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一次函数应用讲义.ppt 25页
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4一次函数的应用生活中的图象某股市变化情况1.知识目标：（1）提高学生的读图能力，解决与两个一次函数相关的图象信息题.（2）进一步培养学生数形结合思想，以及分析、解决问题的能力，提高思维能力.（3）通过小组合作学习，培养学生探究意识.2.教学重点读懂图象，并从图象中获取已知条件解决问题.3.教学难点同一坐标的两个函数的联系.干旱造成的灾情Ot/天V/,1000)由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米)的关系如图所示,回答下列问题:(1).干旱持续10天,蓄水量为多少?连续干旱23天呢?050t/天V/,750)(40,400)(60,0)由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米)的关系如图所示,回答下列问题:(2).蓄水量小于400时,将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报?(3).按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸?75040天60天t/天V/万米3由于高温和连日无雨，某水库蓄水量V（万米3)和干旱时间t（天）的关系如图：合作探究：还能用其它方法解答本题吗？（1）设v=kt+1200（2）将t=60，V=0代入V=kt+1200中求的k=-20，V=-20t+1200（3）再代入各组t或V的值对应的求V与t的值议一议一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？从“数”的方面看,当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解；从“行”的方面看,函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解.例1根据图象回答问题：（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？解：观察图象，得(1)当y＝0时，x＝500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米.（3）摩托车的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警？（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？（2）x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米2消耗升汽油.（3）当y＝1时，x＝450，因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警.例2在弹性限度内,弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.解：设y=kx+b,根据题意，得14.5=b①16=3k+b②将b=14.5代入②，得k=0.5所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米.4y/cmlt/天1.某植物t天后的高度为ycm，图中的l反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：（1）植物刚栽的时候多高？（2）3天后该植物多高？（3）几天后该植物高度可达21cm9cm12cm12天（3，12）（12，21）跟踪练习2.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元与行李质量x的关系如图：(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？⑵超过30千克后，每千克需付多少元？3030千克0.2元3.小明在电信局办理了某种电话话费套餐，该套餐要求按分钟计费且无论通话多长时间都需要交纳一定的费用作为月租费，办理后某月手机话费y元和通话时间x的关系图如下：观察图象形状,有何特点，你知道该电话套餐的内容吗？⑴该话费套餐的月租费是多少元?⑵每分钟通话需多少元?100分钟后每分钟通话：100分钟前每分钟通话：504.某植物t天后的高度为y厘米,图中反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：(1)植物刚栽的时候多高？4lt/天y/cm（2）3天后该植物高度为多少？（3）几天后该植物高度可达21cm?（4）先写出y与t的关系式，再计算长到100cm需几天？9cm12cm12天y=t+991天拔尖自助餐某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式选择，主要参考数据如下：运输方式运输速度（km/h)装卸费用（元）途中综合费用（元/时）汽车火车（1）请分别写出汽车、火车运输的总费用y1（元）、y2(元）与运输路程x（km)之间的函数关系；（2）你能说出用哪种运输队方式好吗？解：（1）y1=200＋4.5xy2=410＋2.4xy1=200＋4.5x
