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常用数学符号及其含义
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你可能喜欢数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？ - 知乎19519被浏览2225229分享邀请回答classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html每个时代的人们都有他们思想的天花板，亚里士多德的天花板就是不能接受金钱可以像生命一样增殖。他认为这是荒诞的、不是钱原来的属性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在经济系统中的推动作用，他可能会改变观点，整个人类经济和政治史都会彻底改写了。柏拉图和亚里士多德并不是第一个站出来抨击利息的人，但是他们在历代学者和政治精英中的巨大影响力，这些观点后来成为了社会的主旋律，后世的社会现象，例如中世纪教会禁止收息放贷、犹太人被歧视迫害，以及马克思的共产主义思想，都和柏拉图、亚里士多德有着一脉相承的关系。好了，先从历史里出来一会儿，让我们来看一下利息和e的关系。利息中的ee和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的来很形象的理解。假设等边形的对角线长为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，阮一峰翻译的文章《》说的很好，只是公式太多，并不直观。幸好我在原文《》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.元假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共秒，利滚利的余额≈2.元这个数越来越接近于e了！哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，有兴趣可以用这个算一下。我们和圆周率再做个对比：多边形的边数和利滚利的次数是相似的。对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。换种表述方法：每个完美的圆，其周长都是π的倍数；每个理想的存款，其余额都是e的倍数。这里停一停，你好好体会一下。按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱也是最理想的。有人问了：为啥银行不每秒返利息呢？这样就不是100%回报率，而是171.8%了，还我的71.8%！银行哭到：臣妾做不到啊！！！以上是意淫，银行不会这样发利息，洗洗睡吧，下面这个案例才比较现实。利息的逆运算还是从一个虚构的故事开始：有一土豪要去银行存入大额存款，比如存1元。银行经理推荐他投资理财产品，因为年利率高达100%，按照指数运算，bla bla bla……但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间才能到10倍，100倍，1000倍？经理有点懵，土豪不按常理出牌啊！一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！不愧是老板，不问过程，只问结果！于是经理就从第1年开始算，把10年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表，如下图：然后再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指给土豪土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超过预期收益，非常高兴！经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，就是利息的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的雏形。其实这和我们根据加法表进行减法运算、根据乘法表进行除法运算是同一个道理。例如知道了，就可以很快知道的除法逆运算结果了。好了，放松一下大脑，继续回来穿越历史。对数发明的历史据说4000多年前，古巴比伦时代的人们就发明对数和对数表了，但因为我没找到资料证实，只能从近代开始。16、17世纪，英、法加入了大航海的行列，开始了美洲殖民地的开拓，远洋贸易变得日益频繁。那时的人们已经知道地球是球形，大海上船只的位置靠经纬度来确定。纬度测定很容易，几千年前人们就知道，通过测量北极星的仰角，可以估算出船已经在南北方向航行了多远。但是经度的测量不是一般的困难。在茫茫的大洋上，如果无法准确测定船只的经度，代价会极为高昂。1707年，四艘英国战舰击败法国地中海舰队回航，10多天的浓雾让舰队完全迷失，因为算错经度，舰队触礁，两千名士兵死亡。1714年英国悬赏2万英镑（相当于现代的2000多万人民币），寻求精确测得经度的方法。