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请问各位老师spss软件能求矩阵的逆么？如何操作？希望能尽快得到帮助解答，谢谢大家！
载入中......
可用EXCEL求逆矩阵,方法如下：
1） 先将矩阵的数据输入，然后将所输入的数据选中(注意：只能是N*N的矩阵)，然后点击插入-名称-定义，给这个矩阵取个名字MatrixA，然后点击确定。
2） 再选择N*N个格，在上面的输入框内写入“=MINVERSE(MatrixA)”,然后同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，此时就可以得到MatrixA的逆矩阵了
人家说的是用SPSS嘛，楼主试试用因子分析那个模块
本帖最后由 thunderking334 于
10:51 编辑
weihancool
因子分析里面求的是相关矩阵的逆矩阵，他要求的是纯逆矩阵。麻烦搞清楚，至少不要教人错误的方法。你学术水平128呢！
感谢大家的帮助！：-）
thunderking334 发表于
可用EXCEL求逆矩阵,方法如下：
1） 先将矩阵的数据输入，然后将所输入的数据选中(注意：只能是N*N的矩阵)，然后点击插入-名称-定义，给这个矩阵取个名字MatrixA，然后点击确定。
2） 再选择N*N个格，在上面的输入框内写入“=MINVERSE(MatrixA)”,然后同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，此时就可以得到MatrixA的逆矩阵了非常感谢，已经解出来了！
用EXcel更好求，方便
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java实现求矩阵逆矩阵，里面包括计算矩阵行列式的函数实现
代码片段(1)
inv_matrix.java&~&3KB&&&&
java.io.*;
import java.util.S
java.util.StringT
inv_matrix
private static float[][] get_complement(float[][] data, int i, int j) {
/* x和y为矩阵data的行数和列数 */
int x = data.
int y = data[0].
/* data2为所求剩余矩阵 */
float data2[][] = new float[x - 1][y - 1];
for (int k = 0; k & x - 1; k++) {
if (k & i) {
for (int kk = 0; kk & y - 1; kk++) {
if (kk & j) {
data2[k][kk] = data[k][kk];
data2[k][kk] = data[k][kk + 1];
for (int kk = 0; kk & y - 1; kk++) {
if (kk & j) {
data2[k][kk] = data[k + 1][kk];
data2[k][kk] = data[k + 1][kk + 1];
return data2;
/* 计算矩阵行列式 */
private static float cal_det(float[][] data) {
float ans=0;
/*若为2*2的矩阵可直接求值并返回*/
if(data[0].length==2){
ans=data[0][0]*data[1][1]-data[0][1]*data[1][0];
for(int i=0;i&data[0].i++){
/*若矩阵不为2*2那么需求出矩阵第一行代数余子式的和*/
float[][] data_temp=get_complement(data, 0, i);
if(i%2==0){
ans=ans+data[0][i]*cal_det(data_temp);
ans=ans-data[0][i]*cal_det(data_temp);
/*计算矩阵的伴随矩阵*/
private static float[][] ajoint(float[][] data) {
int M=data.
int N=data[0].
float data2[][]=new float[M][N];
for(int i=0;i&M;i++){
for(int j=0;j&N;j++){
if((i+j)%2==0){
data2[i][j]=cal_det(get_complement(data, i, j));
data2[i][j]=-cal_det(get_complement(data, i, j));
return trans(data2);
/*转置矩阵*/
private static float [][]trans(float[][] data){
int i=data.
int j=data[0].
float[][] data2=new float[j][i];
for(int k2=0;k2&j;k2++){
for(int k1=0;k1&i;k1++){
data2[k2][k1]=data[k1][k2];
/*将矩阵转置便可得到伴随矩阵*/
return data2;
/*求矩阵的逆，输入参数为原矩阵*/
private static float[][] inv(float [][] data){
int M=data.
int N=data[0].
float data2[][]=new float[M][N];
float det_val=cal_det(data);
data2=ajoint(data);
for(int i=0;i&M;i++){
for(int j=0;j&N;j++){
data2[i][j]=data2[i][j]/det_
return data2;
public static void main(String args[]){
/* 输入原矩阵矩阵 */
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("输入矩阵的行数和列数");
int x = scan.nextInt();
int y = scan.nextInt();
float data[][] = new float[x][y];
System.out.println("输入矩阵");
for (int k = 0; k & k++) {
for (int kk = 0; kk & kk++) {
data[k][kk] = scan.nextFloat();
/*输出原矩阵的伴随*/
System.out.println("原矩阵的伴随矩阵为：");
float data2[][]=new float[x][y];
data2=ajoint(data);
for(int i=0;i&x;i++)
for(int j=0;j&y;j++){
System.out.print(data2[i][j]+" ");
System.out.println();
/*输出原矩阵的行列式*/
System.out.println("原矩阵行列式的值为：
"+cal_det(data));
/*输出原矩阵的逆矩阵*/
float data3[][]=new float[x][y];
System.out.println("该矩阵的逆矩阵为：");
data3=inv(data);
for(int i=0;i&x;i++)
for(int j=0;j&y;j++){
System.out.print(data3[i][j]+" ");
System.out.println();
开源中国-程序员在线工具：
相关的代码(175)
开源从代码分享开始
郑岸以的其它代码第六节　　逆矩阵
Xax=ba0写成x=a-1bAX=B也可以表示为X=A-1BXA-1
11& nAnCAC=CA=EEnCAA-1C=A-1
AC=CA=ECAACA=C-1AC
2A(A-1)-1=A.
3ABAB(AB)-1=B-1A-1
4AdetA0detA0A
C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B
&&&&&& AA=detAE&&& 1
& AAdetAE=AA
AA-1AA-1=Edet(AA-1)= detE,detAdetA-1=1,detA0,A
AdetA01A(A)= (A)A=E
A=X=B=AX=B
X=A-1B=A-1B==《矩阵的逆怎么求》_优秀范文十篇
范文一：//***************************//求任何一个矩阵的逆矩阵//***************************#include #include void main( void ){float *buffer,*p;
//定义数组首地址指针变量short int row, //定义矩阵行数row及矩阵元素个数short int i,j;
//定义矩阵的行列式float comput_D(float *p,short int n);
//求矩阵的行列式float Creat_M(float *p, short int m,short int n,short int k); //求代数余子式void Print( float *p,short int n);
//打印n×n的矩阵printf("\nPlease input the number of rows: ");scanf("%d",&row);num=2 * row *buffer = (float *)calloc(num, sizeof(float));
//分配内存单元p=if(p != NULL){for(i=0;i<i++)
//输入各单元值{printf("Input the number of %d row ",i+1);for(j=0;j<j++){scanf("%f",p++);}}}elseprintf( "Can't allocate memory\n" );printf("\nThe original matrix is:\n");Print(buffer,row);
//打印该矩阵determ=comput_D(buffer,row);
//求整个矩阵的行列式p=buffer + row *if (determ != 0){for (i=0;i< i++)
//求逆矩阵for (j=0; j< j++)*(p+j*row+i)=
