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1.设非空实数集A满足下列条件:若a属于A,则1/(1-a)属于A,且1不属于A.(1).求证:集合A不可能是单元素(只含一个元素的集合).请写出计算过程和结果并说明理由好吗?
鬼鬼183777
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1、只需证明a不等于1/(1-a)即可,求a=1/(1-a)的解,可知道等式无实数解；结论得证.
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因为A不=1则A不=1/（1-A）所以集合A不可能是单元素
扫描下载二维码设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合为封闭集；②集合为封闭集；③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有．其中正确结论的序号是____________．您好，您目前使用的浏览器版本比较旧，无法使用学优题库的新功能，建议您更换firefox或chrome浏览器学优网，成就我的梦想。 |
| 题文设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合为封闭集；②集合为封闭集；③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有．其中正确结论的序号是____________．&&&微信扫描左侧二维码，可以将本题分享到朋友圈，或者发送给同学或老师寻求帮助。我的答案答案评定：参考答案纠错难度评价：做题心得：官方解析我要解析巩固&&&&&&&&&实数连续性定理及其它-海文库
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实数连续性定理及其它
第１３卷第３期２ＱＱ！生鱼且西昌师范高等专科学校学报！旦里！翌垦！旦！墨！里垫皇旦墨！竺呈竺垒旦！兰Ｖ０１．１３，Ｎｏ．３垦竺！！竺曼旦：：：：堇呈望！；！！！鱼皇！：２ＱＱ！实数连续性定理及其它任摘晓要区间套覆盖聚点上（下）极限及相互间关系的分析，使人对实数的连续性定理有一个较为全面地认识与了解。关键词数列一、引言极限确界众所周知，实数的连续性定理是数学分析中最有趣也最有意义的部分，而其延伸构成了现代分析数学的支柱，在大学数学分析课程的教材中，由于篇幅的限制及作者对其问题的理解及喜好，都不能较为全面地介绍实数的连续性定理，而择选其中一部分作为教材的主要内容，这样不免使人对实数的连续性问题的认识显得支离破碎，也难有一个较为全面认识和深入的了解，鉴于这方面的原因及现代应用数学发展的一些需要，笔者认为有必要将这一些主要概念、定理及它们相互间的关系作一个较为全面的整理。这样对一些刚接触数学分析课的年轻教师及对理论数学有兴趣的同学都将有一定的参考作用，限于篇幅原因，二、主要定理及其特点?在本节中我们将在实数集甩ｊ＋∞上讨论下列概念、定理及它们相互间的一些关系及结构特点。．