对于商人来说，与市场上的同类对手竞争，谁的航海定位越准确，意味着风险越低、利润越高。对海军也是，同样的战舰，定位越准确，航行的时间越短，在战争中速度往往是决胜的关键。经度的精确测量问题直到18世纪才得到有效解决，这归功于发明了高精度机械钟表。这段历史还被拍成了电影和记录片，推荐一本精彩的书《和罗辑思维的节目《》。但是在哈里森之前的数百年里，人们只能求助于天文学家来解决，因为天空就是人们最早、最精确的钟表，太阳、月亮、星星等天体就是上面的表针，读懂这个钟表，就可以知道时间和经度了。天文学家观测天体，计算出运行的轨道，来预测未来几年每个时间点上天体所在的精确位置，英国天文学家以格林尼治天文台的时间为基准，再把时间和天体位置整理成详细的表格，公开出版发行。这套星表可不便宜，星表加上六分仪售价约20英镑，相当于现在2万人民币，即便这样也经常脱销。海上的人用六分仪测量天体，再去查那本高价天文表格，求得当地时间和格林尼治时间，知道两地的时间差，就知道现在的经度了。16世纪和17世纪之交，天文学家和通过大量的观测，绘制了当时最精确的星图，解决了天文学家天文数据精度不足的难题。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。顺便说一下，日心说之所以能取代地心说，也是因为日心说模型更简洁，不仅计算起来更简单，而且预测非常准确，可以很好的解释行星逆行等现象，这是地心说完全做不到的。即使这样，要想预测天体的运行，其计算也是极其繁琐和浩瀚的，在解决计算问题时，数学家们发明了大量崭新的数学理论和计算工具，包括对数、解析几何、微积分和牛顿力学等伟大的创新。可以说天文学是当时科学界最闪亮的宝石，是当时的高科技热门产业。其中，对数的发明人就是。纳皮尔是天文学家、数学家，在计算轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨。"看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。"--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）《》但纳皮尔不是一般人，不想像IT民工一样苦逼的重复劳动，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：第1行是自然数，他们是等差的；第1行是自然数，他们是等差的；第2行是2的倍数，他们是等比的；要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如；先到第1行的等差数列，寻找对应的数，16对应4，64对应6；然后做加法，，再查找10所对应等比数列的1024；得到计算结果就是借助这个表，仅靠心算就可以用的加法，完成麻烦的16×64乘法。同样也可以进行除法变减法的运算，把，变为，对应结果为8。把这个表变的更长，就可以计算数值更大的乘法，这个表就是极度简化的对数表。以上仅仅是对数的优点之一，对数的易于计算，大大减少了数学家、天文学家的计算量。拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”如果把对数表的数列设计成尺子，就成了计算尺。有兴趣可以读果壳网的《》把直尺掰弯了就成了柱状算尺，像不像风水大师的道具？微积分中的e有人说：我不懂微积分，估计看不懂！没关系！你可以这样理解，积分是升维的过程，微分是降维的过程。例如把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。在微积分中，底数为e的指数函数，其导数还是这个函数，也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何，反正我第一次知道时是很惊奇的。举个例子：西瓜都切过吧？无论你怎么切一个实心球，其横截面都是圆面，也就是3维降2维，还是和圆有关。2维的圆面也是有很多1维的同心圆组成，也就是2维降1维，还是和圆有关。如上所说，球被降维了2次还是和圆有关，π这个常数你是甩不掉的。这一点对更高维度的球也适用，参见。也是这样，而且比球面更厉害无论如何降维，总是老样子，一点儿都没变！就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！大刘！我知道怎么化解《三体》外星人的降维攻击了！下面就是在直角坐标系中的样子美妙的螺线在上面的部分中，指数函数的美并没有真正的体现出来。让我们换一个视角看，你一定会大吃一惊。我们知道二维坐标系除了直角坐标系外，还有一种常用的是，如下图我们把指数函数换成极坐标，就变成了，是点与极轴的夹角。这时的指数函数就会变成下图的样子，这个螺线叫对数螺线（），又叫。之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每次穿过射线时，其夹角是固定的，也就是等角，我们在后面会用到这个等角特性。有人说：等等！我好想在哪里见过这货？有人说：等等！我好想在哪里见过这货？不对，这个图，好像有什么东西乱入了！&_&#这就是人体曲线，啊不，是斐波那契螺线，网上很流行玩这种摄影，都快被玩坏了。