捌町年５月安庆师范学院学报（蠢煞科学版）Ｍ姆溯第１３卷第２期Ｊ叫ｍ鲥ｏｆＡｎｑ．ｎｇＴ∞ｃｔ怕倦ＣｏＩｌｅ９ｅ（Ｎ锄ｕｆａｌＳｃｉ镧∞副ｎ跏）Ｖｎｌ３Ｎｂ．２
关于曲面积分对称性的研究
（合肥学院数理系，安徽合肥２３００２２）
摘要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面对称的概念，研究了在积分曲面是对称的情形下，曲面
积分的若干性质。利用这些性质。可以简化曲面积分的计算，并给出相应的计算公式。
关键词：曲面积分；对称；奇函数；偶函数
中国分类号：０１７５文献标识码：Ａ文章编号：１００７－４２印（２００７）０２删８３—０４
以下所讨论的各种情形均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的。
定义”２Ｊ设函数／ｂ，隽彳）在空间曲面∑上有定义，若／ｂ，∞：）坝峭，办二），则称／ｂ，乃力关于茗为偶函数；若／ｂ，ｙ’ｚ）＝坝一为竹：），则称／ｂ，弘彳）关于名为奇函数；类似可以定义函数／ｂ，∞彳）关于弘彳变量的奇、偶性。
定义２【Ｉ．２１设空间曲面∑，：：≈，似力与∑：：：≈：似力，若∑，与∑：在并町面具有相同的投影区域Ｄ，且ＶＧ，力ＥＤ，有：。０，力＝唁缸，ｙ），∑。与∑：异侧，则称曲面∑。与∑：关于ｘ吖面对称。类似可以定义曲面∑。与∑：关于烨面对称；曲面∑。与∑：关于硼ｖ面对称。
命题１纠若曲面∑。与∑：关于戈ｏ，，面对称，则：
胪（训，ｚ）ｄｓ＝少（ｘ，ｙ，一ｚ）出（１）；胪（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ妙＝一肜（ｘ，ｙ，一ｚ）以妙（２）ｚｌ岛￡ｌ∑２
少（Ｗ，ｚ）妙ｄｚ＝肜（训，一ｚ）妙ｄｚ（３）；少（础，ｚ）ｄｚｄｘ＝少（训，一ｚ）ｄｚ以∑ｌ∑２厶Ｉ厶２
证明因曲面∑。与∑：关于ｚｏ），面对称，所以∑。与∑：在茗掣面具有相同的投影区域Ｄ，
设∑，：三≈。＠，力；∑：：彳≈：＠，力，则ｚ，＠，力：—彳：＠，力；所以，粤＝一冬要：一要
先证明（１）式：Ⅱ厂（ｘ，少，一ｚ）曲＝Ⅱ厂（ｘ，少，一ｚ：（ｘ，ｙ））ｄｂｃ咖＝
』ｆ厂（训，ｚ。（Ⅵ））ｄｘ秒＝『『厂（ｗ，ｚ冲
再证明（２）式：因∑．与∑：异侧，不妨令∑．取上侧，∑：取下侧，则
肜（‘Ｊ，，ｚ）ｄｘ妙＝妙（ｘ，ｙ，Ｚｌ（ｘ，ｙ））ｄｘ妙
Ⅱ厂（ｘ，ｙ，一ｚ）毗妙＝一肜（ｘ，ｙ，一ｚ：（ｘ，ｙ））戤妙＝一肜（ｘ，ｙ，ｚ，（ｘ，ｙ））ｄｘ妙
收稿日期：２００７－０ｌ一３０
基金项目：安徽省教育厅省级教学研究项目（ＪＹｘＭ２００３２４８）。作者简介：张霞（１９７２一），女，安徽枞阳人，合肥学院数理系副教授，硕士，主要从事编码理论研究。
万　方数据
?８４?安庆师范学院学报（自然科学版）２０孵年
所以Ｊｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ妙＝一Ｊｐ（ｘ，ｙ，一ｚ）ｄｘ妙
下面证明（３）式：
少（Ｗ力批＝肌硼ｚ）（一争如妙一少㈨ｚ）＠以妙
少（ｗ，一ｚＭｚ－少（圳，－ｚ）（．争如妙＝少（ｗ，－ｚ）尝灿妙根据（２）式，少瓴ｙ，ｚ）◇以妙一Ｆｍ拂＿ｚ）（》觑妙
故Ⅱ厂（ｘ，ｙ，ｚ）妙比＝少（ｘ，ｙ，一ｚ）妙ｄｚ
同理可证明（４）式。
仿照命题ｌ，可得下列命题。
命题２若曲面∑．与∑：关于伽面对称，则：
Ⅱ厂（ｘ，ｙ，ｚ）出＝盯厂（一ｚ，ｙ，ｚ）出』』厂（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ妙＝ＪＪ厂（吨Ｊ，，ｚ）ｄｘ妙