Creat_M(buffer,i,j,row)/printf("The determinant is %G\n",determ);p=buffer + row *printf("\nThe inverse matrix is:\n");Print(p,row);
//打印该矩阵}elseprintf("The determnant is 0, and there is no inverse matrix !\n");free( buffer );}//--------------------------------------------------------//功能：求矩阵 n X n 的行列式//入口参数：矩阵首地址 p；矩阵行数 n//返回值：矩阵的行列式值//--------------------------------------------------------float comput_D(float *p,short int n){short int i,j,m;
//i-- j--columnshort int lop=0;float result=0;float mid=1;if (n!=1){lop=(n==2)?1:n;
//控制求和循环次数，若为2阶，则循环1次，否则为n次for(m=0;m<m++){mid=1;
//顺序求和for(i=0,j=m;i<n;i++,j++)mid = mid * ( *(p+i*n+j%n) );result+=}for(m=0;m<m++){mid=1;
//逆序相减for(i=0,j=n-1-m+n; i<n; i++,j--)mid=mid * ( *(p+i*n+j%n));result-=}}else result=*p;return(result);}//----------------------------------------------------//功能：求k×k矩阵中元素A(mn)的代数余子式//入口参数：k×k矩阵首地址；元素A的下标m,n; 矩阵行数 k//返回值： k×k矩阵中元素A(mn)的代数余子式//----------------------------------------------------float Creat_M(float *p, short int m,short int n,short int k){short int i,j;float mid_result=0;short int quo=1;float *p_creat,*p_len=(k-1)*(k-1);p_creat = (float *)calloc(len, sizeof(float));
//分配内存单元p_mid=p_for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){if (i!=m && j!=n)*p_mid++ =* (p+i*k+j);}//
Print(p_creat,k-1);quo = (m + n) %2==0 ? 1:-1;mid_result = (float ) quo * comput_D(p_creat,k-1);free(p_creat);return(mid_result);}//-------------------------------------------//功能：打印n×n的矩阵//入口参数：n×n矩阵的首地址；该矩阵的行数 n//返回值： 无//-------------------------------------------void Print( float *p,short int n){int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0; j<n;j++)printf("%10G ",*p++);printf("\n");}printf("--------------\n");}
范文二：科技信息高校理科研究矩阵求逆的方法中国计量学院理学院张花荣［摘要］矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容。而矩阵的求逆又是矩阵当中比较重要的一块。该文就如何求矩阵的逆这一问题，结合笔者多年的教学经验，总结出了求矩阵的逆的6种方法。［关键词］矩阵逆矩阵方法矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容。而矩阵的求逆又是矩阵当中比较重要的一块。这部分内容在工程技术中有着非常重要的应笔者经过认真思考并结合这些年来的教学经验，总结了以下6种求用。矩阵的逆的方法，与大家进行探讨。1、待定法如果给了矩阵A的具体表达式，按照矩阵的逆的定义，先设出与A同阶的方阵B，利用AB=E，得到相应的方程组，通过解方程组便可得到B，然后再验证BA=E，则B为所求的A的逆矩阵。实际上，根据书上的推论：若AB=E，则B为A的逆矩阵可知，只需将B待定，利用AB=E所这个方法适用于矩阵阶数较低的情形。当矩阵阶数较求得的B为所求。高时，此方法应用起来就比较麻烦。比如要求一个5阶矩阵的逆矩阵，需要解一个有25个未知数的方程组，这太麻烦了。2、利用公式A-1=1A*在矩阵的逆这一节里，经过讨论我们得到如下公式：A-1=1A*。这便是求矩阵的逆的第二种方法。利用这种方法需要计算矩阵A的行列式以及A的伴随矩阵。在计算A的伴随矩阵时，需要求每一个元素的代数余子式，最后还需将所得的代数余子式排成的矩阵转置，才可得*这种方法同样不适合于矩阵阶数较高的情形。仍以求5阶矩阵的到A。比较麻烦。逆为例，这需要计算25个代数余子式，3、利用初等变换利用初等变换求逆是将矩阵A的右端放一个与A同阶的单位矩阵，然后再进行初等行变换，当所用的初等行变换将左端A变成单位矩-1右端便为所求的A。当然也可以在A的下方放一个同阶的单阵E时，位矩阵，这时需要采取的是初等列变换，同样当这些初等列变换将A变-1为单位矩阵时，下方为所求的A。利用这种方法求矩阵的逆具有可操作性，可以将步骤程序化。鉴于这种特点，许多软件就是利用这种方法求逆矩阵的，而且当矩阵阶数较高时，此方法使用起来也比较方便。4、利用公式AB=E使用此公式求逆除了待定法外多见于证明题中。比如已知：A为k-12k-1n阶方阵，对某正整数k>1，A=0，证明：(E-A)=E+A+A+…+A。这道2k-1若题所采用的证明思路就是让(E-A)与(E+A+A+…+A)做乘积，2k-1(E-A)(E+A+A+…+A)=E，则得证。利用此公式求逆矩阵还有另外一种2题型：已知A-2A-E=0求证A+E可逆，并求A+E的逆。这类题目的解2题思路便是设法将A-2A-E进行因式分解同时出现A+E。然后通过凑的方式写成(A+E)(A-3E)=4E，则A+E可逆，且(A+E)-1=1(A-3E)。4（上接第111页）生物柴油可以有效地的减少CO和HC的排放，并且生物柴油应用在柴油机上基本上不需改变发动机原有的结构，因此在各类替代燃料中很具有竞争力。由于生物柴油是一种可再生的能源，以植物作为原料，生物柴油的生产和消耗过程是碳的有机循环过程，所以生物柴油的使用不会使得空气中CO2的总量增加，只要我们争取尽早解决好生产生物柴油的原料问题，进一步优化提升生产方法和效率，在不久的将来，生物柴油将会是一种很好的替代柴油的车用新型绿色燃料。3.结束语在未来的发展中，柴油机将会有很大的发展空间，而我们要做好在柴油机上使用新型的代用燃料的工作,从汽车行业的角度为我国的节能一方面，我们要节约现在还剩余不多减排战略作出应有的贡献。总之，的石油能源,大力发展发动机的节能技术，控制发动机污染物的排放；另一方面，我们要在节能的基础上开发研制出更加清洁的替代能源，为能源危机提出具有重要意义的应对措施,使得绿色替代能源能在柴油机上得到更为广泛的应用。参考文献［1］孙志军,赵黎明,洪伟等.醇类燃料均质压燃技术及其产业化展5、利用分块矩阵求逆ABA0对于或这一类分块矩阵，在可逆的条件下，书本上0DCDE0ABFG=方法是假设，则可给出了求其逆矩阵的方法。0E0DHJG，H，J的一个方程组，通过解方程组便可得到F，G，H，以得到关于F，ABJ，从而便可得到的逆。实际上这种方法也可推广到一般的求分0DAB的逆矩阵，在可逆的条件下，通过待定法，可得到块矩阵CD??????????????-1-1-1（D-CAB）CAA-AB??=?-（D-CAB）CAABCD-1-1-1-1-1-1-1-A-1B（D-CA-1B）-1（D-CA-1B）?-1A0这个公式给出了一大类分块矩阵求逆的公式。像0B??=0B-10AA-10，=-1等等。在分块矩阵求逆里，还有分块对0B-1B0A0角矩阵的求逆公式，在每个子块可逆的条件下，埙埙1埙埙埙埙埙埙埙埙埙?????A2埙埙埙埙埙埙埙埙埙埙埙n埙-1?-1A-1=A埙-1埙埙1埙埙埙埙埙埙埙埙埙埙AA2埙A埙埙埙埙埙埙埙埙埙埙-1埙埙n埙，这样求矩阵的逆就转化为求子块的逆。6、使用技巧求逆技巧的使用依赖于题目条件，这需要具体问题具体分析。在这里举*-1一个例子来说明。比如已知矩阵A的具体表达式，求(A)。若直接来求*然后利用上述提到的第三种方法在求出(A*)-1，这的话，需要先计算A，*-1样处理的话，运算量较大。若利用A与A之间的关系及逆矩阵的性质计算就比较简单。因为A*=AA-1所以(A*)-1=(AA-1)-1=1A。从而这个题目只需要求出A的行列式，让矩阵A的每一个元素乘上A的行列式的倒数便是所要的答案了。总之,矩阵求逆的方法很多，这需要大家多总结，同时在遇到题目时根据题目条件选择合适的方法，这有利于知识的巩固与掌握。参考文献［1］苏德矿，裘哲勇.线性代数.高等教育出版社,2005,7.］.汽车技术,2007,设计·计算·研究(4):21-24.望［J［2］董敬,庄志,常思勤编.汽车拖拉机发动机(第3版［)M］.北京:机械工业出版社,.［3］姚春德.甲醇在柴油机上应用的技术进展［J］.中外能源,-44.［4］王明扬,卢贵忠,毛明华等.柴油机混燃汽化醇类燃料的试验研究［J］.云南农业大学学报.):277-280.［5］陈强福.醇类燃料在车用发动机上的研究现状［J］.甘肃科技纵横,):19,43-44.［6］蒋德明，黄佐华编.内燃机替代燃料燃烧学［M］.西安:西安交通大学出版社，,10-12.［7］李冠峰,梁爱琴,李遂亮等.我国车用代用燃料研发与应用现状［J］.农机化研究,-201.［8］徐美同,王立华.二甲醚的生产工艺技术比较［J］.甘肃石油和化工,-34.［9］祁东辉,陈昊,刘津.柴油机燃用生物柴油的燃烧和排放特性研究［J］.汽车工程,):581-584.［10］谭天伟,王芳,邓立.生物柴油的生产和应用［J］.现代化工,):4-6.
