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已知A和B为相似矩阵，求可逆矩阵P的时候为什么求特征向量？？
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不是要通过标准形式过度吗
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A矩阵与B矩阵相似，其中B不是对角矩阵，P为可逆矩阵，问P是否唯一？
p^-1 A p=B&&就是这个p是否唯一？
不唯一吧。特征向量那么多，选一个就可以了。
不唯一的，这个和特征向量有关
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& Comsenz Inc.的特征值λ1.；?1-2-4??5?A=-2x-2?Λ=；-4-21???与?159.设矩阵?；?y?-4??相似，求x,y.；?100??110?；??A=020?B=021?；003?003?????是否相似？160.矩阵与；?A=13a?；1a1???的特征值，求a的值.λ=1161.已；162.已知三阶矩阵A的特征值为-1,2,-3，；163.设三阶
的特征值λ1.
?1-2-4??5 ? A= -2x-2?Λ=
-4-21? ??与?159. 设矩阵?
?y?-4??相似，求x,y.
?100??110?
? ?A= 020?B= 021?
003? 003?????是否相似？ 160. 矩阵与矩阵?111?
1a1???的特征值，求a的值. λ=1161. 已知是矩阵
162. 已知三阶矩阵A的特征值为-1,2,-3，矩阵B=2A+A，求矩阵B的特征值.
163. 设三阶方阵A的特征值为-1,0,1，对应的特征向量为α1=(1,1,-1)，α2=(1,-1,0)，
α3=(1,1,2)T，求矩阵A.
?101? ?A= 020?
10a???的特征值，求（1）a；164. 设0是矩阵（2）A的另一个特征值. ?1??211? ? ?α= k?A= 121?
??的逆矩阵A-1的特征向量，求常数k的值. ??165. 已知向量是矩阵?-200??-1 ? A= 2x2?,B= 2
311? ???166. 已知矩阵A与B相似，其中
求可逆矩阵P，使P
??y??(1) 求x与y的值；(2)
??，求A100. 166. 已知
?1-33? ?A= 3-53?
6-64???，求（1）A的所有特征值及对应的特征向量；167. 设（2）找出一个可逆
矩阵P使得A与一个对角矩阵相似；（3）应用A的特征多项式求A.
-2-45???，168. 设（1）求A的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P及对角
-1T-1QQAQ=QAQ=Λ. ΛPAP=Λ矩阵，使；（3） 求正交矩阵，使
169. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工和非熟练工的人数统计，然后将6的熟练工支
援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终
考核有5成为熟练工。设第n年一月统计的熟练工和非熟练工所占的百分比分别为xn和
?xn??xn+1??xn? ?
yn，记成向量?n?，n+1n????的关系式并表成矩阵形式；（1）求与（2）验证
????是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当
?1??x1? 2? ?xn+1? y??= 1?
? ?1? ? y???2?时，求?n+1?.
1-c0-a???，其行列式A=-1,又A的伴随矩阵A＊有一个特征值170. 设矩阵
λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝(－)T,求a,b,c和λ0的值. 1，－1,1
4?171. 设矩阵
-1k?2-3??,问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩2
阵？并求出P和相应的对角阵.
100???有三个线性无关的特征向量，求x,y应满足的条件. 172. 设
173. 设n阶矩阵
?1b b? ?b1 b ?A=
? ? bb 1???
（1）求A的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵P，使P174. 设三阶实对称矩阵
AP为对角矩阵。
2，λ1=λ2=6是
A的二重特征值，若α1=(1,1,0)
α2=(2,1,1)T，α3=(-1,2,-3)T都是A的属于特征值6的特征向量，
（1）求A的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A。 175. 设有四阶方阵A满足条件
2E+A=0,AAT=2E,A&0
，其中E为四阶单位矩阵，
求方阵A的伴随矩阵A的一个特征值。
f(x,x,x)=2x+5x+5x+4x1x2-4x1x3-8x2x3成标准. 用正交变换化二次型
f(x,x,x)=x+4xx+x+2x+2xx2x3秩。 177. 求二次形的
x-x+2x-2x1x2+4x1x3化为标准形。 123178. 用配方法将二次型
3 -?7179. 已知矩阵
3?-?7?c???d?
