本。如果只借给甲 组的女同学，每人可借 6 本。如果只借给甲组的男生，平均每人借 到几本？822，甲、乙两组同学做红花，每人做 8 朵，正好送给五年级每个同 学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做 4 朵。如 果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？3，老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得 12 块； 如果只分给中班和小班，每人只能分到 4 块。如果这袋糖只分给中 班，每人可分到几块？例5全班同学去划船， 如果减少一条船， 每条船正好坐 9 个同学；如果增加一条船，每条船正好坐 6 个同学。这个班有多少个同学？ 分析 根据题意可知：每船坐 9 人，就能减少一条船，也就是少 9个同学；每船坐 6 人，就要增加一条船，也就是多出 6 个同学。因 此，每船坐 9 人比每船坐 6 人可多坐 9＋6=15 人，15 里面包含 5 个（9－6） ，说明有 5 条船。知道了有 5 条船，就可以求全班人数： 9×（5－1）=36 人。83练习 五1，老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同 学正好分得 5 个；如果增加一个同学，正好每人分得 4 个。这篮苹 果一共有多少个？2，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐 7 人； 如果减少一只船，正好每只船上价 8 人。五年级共有多少人？3，一个旅游团去旅馆住宿，6 人一间，多 2 个房间；若 4 人一间又 少 2 个房间。旅游团共有多少人？84第 13 周 长方体和正方体（一） 专题简析 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复 杂的立体图形问题要注意几点： 1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸 多条件沟通起来； 2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面 积或体积所发生的变化； 3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 例题 1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方 厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）分析（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是 10×4×2=80 （立方厘米） 右边的长方体的体积 ， 是 10×（6－2）×2=80（立方厘米） ，整个零件的体积是 80×2=16085（立方厘米） ； （2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的 两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等； 朝右的两个面的 面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就 是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米） 。 想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 练习一 1，一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一 块后（如图） ，剩下部分的表面积和体积各是多少？2，把一根长 2 米的长方体木料锯成 1 米长的两段，表面积增 加了 2 平方分米，求这根木料原来的体积。3，有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在 它的左右两角各切掉一个正方体（如图） ，求切掉正方体后的表面 积和体积各是多少？86例题 2有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图） ，你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）分析 （1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米） ， 由于挖去了一个孔，所以体积减少了 2×2×2=8（立方厘米） ，这个 零件的体积是 240－8=232（立方厘米） ； （2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236 （平方厘米） ，但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2× 2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的 5 个（2×2）平方厘米 的面，因此，这个零件的表面积是 236＋2×2×4=252（平方厘米） 。 练习二 1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 （单位：87厘米） 。2，有一个棱长是 4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一 个棱长是 1 厘米的正方体后， 剩下物体的体积和表面积各是多少？3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图） ，那 么得到的物体的体积和表面积各是多少？88例题 3一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了 50 平方厘米。原 正方体的表面积是多少平方厘米？分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体， 其表面积比 原来的长方体增加了 4 块正方形的面积，每块正方形的面积是 50 ÷4=12.5（平方厘米） 。正方体有 6 个这样的面，所以，原来正方 体的表面积是 12.5×6=75（平方厘米） 。 练习三 1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大 长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了 46 平方厘89米，而长是原来长方体的 2 倍。如果拼成的长方体的长是 24 厘米， 那么它的体积是多少立方厘米？2，一根长 80 厘米，宽和高都是 12 厘米的长方体钢材，从钢 材的一端锯下一个最大的正方体后， 它的表面积减少了多少平方厘 米？3，把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体，它们的 表面积最多会减少多少平方分米？例题 4 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。 已知每块砖的 体积是 288 立方厘米，求大长方体的表面积。90分析 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我 们用 a、b、h 分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a，砖的体积是 a*2/3a*1/4a=1/6a3 。由 1/6a3=288 可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。 大长方体的长是 12×2=24 厘米，宽 12 厘米，高是 8＋3=11 厘 米，表面积就不难求了。 练习四 1，一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由 1000 个这 样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2，一个长方体的体积是 385 立方厘米，且长、宽、高都是质 数，求这个长方体的表面积。913，有 24 个正方体，每个正方体的体积都是 1 立方厘米，用这 些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。例题 5 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这 个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的 体积和表面积各是多少？ 