范文三：矩阵的可逆性与逆矩阵的求法目录摘要……………………………………………………………………………………1 第1章．矩阵…………………………………………………………………………..2 1.1矩阵的定义……………………………………………………………………2 1.2矩阵的运算……………………………………………………………………2 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵……………………………………………………..5
2.1矩阵的基本概念……………………………………………………………….5 2.2矩阵可逆的判断方法………………………………………………………….6 2.3矩阵可逆性的求法…………………………………………………………...10 第3章．逆矩阵的拓展.……………………………………………………………..17 3.1广义逆矩阵的引入.…………………………………………………….……17 3.2广义逆矩阵的定义及存在……………………………………………...……17 第4章．总结………………………………………………………………………….21 参考文献 ……………………………………………………………………………22 致谢 …………………………………………………………………………………23 附件：论文英文简介矩阵的可逆性与逆矩阵的求法[摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组AX?B求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。[关键词]：矩阵
求法矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。第1章
矩 阵1.1矩阵的定义定义1由st个数cij排成一个s行t列的表?c11??c21????c?s1c12c22?cs2???c1t??c2t????cst??叫作一个s行t列（或s?t）矩阵，cij叫作这个矩阵的元素。 定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：(i)交换矩阵的两行（列）；(ii)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素；(iii) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。1.2矩阵运算定义1数域F的数a与F上一个m?n矩阵A?(aij)的乘积aA指的是m?n矩阵(aaij)，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。定义2两个m?n矩阵A?(aij),B?(bij)的和A?B指的是m?n矩阵(aij?bij)，求两个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。要注意，我们只能把行数与列数都对应相同的两个矩阵相加。 由定义1和2，容易推出以下规律：A?B?B?A(A?B)?C?A?(B?C) O?B?O?Aa(A?B)?aA?aB(a?b)A?aA?aBa(bA)?(ab)A这里A,B,C表示任意m?n矩阵，而a和b表示F中的任意数。 定义3m?p数域F上m?n矩阵A?(aij)与n?p矩阵B?(bij)的乘积AB指的是一个矩阵，这个矩阵的第i行第j列的元素cij等于A的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和：cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj2，?，m，j?1,2,?,p
i?1，矩阵的乘法的结合律：(AB)C?A(BC)矩阵的乘法和加法满足分配律：A(B?C)?AB?AC(B?C)A?BA?CA矩阵的乘法和数域矩阵的乘法：a(AB)?(aA)B?A(aB) 特别注意：矩阵的乘法不满足交换律。一个n阶方阵A的r次方有意义：r个?????rA?AA?A我们再约定A?I定义4
设m?n矩阵?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2???a1n??a2n????amn??把A的行变为列所得到的n?m阶矩阵?a11??a12a21a22??am1??am2?A???????a1na2n叫作矩阵A的转置。 矩阵的转置满足以下规律：(AT)T?A(A?B)T?AT?BT(AB)T?BTAT(aA)T?aAT????a?mn?第2章 矩阵的可逆性及逆矩阵2.1矩阵的基本概念定义令A是数域F上一个n阶矩阵。若是存在F上n阶矩阵B，使得AB?BA?I那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。下面的几个概念有助于对矩阵可逆性及逆矩阵求法理解：（1）设n(?1)阶矩阵?a11??a21A?????a?n1a12a22?an2???a1n??a2n????ann??以下等式成立：?detA,若i?j,ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn???o,若i?j;?detA,若i?j,a1iA1j?a2iA2j???aniAnj???o,若i?j;这里Ast是行列式detA中元素ast的代数余子式。由此 若是设???*A?????A11A21?A1nA12A22?A2n???An1??An2????Ann??那么?detA??0*?AA?????0?0detA?0?????0??(detA)I ???detA??0AA*我们把矩阵A*叫作矩阵A的伴随矩阵。（2）初等矩阵：对n阶单位矩阵I做一次初等变换所得到的矩阵：?1???????Pij????????????11??11?1???1????????? ???????1???1????Di(k)????????1????Tij(k)????????1k1???????????1??1??k?1??????? ????1?将这三种方阵叫作初等矩阵。通过验算容易看出初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等矩阵。2.2矩阵可逆性的判断方法依照不同的方式和性质，可以从下列几方面来判断矩阵的可逆性：（1）n阶矩阵A可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。证明：A可以通过初等变换化为单位矩阵I，就是说，I可以通过初等变换化为A，也就是说，存在初等矩阵E1,?,Es,Es?1,?,Et，使A?E1?EsIEs?1?Et?E1?EsEs?1?Et这是由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵的性质推出的。 例1．用初等矩阵表示下面的方阵?4?A??2?0?5206??2? 4??解：根据左行右列的规律：?4??0?0??1?
?12?0??1? ?0?0??1?A?故矩阵
?0?0?0100??1??0???12?4???0126??1??0???0?1???00100??4??0???0?1???05105106??0? 1??5206??2? 1??6??2? 4??0100??0? 1??0??4???1???0?1???00??4??0???2?4???00?0126??4??0???2?1???06??4??2???2?1???05105205200??4???1???0?1???06??1??0???0?1???0（2）若矩阵行列式detA不为零，则其矩阵A可逆。证明：将矩阵A分解为A?E1?EsAEs?1?Et其中E1,?,Es,Es?1,?,Et是初等矩阵，由初等矩阵的性质可以知道，detEi?0及矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积 及得det(A)?det(E1)?det(Es)det(A0)det(Es?1)?det(Et)?0，所以矩阵行列式detA不为零时，其矩阵A可逆。综上所述：行列式detA不为零，则其矩阵A可逆。 例2．判断下列矩阵是否可逆。（1）A???15????解：（1） detA?35?13??1?（2） B??0?0?2203??3? 0???5?3?2?0，所以A可逆。122033?0?0?0?0?0?0?0，所以B不可逆。 0（2） detB?0（3）含有n个坐标的n个向量组成的方阵A，若这n个向量线性无关，则这个方阵A是可逆。证明：设n个向量分别是?1，?2，…，?n 且
?1??a11a12?a1n?,?,?n??an1an2?ann?，?a11??a21则 这n个向量构成了一个n阶方阵，A?????a?n1?1??0将矩阵A 化为
????0??001?0000?00????0??0?0?
?0??1?a12a22?an2???a1n??a2n????ann??若其中有一个或者一个以上的0，则向量?1,?2,?,?n，可以化为?k?k1?1?k2?2???knan即?1,?2,?,?n向量是线性相关的一个矩阵。与条件相矛盾。即矩阵A可以化为单位矩阵，所以方阵可逆。 例3． 令F是任意的一个数域。F3中判断向量?1??1,2,3?,?2??0,4,0?,?3??0,0,8?的相关性，由此判断其构成的矩阵A的可逆性。 解：设存在a,b,c?F，使得a?1?b?2?c?3??0,0,0?即
a?1,2,3??b?0,4,0??c?0,0,8???0,0,0?因而有a?0,b?0,c?0，则?1,?2,?3线性无关。则表明?1,?2,?3中得任意一个都不能被另外两个表示。则其构成的矩阵?1??0????0??001?0000?00????0??0?0? ?0??1?通过化简后每一行或列都含有一个数，及其行列式不为零。（4）设一个齐次线性方程组的系数矩阵A是一个方阵，若此齐次线性方程组仅有零解，则我们可以判定这个方阵A可逆。证明：矩阵来表示n个n元齐次方程组： AX?0因为齐次线性方程组的变换中只有行变换，故不改变系数矩阵的可逆性。而只有零解使其行列式的秩等于其行数和列数。一个方阵构成的线性方程组若只有零解，则这个矩阵A可逆；若其有非零解，则矩阵A不可逆。?2?例4． 矩阵A??0?0?3406??8?是一个齐次线性方程组系数矩阵，证明矩阵A可逆。 9???2x1?3x2?6x3?0?证明：构造齐次线性方程组：?4x2?8x3?0
化简后得，?9x3?0??x1?0??x2?0 ?x?0?3即此齐次方程组只有零解，故矩阵A可逆。我们常常用方阵来解线性方程组，这种转换的方式可以使我们更好的理解矩阵的实质。 （5）设A与B都是n阶矩阵，证明：若AB可逆，则A和B都可逆；反之也对。证明：因为AB可逆，则det(AB)?0