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一元一次函数
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一元一次函数(linear function of one variable)见“线性函数”.实一元一次函数y=kx+b(k}0)具有下列性质:在平面直角坐标系中它的图象是一条直线，k&。时，函数是严格增函数，kG。时
一元一次函数(linear function of one variable)见“线性函数”.实一元一次函数y=kx+b(k}0)具有下列性质:在平面直角坐标系中它的图象是一条直线，k&。时，函数是严格增函数，kG。时，函数是严格减函数;函数在R上处处连续，处处可微且存在任意阶导数:少=k,少.o-OCn=2}3,&..一次函数的图象
，可选取(0，0)，(3，2)两点，这样更简便了．
　　一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过两点A(0，b)，的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取．
　　2．一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的性质
　　当k&0时，y随x的增大而增大．
　　当k&0时，y随x的增大而减小．
　　3．直线y=kx+b(k≠0)在坐标平面内的位置与k、b的关系
　　直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k&0时，直线必经过一、三象限；k&0时，直线必经过二、四象限．b&0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b&0时，直线与y轴负半轴相交．直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号间的关系
　　如图6－2所示：
k=4y=x3k=1
43k&0k&3yx
经过原点和点(－2，－4)，直线经过点(1，5)和点(8，－2)．
　　(1)求及的函数关系式，并作出图象．
　　(2)若两直线相交于M，求点M的坐标．
　　(3)若直线与x轴交于点N，试求三角形MON的面积．
　　点拨：本题是考查一次函数和直线的关系，直线与坐标轴的交点及三角形面积问题，可利用待定系数法求函数的解析式．然后把两条直线的解析式看作二元一次方程，它们构成的二元一次方程组的解就是交点坐标．
　　解：(1)由已知得：．
　　又& ，，
　　∴& ．
　　又由已知，得：
　　解之，得：，．
　　∴& ．
　　它们的图象如图6－4所示．
　　解得：x=2，y=4
　　∴& 点M的坐标为(2，4)．
　　(3)令，得－x+6=0，x=6．
　　∴& 点N的坐标为(6，0)，于是ON=6．
　　又ON边上的高为点M的纵坐标4．
　　∴& (平方单位)．
　　点拨：一次函数的图象是直线，两直线的交点坐标就是所构成二元一次方程组的解，解题时要注意数形结合思想的运用．
　　例3& 已知函数y=(1－2m)x+m－1，当m取何值时，函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限？
　　点悟：本题主要考查直线的斜率与图象的位置关系．根据直线斜率为正，y随x的增大而增大；斜率为负，y随x的增大而减小的规律以及一次函数的图象经过二、三、四象限截距小于零，即可求解．
　　解：∵& y随x的增大而减小，
　　∴& 1－2m&0& 即．
　　又∵& 函数的图象经过二、三、四象限，
　　∴& m－1&0，即m&1．
　　∴& 只有当时才满足条件．
　　点拨：直线的斜率和截距决定了直线的位置，其规律要熟练掌握．
　　例4 &对于一次函数y=(m+4)x+2m－1，如果y随x增大而增大，且它的图象与y轴的交点在x轴下方，试求m的取值范围．
　　点悟：由于y随x的增大而增大，所以斜率大于0；又图象与y轴的交点在x轴下方，所以截距小于0，依此求解．
　　解：∵& 一次函数y随x的增大而增大．
　　∴& k=m+4&0，即&
　　又∵& 一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
　　∴& b=2m－1&0，即& ．
　　∴& 所求m的取值范围是．
　　点拨：本题考查一次函数的性质．上述解法利用了一次函数图象的性质来确定k、b符号，进一步求得m的取值范围．
　　例5 &已知一次函数的图象与正比例函数平行，且通过点M(0，4)．
　　(1)若点(－8，m)和(n，5)在一次函数图象上，求m、n的值；
　　(2)x在什么范围内取值时，这个一次函数的值是正数．
　　点悟：一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)的图象与正比例函数y=kx的图象是两条互相平行的直线，即斜率相等的两条平行直线，于是可由已知条件写出一次函数的解析式．
　　解：(1)由已知可得一次函数的解析式为：．