柯南的表情好贱！斐波那契数列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这样的数列。其特点是前两个数加起来就是下一个数，例如1+1=21+2=32+3=5……34+55=89……用这些数画出来的半圆，可以拼接成下面的螺线形状，这就是斐波那契螺线。套用在美女图片上就可以这样玩，虽有过度解读之嫌，但可以获得极好的传播效果。有趣的是这个数列还和黄金比例有关，例如55/34≈1.6176，接近黄金分割比例1.618，数列的数字越到后面，结果就越趋近于黄金分割这个无理数，如下图不过斐波那契螺线仅仅是对一种叫黄金螺线（）的近似，黄金螺线是一种内涵黄金分割比例的对数螺线，下图红色的才是黄金曲线，绿色的是“假黄金螺线”（斐波那契螺线），近似却不重合。很多科学家发现对数螺线在自然界中广泛存在。从大如星系、台风，到小如花朵、海螺……宇宙中到处都是对数螺线的身影原来e以这种特殊的方式隐藏在自然之中。需要注意的是，这不是e被称为自然底数的原因，这和大自然没太大关系。为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？因为对数螺线具有等角性，受环境影响，很多直线运动会转变为等角螺线运动。我们以飞蛾扑火为例亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。但自从该死的人类学会了使用火，这些人造光源因为很近，光线成中心放射线状，可怜的蛾子就开始倒霉了。蛾子还以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线运动，结果越飞越坑爹，飞成了等角螺线，最后飞到火里去了，这种现象还被人类称为昆虫的正趋光性。蛾子说：趋你妹的光啊，傻瓜才瞪着光飞，不知道会亮瞎眼啊？！！我们完全被人类误导了，亿万年才演化出的精妙直线导航方法，被人类的光污染干扰失效了！不用假慈悲的飞蛾扑火纱罩灯了，凸(#‵′)凸，赶紧把灯关了吧！注意下图飞虫都在做螺线飞行，如果昆虫有趋光性。直飞不是更好吗？不要以为只有蛾子会这样，人在用指南针导航时也有同样的问题，因为篇幅太长就不展开了，有兴趣请移步《不要以为只有蛾子会这样，人在用指南针导航时也有同样的问题，因为篇幅太长就不展开了，有兴趣请移步《》。根本原因是原来作为参考的平行场变成了中心发散的场，导致直线运动变成了螺线运动。我们也知道，绝对平行的场在自然界中是不存在的，只是我们为了计算方便，在小范围内近似认为平行而已。如果把尺度放大了看，更多的场是不平行的、是发散的，所以自然界中大量存在等角螺线现象就很正常了。例如理想状态下，流体应该是直线运动的，但在发散场和地球自转的作用下，就会像飞蛾一样走出类似等角螺线的形状，天上的台风和水中的漩涡就是这样形成的，不过实际情况远比这要复杂，只能近似这样考虑。关于对数螺线还有一个小笑话。对数螺线是笛卡儿在1638年发现的，雅各布·伯努利也做了研究，并发现了许多非常优美的特性，经过各种变换，结果还保持原来的样子。他十分惊叹和欣赏这种美，要求死后自己的墓碑上一定要刻上对数螺线，以及墓志铭“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。结果石匠同志误将阿基米德螺线刻了上去，雅各布九泉有知一定会把棺材掀翻的！（╯￣皿￣）╯︵┴─┴阿基米德螺线是这样的：常人的确看不出区别，你能看出来吗？千万不要搞混啊！常人的确看不出区别，你能看出来吗？千万不要搞混啊！好了！长篇大论快结束了，能坚持到这的都是Winner！下面开始讲为什么叫自然底数了。对数的底数对数中最常用的底数是10、2和e为什么要以10为底数？因为我们使用10进制，和科学计数法也是10的倍数，例如阿伏伽德罗常数。所以的逆运算，以10为底的对数 lg x最常用、最方便，所以又称常用对数。10进制是数字表示法中最容易普及的，根源是我们有10个手指，人们初学数字时都喜欢借助10个手指学习1、2、3……10。到了学加减运算时，更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观，学生也认为这样练习方便。通过教育，这个强大的习惯，被最广泛的传播和固化下来。但如果是8个腕足的章鱼发展出了文明，可能更喜欢8进制。为什么要以2为底数？因为2倍或成倍式的增长，即，是我们日常中最简单的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番，都是2倍率的增长。你可能也发现了，前面的存款例子实际上都是，因为这样的例子最容易理解。所以的逆运算，底数为2的对数 lb x 也会比较常见。虽然对数的底数2和10是人们使用体验和认知体验最好的对数，但是在数学中，这两个数却是不自然的，因为都是在方便人的需要。为什么e被称为自然底数？用e做底数的对数表达方式是 ln x 按照古希腊哲学家的自然思想，自然是指万物的内在规律，就像自然数一样，是事物本身的属性，不以人的喜好而变化。前面在讲“利息中的e”时，曾拿π和e做过对比。