由det(AB)?(detA)?(detB)，得detA?0，detB?0，A和B都可逆 。C??B???A（6）设P???0?是一个n阶正方阵并且A，B分别为r和s阶可逆方阵r?s?n，则P是可逆矩阵 并且P?1?A?1???0??ACBB?1?1?1?? ??证明：我们由例（1）知道，方阵A是由r个无关向量构成的，B是由s个无关向量构成的，则P则是由个r?s无关向量构成的，有r?s?n，得P是秩为n的n阶方阵。则detP?0，所以P可逆。2.3 逆矩阵的求法在判断一个n阶矩阵A可逆后，就可以求其逆矩阵。主要求逆矩阵的方法有：1.利用初等行变换求逆矩阵。如果n阶矩阵A可逆，要求A的逆矩阵，首先由A作出一个n?2n矩阵，即?AI?,其次对这个矩阵施以行初等变换，将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵，那么右半部的单位矩阵就同时化为A?1：?AI?????????IA?1? 例5．求矩阵A的逆矩阵?1?A??3?1?2414??2? 1??行初等变换解： 先判断矩阵A是否可逆，矩阵A行列式det(A)??4?0写下A，并把单位矩阵I写在A的右边：?1??3?1?2414??1??2??0?1???00100??0? 1??实行行的初等变换把A变成I，但是要记得每次对右边的矩阵施行同样的初等变换。第二行和第三行分别减去第一行的3倍和第一行，得?1??0?0?2?2?14??1???10???3??3????10100??0? 1??用?12乘以第二行，得?1??0?0?21?14??1??5??32???3???10?0120??0? 1??第三行加上第二行，得?1??0?0?2104??1??5??32??12??20??12120??0? 1??第三行除以2，得?1??0?0?2104??1??5??32??1??140??12140??0? 1?2?第二行加上第三行的-5倍，第一行加上第三行的-4倍，得?1??0?0?2100??0??0??14?11???413414??2??5?2? 1?2?第一行加上第二行的-2倍，得?1??0?0??1?验证得：?3?1?2414???12??2???14?11???40100???12??0??14?11???4010?3412?143??5?2? 1?2??3412?143??1??5?2???0?01??2?0??0? 1??这种方法求逆矩阵的过程清晰易懂，是求逆矩阵的基本方法。 2.利用初等列变换求逆矩阵。如果n阶矩阵A可逆,作一个2n?n的矩阵????,然后对此矩阵施以初等列变换,使?I??1?A?矩阵A化为单位矩阵I,则同时I即化为A?4?A?例6．求矩阵?0?0?5376??2?的逆矩阵。 3???A?初等列变换?A????? ?????,即???1???I??I?解： 先判断矩阵A是否可逆，矩阵A行列式
det(A)??20?0写下A，并把单位矩阵I写在A的下边：?4??0?0??1?0??0?5370106??2?3?? 0??0?1??实行列初等变换把A变成I，但是要记得每次对下边的矩阵施行同样的初等变换。第一列除以4，?1??0?0??14?0??0?5370106??2?3?? 0??0?1??用第一列乘以-5加到第二列，用第一列乘以-6加到第三列，?1??0?0??14?0??0?037?10540??2?3?? 3?2??0?1??第二列除以3，?1??0?0??14?0??0?017351213?0??2?3??3?2??0?1??用第二列乘以-2加到第三列，?1??0?0??14?0??0?017351213?0??0???53?2?3???23?1??第三列乘以?35，?1??0?0??14?0??0?017351213?0??0?1?? 2?52?5?3??5?用第三列乘以?73加到第二列，?1??0?0??14?0??0?010??0??0?1?? 2?52?5?3??5??4?验证得：
?0?0?5376??14??2???0?3???0??27203575??1??2??05??3??5??0250100??0? 1??3.利用矩阵的伴随矩阵求逆矩阵。定理：矩阵A可逆当且仅当矩阵A行列式detA?0且 A?1?1AA*证明：必要性：由A可逆，即存在A?1，使AA?1?I，故detA?detA?1?detI?1所以
detA?0充分性：因为
AA*?A*A?detA?I由于detA?0，所以A由可逆的定义有A?11detAA?*1detAAA?I*?1detAA*这种求逆矩阵的方法计算量很大，理论上的作用较为重要的。 例 7. 下列矩阵A,B,C是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵。?1?A??2?1?2133???12?，B???2??3??2?3??，C???1?4??1?3?35?1??5? ?11??解： detA?4?0，故A可逆A11??3,detA中各元素的代数余子式为，
A21?3,A12??4,A22?0,A23?4,A13?5,A23??1, A33??3,A31?1,所以?1A??3?11*A???4?detA4??530?11??4? ?3??detB?1234=-2?0，所以矩阵B可逆。即1?4??2??2?3??1??B?1??2detC??113?35?15?11?0，所以矩阵C不可逆。4．分块矩阵求逆矩阵。分块矩阵法是针对高阶矩阵的一种解法。首先我们要判断怎样对矩阵做分快更合适求逆矩阵，尽量使各分块矩阵求逆的运算更简便，从而简化原矩阵求逆。?1??0?08. 求矩阵A???0?0??0?2200000040000006000000200??0?0??的逆矩阵。 0??3?4??例?A11解：将矩阵A分成四块
A???A?21?1???0?0?2200??0??0?，A12??0?04???A12?? A22??0000??0??0?，A21??0?00???0000??6??0?，A22??0?00???020其中A110??3? 4??11根据矩阵的乘法性质：A?B???A?21?AA12??B11????A22???B21B12?? ?B22??A11?B11?A12?B21???A?B?A?BA11?B12?A12?B22??A21?B21?A22B22??要使A?A?1?I，即要使A?1A?A?1???A1112??A11A?112???A21A?????1A?1?22???A?2122????AA?1?111?11?A12?A21A?1?A?111?A1212?A22???A?A?1?A?A?1?1??21?A12?A22?A22????AA?111?110???0A?A?1??2222?由AA?1?111?11?I,A22?A22?I??10?00?求得
A?111??1?00.50??0.1667?,A?1??22?00.5?0.375??
??000.25????000.25????1?10000??00.50000???故所求逆矩阵是 A?1??000.25000???0???.375????000.25????120000???100???00.500?验证：
A?A?1??004000???000.250?000600??????000023?????0000?004????000?00??00??00?0.5?0.375??00.25???1??0?0???0?0??0?0100000010000001000000100??0?0?? 0??0?1??5.求解逆矩阵也可以用计算机软件来做。其步骤是先输入一个n阶矩阵A，然后判断它的行列式是否为零，再用inv(A)，即可得到你需要的逆矩阵。下例就是用Matlab软件的解法求逆矩阵： 例9. 求矩阵A的逆矩阵?1?A=?3?1?2414??2? 1??解：A?[1,2,4;3,4,2;1,1,1]A?131241421??det(A)ans??4??inv(A)?0..2500?0.?0.25003.000.5000即
A?1??0.5???0.25?0.25??0.50.75?0.25???2.5? 0.5??3第3章
可逆性的拓展——广义逆矩阵3.1广义逆矩阵的引入1920年E.H.Moore利用正交投影算子首次引入广义逆矩阵的概念，但未引起人们的注意。到1955年R.Penrose通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵，这才受到关注。以后广义逆矩阵的研究得到迅速发展，并逐步在系统理论、优化问题和控制理论等许多领域中被广泛地应用。后来证明Moore与Penrose的定义方法，这就是：设m?n矩阵A?Cm?n，如果存在m?n矩阵G?Cm?n，满足Penrose条件的一部分或全部：(1)AGA?A(2)GAG?G(3)(AG)(4)(GA)HH?AG?GA则称G为A的一个广义逆矩阵。3.2广义逆矩阵的定义及存在性定义设m?n矩阵A?Cm?n，如果存在n?m矩阵G?Cm?n满足条件AGA?A则称为矩阵的广义逆矩阵，并记做A?。值得注意对于任何矩阵A，这样的G并不唯一，这一点从本例可见到：若?1??0??1A???0?1??0???1，则有 G???0?1??0??，都有AGA?A，同时对任意的t?C,每个矩阵t??都可作为G?0?，使得AGA?A也成立。因此，对任何矩阵A?Cm?n，就定义A的广义逆矩阵集：A?1??G?C?n?m|AGA?A?并且集A?1?中任何一个矩阵G都可以记为A?。例?110．求矩阵A???0?0??1??的广义逆矩阵。解： 由定义知，GAG=A，设G???c??a2?bc??ac?dc??ab??，有 ?d?ab?bd??1????2?bc?d??0?1?0?0?10?? 1???a2?bc??ab?bd故
??ac?dc?bc?d2??a?1?a??1???b?0?b?0若b?0时，有?或?，其中k为任意的常数；?c?k?c?k?d??1?d?1???a?1?a??1???b?k?b?k若b?0时，有c?0，?或?其中k为任意的常数；?c?0?c?0?d??1?d?1???a?m??b?n有c?0，?其中m?1,n?0的任意常数。 21?mnc?n??d??m?定理：设m?n矩阵A?Cm?n，秩(A)?r(r?0)且有可逆矩阵P?Cm?m,Q?Cn?n?Ir使PAQ???0?0??，则 A?1??0???I??Ir??G?Q??Y???r?(m?r)(n?r)?rX?X?C,Y?C，???P?(n?r)?(m?r)Z?Z?C为任意矩阵???r证明：由题设知A?P?1??0?0??1?Q ?0?现在任取G?A?1?，应有GAG?A，即要求：P?1?Ir??0?0??1?QGP0???1?1?Ir??0?0??1I?1?r??Q?P?0???00??1?Q 0??将Q?1GP?1作分块形式，
即Q?1GP?W???Y?r列X??Z?m?r列?n?r行r行并代入上式就推出W?Ir?IrG?Q??Y?r反之，任取这样的一个n?m矩阵G?Q??Y?X? ?PZ??X??P?Z??I，则有?Ir??0?0??1?Q0??AGA?P?Ir??0??1?Ir??0?0??1?Ir?QQ??Y0???X??PPZ???1?P?10??1?Q?A0??故证得。由本定理可得，当A?Om?n时，则A?1???任意n?m矩阵B?Cn?m?；对n阶非奇异矩阵A，因存在n阶可逆矩阵P和Q，使得PAQ?In，即A?P?1Q?1，则有A?1???QInP???QP??A??1?这说明 非奇异家族中对A的广义逆矩阵A?是唯一的，即为A?1。 例11．设矩阵?1?A??0??1?r解：为得A?P??0?0241251??2?