?为正交矩阵，求a,b,c,d的值。
f=2x+5x+5x+4x1x2-4x1x3-8x2x3的正定性。 123180. 判定二次型
181. 用配方法化二次型为标准形
f(x1,x2,x3,x4)=x12+x2+x3-2x4-2x1x2+2x1x3-2x1x4+2x2x3-4x2x4
182. 化二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3为标准形，并写出所用的非退化线性变换。
f(x,x,x)=2x+5x+5xx1x2-4x1x3-8x2x3为标准183. 用正交变换化二次型
形，并写出所作的正交变换。
184. 设二次型f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3经正交交换
?x1??y1? ? ?X= x2?Y= y2?
f=y+2y3???3?是三维列向量，P是3阶正交矩23，其中X=PY化成和
阵，试求常数α,β的值及所用的正交变换矩阵P。
f(x,x,x)=5x+5x+cx-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2。 . 已知二次型
（1）求参数c；（2）求一正交变换x=Py化二次型
为标准形；（3）指出方程
f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。
222f(x,x,x)=(x+x)+(x-x)+(x+x). 已知二次型，求该二次型的秩。
187. 设有n元实二次型
f(x1,x2, ,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+ +(xn+anx1)2，
其中ai(i=1,2, ,n)为实数。试问：当a1,a2, ,an满足何种条件时，二次型
f(x1,x2, ,xn)为正定二次型。
188. 设A为n阶实对称矩阵，R(A)=n，Aij是A=(aij)n?n中元素aij的代数余子式，二次
f(x1,x2, ,xn)=∑∑
X=(x,x, ,x)12n，（1）记，把f(x1,x2, ,xn)写
成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A；（2）二次型g(X)=XAX与f(X)的规
范形是否相同？说明理由。
f=x+4x+4x+2λx1x2-2x1x3+4x2x3，问λ取何值时，f为正定123189. 考虑二次型
190. 设二次型f(x1,x2,x3)=ax1+2x2-2x3+2bx1x3,(b&0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12。（1）求a,b的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
四、证明题(每题约6--8分) 1. 设
α1,α2,α3 是欧氏空间V的标准正交基,证明:
β1=(2α1+2α2-α3)β2=(2α1-α2+2α3)β3=(α1-2α2-2α3)
也是V的标准正交基
2. 设f=XAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX1&0，
X2AX2&0, 证明:存在n维列实向量X0≠0,使X0AX0=0
3．设A和B是n阶正定矩阵，证明：A合同于B 4．设
α1，α2， ，αk 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，向量β满足
α2＋β， ，αk＋β，β 线性无关。 Aβ≠0，证明：向量组 α1+β，
5. 设A是n阶实矩阵,证明：A为正定矩阵的充分必要条件为存在n阶正定矩阵B，使
6. 已知X1,X2是齐次线性方程组AX=0的两个线性无关的解，Y为非齐次线性方程组AX=b的解，求证Y,Y+X1,Y+X2线性无关。
7. 设A、B为n阶方阵，B为可逆矩阵，满足A+AB+B=0,求证AA和A+B可逆，
(A+B)A,并求。
8. 已知A、B为n阶矩阵，满足AB=0。求证：r(A)+ r(B) ≤n。
9. 设A为可逆矩阵，λ为A的特征值，求证：λ≠0且1/λ为A-1的特征值。 10. 设A,B都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值.
11. 设向量组A:α1,α2, ,αm线性无关,向量β1可由向量组A线性表示,而向量β2不能由向量组A线性表示. 证明:m+1个向量α1,α2, ,αm,lβ1+
12. 设齐次方程组
β2必线性无关.
11x1 + a12x2 + ? + a1nxn = 0 ,
a21x1 + a22x2 + ? + a2nxn = 0 ,
n1x1 + an2x2 + ? + annxn = 0 ,
的系数行列式A=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0，
x = (Ak1 , Ak2 , ? , Akn)T为此方程组的一个基础解系。 13. 设ε1,ε2,ε3为3维欧氏空间V的一组标准正交基，
(-ε1+2ε2+2ε3),η2=1(2ε1+2ε2-ε3),η3=1(-2ε1+ε2-2ε3)333
.。 证明：η1,η2,η3也是V的一组标准正交基
14. 设λ1、λ2是A的特征值，且λ1≠λ2，ξ1、ξ2是A对应的λ1、λ2的特征向量，证明λ1、
λ2线性无关。
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设矩阵A与B相似，其中
（1)求x和y的值；
（2)求逆矩阵P，使P－1AP=B．
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提问人：匿名网友
发布时间：
设矩阵A与B相似，其中&(1)求x和y的值；&(2)求逆矩阵P，使P-1AP=B．
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