（这里Ⅳ。表示正整数集，而口点的６邻域用Ｕ（口，万）＝（以一万，口＋万）表示，点口的８去心邻域用Ｄ（口，万）＝（ｎ一万，ｎ）ｕ（口，ｎ＋艿）表示）。定义２．１．（极限概念）设口∈尺，称数列｛以。）当咒专＋∞时收敛于数ｏ，并记为，黑口ｎ几何意义：。１１里口。３口的几何意义是：２口，如果：，．Ｖ占．＞ｏ，ｊⅣ∈Ⅳ＋，Ｖ，ｚ＞Ⅳ，ｋ一以Ｉ＜占以点。为中心，任取一个邻域ｕ（以，Ｄ）２（口一Ｄ，以＋Ｄ），在数列｛口。｝中都可以找到一项口Ⅳ使得数列｛口。）在这项以后的所有项全都落入了这个预先取定的邻域内。或（等价地）：数列落在这个邻域之外的最多只有有限多项。口』，啦，劬，……，％，……，定义２．２．数集Ｅ的。ｃ尺中数列｛口。）称为收敛的，如果：ｊ以∈Ｅ，有，熙以ｎ２口，否则称数列｛口一）为发散定义２．３（Ｃａｕｃｈｙ列）称数列｛口。）为集合Ｅ上一个Ｃａｕｃｈｙ列（基本列）如果：．Ｖｓ＞ｏ，ｊⅣ∈Ⅳ＋，Ｖ玎，ｍ＞Ⅳ，１ａ。一ａ。ｌ＜ｇ数列｛以。）是一个Ｃａｕｃｈｙ列。定理２．１．（Ｃａｕｃｈｙ收敛准则），实数集Ｒ中数列｛口。）是收敛数列的充要条件是：注２．１．Ｃａｕｃｈｙ收敛准则的特点是对数列敛散的定性而非定量描述，而且是利用数列某项后任两项的距离来作估计的。作者简介：任晓（１９５８一），男，西昌师专数学系讲师，主要从事分析数学的研究万方数据　?２?西昌师范高等专科学校学报第１３卷定理２．２．（单调有界原理）实数集Ｒ中单调数列ｋ。｝是收敛数列的充要条件是：注地单调有界原理是一个较为直观而初学者易于接受的定理，故在一般教科书中大多以它作为一个基本公理来推出其它等价的公理。数列｛口。】是一个有界数列。定义２．４．称一个闭区间列ｒ＝｛，。）。。Ⅳ＋，，。＝ｋ。，６。】构成一个闭区间套，如果：，１２，２２…≥，。２…结合定理２?２知，如果闭区间列ｒ＝口。｝。；．Ⅳ．构成一个闭区间套，则］孝。，彘∈Ｒ，其左、右端点列｛口。】｛６。）有：口ｌ≤口２≤…≤口ｎ≤…≤彘≤…萼彘≤…≤６一≤…≤６２≤６１其中：磊＝ｌｉｍ口。，彘＝ｌｉｍ＾＿＋∞一－÷＋∞６。，、定理２．３．（闭区间套定理）如果闭区间列ｒ＝ｐ。）。。Ⅳ．构成一个闭区间套，且满足：ｌｉｍ川＝ｌｉｍ（６。一口。）＝ｏ一―＇佃月―｝＋∞。则存在唯一一点孝∈０【％，６。】注２．３．闭区间套定理是在初等分析数学中使用起来最为方便，也很好用的一个定理，但在抽象的分析中，它的应用就要逊色多了，对于在闭区间套定理条件下的左、右端点列｛口。），｛６。】及数孝，显然有：口ｌ≤口２≤…≤口。≤…≤￡＝孝＝磊≤…≤６。≤…≤６２≤６ｌ即左端点列｛口。｝单调增加且收敛于而右端点列ｆ６。Ｊ单调递减且收敛于孝，（１ｉｍ口。＝孝＝ｌｉｍ”‘＋””＿佃６。）且由极限定义可知：ｖ占＞Ｏ，｜Ⅳ∈Ⅳ．，ｖ，ｚ＞Ⅳ，恒有口。，６。∈Ｕ（口，占），即点口的任一邻域内含有这个闭区列｛，｝中某个区间后的所有闭区间，（这是闭区间套定理在应用方面的独特性：将整体性质Ｐ转化为点孝的任一邻域（局部）性质Ｐ，即：如果一切，。都具有某种共同性质Ｐ，则孝由点的任一邻域含有，。（ｎ＞Ｎ），那么点ｆ的任一（局部）邻域也含有性质Ｐ，简单地说：这个定理可以把套体性质收缩到局部一点。