求A?1?，并给出一个A?。 3???I0??Q0??中的P,Q，对下列矩阵施行初等行变换及初等列变换，化为?Ir??0?0??形式，即 0???A??I?4?1??0?0I3?行列???1?0?????0??0?0?0100100000?1?10110101/2?2O0??0?1??? ?????于是?1?P??0?1?01/2?2?10????00?
Q??0??1??0?01001?110?1???1??0?1??因此??1????0A?1??????0??0??01001?110?1?????1??0?????1???10y11y2101y12y22x1???1x2???0z1???1?z2??01/2?20??xi,yij,zi为C中任意数0?i,j?1,21?????????并且当令xi?yij?zi?0时，就得一个最简单的A?如下：?1??0??0??0?0100?1??10???1?1??0110??00???01???000?1??01/2??00??00?10???10???0?0??1?0??0??0?0??0??01/2?20??0?1??A?关于广义逆矩阵的求法和应用还有待更深入的探究，特别是它与具体矩阵的逆矩阵的联系更有学习的意义。第4章 总结本文主要讨论了矩阵可逆的判定条件和求逆矩阵的基本方法。矩阵可逆性是矩阵乘法运算的逆运算类似数的除法运算的前提，求可逆矩阵的逆矩阵的方法主要就是两类：一类是以矩阵的初等变换为基础的方法，是求逆矩阵的一般方法，并且可以推广到分块矩阵去解决高阶三角形的矩阵求逆。另一类就是利用矩阵与其伴随矩阵的乘积，加上行列式的依行依列展开式的性质来求矩阵的逆矩阵的方法，此类方法主要是理论作用较大，而具体求逆矩阵的计算量太大，不易对高阶矩阵求逆。随着社会的进步和发展，计算机中在处理大的数据时，常运用Matlab计算方法得出我们需要的结果，避免了在数学计算中的复杂性，这给矩阵理论的深入研究和实际应用提供了发展空间，同时也需要我们进一步的学习和探究。参考文献【1】张禾瑞、郝鈵新. 高等代数[M]第五版.北京：高等教育出版社.
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范文四：ｘｘ４Ｌ０４。１］。０Ｊ畦＝求矩阵的逆矩阵的方法蒋银山（广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部，广东广州５１０５４５）摘要：对于ｎ阶方阵Ａ，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ成立。则称Ｂ是Ａ的逆矩阵。若矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等行变换化为单位矩阵Ｅ。关键词：逆矩阵初等行变换法初等列变换法分块矩阵法求矩阵的逆矩形主要有以下方法。一、定义法对于ｎ阶方阵Ａ，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ成立，则称Ｂ是Ａ的逆矩阵。即：ＡＢ＝ＢＡ＝ＥｊＡ～＝Ｂ。二、伴随矩阵法定理：ｎ阶方阵Ａ为可逆矩阵的充分必要条件是Ａ的行列式ＩＡｌ≠ｏ，且有Ａ～＝萧。三、初等行变换法若ｎ阶矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等行变换化为单位矩阵Ｅ，即存在可逆矩阵Ｐ。，Ｐ：，…，Ｐ。，使得Ｐ。?Ｐ。．。?…?Ｐ２?Ｐ，Ａ＝Ｅ，于是Ａ～＝Ｐ。?Ｐ。一Ｉ…一Ｐ２?Ｐｌ。由此可得初等行变换求逆矩阵的方法。（Ａ；Ｅ．）切笠盈变缝（Ｅ。；Ａ．１）。四、初等列变换法若ｎ阶矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等列变换化为单位矩阵Ｅ，即存在可逆矩阵Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ。，使得Ａ?Ｐ。?Ｐ２…??Ｐ。一Ｉ?Ｐ。＝Ｅ，于是Ａ～＝Ｐ１?Ｐ２…一Ｐ。一ｌ‘Ｐ。。由，Ａ＼ｆ，Ｅ。、此可得初等列变换求逆矩阵的方法：Ｉ…Ｉ垫笠到銮逸Ｉ…Ｉ＼Ｅ。／ＩＡ—Ｊ把求高阶矩阵的逆矩阵转化成低阶矩阵的逆的运算。ｒ４００１例：求Ａ＝１０３—２Ｉ的逆矩阵。【０１５Ｊ解：由矩阵的逆矩阵的定义可设：Ａ－１＝ｌ砀物ｘ２３Ｉ，则Ａ～Ａ＝Ａ?Ａ～＝Ｅ。等融驯㈦＝㈧】等Ｅｘ；３Ｘ：１２：＋兰：－；２笔ｘｎ＋＋５５芝ｘ１３＝争ｌ２ｌ３ｘ挖＋ｘ２，一２ｘ２２＋５ｘ２３ｌ＝ｌＩ。３ｘ３２＋ｘ３３—２ｘ，２＋５ｘＪＬ００Ｊ３Ｉ３３１】。由矩阵相等化简可得：ＩＸＩＩ２寺’ｘ１２＝ｏ，Ｘ１３＝０｛ｘ２Ｉ＝ｏ，ｘ芷＝斋，砀＝吾。ｂ＝ｏ，铲一古，砀＝斋万方数据一＝㈧猛一：公瓦猛１４００ＩＡＩ－Ｊ０３—２ｌ＝６０＋８＝６８，．．．Ａ可逆。１０１５下面求Ａ’。Ａ。。＝（一１）１＋１ｌ；ｊ２１＝１７，Ａ。：＝（一１）１＋２Ｉ：ｊ２ｌ＝。，Ａ。，＝ｃ一－，１＋３ｌ：；ｌ＝。，Ａ：．＝ｃ一－，２＋１ｌ：：ｌ＝ｏ，Ａ：。＝ｃ一－，２＋２ｌ。４；ｌ＝２０，Ａ２３－（．１）２＋３０４７Ｉ一４，Ａ，。＝ｃ一?，３十１１：？２１＝０，Ａ３２＝ｃ一－，３＋２ｉ：：｛＝一４，Ａ３，－（＿１）３¨１４磐１２０，，１７０．?．Ａ’＝１０、０２０—８Ｌ０—４１２．．＾一一￡ｊＩ，‘“一ＩＡｌ’Ｏ０５２．?．Ａ～＝Ｅ１７１７ｌ３１７１７厂４００１００、（ＡｉＥ３）＝１０３－２０１０Ｉ＼０１５００１，１ｏｏｈ÷４ｏ了１—－－————————＇＿ｏ／ｒ２．一＊ｒ３ｌ０１５０００ｌ一１１ｏＩ＂３－－３ｒＩｏ÷ｏｏ］０１５００１ｌｌ００—１７０１—３Ｊ１００１：！二！：Ｕ，…ｆｏ１ｏ：０寺０ｏｌ１０ｏ－ｏ一专音重视数学课本教学是培养学生能力的切入点孙中莲（江苏省丰县华山中学，江苏丰县２２１７００）以前很多教师课前准备的内容都比课本上要求的内容要的教科书．教师要培养学生的数学能力．只要把课本上的内多得多．而因为准备的内容多．往往在课堂上讲不完。不少教容讲清讲透就足够了。我认为重视数学课本教学是培养学生师就在课后给学生讲．这样就占用了学生的自习时间，同时又能力的切人点。给学生印制了大量的试卷．而且试卷上有的题目难度太大。课本上的内容是一切数学知识的基础，课本上的例题是这对学生而言根本就不适合，有的学生一晚上也做不出一道很多题型的缩影，很多教师书上的例题一般不讲，只是用下载难题，有的学生勉强做出来一道还有很多漏洞。总之，这样使的课件直接给学生讲授新课，这样书上的很多内容就没有提学生浪费了很多时间．再加上教师占用了一部分自习课时到，而同时教师没有恰当地板书，多媒体课件点击得又太快。间．学生就没有充分的时间预习，没有预习第二天课堂上就学生根本来不及看完就过去了，一节课上完了很多学生都没可能跟不上。课本上的内容都没有学会，怎么去做那些难题？有学会新的知识。虽说现在科技发达了，引进很多现代先进的这样恶性循环很多学生对数学就产生了厌学情绪．甚至有的教学仪器．但是教师一定要把书上的基本内容及时板书，还要学生就干脆放弃了数学。在素质教育的体制下给学生减负已根据书上的内容给学生作相应的变形，做到触类旁通，这样才成为每个教师必须做的事情．不能再像以前那样强占学生的能对得起学生。我用自己平时教学中的一些案例来说明这一自习课时间。这样教师必须在课堂上．在有效时间内完成自观点的合理性。己的教学任务。而课本是我们江苏的很多专家教授精心编写案例一：在讲授《高中数学必修５》中的第一章第二节余弦旺００上００——Ｉ—００４４１ｏｏ吾百２Ｉ．（Ｅ，；Ａ－Ｉ）．?．一：ｏ。上尘１７１７ｏ?ｏ一古斋ＪｎＶ一上三１７１７●一４ｏ法五：分块ｊ广４’．圹ＩＩＯＡ＿Ｊｌ…ｏＬ法四初一；一＂ｏＯ一一５０列变ｏ吾音觖００设Ａ＝Ａｉｌ睡０，—２献。－３。法ｏｏ～如３。＾≥其－［４］’Ａ兹＝（；一２ｌ３Ｉ一５５ＩＣ１÷４１Ｃ，÷３００Ｏ：０ＩＯｌＯＡｏ～＂ｉ：单５：５吲２ｌ／＼１７１７／００１１０Ｏ１０Ｏ１—２ＯＯＡ～＝（Ａ。１１乏）～＝（Ａ暑～Ａ三．。）＝０下１３５０ｊＣ３＋２Ｃ２●●一３１７ｃ，÷吾——１—００—Ｉ。００：４４专ｕ万百ｌ：］０了１０ｏ÷÷０。南寺）１３ｌｊＯ０１０ＯｌｌＯＯｌ００Ｏ１—２参考文献：Ｏ１Ｏ［１］李正元，李永乐，袁荫棠．数学复习全书．国家行政学０下１１ＯＯ１ｊ院出版社，２００７，（２）．ＯＯ—１。００ｃ：一÷ｃ，１４［２］孟昭为．线性代数．同济大学出版社，２００５，（８）．４５２［３］丘兆福，胡永谟．线性代数．同济大学出版社，２００８，ｎ１２０ｕ丁百１７１７（８）．Ｏｌ３［４］胡金德，王飞燕．线性代数辅导．清华大学出版社，ｏｏ斋１７１７２００３．（７）．万方数据
范文五：求逆矩阵的方法一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
将矩阵中某两行对换位置；
将某一行遍乘一个非零常数k；(3)
将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.