　　∵& 点(－8，m)和(n，5)在一次函数的图象上，
　　∴& 点的坐标满足上式，即：
　　(2)若一次函数的值是正数，则：
　　，即：x&6．
　　故x&6时一次函数的函数值为正数．
　　点拨：对于存在斜率的两条直线，它们平行的充要条件是斜率相等．
　　例6 &直线y=kx+b过点A(－1，5)且平行于直线y=－x．
　　(1)求这条直线的解析式．
　　(2)若点B(m，－5)在这条直线上，O为坐标原点，求m及△AOB的面积．
　　点悟：由于y=kx+b平行于直线y=－x，所以k=－1．然后再由直线过点A求得b，从而得直线的解析式．
　　解：(1)∵& 直线y=kx+b平行于y=－x，
　　∴& k=－1，即 y=－x+b．
　　又∵& 直线过A(－1,5)，
　　∴& 5=1+b，b=4．
　　∴& 直线的解析式为y=－x+4．
　　(2)∵& B(m，－5)在直线上，
　　∴& －5=－m+4，m=9．
　　画出直线AB，连结OA，OB，如图6－5，
　　&&&&&&&
　　点拨：求三角形的面积需画出图形，找出三角形的底和高．本例三角形的边不在坐标轴上，可用坐标轴把三角形分成几个边在坐标轴上的小三角形来处理．
　　例7& 已知函数，且，，y1与y2交点纵坐标是4．
　　(1)求y关于x的函数关系式．
　　(2)若函数y的图象交两坐标轴于A、B两点，求△AOB外接圆的半径．
　　点悟：由这两个函数的图象交点纵坐标是4的条件确定m的值和交点的横坐标x，从而得出y关于x的函数关系式；然后利用△AOB是Rt△这一特点得知斜边AB的一半即为△AOB外接圆的半径．
　　解：(1)设(x,4)为函数、的图像交点，则有：
　　解之得：x=1，m=2．
　　∵& ，．
　　∴& 所求y关于x的函数解析式为：y=3x+5．
　　(2)令y=0，得．
　　∴& ．
　　令x=0，得y=5，
　　∴& B(0，5)．
　　在Rt△AOB中，由勾股定理，得：
　　∴& △ABC的外接圆半径为．
　　点拨：本题考查函数与图象的关系，三角形的有关性质以及数形结合的基本思想．充分地利用数形结合求解函数与图象间的关系问题是解题的基本方法．
　　(B)m&3，n&－3
　　(C) ，
　　(D) ，
　　2．如果ab&0，bc&0，那么一次函数ax+by+c=0的图象大致形状是(如图6－6)&& (&&& )
与直线相交于x轴，则直线不经过的象限为&&
　　(A)第四象限&& (B)第二象限
　　(C)第一象限&& (D)第三象限
　　4．已知点和点在同一直线y=kx+b上，且k&0，若，则与的关系是&&
　　(A)&& (B)
　　(C)&& (D)与的大小不确定
　　5．当一次函数y=kx－5(k≠0)取不同的k值时可以得到不同的直线，这些直线必&& (&&& )
　　(A)相交于一个定点&& (B)互相平行
　　(C)有无数个交点&&&& (D)以上答案均不对
　　二、填空题
　　6．一次函数和的图象与y轴分别交于点P和点Q，若P点和Q点关于x轴对称，则m=__________．
　　7．某商店进了一批货，每件2元，出售时每件加利润5角，如果售出x件，应收入货款y元，那么y与x的函数关系是__________．
　　8．一次函数y=－2x+4的图象是_______，它与x轴的交点坐标是______，它与y轴的交点坐标是________，y随x的增大而______．
　　9．设一次函数y=kx+b的图象过点A(2，－1)和点B，其中B是直线与y轴的交点，则解析式为___________．
　　10．平行四边形的周长是14厘米，两条邻边中较大的一条边长为y厘米，较小一条边长为x厘米，则y与x之间的函数关系是______，自变量x取值范围是______．
　　三、解答题
　　11．已知：一次函数经过点(1，3)，其中a、b是斜边长为2的直角三角形的两条直角边．求这个函数的解析式；画出这个函数的图象；利用图象求方程的根；利用图象求当x在什么范围时y&0，y&0．
　　12．在直角坐标系中，如图6－7，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标是(1，0)，点D在x轴上，且∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式．
A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B
C&&&&&&&&&&&&&&&&&& D
3y=kxk&0(&&& )
k=___________
5y=kx15k______________________yx___________
6y=8xx0______________________
& DxBCD=ABD&ABC
& DCBDC=ADB
　　5．5；一、三；增大；
　　6．射线，第二象限；
　　7．s=60t（t&0）；图象，如图（注意：原点处是空心圆）
　　即 y=600－lOOx．
　　又由题意，即
　　解得0≤x≤6．
　　取x=0时，y=600．
　　取x=6时，y=0．
　　∴& 在平面直角坐标系中连结A（0，600）和B（6，0）两点的线段就是函数y=600－lOOx（0≤x≤6）的图象，如图所示；
　　9．（1）根据题意，得y=x，其中100≤x≤1200．
　　（2）函数图象略．