边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益一个对角线为1的多边形，其周长最大值是π一个本金为1利率为1的存款，其存款余额的最大值是e按照古希腊的自然思想来看：对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数。对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。而科学家们也发现，在做数学分析时，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。 ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷，虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热，但也终其一生孜孜以求。结论历史上，"自然"是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵随着利息、对数、指数的发明，人们发现了e的存在1元存1年，在年利率100%下，无穷次的利滚利就会达到ee和π一样都是内在规律，反映了指数增长的自然属性大自然中到处都有对数螺线的身影其他底数都是发明出来方便人使用，只有e为底数是被发现的数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式把e冠以自然底数、自然常数之名，把e为底数的对数称为自然对数，是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。2004年Google公司IPO上市，创始人Larry Page和Sergey Brin决定上市融资总额为美元，也就是e的前10位数字。因为他们都精通数学，很喜欢e的自然之美，当然也希望公司能像一样实现指数型高速增长。Google其实是Googol的错误拼写，Googol代表这样的天文数字，实现这样大的数看来也只能靠指数增长了。为什么写这个超长的文章？因为现有的解答我都不满意，有人只说e的数学含义，有人只说自然的表层意思，不能很好的解读e与自然之间的关系。用公式解读e当然是简洁的，但也不是我喜欢的方式，这样不仅丢失了太多有价值的信息，还会把很多人拒之门外。我相信从大历史尺度，用生活的案例来还原e的全貌，可以让更多人来欣赏e的自然之美。耐心的读完全文，你一定会有惊喜。#以下为补充介绍对数为什么叫对数？根据前面所说，纳皮尔将对数命名为Logarithm，拉丁文中logos的意思是『比率』，他用一种几何的方式发现了比例对应关系。1653年，清代顺治年间，对数传入中国，薛凤祚与波兰传教士穆尼阁编写了《比例对数表》。康熙时的《数理精蕴》解释了『对数』中文名的来源：『对数比例乃西士若往纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表』。为什么对数发明早于指数？有趣的是，历史不走寻常路，对数的发明居然是早于指数！这就相当于先发明减法符号，再发明加法符号。1614年，纳皮尔发明了对数和对数表。1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年。1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，这时对数和指数已经发明一百多年了。我认为造成这个现象的原因有三个：纳皮尔首先发现的是大数运算中有对应比例关系，这种关系可以用来简化计算，而不是考虑求指数逆运算的。指数运算大家一直用，不过是用自乘的方法算。笛卡尔发明的是指数运算的符号和规则，简化了这种运算。对数和指数是不同目的下的发明，一开始人们就没有意识到两者之间的关系，直到一百多年后，欧拉才把这种互为逆运算的关系明确下来。后人喜欢把容易的运算说成正运算，难的运算是逆运算，例如加法易，减法难，这是认知路径的先后造成的。我们现代人是这样学习的：先学指数，再学对数，指数是正运算，对数是逆运算。我们直接学习了结论，一开始就明确谁正谁逆。但其实两者互为逆运算，谁做正都行。欧拉发现两者关系后，人们在教授数学时，为了认知体验更好，把简单的指数放到了前面，不容易理解的对数则放到了后面。这就是后人才有的疑惑，就像亚里士多德认为利息的不自然，中国人奇怪“货币”有贝字一样，因为历史断层，我们也会惊讶于指数的发明居然会晚于对数。后续阅读干扰昆虫导航会发生什么样的趣事：《》发明利息是处于什么样的时代背景：《》无限的指数型增长会引发什么陷阱：《百家争鸣是如何幻化成昙花一现的：《》推荐阅读本文力求通俗，没用数学公式，但这样e更多的美就无法展现，目前所讲的仅仅是九牛一毛而已。在数学家的眼睛里，还可以看到e有无穷多的美妙特性。有高等数学或数学分析基础的人可以系统阅读下面3本书：马奥尔的《》陈仁政的《》堀场芳数的《》我认为读数学史更能激发对数学的兴趣，下面的资料推荐阅读《》4卷册《》《》《》还有罗辑思维推荐的《》都看到这里了，这场思想马拉松能跑下来可真不容易啊！给这篇长文、也给自己点个赞吧！以下是不完整参考资料，有兴趣的可以阅读65K3431 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