矩阵A经过初等行变换后变为B，用A?B表示，并称矩阵B与A是等价的.，”；把第i行遍
（下面我们把）第i行和第j乘k
k”；第j行的k倍加至第i为“
k”.?a1a2a3??b1b2b3??①，②
例如，矩阵
A = ?b1b2 ??????c1c2c3???c1c2c3???a1a2a3??a1a2a3??b1b2?③k
?b1b2b3???????c1c2c3???kc1kc2kc3??a2a3??a1a2a3??a1+①k ?bbb? ②?b?kab?kab?ka?
23?1c2c3????c1c2c3???c1?（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A?1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n?2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了A?1.即( A , I )?????( I , A?1 )?1?11?例1
设矩阵 A = ?113?????2?32??初等行变换求逆矩阵A?1 .
因为?1?11100?②+①(-1)??[A , I ] =113010
+ ① ( -2)
????2?32001???1?11100??022?110? ????0?10?201?????1?11100?①+③(-1)②(1/2)?11?②+③(-1)③ + ②
?011?0? 22???001?511???22??111?? 100??2??22 ①+②0?1?
?0102??51001?1??22??1?11???2?2?2?10?1?
A= ?2?51?1???2?2?7?1?10?2??2??12012??1??1? ?1??所求逆矩阵A?1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA?1进行验证.如果AA?1=I成立，则A?1正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即?0，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A?1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.??2?16?05?，问A是否可逆？
设矩阵 A = ?4?????6?11??
因为6100???2?1??2?16100?05010???0?217210? [ A , I ] =?4????2?17?301????0???6?11001????2?16100???0?217210???00?111???0?[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.
范文六：import java.util.Spublic class 求逆矩阵 {/**
* @param args
*/public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner input = new Scanner( System.in);System.out.println("请输入要求的矩阵的阶数：");n = input.nextInt();double[][] Vp=new double[n][n];System.out.println("您所要计算的矩阵是"+n+"阶矩阵，请按行输入矩阵的元素，并按Enter键换行，您需要输入"+n*n+"个整数。");for( int row1 =0;row1for( int column1 =0;column1Vp[ row1 ][ column1 ] = input.nextDouble();}}/*int n=5; //数组的长度double[][] Vp=new double[n][n];Vp[0][0] = 4;Vp[0][1] = 1;Vp[0][2] = 5;Vp[0][3] = 3;Vp[0][4] = 2;Vp[1][0] = 3;Vp[1][1] = 1;Vp[1][2] = 2;Vp[1][3] = 3;Vp[1][4] = 7;Vp[2][0] = 4;Vp[2][1] = 1;Vp[2][2] = 2;Vp[2][3] = 5;Vp[2][4] = 2;Vp[3][0] = 4;Vp[3][1] = 6;Vp[3][2] = 2;Vp[3][3] = 3;Vp[3][4] = 2;Vp[4][0] = 4;Vp[4][1] = 1;Vp[4][2] = 3;Vp[4][3] = 3;Vp[4][4] = 2;*//** for(int i=1;i*
for(int j=1;j*
Vp[i][j]=(int)(Math.random()*100);*
*/System.out.println("原矩阵为：");Matrix.showMatrix(Vp);double[][] rvs=Matrix.reverse(Vp);System.out.println("逆矩阵为：");Matrix.showMatrix(rvs);System.out.println("注意：如逆矩阵与原矩阵相同，则说明该矩阵不可逆.");}}
//封装对于矩阵操作的方法，包含显示矩阵，求逆矩阵等class Matrix{private Matrix(){}public static double[][] reverse(double[][] matrix){double[][]double[][] back_//得到矩阵的阶数int m_length=matrix.//创建n*（2n-1）行列式，用来求逆矩阵，原矩阵和单位矩阵temp=new double[m_length][2*m_length];//创建返回的矩阵,初始化back_temp=//将原矩阵的值赋给 temp矩阵，并添加单位矩阵的值for(int x=0;x{for(int y=0;y{if(y>m_length-1){if(x==(y-m_length))temp[x][y]=1;elsetemp[x][y]=0;}else{temp[x][y]=matrix[x][y];}}}System.out.println("组合矩阵:");showMatrix(temp);//高斯消元求逆矩阵for(int x=0;x{double var=temp[x][x];//判断对角线上元素是否为0，是的话与后面的行进行交换行，如没有满足条件的//则可认为原矩阵没有逆矩阵。然后取值要化为0的列的值for(int w=x;w{if(temp[x][x]==0){for(k=x+1;k{if(temp[k][k]!=0){for(int t=0;t{//System.out.println(">>>"+k+"double tmp=temp[x][t];temp[x][t]=temp[k][t];temp[k][t]=}}}//System.out.println(""+k);//如果出现无法将temp矩阵的左边化为单位矩阵，返回原矩阵if(k>=temp.length) return back_var=temp[x][x];System.out.print("第 " + x + "次变换前替换主元上的 0");System.out.println("(将
" + x + " 行与第 " + k +" 行进行交换)：");showMatrix(temp);
}temp[x][w] /=
}//将第x列的元素出对角线上的元素外都化为0，即构建单位矩阵for(int z=0;z{
double var_tmp=0.0;for(int w=x;w{//System.out.println("-"+x+"-"+z+"-"+w+"+++" + temp[z][w]);if(w==x)var_tmp=temp[z][x];if(x!=z) temp[z][w] -=(var_tmp*temp[x][w]);}}System.out.println("第 " + x + "次变换:");showMatrix(temp);
}//取逆矩阵的值for(int x=0;x{for(int y=0;y{back_temp[x][y]=temp[x][y+m_length-1];}}return back_}public static void showMatrix(double[][] ma){int x=ma.int y=ma[0].for(int i=0;i{for(int j=0;jSystem.out.print("\t" + ma[i][j]);System.out.println();}}}
范文七：5．求具体矩阵 的逆矩阵求元素为具体数字的 矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．方法1伴随矩阵法：．注1 对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．注2 对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．方法2初等变换法：注 对于阶数较高()的矩阵，采用初等变 换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．方法3分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式其中均为可逆矩阵．例1 已知
解 将分块如下：，求．其中而，，从而例2 已知解
由题设条件得，且，试求．例3 设4阶矩阵且矩阵满足关系式，试将所给关 系式化简，并求出矩阵．解 由所给的矩阵关系式得到，即故．利用初等变换法求．由于故例4 设，则_________.应填：
分析 在遇到.的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是=例5 已知，试求和．分析 因为，可见求得解 对，所以求和的关键是求后即可得到．又由．，于是知两边取行列式得即，故又因为，其中，又，可求得，故由得例6 设，其中（），则____.应填：.分析
法1.，其中，.从而阵..又，，代入即得的逆矩法2. 用初等变换法求逆矩阵.=故
范文八：求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
将矩阵中某两行对换位置；
将某一行遍乘一个非零常数k；(3)
将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.