定义２．５．设∥∈尺，而Ｅ为Ｒ内的一非空数集，称∥为集合Ｅ上确界，并记为∥＝ｓｕｐＥ，如果（１）ｘ∈Ｅ，恒有ｘ≤∥（２）Ｖ占＞０，３ｘ∈Ｅ，使ｘ＞∥一占同理，可定义非空集Ｅ的下确界概念：口：ｉｎｆＥ，如果（１）ｘ∈Ｅ．恒有ｘ≥口（２）大下界。Ｖ占＞Ｏ，ｋ∈Ｅ，使ｘ＜口＋占从直观上讲，数集Ｅ的上确界是指这个集合的最小上界；而数集Ｅ的下确界，是指这个集合的最定理“．（确界的极限形式）数∥（口）是非空数集Ｅ的上（下）确界的充要条件是：（１）ｘ∈Ｅ，ｘ≤∥（ｘ≥口）（２）｛ｘ。｝，ｚ。∈Ｅ（ｎ＝１，２，……）有ｌｉｍｘ。＝∥（＝口），则存在中一个严格单增数列定理２．４’若Ｅ为一非实数集，且∥：ｓｕｐＥ存在，若∥仨Ｅ｛ｘ。）使ｌｉｍ工。＝∥．性质２．１（确界与最值间关系）（１）∥＝ｓｕｐＥ∈Ｅ（２）口＝ｉｎｆＥ∈Ｅ§§∥＝ｍａ）【Ｅ口＝ｍｉｎＥ万方数据　第３期任晓：实数连续性定理及其它?３?（３）若数集Ｅ是以有限点集（非空），则：∥＝ｓｕｐＥ＝ｍａＸＥ，口＝ｉｎｆＥ＝ｍｉｎＥ１定理２．４及性质２．１的证明是很简单的事．（在定义２．５中只要令占２＝即可得到定理２．４．）定理幺５．（确界存在原理）尺中的任一非空有上（下）界数集必有上（下）确界。注２．４．利用确界原理证明理论题，是解题中的难点，其方法往往很简捷，但也很巧妙，关键是构造适当的集合，这正是证明中的难点。关于确界运算的一些主要性质为：（１）若Ａ、Ｂ是两个非空有界实数集合，且Ａ互Ｂ则：ｓｕｐＡ≤ｓｕｐＢ，ｉｎｆＡ≥ｉｎｆＢ（２）若定义：一层＝｛石Ｉ一工∈Ｅ｝，五Ｅ＝｛｜｜｝石Ｉｘ∈Ｅ｝，贝Ⅱ：１）ｓｕｐ（―坷）＝一ｉｎ饱，ｉｎｆ（―雷）＝一ｓｕｐＥ２）若七＞Ｏ，则：ｓｕｐ（七层）＝七ｓｕｐＥ；七＜Ｏ，贝Ｕ：ｓｕｐ（七Ｅ）＝尼ｉｎｆＥ．３）设厂（ｘ），ｇ（ｘ）在上有界（Ｅ≠矽）则：ｓ罂扩（石））＋妥参曲（ｘ））≤罂扩（茗）＋ｇ（力｝≤罂杪（ｘ）｝＋翟ｋ（ｘ）｝ｔｃＦｘ∈丘ＸＥ占舢舢注２．５．由确界概念的数列形式，我们可以定义：（１）∥＝ｓｕｐＥ＝＋∞如果：了｛ｘ。｝，ｘ。∈Ｅｒｎ＝１，２……），而三掣恐石ｎ２＋∞（２）口＝ｉｎｆＥ＝一∞如果：｜｛ｘ。｝，ｘ。∈Ｅｒ凡＝ｌ，２……），而１１ｍｘ。２一∞利用单调有界原理，我们有：性质２．２（１）若数列（ｘ。）是一单调增加数列，则：ｌｌｍｘ。＝ｓｕｐ（工。）（２）若数列＜ｘ。）是一单调减少数列，则：１１ｍｘ。＝ｉｎｆｍｆ＜ｘ。）这一性质很易由确界的数列形式得到。定义２．６称点‰为数集Ｅ至尺的一个聚点（点集的聚点），记为％∈Ｅ’，如果：Ｖ万＞Ｏ，Ｕ（ｘｏ，万）ｎＥ≠矽定理２．６．点‰∈Ｅ’营Ｖ万＞Ｏ，Ｕ（‰，万）中含有Ｅ中无穷多个点．定理２?７?点‰∈Ｅ’§ｊ扛。ｊ，ｘ。∈Ｅ（胛＝１，２?…），且ｔ≠ｘＪ（ｆ，，＝１，２，…．ｆ≠歹）有盟２ｘ。２～ｚｏ性质２．３．（１）若ＥｃＲ是有限点集，则Ｅ７＝痧；（２）若彳ＳＢ，则彳’至Ｂ’（单调性）；（３）（，Ｅ’）’ｃＥ７（闭性）．定理２．６―２．７及性质２．３的证明极为简单，这里就不再一一叙述了。定理２．８（ｗｅｉｅｒＳ仃ａｓｓ的聚点定理）任一有界无穷点集必至少有一聚点。类似于点集的聚点，我们可也引入数列的聚点概念：定义２．