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集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（　　）A．B．C．D．
题型：单选题难度：中档来源：不详
由题意可知：M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选B．
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据魔方格专家权威分析，试题“集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以..”主要考查你对&&函数、映射的概念&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数、映射的概念
1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。 （2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。&2、函数： （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：&定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
&4、函数的表示方法： （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。 映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。（1）函数两种定义的比较：
&&&&& ①相同点：1°实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致
&&&& &②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：&&&&&&&&&映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. .函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。 对于映射这个概念，应明确以下几点：
&①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合 . ⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
&一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射. 一一映射既是一对一又是B无余的映射.
&在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。
对函数概念的理解：
函数三要素&（1）核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.（2）定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. （3）值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 （4）关于函数符号y=f(x) &&&&& 1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.f(x)也不一定是解析式. &&&&& 2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值. &&&&& 3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.
发现相似题
与“集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以..”考查相似的试题有：
885279782704249034803492886807803130第三讲?函数的值域?
一．知识点?
?．函数的值域的定义?
在函数??????中，与自变量?的值对应的?的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域???．确定函数的值域的原则?
①当函数??????用表格给出时，函数的值域是指表格中实数?的集合；?
②当函数??????用图象给出时，函数的值域是指图象在?轴上的投影所覆盖的实数?的集合；?
③当函数??????用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；?④当函数??????由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定??
???基本初等函数的值域?
①y?kx?b(k?0)的值域为???
②y?ax2?bx?c(a?0)?
4ac?b24ac?b2
,??)；当???时，值域为(??]??当???时，值域为[4a4a
k③y?(k?0)值域为{y|y?R,且y?0}??x
④y?ax(a?0且a?1)值域为(0,??)??
⑤y?logax(a?0且a?1)值域为???
⑥y?sinx,y?cosx值域为???????y?tanx值域为??
?．求函数值域的方法?
①直接法：从自变量?的范围出发，推出??????的取值范围??
②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)??af(x)2?bf(x)?c的函数的值域问题，均可使用配方法；对于有范围限制的，往往是配方、画图、取段、看值域??af(x)?b③反表示法：对形如y?的函数，可先用?反表示?????再利用????本身的有界性求?cf(x)?d
的取值范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域??
④判别式法：把函数转化成关于?的二次方程????????，通过方程有实根，??0，从而求得ax2?bx?c原函数的值域，对形如y?2（?、?不同时为?）的函数求值域常用此法，但前dx?ex?f
提是定义域是??且分子分母无公因子可约??
⑤换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域?一般的无理函数常用此法求值域??
a?b?ab(a?0,b?0)求值域，使⑥不等式法：利用基本不等式a2?b2?2ab(a、b?R)，2
用后者时应注意正、定、等三要素??
⑦单调性法：确定函数在定义域上的单调性求出函数的值域??
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再写出值域；?
⑨数形结合法：当一个函数图象可作时，可通过其图象来确定函数的值域；若函数表达式具有典型的几何意义如直线的斜率、两点间的距离等，则可借助几何方法求函数的值域???
二．应用举例?
例?．求下列函数的值域?①y?4??2x?x2?
②y?2x??2x?③y?x??x2?
解：①配方法：由3?2x?x2?0,得?1?x?3.?
?y?4??(x?1)2?4,?当x?1时?ymin?4?2?2??
当x??1或?时?ymax?4?1?2t2
②换元法：令t??2x(t?0)?则x??2
15135?y??t2?t?1??(t?)2???当t?即x?时?ymax??无最小值??24842
③三角换元法：函数的定义域是{x|?1?x?1}?????设x?sint,??t??则y?x??x2化为y?sint?cost,y?2sin(t?).?224
????3?2????t????t??????sin(t?)?1???1?y?2?2244424
?原来的函数的值域是?[?1,2]??