矩阵A经过初等行变换后变为B，用A?B表示，并称矩阵B与A是等价的.”；把第i行遍（下面我们把）第i行和第j行的对换变换，简记为“乘kk”；第j行的k倍加至第i记为“
k”.?a1例如，矩阵
A = ?b1???c1?a1?b1???c1?a1?b?1??c1a2b2c2a2b2c2a2b2c2a3??
①，②c3??a3??
c3???a1?b?ka1?1??c1?b1?a?1??c1b2a2c2b3??a3 ?c3???a1?b?1??kc1a2b2kc2a2a3??b3 ?kc3????b3?ka3?c3??a3a3?②+①k ?b3
?c3??b2?ka2c2（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A?1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n?2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了A?1.即( A , I )?????( I , A?1 )?11
设矩阵 A = ????2初等行变换?11?31??3 ?2??求逆矩阵A?1 .
因为?1[A , I ] =?1???2②(1/2)?11?3?11013211110011?25?2010012120??1②+①(-1) ??0
0?③+①(-2) ?1????0?0?①+③(-1) ?②+③(-1) 0? ?1????12?1?1101200011?1?27225?2010?0??0 ?1??1???1? ?1???1③
+②??1??0??0???1??0??0?2012?1?①+②?0??0?010001??12012?2???1? ?1???11?2所以
A?1= ?2?5???2?2???1? ?1??所求逆矩阵A?1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA?1进行验证.如果AA?1=I成立，则A?1正确，否则不正确.
对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即A?0，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A?1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.??2例2
设矩阵 A = ?4????6?10?6??5，问A是否可逆？ ?1??01012?1解
因为??24[ A , I ] =?????6??20
?????0?10?1?1?201000???2??00???1???0?0110??0 ?1???1?22617?1712?30100??0 ?1??[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）?1例3
解矩阵方程AX = B，其中 A =?2???3?1?3?22??1??5，B =?2??4????5?1??3 ??4??解
如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘A?1，可得?1?1?1AAX = AB， X = AB因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出A?1，然后计算A?1B，求出X .?1因为
[ A , I ] = ?2???3?1??0???0?1??0???00?10010001?1?3?211?1?2752540?2?10?2?11???1??1??0100??1??0?0??1????011?1?110?1021?200?11?2?3?2?7???0 ?1??1??1 ?1???10??1??0?0??1????01???1 ??1??1???1
??1????2所以 A可逆，且 A?1=?7???5??2X = A?1B = ?7???50?2?1?1??2???5?1??3??3=6???4????2?2???9 ??4??三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.
在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15
在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的k2个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.?31
A=????42241?3?21??2 ?3??取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式2212?2称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16
矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)或秩(A ) .
规定：零矩阵O的秩为零，即r(O)= 0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r(A)= 2 .例5
设A为n阶非奇异矩阵，求r(A).解
由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式A?0，所以A有n阶非零子式，故 r(A)= n .例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若r(A)= n，则A必为非奇异的.
因此n阶方阵A为非奇异的等价于r(A)= n.
称r(A)= n的n阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10
设A为m?n矩阵，则r(A)= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵?2A =?0???0600?1403005???1??1，
B =0??0????03405???1 ?2??因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即r(A)= 2，r(B)= 3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9
矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.例6
设矩阵A =??2??20451??1?2?3?，
B =?0??2??02??2②?①??????0??01?201045645?612?? 2?0???3?
4??2?求r(A)，r(B)，r(AB).
A = ???2所以
r(A)= 2??1?3?
B =?2??0??11③?②(?2)?01④?②(?1)?
?????0?0?0?0?204511??1645?610?②?①3??3?①2??③???4??2?0???3?10??5???1?0??0??0??11?④?③(?)02???????0??00??117?3?224??112?140??117?3?0?3210??000?14所以
r(B)= 3?204512??0?因为
AB =??8?164?10?206140???1??3?25?3?8??=?0?64??16?2???8②?①(?2)????????8??0?184?10?20624???8??204624???56?所以
r(AB)= 2由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即 r(AB)? min{r(A),r(B)}.?0?3例7
A =??2??1求r(A)和r(A?). ?0?3解
因为 A =??2??130?2?130?2?106420?1?2106420?1?211??1? 0??0??1?3??2??0?10?2326401?1?200??1? 0??1?1??1①,④)??(???0??0??1②?①(?3)?0③?①(?2)???????0??0?130320001?4?400??②?③(?1)1?②(?1)??④????0??1??1?0??0??0?1300200010?400??1? 0??0?所以
r(A)=3 同理可得
r(A?)=3由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵A?的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11
设A为m?n矩阵，则
0?r(A)?min{m,n}；
r(A) = r(AT)
范文九：ｘｘ４Ｌ０４。１］。０Ｊ畦＝求矩阵的逆矩阵的方法蒋银山（广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部，广东广州５１０５４５）摘要：对于ｎ阶方阵Ａ，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ成立。则称Ｂ是Ａ的逆矩阵。若矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等行变换化为单位矩阵Ｅ。关键词：逆矩阵初等行变换法初等列变换法分块矩阵法求矩阵的逆矩形主要有以下方法。一、定义法对于ｎ阶方阵Ａ，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ成立，则称Ｂ是Ａ的逆矩阵。即：ＡＢ＝ＢＡ＝ＥｊＡ～＝Ｂ。二、伴随矩阵法定理：ｎ阶方阵Ａ为可逆矩阵的充分必要条件是Ａ的行列式ＩＡｌ≠ｏ，且有Ａ～＝萧。三、初等行变换法若ｎ阶矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等行变换化为单位矩阵Ｅ，即存在可逆矩阵Ｐ。，Ｐ：，…，Ｐ。，使得Ｐ。?Ｐ。．。?…?Ｐ２?Ｐ，Ａ＝Ｅ，于是Ａ～＝Ｐ。?Ｐ。一Ｉ…一Ｐ２?Ｐｌ。由此可得初等行变换求逆矩阵的方法。（Ａ；Ｅ．）切笠盈变缝（Ｅ。；Ａ．１）。四、初等列变换法若ｎ阶矩阵Ａ可逆，则Ａ可经过一系列初等列变换化为单位矩阵Ｅ，即存在可逆矩阵Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ。，使得Ａ?Ｐ。?Ｐ２…??Ｐ。一Ｉ?Ｐ。＝Ｅ，于是Ａ～＝Ｐ１?Ｐ２…一Ｐ。一ｌ‘Ｐ。。由，Ａ＼ｆ，Ｅ。、此可得初等列变换求逆矩阵的方法：Ｉ…Ｉ垫笠到銮逸Ｉ…Ｉ＼Ｅ。／ＩＡ—Ｊ把求高阶矩阵的逆矩阵转化成低阶矩阵的逆的运算。ｒ４００１例：求Ａ＝１０３—２Ｉ的逆矩阵。【０１５Ｊ解：由矩阵的逆矩阵的定义可设：Ａ－１＝ｌ砀物ｘ２３Ｉ，则Ａ～Ａ＝Ａ?Ａ～＝Ｅ。等融驯㈦＝㈧】等Ｅｘ；３Ｘ：１２：＋兰：－；２笔ｘｎ＋＋５５芝ｘ１３＝争ｌ２ｌ３ｘ挖＋ｘ２，一２ｘ２２＋５ｘ２３ｌ＝ｌＩ。３ｘ３２＋ｘ３３—２ｘ，２＋５ｘＪＬ００Ｊ３Ｉ３３１】。由矩阵相等化简可得：ＩＸＩＩ２寺’ｘ１２＝ｏ，Ｘ１３＝０｛ｘ２Ｉ＝ｏ，ｘ芷＝斋，砀＝吾。ｂ＝ｏ，铲一古，砀＝斋万方数据一＝㈧猛一：公瓦猛１４００ＩＡＩ－Ｊ０３—２ｌ＝６０＋８＝６８，．．．Ａ可逆。１０１５下面求Ａ’。Ａ。。＝（一１）１＋１ｌ；ｊ２１＝１７，Ａ。：＝（一１）１＋２Ｉ：ｊ２ｌ＝。，Ａ。，＝ｃ一－，１＋３ｌ：；ｌ＝。