７．称点ｘｏ∈Ｒ为数列（ｚｎ）的一个聚点，如果Ｖ万＞０，Ｕ（‰，万）中含有数列（ｘ。）的无穷多项。等价形式：点‰是数列＜ｘ一）的一个聚点的充要条件是：了｛ｘ。。】∈｛ｘ。。），有盟恐ｘ。。２‰同样类似于定理２．８，我们有数列的聚点原理。定理２．８．（数列的聚点原理）任一有界数列必至少有一个聚点，并且存在最大聚点ｘ＋∈Ｒ与最小聚点ｘ。∈Ｒ（最大聚点与最小聚点概念可推广至±ｏ。，即：（１）若存在（ｘ。）的一个子列＜ｘ。。），有恕已＝＋∞，则定义ｘ’＝＋∞；（２）若存在似。）的一个子列（ｘ。。），有，１１ｍ＝～∞，则定灿。＝一∞．）下面我们给出数列聚点原理的另一表述形式：万　方数据?４?西昌师范高等专科学校学报第１３卷定理２．９．（致密性定理，ｗｅｉｅｒＳ廿ａｓｓ定理）任一有界数列必有收敛子数列。且存在两个收敛子列（《。）、（ｘ：．），它们分别收敛于这个数列的最大聚点ｘ‘和最小聚点工。：ｌｍ戈乏＝ｘ＋，Ｊｉｍｚ乏＝ｘ。’’’■’￡―｝＋∞一七―｝＋∞‘定理２．１０．有界数列＜ｘ。）收敛≥这个有界数列仅有一个聚点（即ｚ’＝ｘ。）．结合数列（ｘ。）收敛于子数列收敛性的关系，这个定理是显然的，并且此时的最大、最小的聚点即是我们所求得极限值。定义２．８．（１）称点ｘｏ是集合是Ｅ的一个内点，记为‰∈ｉｎｔＥ，如果ｊ万＞０，使Ｕ（ｘｏ，万）∈Ｅ．，（２）称集合Ｇ是一个开集，如果Ｇ＝ｉｎｔＧ；（３）称集合Ｆ是一个闭集，如果Ｆ７＝Ｆ里不再一一叙述．．显然开区间、空集、全空间是开集，闭区间、空集、全空间是闭集，关于开集和闭集有很多重要性质，这定义２．９．设ｓ＝社ｚｋ∈ｒ，（彳Ａ∈尺（九∈１１）是一集簇，Ｅ≤Ｒ称３是Ｅ的一个覆盖，如果：垤∈Ｅ，］五∈ｒ，有ｘ∈彳，（或等价的：Ｅ∈、＊厶）．定理２．１．（Ｂｏｒｅｌ的有限覆盖定理）若Ｆ是一有界闭集，ｓ＝｛Ｇ五｝ａＥｆ，“ｚ（是开集）是Ｆ的一个开覆‘盖，则必存在Ｓ的一个有限子籍。＝｛Ｇ，，Ｇ¨…，Ｇ月｝，同样构成Ｆ的一个覆盖。注２．６．有限覆盖定理是一个非常重要的定理，它与ｗｅｉｅｒｓ廿ａｓｓ定理所描述的性质通常称为紧性，在现代分析中起着很重要的作用，有限覆盖定理形式上说的是无穷转化为有穷：若闭区间能被某个开区间簇（常有无穷多个开区间）覆盖，则它同样能被这个开区间簇中的有限个开区间所覆盖，这样由它的结构上的特点正和闭区间套定理构成一对相辅相成的和谐的完美统一，即闭区间套定理是将整体性转化为（点的邻域）局部性，而有限覆盖定理，则常将局部性（每个点的邻域所含性质）转化为整体（整个闭区间）性。与上面几个反映实数连续性的定理等价的还有Ｄｅｄｅｋｉｎｄ的分割原理，由于该定理对学生的实用性，可在定理、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理，和及浊ｄ湖的分割原理就构成了人们常讲的数学分析中理）只不过有些证明带有一定的难度，笔者在这里就不一一叙述了。下面我们将介绍上（下）极限的概念．接受性等方面等原因，这里就不再叙述了。这样由Ｃ眦由，收敛准刖、单谓有界原理、闭区同套定理、确界存关于实数连续性的八大等价基本公理，它们之间是可以相互证明的（在证明中应加上Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ度量公定义２．