点评：求值域要注意①在函数的定义域范围内求值域②求值域最后应写成集合或区间的形式；?t2?d对形如y?ax?b?cx?d的函数可令?d?t(t?0)，则x?转化为关于?的有范围限制的c
二次函数求值；对于含有a2?x2的结构的函数，可考虑用三角换元令???????求解???
例?．求下列函数的值域?1?x3x1?2x
y?①y????????????????②y???????????????③?2x2x?5x?41?2
11解?①分离常数法：?y???,?0.?y???22x?52x?52
1??函数的值域为{yy??且y?R}??????2
1?y1?y?0,??1?y?1.?函数的值域为（??，?）?②反表示法：2x?，?2x?0,?1?y1?y
3x③判别式法：由y?2得yx2?3x?4y?0，?x?4
33当y?0时，x?0，当y?0时，由??0得??y?，?函数定义域为???44
33?函数的值域为[?,]?44
af(x)?b点评：对形如y?的函数，可先用?反表示?????再利用????本身的有界性求?的取值cf(x)?d
ax2?bx?c范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域?对形如y?2dx?ex?f
（?、?不同时为?）的函数求值域常用判别式法；注意使用前提：定义域是?且分子分母无公因子可约?此外求解过程中需兼顾二次项系数是否可能为?，以避免求解过程对而不全??
例?．求下列函数的值域?3xx2?5(x?0)????????????????②y?①y?2?2x?x?1x?4
113x3解?①不等式法：?y?2?(x?0)?又x???2??x??1??1?则1xxx?x?1x??1x
3?3??0,即?3?y?0?函数的值域为????????????1x??1x1②y?x2?4??令?t?x2?4?2?故不能使用不等式，?x2?4
1155但是y?t?在t?1时为增函数???y?2????函数的值域为[,??)?t222
a?b?ab(a?0,b?0)求值域，应注意正、定、等三要素?定值条件点评：利用基本不等式2
k往往需要自己来构造?等号能否取到需要切实地验证?对形如y?x?(x?0,k?0)的函数，用x
它在(0,k]上递减，在[k,??)上递增，求值域??
例?．求下列函数的值域?4sinx?1①y???②y?x2?4?x2?2x?10???③y?x5?5x4?5x3?2x?[?1,2]?2cosx?4
4sinx?1,x?R??解?①借助函数式的几何意义?直线的斜率???y?2cosx?4
4y?1??2ycosx?4sinx?4y?1?sin(x??)?2?4y
4y?1??????|sin(x??)|?1??||?1?平方整理得12y2?8y?15?0??4y2
53?????故ymax?，ymin???62
??②借助函数式的几何意义?两点间的距离?：y?x2?4?x2?2x?10?可化为y?(x?0)2?(0?2)2?x?(?1)]2?(0?3)2?
表示直角坐标平面内?轴上的点P(x,0)到两定点A(0,2),B(?1,3)的距离之和，?
如图?????，有y?|AB|?(?1?0)2?[3?(?2)]2?26??y?[26,??)?
?求导法??????????????????令?????得???????????????得??????????????解得???????????????由于?????????故比较????????????????????可知????最大值为??最小值为???所以值域为???????
asinx?b点评：对形如y?的函数?可转化为直线的斜率或用去分母合一变形后三角函数有ccosx?d
界性求解；若函数表达式有典型的几何意义如直线的斜率、两点间的距离等，则可借助几何方法求函数的值域?高次函数求值域可考虑导数方法求值域??
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∵y=x2-2x+a=（x-1）2+a-1≥a-1∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=?∴a-1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠?且A?C．∴解可得0≤a≤3
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集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）四种命题及其相互关系
1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。 （2)韦恩图表示为。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。 （2）韦恩图表示为。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。 &&&&&&& 补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且xA}。 （2）韦恩图表示为。1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
&1、四种命题：
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q；（2）逆命题：若q则p；（3）否命题：若则；（4）逆否命题：若则。
2、四种命题的真假关系：
一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；
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1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。
2、互为逆否命题同真假，即“等价”
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