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构造图形求一类函数的最值问题
（浙江省萧山中学３１１２０１）
对于形如ｙ＝￣／≯＋６ｌｚ＋ｃ。±／ｘ＋６２ｚ＋Ｃ２的的最值．
函数，可以联想直角坐标系内两点间距离公式，利分析考虑定义域知ｚ≤０或ｚ≥２，配方得用三角形三边长的关系来求最小（大）值．例如，为
。求函数ｙ一￣／ｚ２—２ｚ＋２＋￣／ｚ２—１２ｘ＋４０的最小Ａ（１，ｏ），Ｂ（６，２），Ｐ（ｘ，ｏ），则撕孑习严Ｒ两＝Ｙ一以孑ｊ阿＋撕孑习Ｆ于万可，设
值，先配方成Ｙ＝￣／（ｚ一１）２＋（ｏ一１）２＋ＢＰｌ，而√石二丁阿等于过点Ｐ作圆Ａ：、／（ｘ－６）２＋（０—２）２，再设定点Ａ（１，１），Ｂ（６，２），（ｚ一１）２＋ｙ２—１的切线段ＰＱ的长（如图３所示：Ａ７（１，一１）及ｚ轴上动点Ｐ（ｚ，０），那么Ｙ—过Ｐ作圆Ａ的切线切于点Ｑ，为简便，将点Ｑ取ＰＡＩ＋ＩＰＢＩ；因为ｌＰＡＩ＋ｌＰＢ｝一｝ＰＡ７Ｉ＋在下半圆周上）．ＰＢＩ≥ｌＡ７Ｂｌ，所以当点Ｐ恰和Ａ７Ｂ与ｚ轴交，／点Ｑ重合时，ｌＰＡＩ＋ｌＰＢＩ最小等于ＩＡ７Ｂ｛，即
ｚ＝了８时ｙ取最小值￣／订（如图１所示）；而当ｚ—Ｄ仆二．∥曰一、灼ｘＰ猡螂．彩Ｂｘ００时ｙ一＋ｏｏ，所以Ｙ没有最大值．ＱＱ
Ｊ，ｙ图３图４Ａ～、。：＝?矿一解情况（１）当ｚ≥２时（如图３），设圆Ａ与Ｄ≯：Ｑ。Ｐ一●－－●
１ｘ≮≠！．ＲＤＰｘ
Ａ’ｚ轴的右交点为Ｒ，则Ｙ—ｌＢＰＩ＋ＩＰｅｔＩ≥图１图２ＢＱＩ≥ＩＢＲ｝；而ｚ一２时，Ｐ、Ｑ与Ｒ重合，此时类似地，如图２：由ＩＰＡｌ—ｌＰＢｌ≥一ｌＡＢＩ（点ｙ＝∥丁二万＋∥丁＝砭孑而取最小值２正
Ａ，Ｂ，Ｐ同上）可知，当点Ｐ恰和直线ＡＢ与Ｘ轴情况（２）当ｚ≤０时（如图４），Ｙ＝ｌＢＰｌ＋交点Ｒ重合时，ｌＰＡｌ—ＩＰＢｌ最小等于一｛ＡＢｌ，ＰＱｌ≥ＩＢＰＩ＞ＩＢＲＩ．即ｚ一一４时函数Ｙ一￣／ｚ２—２ｚ＋２一综上所述，ｚ＝２时Ｙ取最小值２√５；而当√≯＝砸ｉＦ而取最小值等于一￣／＿．又仅当ｚ＞ｚ一∞时ｙ一＋∞，所以Ｙ没有最大值．
萼时ｙ＞ｏ，且函数Ｙ在（萼，＋∞）上递增．而当例２求函数ｙ一￣／ｚ２—２ｚ一￣／ｚ２—１２ｘ＋４０ｚ一＋０｛３时，ｙ一５．所以，函数Ｙ＝￣／ｚ２—２ｚ＋２一。／—ｘ２－－ｌｇ—ｘ－Ｆ４０的最值．
最小值等于一何，没有最解仿例１，设Ａ（１，ｏ），Ｂ（６，２），Ｐ（ｘ，０）（其
大值．中ｚ≤０或ｚ≥２），坐标原点为Ｏ；
但是，适当改变系数后，便需要重新构造几何情况（１）若ｚ≤０（如图５），过点作圆Ａ：量，本文例举几个变式问题．（ｚ一１）２＋ｙ２—１的切线段ＰＱ（为简便，取Ｑ在上１变式１半圆周上），则ｙ—ＪＰＱＩ—ＩＰＢＩ≥一ＩＢＱＩ≥例１求函数Ｙ＝￣／≯－－２ｘ＋￣／一－－１２ｘｑ－４０一｝ＢＯｌ，所以，ｚ一０时，Ｙ一￣／ｚ２－－２ｘ一万方数据
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函数极值的几种求法
──针对高中生所学知识
摘 要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。
关键词：函数；单调性；导数；图像；极值
Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.