１０．设鼍一）是一实数列，记、，、，、尾＝ｓｕｐ扛女｝＝ｓｕｐ缸。，口川，以肘２，…ｊ，口。＝啦ｆ缸女ｊ＝ｉｎｆ缸。，口州，口。＋２，…ｊ令ｎ＝ｌ，２，……，则可得到一列（励和（口。），显然数列＜∥。）是单调减少的，而ｐ。）是单调增加的，故这两个数列的极限均存在。（有限或无穷），我们称（∥。）的极限Ｈ为数列（尾）的上极限，（口。）的极限ｈ为数列（口。）的下极限，并分别记为ｌｉｍ以。与巫坐口。，结合性质２．２，我们有：二，、月＿Ⅷ，“、ｎ＿Ⅷ，、，、月哼栅月―｝忡Ⅳ２”ｎ＿＋佃日２舰旷ｉｎｆ翟扛ｔ｝。熙翟扛ｔ｝，乃２黑盱ｓｕｐ赠扛ｔ｝２熙赙扛ｅ｝月一栅后≥ｎ”七≥ｎｎ膏２ｎ注２．６．这里Ｈ和ｈ可能取有限值，也可能是＋∞和一∞且：（１）任何数列的上（下）极限必存在（包括无穷大的情形），并且：ｎ―＇佃避以。≤ｌｉｍ以。、ｎ―÷＋∞（２）ｌｉｍ口。＝＋∞§数列（口。）无上界；地口一＝一ｏ。§数列（以。）无下界．下面给出上（下）极限概念的一些等价描述及一些性质。１．上、下极限概念占一Ⅳ语言描述（此处设和均为有限值）：甄铲Ｈ营｛｛裟；：黼品始三二二：万方数据　第３期任晓：实数连续性定理及其它?５?２）黑％瑚§１汤ｖ占＞¨，州∈《，ｊ刀＞ｉＺ＜Ｊｉｚ＋ｉ这个占一Ⅳ语言可由ｌｉｍ口。＝Ｉｉｍ一－÷斗∞（１）设爿２ｌｌｍ口。，则：，．，Ｉ（１）Ｖ占＞ｏ，｜Ⅳ∈＾厂＋，Ｖ，ｚ＞Ⅳ，口。＞＾一占，ｓｕｐ｛口ｔ｝极限及确界的概念给出。ｎ－＋＿！∞七≥”２．上、下极限概念的几何意义：（可由语言相应给出）（ｉ）当日为有限数时，对于日的任何ｅ邻域Ｕ（Ｈ，占）＝（日一占，日＋占），数列＜口。）中有无穷多项落入这个邻域，只有有限多项大于日＋占，即■二塑兰竺竺厘亟画ｉ有无穷多项ｌＩ落入下面区域、―――――――、―――――――――一Ｕ嘶，锄，劬，……，％，……，（ｉｉ）当日＝＋ｏ。时，对任何刿＞０，数列（口。）中必有无穷多项大于４．（也就是存在＜口。）的一个子数列（口一。）有息已口‰２＋∞）（ｉｉｉ）当日：一∞时，数列（口。）以一∞为极限（即。绕口一２一∞）?（２）设办＝堕堡口。，贝０ｎ―＋斗∞（ｉ）当＾为有限数时：对于＾的任何￡邻域，Ｕ（｜ｉｚ，占）＝（五一占，办＋占）．数列＜口。）中有无穷多项落入这个邻域，只有有限多项小于五一￡即：叻，砚，哟，……，％，……，、―――――――――、，――――――――――√有无穷多项ｌｌ落入下面区域Ｕ（ｉｉ）当，ｚ２一∞时，对任何数Ａ＞０，在数列甲。）中有无穷多项小于一Ａ（即：存在＜口。）的子数列＜口。＋），满足，ｌｌｍ口。。＝一∞）（ｉｉｉ）当．Ｉｌ＝＋∞时，数列（口。）收敛于＋∞，即，扬口。２栅３．上下极限与数列聚点间的关系：定理２．１２．设日：丽口。，那么日必是（口一）中所有收敛子列极限中的最大者（即：最大聚点口＋）；设办＝ｌｉｍ口。，那么必是（口。）中所有收敛子列极限中的最小者（即：最小聚点口。）。”？竺吼日＝，熙口。２口’，办：堕口。：口。证明：（仅证上极限日的情况）¨”（１）当日＝＋∞或一∞时，由上面的几何意义显然成立，（２）当日∈Ｒ时，由ｌｉｍ口。