ＪＪ厂（训，ｚ）妙ｄｚ＝一』『厂（噶ｙ，ｚ）喇ｚＪｌｆ，（ｘ，乃ｚ）ｄｚｄｘ＝Ⅱ厂（一ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚ戤∑Ｉ２＝２∑Ｉ∑２
命题３若曲面∑。与∑：关于：似面对称，贝Ｕ：
Ⅱ厂（ｚ，ｙ，ｚ）出＝盯厂ｏ，一ｙ，ｚ）出』ｆ厂（训，ｚ）蹴ｙ＝』』厂（矿耶）ｄ工妙
驱八ｘ，ｙ，ｚｐｙｄｚ＝骢ｆｑ，一ｙ，ｚＷｙｄｚ』『厂（训，ｚ）ｄｚｄｘ＝一『』厂（矿ｙ，ｚ）啪ｘ
以上命题的证明可仿命题ｌ。考虑到函数／弛，够彳）的奇、偶性，司得Ｆ列结论：结论１设空间曲面∑＝∑ｌ＋∑：，∑。与∑：关于并够面对称，若函数缸，够ｚ）关于；为奇函数１４ｌ，则抄（Ｗ，ｚ）ｄＪ＝ｏ；少（训，ｚ）以ｄＪ，＝２ＪＪ似，彬）洲¨
ＪⅣ（工，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＝ｏ；Ｊｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚ如＝¨：
若函数／ｂ，够ｚ）关于ｚ为偶函数，则
』『／（ｗ，ｚ）ｄｓ＝２ｆ『厂（Ⅵ，ｚ）帆肜（圳，ｚ）ｄｘ妙＝ｏ；
盯厂（ｘ，Ｊ，，ｚ）妙也＝２Ⅱ／（ｘ，ｙ，ｚ）吵如；Ⅱ／（ｚ，ｙ，ｚ）ｄ２ｄｘ＝２Ⅱ／（ｘ，ｙ，ｚ）ｄ２ｄｘ；∑∑１２二乞‘
证明先证明函数舷，竹ｚ）关于ｚ为奇函数的情形，此时有；触，”ｚ）＝＿＝触，够屹），辩（、ｘ，ｙ，Ｚ、）ｄｓ＝妒（ｘ’ｙ，幻ｄｓ＋盯＠’ｙ，幻ｄｓ２
∑ＺＩ∑２
Ｊ『／（Ｗ，ｚ）ｄ抖ｍ一厂（Ｗ，一ｚ肭＝
＼ＩＪｆ（、ｘ，ｙ，ｚ、）ａＳ—ｌｌＪｆ（ｘ，ｙ，一ｚ、）ａｓ＝ｏ
万　方数据
第２期张霞：关于曲面积分对称性的研究?８５?
妙（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ妙＝少（ｘ，ｙ，ｚ）出妙＋妙（ｘ，ｙ，ｚ）以妙、－
少（工，Ｊ，，ｚ）出妙＋ｍ一厂（工，Ｊ，，一ｚ）】ｄｘ妙＝
２肛＠，ｙ，ｚ）ｄｒ吵
缈（ｗ，ｚ）妙ｄｚ＝肜（ｗ，ｚ）舭＋缈（ｘ，ｙ，ｚ）妙扣￡ＺｌＺ２
Ｊｐ（ｘ，ｙ，ｚ）妙ｄｚ＋ｍ一／（ｘ，夕，一ｚ）】舭＝ｏ
肜＠，Ｊ，，ｚ）出叔＝缈（ｘ，Ｊ，，ｚ）ｄｚ以＋少（ｘ，ｙ，ｚ）出啦＝
缈（训，ｚ）ｄ础＋『『【－厂（ｗ，一ｚ）】ｄ础＝ｏ
接下来证明函数氕‘，够力关于ｚ为偶函数的情形，此时有鼎，乃ｚ）亏舷，弦吆），
缈（ｗ，ｚ灿＝少（训，ｚ）．出＋Ⅱ厂（ｗ，ｚ灿＝
少（训，ｚ）由＋缈（训，一ｚ灿＝２少（训，ｚ）曲
少（ｘ，少，ｚ）以妙＝少（ｘ，ｙ，ｚ）以妙＋少（ｘ，ｙ，ｚ）以妙２
ｊⅣ（毛ｙ，ｚ）如妙＋少（ｘ，ｙ，一ｚ）ｄｘ妙＝ｏ
少（ｘ，ｙ，ｚ）吵ｄｚ＝少（ｘ，Ｊ，，ｚ）妙ｄｚ＋ｊ抄（ｘ，ｙ，ｚ）妙ｄｚ＝
ＪⅣ（ｘ，Ｊ，，ｚ）妙ｄｚ＋Ⅱ厂（ｘ，ｙ，一ｚ）妙ｄＺ＝芝．眇（ｘ，ｙ，ｚ）妙ｄＺ
ｚｌ∑２■
少（ｗ，ｚ）ｄｚ以＝肜（硼ｚ）ｄｚ以＋少（训，ｚ）ｄ２ｚ断＝
肛（圳，ｚ）ｄｚｄｂｃ＋肜（训，一ｚ）ｄＺｄｘ＝２胪（ｗ，ｚ）捌ｘ
矗ｚ２二Ｉ
同理可得下面结论２，结论３。
结论２设空间曲面∑：∑。＋∑，，∑。与∑：关于脚面对称，若函数舭，％ｚ）关于石为奇函数【５ｌ，则
ＪＪ厂（Ⅵ，ｚ）ｄｓ＝ｏ：
ＺⅡ厂（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ妙＝ｏ；￡
Ⅱ厂（工，ｙ，ｚ）妙ｄｚ＝２ｊｌｆ厂（ｘ，ｙ，ｚ）妙比：
∑∑ｌ盯厂（ｘ，Ｊ，，ｚ）ｄｚｄｂｃ＝ｏ∑若函数ｍ，＂ｚ）关于髫为偶函数，则
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