本题难度：0.67&&题型：解答题
设x-y=1+a，y-z=1-a，求x2-xy-yz-xz+y2+z2的值．
来源：学年四川省遂宁市戴氏教育集团蓬溪校区九年级（下）开学数学试卷（3） | 【考点】因式分解的应用．
（2013o青岛校级自主招生）对实数a，b，定义运算“★”：a★b=，设y=（-x-1）★（x-1），则不等式y＞0的解为（　　）
A、x＜1B、-1＜x＜1C、x＞-1D、x＜-1或x＞1
设函数f（x）=a2x-4+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，直线（m+1）x+（m-1）y-2m=0过定点B，则经过A，B的直线方程为（　　）
A、2x-y-1=0B、2x+y-1=0C、x-2y-1=0D、2x-y+1=0
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点，设=，=，1=，若=x+y+z，则（　　）
A、x=，y=，z=B、x=，y=，z=1C、x=，y=，z=D、x=，y=，z=3
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：K(x)=f(x)1f(x)取函数f（x）=a-|x|（a＞1）．当时，函数fk（x）值域是（　　）
A、B、C、D、
设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠-）的反函数是（　　）
A、y=（x∈R，且x≠-）B、y=（x∈R，且x≠）C、y=（x∈R，且x≠1）D、y=（x∈R，且x≠-1）
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“设x-y=1+a，y-z=1-a，求x2-xy-yz-xz+y2+z2的值．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】由x-y=1+ay-z=1-a易得x-z=2然后把x2+y2+z2-xy-yz-xz进行变形得到12（2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz）根据完全平方公式分组分解为12[（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2]再代值计算即可．
【解答】解：∵x-y=1+ay-z=1-a∴x-z=2∴x2+y2+z2-xy-yz-xz=12（2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=12[（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2]=12[（1+a）2+（1-a）2+22]=a2+3．
【考点】因式分解的应用．
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知识点讲解
经过分析，习题“设x-y=1+a，y-z=1-a，求x2-xy-yz-xz+”主要考察你对
等考点的理解。
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)北师大八年级数学下册&&第二章分解因式2.1&&分解因式
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学目标
．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。
．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
．感受整式乘法在解决问题中的作用。
三、教学重难点
探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。
四、教学方法：采用启发式
五、课时安排：1课时
六、教学过程设计
创设情景，导出问题
（）读一读：
首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象（演示章头图）
章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。
能被整除吗？你能把化成几个整式的乘积的形式吗？
今天我们大家一起来研究一下这个问题。
想一想：能被整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7648.png" WIDTH="225" HEIGHT="126"
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（1）小明在判断能否被整除时是怎么做的？
（2）还能被哪些正整数整除。
（）小明将通过分解因数的方法，说明是的倍数，故能被整除。
（）还能被，，，等正整数整除。
归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。
议一议：现在你能尝试把化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。
做一做：计算下列各式：
（）（）（）（）（）；
（）（）；（）（）
根据上面的算式填空：
（）（）（）（）（）（）
（）（）（）（）（）（）
请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
第一组：（）；（）；（）；（）；
第二组：（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
议一议：由得到的变形是什么运算？由得到的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。
（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。）
概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握。）
教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：
（分解的结果要以积的形式表示；
（每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
（必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。
（）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）
．（）（）．（）（）
．（）．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25096.png" WIDTH="126" HEIGHT="52"
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（）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被整除。
证明：设原数百位数字为，十位数字为，个位数字为，则原数可表示为，交换位置后数字为。
则：（）（）
则原结论成立。
（）（陕西省，中考题）如图&#9312;所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长了的小正方形（＞），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图&#9313;所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
．（）（）．（）
．（）．（）（）
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25336.png" WIDTH="217" HEIGHT="123"
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&&&答案：。
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？
（如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。因此，整式乘法与多项式的因式分解互为逆过程。这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别。）
（通过归纳总结，使学生对）
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分解因式：9（x+y+z）2-（x-y-z）2．
题型：解答题难度：中档来源：不详
原式=（3x+3y+3z-x+y+z）（3x+3y+3z+x-y-z）=（2x+4y+4z）（4x+2y+2z）=4（x+2y+2z）（2x+y+z）．
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定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）不一定首项一定为正。因式分解中的四个注意：①首项有负常提负，②各项有“公”先提“公”，③某项提出莫漏1，④括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例：把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的;
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。分解步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
主要方法：1.提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。2.公式法：把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2；立方差公式：。3.分组分解法：利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）其原则：①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。4.十字相乘法：a2+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。5.解方程法:通过解方程来进行因式分解，如x2+2x+1=0 ,解，得x1=-1，x2=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）6.待定系数法:首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例:分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
发现相似题
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x^2+y^2-z^2-2xy-2z-1因式分解
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x^2+y^2-z^2-2xy-2z-1=（x^2+y^2-2xy）-（z^2+2z+1）=（x-y）^2-(z+1)^2=（x-y-z-1)(x-y+z+1)
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