Key words: extreme value
“函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量?1?。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学
家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数”。虽然函数的定义在不断变化但它的本质属性都是一样的。变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，那就是这个函数取值范围中的每一个值，有一个唯一确定的y值和它对应，不管这个法则是公式、图象、表格或其他形式。
对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值方法和函数类型如何匹配。
函数的极值
设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f?x??f?x0?，则f?x0?是函数f?x?的一个极大值。如果附近所有的点，都有f?x??f?x0?，则?2?f?x0?是函数f?x?的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
在某一变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y?kx?b(k为一次项系数k?0，b为常数)的形式，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
把形如y?ax?bx?c（其中a,b,c是常数，a?0）的函数叫做二次函数，其中?3?
a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
定义1.4?4?
把形如y?xa(a?0且a?1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量。
定义1.5?4?
把形如y?logax(a?0且a?1)的函数叫做对数函数，其中自变量是x。
求极值方法在各种函数类型中的应用
函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题 的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法?5?。除了求导法另一种常见的方法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。函数图像画出后我们可以根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。求导法是先求出所求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过具体实例阐述方法和函数类型如何匹配。
一次函数y?kx?b（k?0,b为常数） 一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如y?kx?b的一次函数的导数为y'?k，由此可知一次函数的单调性主要和k值有关，k?0则函数单调递增，k?0函数单调递减。
求函数y?2x?5的极值
y?2x?5这个函数的k值为2，显然2?0也就是说该函数单调递增，现在函数的极值就和其定义域有关。当自变量x最大时函数有极大值，当自变量x最小是函数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数没有极值。
①我们假设该函数的定义域是?-3,40?，那么当x??3时函数有极小值
y极小值?2??-3??5?-1,当x?40时函数有极大值y极大值?2?40?5?85。
???则函数无极大值极小值。 ②假设该函数的定义域为?-?，
40?函数无极小值，在x?40时取得极大值③若函数的定义域位?-?，
y极大值?2?40?5?85
④若定义域为?-3，???函数无极大值，有极小值y极小值?2??-3??5?-1。
一次函数y?kx?b的图像都是一条直线。函数y?2x?5的图像如下：
y?2x?5图像
通过察我们发现函数值y随自变量x的值增大而增大，也就是说x最大时函数有极大值，x最小时函数有极小值。
一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看k值。当k ?0时自变量x最大时函数有极大值，自变量x最小时函数有极小值。当k?0时自变量x最大时函数有极小值，自变量x最小时函数有极大值，若自变量x无最值则函数无极值。在此还有一点要提醒的就是通常所说的正比例函数，反比例函数都属于一次函数，故其极值的求法可用一次函数的方法。
二次函数y?ax?bx?c（其中a,b,c是常数，a?0）
二次函数较一次函数复杂的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常见的也是求导法和图像法。当用求导法来求极值时，需先求出导数然后判断导函数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区间范围内小于（等于）零，当导数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导数小于零时原来的二次函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。图像法就是画出函数的图形，根据图形结合极值定义求出函数极值。下面我针对具体函数
（-4,2]这个二次函数来详细阐述这两种方法。 y?2x2?8x-7其定义域为
（-4,2]的极值 例2.2
求函数y?2x2?8x-7x?
通过计算我们知道该函数的导数为y'?4x?8我们令其导函数大于等于零即4x?8?0解得x??2也就是说函数y?2x2?8x-7在x??-2,2?上单调递增，当x??2时y
-2?（由有最小值，当x=2时y有最大值。同理我们可以知道函数y?2x2?8x-7在?-4，
于在递增区间上已经取过-2，所以此处的-2不能再取，只能用圆括号）上单调递减，因为-4和-2前为圆括号，也就是说自变量x不能等于-4和-2，所以函数在上?-4，-2?无最小值也无最大值。综上所诉函数
2y?2x2?8x-7（-4,2]上有最小值在（-4,2]上y最小值?2??-2??8??-2?-7?-15，最大值y最大值?2?22?8?2-7?17.因为该函数在
（-4,2]上有连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。所以此函数在
极小值-15，极大值17。
（-4,2]的图像如下图所示
二次函数的图像为一条抛物线函数y?2x2?8x-7x?
（-4,2]图像 图2-2
y?2x2?8x-7x?
通过观察可知，函数在点B取得极小值-15，在点A取得极大值17。
指数函数y?ax(a?0且a?1)
此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是求导还是画图都很容易发现函数的单调性与a值得大小有关。在a?1时函数在整个定义域内单调递增，和一次函数像似自变量x取最大值时函数有极大值，自变量x取最小值时函数
三亿文库包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、高等教育、生活休闲娱乐、外语学习资料、应用写作文书、中学教育、专业论文、函数极值的几种求法15等内容。　
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