二重积分的计算法
第二节& 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分&&&X—型
&&&&&&&&&&&&&
极坐标系下&&
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）查看: 7223|回复: 9|关注: 0
Matlab求二重积分问题
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新手, 积分 17, 距离下一级还需 33 积分
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这个积分怎么求啊？
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13:17 上传
没有解析解 又无法用数值办法做
[ 本帖最后由 mooni 于
13:26 编辑 ]
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关注者： 2
为什么无法用数值办法做？
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用quadl这个积分是可以做的吧。
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说起来容易做起来难，本想用“一个二重积分，化成两次计算一次积分”的方法，用 int 来计算，可还是有问题。
以下是code。
clear all
syms a b c x y
Zx = (a^2*b^2-b^2*x^2-a^2*y^2)/(a^2*b^2+(b^2*x^2+a^2*y^2)*(c^2-1));
m=int(Zx,x);
%m=-1/(c^2-1)*x+1/(c-1)/(c+1)*c^2*a*b/((b^2+y^2*c^2-y^2)*(c^2-1))^(1/2)*ata
%n((b^2*c^2-b^2)*x/a/b/((b^2+y^2*c^2-y^2)*(c^2-1))^(1/2))
n=int(m,y)
%pertty(n)复制代码
尝试过 dblquad ，但是在转换成数值解这点上没有进展。
就这些了，算是给楼主一点参考吧。
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关注者： 3
fun = @(a,b,c) @ (x,y) (a^2*b^2-b^2*x.^2-a^2*y.^2)./(a^2*b^2+(b^2*x.^2+a^2*y.^2)*(c^2-1));
复制代码这就定义好了被积函数。对于给定的a,b,c。譬如a = 1 b= 2 c=3
求x在1到2，y在1到2范围内的积分
dblquad(fun(1,2,3),1,2,1,2)
复制代码即可。手头没MATLAB大家验证下。
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谢谢楼上各位的解答
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关注者： 3
Warning: Explicit integral could not be found.
得不到精确的解析解
把积分函数做个级数展开 再做符号积分
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回复 4# seetheworld 的帖子
这样计算没法得到解啊，Warning: Explicit integral could not be found.&&
int((b^2*x)/(b^2 - b^2*c^2) - (a*b*c^2*atan((x*(c^2 - 1)*(2*b^2 - 2*b^2*c^2))/(2*a*b*(c - 1)^(3/2)*(c + 1)^(3/2)*(b^2 + c^2*y^2 - y^2)^(1/2))))/((c - 1)^(3/2)*(c + 1)^(3/2)*(b^2 + c^2*y^2 - y^2)^(1/2)), y)
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回复 5# rocwoods 的帖子
谢谢简单明了的解答，但我还想问一下，如果里面含变量呢？比如那个a我不给它一个具体的数值，那该怎么计算？
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1、分段2、转化为极坐标系
登录百度帐号推荐应用三重积分的计算方法介绍：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：
如果先做定积分?
f(x,y,z)dz
，再做二重积分??
，就是“投
影法”，也即“先一后二”。步骤为：找?及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。???
f(x,y,z)dv?
f(x,y,z)dz]d?
如果先做二重积分??
f(x,y,z)d?
再做定积分?F(z)dz，就是“截面
法”，也即“先二后一”。步骤为：确定?位于平面z即z?[c
z作平行于xoy面的平面截?，截面D。区域D的边
界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分??
f(x,y,z)d?
了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?F(z)dz，完成“后
一”这一步。???
f(x,y,z)dv?
f(x,y,z)d?]dz
当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积?(z)
容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域?投影到xoy面，得投影区域D(平面)
（1） D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当?的边界曲
面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
（2） D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2?y),f(2y
可选择柱面坐标系计算（当?为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）
（3）?是球体或球顶锥体，且被积函数形如
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对?向其它坐标面投影或?不易作出的情形不赘述。 f(x2?y2?z)2时，三重积分的计算方法小结：
1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域?及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）： Dz是?在z处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。
特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SD。因而?z
中只要z?[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当?为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf
柱面坐标计算。
(x2?y)时，可考虑用2
三重积分的计算方法例题：
补例1：计算三重积分I????
?zdxdydz，其中?为平面x?y?z?1与三个坐标面
x?0,y?0,z?0围成的闭区域。
?z?1?x?y解1“投影法” 1.画出?及在xoy面投影域D.
2. “穿线”0
0?x?10?y?1?x
(1?x?y)dy?
?[(1?x)y?(1?x)y
解2“截面法”1.画出?。2.
过点z作垂直于z轴的平面截?得Dz。
?1?z,y?1?z
是两直角边为x,y的直角三角形，x
(1?z)(1?z)dz?
补例2：计算???解1“投影法”
1.画出?及在xoy面投影域D.
?z?x2?2y2?
，其中?是x2
和z=1围成的闭区域。
2. “穿线”
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