＝Ｅ因此，对Ｖ占＞Ｏ，数列（口。）中仅有有限多个数大于日＋￡，即（口。）得所有收敛子列的极限决不会大于Ⅳ＋ｅ，由ｅ的任意性，便可的（口。）的所有收敛子列的极限决不会大于Ⅳ，即ｌｉｍ口。＝日＝口’．结合定理２．１０．可得：万方数据　?６?西昌师范高等专科学校学报第１３卷定理２?１３?热口一５口§黑口一。，熙口一。口（或：口‘＝以＝口）４．上下褪堡的运算性质：一（１）ｌｉｍ（一口。）＝一堑堡口。，堕堡（一口。）＝一ｌｉｍ口。；《弧汕，熙勋一以溉口ｎ熙勋ｎ＝尼翌日一Ｖ尼＜ｏ，ｌ妞妇。＝后鱼口。堕勋。＝后ｌｉｍ口。………～胛‘～…一（２）迪口。＋匦６一。墼（口。＋６。）≤墼口一十熙６一≤熙（口。＋６。）≤熙％＋熙吃（在Ｈ呻＋∞ｎ＿＋斗∞一＿＋∞ｎ一＋＋∞∞土∞不出现的情况下）（３）设口。≥Ｏ，６。≥Ｏ．（，ｚ＝１，２，Ａ）赚．＾－＋＋∞＾―｝＋∞…’一…．墼口。×．坚６一．墼（口。×吮）≤坚口。×熙６。≤熙（叫阮）≤熙口一×熙玩Ｈ呻＋∞ｎ叶十∞一一一一一以上这些性质不难由确界运算性质得到．极限相幽多焉琴的性质，如：。．，类似于数列上（下）极限，我们可以引入函数的上（下）极限及上（下）积分等概念，它们具有同数列上（下）（１）ｌｉｍ厂（ｚ）＝：ｊ旦￡ｓｕｐ厂（ｘ）塾罂ｓｕｐ／（ｘ），且铲熘八力§恼ｖ占＞夏ｖ万＞苫，孔∈舢＜ｌ卜求焱暴乏一，裴似）＝：哿。采甍。万ｍ）２船ｏ＜ｆ篾ｐｍ），厶曲Ｅ，，、。。Ｉ（１）Ｖ占＞ｏ，ｊ万＞ｏ，Ｖｋ∈Ｄ：ｏ＜ｆｘ―ｘｏＩ＜万，厂（ｘ）＜０＋ｓ；．ｇＩ蝴△＋力§，ＫＫ、肌批＞＞＞ｑＯ∈ＤＯ＜＜＞一仉ｍ豁晒＞坛丑∈Ｄ０＜ｘ．Ｆ斯‰＜疋正Ｍ埘＜‘乙＋ｇ￡（２）Ｊ。厂（ｘ）出＝：ｉｎｆ（ｓ（ｒ））２４凇ｓ（ｒ）其中：ｓ（ｒ）＝∑Ｍｔ缸。，而Ｍｔ＝ｓｕｐ｛厂（ｘ））Ｋ＝ｌ，２，…一七＝１ｈ―ｌＳ工≤?ｋ柏■口△Ｊ＝厂（ｘ）出＝：ｓｕｐ（ｓ（ｒ））２』鹎ｓ（丁）甲Ⅱ』＂―÷Ｕ其中：ｓ（乃２荟，，ｚｔ缸ｔ，而ｍｔ了。２ｈ＿！爨ｈ杪（石））好１，２＇…”注２．７．上（下）极限概念在非线性分析中的应用是非常广泛的，在理解数列上（下）极限概念的基础上我们不难理解函数的上、下极限及上下积分的概念，并有许多类似的性质，限于篇幅关于实数连续性定理的更深一步讨论及这些定理的应用技巧的举例，因篇幅所限，只好遗憾地舍去了。而这些内容对于初学者掌握好分析的理论基础，无疑是非常重要的一方面。最后，笔者愿这篇资料性文章能对理论数学有兴趣的同学们有所帮助。注释及参考文献：【１］．菲赫金哥尔茨．《数学分析教程》．１９５９．［２】．杨宗磐．《数学分析入门》．科学出版社．１９５８．（责任编辑：胡清林）万方数据　
实数连续性定理及其它作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：任晓西昌师专西昌师范高等专科学校学报JOURNAL OF XICHANG TEACHER'S COLLEGE)0次
参考文献(2条)1.菲赫金哥尔茨 查看详情 19592.杨宗磐 数学分析入门 1958
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