分析 长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高） ，由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质 数，所以有 209=11×19=11×（17＋2） ，即长、宽、高分别为 11、 17、2 厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 练习五 1，有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88 平方厘米， 且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是 96 立方 厘米，求它的表面积。923，一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、 宽、高分别是 6 分米、4 分米、25 分米，求正方体体积。第十四周 长方体和正方体（二） 专题简析 在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况： 把一个物体变形为另一种形状的物体； 把两个物体熔化后铸成一个 物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。 解答上述问题，必须掌握这样几点： 1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗） ，体积不 变； 2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体 积的和； 3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。 例题 1 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。 从里面量，甲水箱长 40 厘米，宽 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水93箱长 30 厘米，宽 24 厘米，深 25 厘米。将甲水箱中部分水倒入乙 水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样， 我们可以这样 思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+ 乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱 中的体积：40×32×20=25600（立方厘米） ，再除以两只水箱的底 面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米） ，就能得到后来水面的 高度。 练习一 1，有两个水池，甲水池长 8 分米、宽 6 分米、水深 3 分米， 乙水池空着，它长 6 分米、宽和高都是 4 分米。现在要从甲水池中 抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？2，有一个长方体水箱，从面量长 40 厘米、宽 30 厘米、深 35 厘米， 箱中水面高 10 厘米。 放进一个棱长 20 厘米的正方体铁块后， 铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？943，一段钢材长 15 分米，横截面面积是 1.2 平方分米。如果把 它煅烧成一横截面面积是 0.1 平方分米的钢筋， 求这根据钢筋的长。例 2 将表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米 的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗） ，求这个大正方 体的体积。 分析 因为正方体的六个面都相等，而 54=6×9=6×（3×3） ， 所以这个正方体的棱是 3 厘米。 用同样的方法求出另两个正方体的 棱长：96=6×（4×4） ，棱长是 4 厘米；150=6×（5×5） ，棱长是 5 厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体 积就等于它们的体积和。 练习二 1，有三个正方体铁块，它们的表面积分别是 24 平方厘米、54 平方厘米和 294 平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个 大正方体的体积。952，将表面积分别为 216 平方厘米和 384 平方厘米的两个正方 体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是 13 厘米，宽 7 厘 米，求它的高。3，把 8 块边长是 1 分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这 个大正方体的表面积是多少平方分米？例题 3 有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块边长 2 分米的正方体 铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 分析 铁块的体积是 2×2×2=8（立方分米） ，把它浸入水中后，它就占了 8 立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是 8 立 方分米， 用这个体积除以底面积 （5×4） 就能得到水上升的高度了。 练习三 1，有一个小金鱼缸，长 4 分米、宽 3 分米、水深 2 分米。把96一块假山石浸入水中后，水面上升 0.8 分米。这块假山石的体积是 多少立方分米？2，有一个正方体容器，边长是 24 厘米，里面注满了水。有一 根长 50 厘米，横截面是 12 平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂 直插入水中。问：会溶出多少立方厘米的水？3，有一块边长是 5 厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容 器里的水中。取出铁后，水面下降了 0.5 厘米。这个长方体容器的 底面积是多少平方厘米？例题 4 有一个长方体容器（如下图） ，长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米， 里面的水深 6 厘米。 如果把这个容器盖紧， 再朝左竖起来，97里面的水深应该是多少厘米？分析首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米） 。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个 底面积是 20×10=200 平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积 就知道现在水的深度了。 练习四 1，有两个长方体水缸，甲缸长 3 分米，宽和高都是 2 分米； 乙缸长 4 分米、宽 2 分米，里面的水深 1.5 分米。现把乙缸中的水 倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？2，有一块边长 2 分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方 体，这长方体的截面是一个长 4 厘米、宽 2 厘米的长方形，求它的 长。983，像例题中所说，如果让长 30 厘米、宽 10 厘米的面朝下， 这时的水深又是多少厘米？例题 5长方体不同的三个面的面积分别为 10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 分析 长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽 ×高得来的。因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高） ， 而 15×10×6=900=30×30。所以，这个长方体的体积是 30 立方厘 米。 练习五 1，一个长方体，不同的三个面的面积分别是 25 平方厘米、18 平方厘米和 8 平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2，一个长方体，不同的三个面的面积分别是 35 平方厘米、21 平方厘米和 15 平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的99体积是多少立方厘米？3，一个长方体的体积是 48 立方厘米，并且长、宽、高是三个 连续的偶数。这个长方体的表面积是多少平方厘米？第十五周 长方体和正方体（三） 专题简析： 解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方 体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几 何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平 方向或垂直方向切割成两部分， 新增加的表面积等于切面面积的两 倍。 