，Ａ：．＝ｃ一－，２＋１ｌ：：ｌ＝ｏ，Ａ：。＝ｃ一－，２＋２ｌ。４；ｌ＝２０，Ａ２３－（．１）２＋３０４７Ｉ一４，Ａ，。＝ｃ一?，３十１１：？２１＝０，Ａ３２＝ｃ一－，３＋２ｉ：：｛＝一４，Ａ３，－（＿１）３¨１４磐１２０，，１７０．?．Ａ’＝１０、０２０—８Ｌ０—４１２．．＾一一￡ｊＩ，‘“一ＩＡｌ’Ｏ０５２．?．Ａ～＝Ｅ１７１７ｌ３１７１７厂４００１００、（ＡｉＥ３）＝１０３－２０１０Ｉ＼０１５００１，１ｏｏｈ÷４ｏ了１—－－————————＇＿ｏ／ｒ２．一＊ｒ３ｌ０１５０００ｌ一１１ｏＩ＂３－－３ｒＩｏ÷ｏｏ］０１５００１ｌｌ００—１７０１—３Ｊ１００１：！二！：Ｕ，…ｆｏ１ｏ：０寺０ｏｌ１０ｏ－ｏ一专音重视数学课本教学是培养学生能力的切入点孙中莲（江苏省丰县华山中学，江苏丰县２２１７００）以前很多教师课前准备的内容都比课本上要求的内容要的教科书．教师要培养学生的数学能力．只要把课本上的内多得多．而因为准备的内容多．往往在课堂上讲不完。不少教容讲清讲透就足够了。我认为重视数学课本教学是培养学生师就在课后给学生讲．这样就占用了学生的自习时间，同时又能力的切人点。给学生印制了大量的试卷．而且试卷上有的题目难度太大。课本上的内容是一切数学知识的基础，课本上的例题是这对学生而言根本就不适合，有的学生一晚上也做不出一道很多题型的缩影，很多教师书上的例题一般不讲，只是用下载难题，有的学生勉强做出来一道还有很多漏洞。总之，这样使的课件直接给学生讲授新课，这样书上的很多内容就没有提学生浪费了很多时间．再加上教师占用了一部分自习课时到，而同时教师没有恰当地板书，多媒体课件点击得又太快。间．学生就没有充分的时间预习，没有预习第二天课堂上就学生根本来不及看完就过去了，一节课上完了很多学生都没可能跟不上。课本上的内容都没有学会，怎么去做那些难题？有学会新的知识。虽说现在科技发达了，引进很多现代先进的这样恶性循环很多学生对数学就产生了厌学情绪．甚至有的教学仪器．但是教师一定要把书上的基本内容及时板书，还要学生就干脆放弃了数学。在素质教育的体制下给学生减负已根据书上的内容给学生作相应的变形，做到触类旁通，这样才成为每个教师必须做的事情．不能再像以前那样强占学生的能对得起学生。我用自己平时教学中的一些案例来说明这一自习课时间。这样教师必须在课堂上．在有效时间内完成自观点的合理性。己的教学任务。而课本是我们江苏的很多专家教授精心编写案例一：在讲授《高中数学必修５》中的第一章第二节余弦旺００上００——Ｉ—００４４１ｏｏ吾百２Ｉ．（Ｅ，；Ａ－Ｉ）．?．一：ｏ。上尘１７１７ｏ?ｏ一古斋ＪｎＶ一上三１７１７●一４ｏ法五：分块ｊ广４’．圹ＩＩＯＡ＿Ｊｌ…ｏＬ法四初一；一＂ｏＯ一一５０列变ｏ吾音觖００设Ａ＝Ａｉｌ睡０，—２献。－３。法ｏｏ～如３。＾≥其－［４］’Ａ兹＝（；一２ｌ３Ｉ一５５ＩＣ１÷４１Ｃ，÷３００Ｏ：０ＩＯｌＯＡｏ～＂ｉ：单５：５吲２ｌ／＼１７１７／００１１０Ｏ１０Ｏ１—２ＯＯＡ～＝（Ａ。１１乏）～＝（Ａ暑～Ａ三．。）＝０下１３５０ｊＣ３＋２Ｃ２●●一３１７ｃ，÷吾——１—００—Ｉ。００：４４专ｕ万百ｌ：］０了１０ｏ÷÷０。南寺）１３ｌｊＯ０１０ＯｌｌＯＯｌ００Ｏ１—２参考文献：Ｏ１Ｏ［１］李正元，李永乐，袁荫棠．数学复习全书．国家行政学０下１１ＯＯ１ｊ院出版社，２００７，（２）．ＯＯ—１。００ｃ：一÷ｃ，１４［２］孟昭为．线性代数．同济大学出版社，２００５，（８）．４５２［３］丘兆福，胡永谟．线性代数．同济大学出版社，２００８，ｎ１２０ｕ丁百１７１７（８）．Ｏｌ３［４］胡金德，王飞燕．线性代数辅导．清华大学出版社，ｏｏ斋１７１７２００３．（７）．万方数据
范文十：1、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.2、矩阵可逆的条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r（A）= n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB = E（或BA = E），则A可逆，且A-1 = B.3、逆矩阵的性质设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1 = A；1（2）若k ≠ 0，则kA可逆，且（kA）-1 = A-1；k
（3）AB可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1 = （A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k；
（6）| A-1 | = | A |-1；（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）= r（PA）= r（AQ）= r（PAQ）.4、求矩阵逆的方法方法1
定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.方法 2
伴随矩阵法：A-1 =1A*. |A|?A11?1?A12?1定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A?A????A1n?A11?A12?其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵????A1n记作A*，于是有A-1 =1A*. |A|A21?A22?A2nAn1???An2??????Ann?A21?A22?A2nAn1???An2?称为矩阵A的伴随矩阵，?????Ann?注
①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.?a11注意A* = （Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵A???a21?aA*??22??a21a12??，其伴随矩阵a22??a12??,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律. a11??AB?②对于分块矩阵??不能按上述规律求伴随矩阵.CD??初等行变换?E ?A?1
初等变换法：?A?E???????注
①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.?A?初等列变换?E?②也可以利用?????????1?求得A的逆矩阵.E???A?初等行变换③当矩阵A可逆时，可利用?A?B??????E ?A?1B,????A?初等列变换?E????1? ??????C??CA?求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换 即求出了A-1B或CA-1.1?100??6?1故A?1??010?2?1?001??6??134?63??3?1? ?2?11??63??方法4
用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：?A?1?A?1CB?1??AO??A?1?AC???????????1?1?1B?OB??O??DB???BDA?O?OA??????1BO???A?1?1?1?A?1O??A0?????1??B??0B??0?10??B?1?B??O??1方法5
解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由AA = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??ax?a22x2???a2nxn?b2方法6
用克莱姆法则求解：若线性方程组?211的系数行列式D?|aij|n?0，??????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11-1则此方程组有唯一的一组解x1?D1DD,
xn?n.这里Di是将D中的第i列DDDa1i,?,ani换成b1,?,bn得到的行列式.定理1
若ε1 = (1 , 0 , 0 , ?, 0),ε2 = (0 , 1 , 0 , ?, 0), ?,εn = (0 , 0 , ?, 1) 是F(F表示数域F上的n元行空间)的标准基,则F中任一向量α= (a1 , a2 , ?, an )都可唯一地表示为:α=a1ε1 + a2ε2 + ?+ anεn的形式,这里ai∈F(i = 1 , 2 , ?, n).
两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.nnn下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为α1 , α2 , ?,αn , 其中αi = (αi1 ,αi2 , ?,αin),(i =1 , 2 , ?, n),由定理1 得:αi=Σaijεj(i = 1 , 2 , ?, n) .解以ε1 , ε2, ?, εn 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: εj=Dj/D= bj1α1 + bj2α2 + ?+ bjnαn(j = 1 , 2 , ?, n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1 ,α2,?,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7
用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且???1A??????A1?A2?A?1 其中An????An?a11a21?an1?a1，i?1?1a1，i+1?a2，i?1?2a2，i+1?????an，i?1?nan，i+1????a1na2n?，n? ?i?1，2，?ann?????????????1，?1，?，?n为Rn的初始单位向量组，即?i?0，?，0?，1，0，?，0?i?1，2，?，n???方法8
恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.方法9
用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵f为A的特征多项式，则：f?A??于是??????E-A??n?a1?n?1???an??an?E-A?An?a1An?1???anA?anE?01n?1A?a1An?2???an?1E? ?an?1因此A?1n?1A?a1An?2???an?1E? ?an方法9
三角矩阵的一种求逆法：?t11t12?0t22?定理：如果n阶矩阵T??????00??t1n?1??t2n?1????0t1n??t2n?可逆， ???tnn?t11?1?1n??t22?1?2n????tnn?1???t11?1t11?1?12?0t22?1?那么他的逆矩阵是T??????00???t11?1?1n?1??t22?1?2n?1????1??ii?1??ti??1i?1?tii?1,?i?1,2,?,n?1??其中? 1?1?ij?1??t?t??tt,i?1,2?,n?2;j?3,4,?,n???kjikkkjjij?i?k?j?方法10
拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A.-1