例题 1 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为 2 厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？100分析 把棱长为 6 厘米的正方体锯成棱长为 2 厘米的正方体， 可以按下图中的线共锯 6 次， 每锯一次就增加两个 6×6=36 平方厘 米的面，锯 6 次共增加 36×2×6=432 平方厘米的面积。因此，锯 好后表面积增加 432 平方厘米。练习一 1，把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个 大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平 方厘米？2，有一个棱长是 1 米的正方体木块，如果把它锯成体积相等 的 8 个小正方体，表面积增加多少平方米？1013，把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成 4 个同样的小长方体， 没有涂颜色的面积是 60 平方厘米。 求涂上红 色的面积一共是多少平方厘米？例题 2有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了 24 平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？ 分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的 面积是 24÷2=12 平方厘米，而正方体有 6 个这样的面。所以原正 方体的表面积是 12×6=72 平方厘米。 练习二 1，把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长 方体的表面积是多少平方厘米？2，有一个正方体木块，长 4 分米、宽 3 分米、高 6 分米，现 在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？1023，有三块完全一样的长方体积木，它们的长是 8 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面 积最大？最大是多少平方厘米？例题 3 有一个正方体，棱长是 3 分米。如果按下图把它切成棱长 是 1 分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个 3×3 平方 分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？ 练习三 1，用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体， 至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是 6 厘米的正方体， 需要多少个小正方体？1032，有一个长方体，长 10 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米，如果把 它锯成棱长是 1 厘米的小正方体， 一共能锯多少个？这些小正方体 的表面积和是多少？3，把 24 个棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长 方体的表面积至少是多少平方厘米？例题 4一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）二个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？104分析 个。按题中的要求切，切成的小正方体一共有 3×3×3=27（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8 个； （2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有 1 ×12=12 个； （3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共 有 1×6=6 个； （4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有 27－（8＋ 12＋6）=1 个。 练习四 1，把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切 成 1 立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面 涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？1052，把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后 在大正方体的表面涂上颜色， 已知两面被涂上红色的小正方体共有 24 个，那么，这些小正方体一共有多少个？3，把 1 立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成 1 立 方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多 少个？例题 5 一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米， 若把它切割成三个体积相等的小长方体， 这三个小长方体表面积的 和最大是多少平方厘米？ 分析 这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148 平方厘米，每切割一刀，增加 2 个面。切成三个体积相等的 小长方体要切 2 刀，一共增加 2×2=4 个面。要求表面积和最大， 应该增加 4 个 6×5=30 平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积106和最大是 148＋6×5×4=268 平方厘米。 练习五 1，有三块完全一样的长方体木块，每块长 8 厘米、宽 5 厘米、 高 3 厘米。要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最 大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2，把 8 个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个 小正方体的表面积是 72 平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多 少平方厘米？3，把一个长、宽、高分别为 7 厘米、6 厘米、5 厘米的长方体， 截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表 面积和是多少平方厘米？107第１６周 倍数问题（一） 专题简析： 倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一， 它是指已知几个数的 和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。 解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准 数，即 1 倍数，再根据其它几个数与这个 1 倍数的关系，确定“和” 或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出 1 倍数。 例１ 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 厘米，第二根剪去 26 厘 米，余下的铁丝第一根是第二根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少厘 米？ 分析 由于第二根比第一根多剪去 26－18=8 厘米，所以剩下的铁 丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米） 。 就是现在第二根铁丝的长度，它原来长 4＋26=30 厘米。 练 习 一 1，两个数的和是 682，其中一个加数的个位是 0，如果把这个 0 去 掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？1082，两根绳子一样长，第一根用去 6.5 米，第二根用去 0.9 米，剩下 部分第二根是第一根的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉 40 个苹果和 15 个梨后， 剩下的梨是苹果的 6 倍。原来两筐水果一共有多少个？例 2 甲组有图