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2015江西省六校高三第二次联考数学理试题及答案
10:47:09 &&&&来源： 湖北高考
江西省六校2015届高三下学期第二次联考数学（理）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1、若集合 ，则集合 所有真子集的个数为A.& 3&&&&&&&& B.& 7&&&&&&&& C.& 8&&&&&&& D.& 152、若复数 满足 ，则复数 的共轭复数 的虚部为A．&&&&&&&&& B．&&&&&&&& C．&&&&&&& D． 3、下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是A．&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&& D.&& 4、从抛物线 上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线的焦点为 ，则& 的面积为&A．5&&&&&&&&&& B．10&&&&&&&&& C．15&&&&&&&&& D．20 5、已知在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为&&& A．&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&& D．& 6、以下四个命题中 ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；[来源:]②对于命题 ： 使得 . 则& ：& 均有 ；③设随机变量& ，若 ，则 ；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1.其中真命题的个数为[来源:学科网]& A．1&&&&&&&&&&& B．2&&&&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&&&&& 　D．4
7、阅读如下程序框图，如果输出 ，那么空白的判断框中应填入的条件是 &&
A．&&&&&&&& B．&&&&& C．&&&&& D． 8、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 &A. 36种& && B. 72种&&&&&& C. 144种&&&&&& D. 288种9、设函数 ,将 的图像向右平移 个单位,使得到的图像关于 对称,则 的最小值为&A.&&&&&&&&&&&&& B.&&&&&&&&&&&& C.&&&&&&&&&&& D. 10、已知 ，在区间[0,2]上任取三个数 ,均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是A.&&&&&&& B.&&&&&& C.&&&&&&& D.& 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为A.&&&&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&&& D.812、已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为双曲线的中心， 是双曲线右支上的点， 的内切圆的圆心为 ，且圆 与 轴相切于点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，若 为双曲线的离心率,则A.&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.& &C.&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.& 与 大小关系不确定第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知向量 、 满足 ， ，且& ，则向量 在向量 方向上的投影为&&&&&&&&&&&&&&&& . 14、已知 设 ，则 =&&&&&&&&&&&&&&&& .
15、某校对文明班级的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式& 来计算各班的综合得分, 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得 的值增加最多，那么该指标应为&&&&&&&&&&&&&& .（填入 中的某个字母）[来源:学科网]16、已知 ABC的三个顶点在以 为球心的球面上， 分别为 的三个内角 的对边,满足 ，且 ,若三棱锥 的体积为 ,则球 的表面积为&&&&&&&&&&&&&&& .& 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17、（本小题满分12分）已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列,且 成等比数列．（1）求数列 与 的通项公式； （2）设数列 满足 ，前 项和为 ,若对于 不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
18、（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 ， ， ， ，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），（1）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取 个小球，其中重量在 内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).&& 19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ，&是 上的点.（1）求证：平面 平面 ；（2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上的动点， 的面积最大值为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切．（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 过定点 且与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点，直线& 与直线 分别与 轴交于 两点，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21、（本小题满分12分）已知函数 （ ）．（1）若函数 的图象在 处切线的斜率为 ，且不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；（2）若函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ，且 ，求证： （其中 是 的导函数）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 ，若 .（1）求证： ；（2）求 的值.
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线& （ ），过点 的直线 的参数方程为 （ 是参数），直线 与曲线 分别交于 、 两点．（1）写出曲线 和直线 的普通方程；（2）若 ， ， 成等比数列，求 的值．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数 ．（1）解不等式 ；（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围．
六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准一、&选择题1~6&& BADBDB&&&&&& 7~12&&& BCCCBA二、&填空题13、1&&&&&&&&&&&&&&&&& 14、-815、C&&&&&&&&&&&&&&&&& 16、 三、&解答题17、解:（1）当n=1时 ， ，当 时， ，得& ∴数列{ }是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{ }的通项公式为 ．&& ……3分&&& &，设公差为 ，则由 成等比数列，得 ，解得 （舍去）或 ∴数列 的通项公式为 ．&&&& ……6分（2）&& ……8分&则&& ……10分∵ , ∴&&&&&&&&&&&&&&&& ……12分18、解：（1）由题意，得 ，解得 ；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……2分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克，&&&& ……4分而 个样本小球重量的平均值为：&（克）& 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克；&&&&&&&& ……6分（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内的概率为 ，则 .&的取值为 、 、 、 ， ， ，&， .&&&&& ……10分&& & & & && & & & &的分布列为：&.（或者 ）& ……12分19、解：（1）证明： 平面ABCD， 平面ABCD， ，&， ， &， 又 ， 平面 ，∵ 平面EAC， 平面 平面&&&&&&&& ……6分&&&&&&&&&&& （2）以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，&则C（0，0，0）， （1，1，0）， （1，－1，0）设 （0，0， ）（ ），则 （ ， ， ），&&&&&&&&&& &， ， ，取 =（1，－1，0）&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……8分则 ，& 为面 的法向量设 为面 的法向量，则 ，即 ，取 ， ， ，则 ，依题意， ，则& 于是 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为&&&&& ……12分（或设CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，请酌情给分）
20、解：（1）由题意得 ，解得 ， ．所以椭圆 的方程是 ．&&&&&&& ……4分（2）以线段 为直径的圆过 轴上的定点.当直线 斜率不存在时以线段 为直径的圆的方程为： ，恒过定点 . ……5分当直线 斜率存在时&& 设&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由 得 ．设 ，则有 ， ．……7分又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 ．由题意可知直线 的方程为 ，故点 ．直线 的方程为 ，故点 ．&& ……8分若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立．&&&&& ……9分又因为 ， ，所以 恒成立．又因为&& ，&& ，所以 ．解得 ．故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ．&&&&&&& ……12分（或设 请酌情给分）21、解：（Ⅰ）由& ，得切线的斜率 ，故 ，&&&&&&& …… 2分由 得 ∵不等式 在 上有解，所以&&&&& ……4分令&&&& 则 ，∵ ，故 时， ．当 时， ；当 时， ．故 在 处取得最大值 ， 所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……6分（Ⅱ）因为 的图象与 轴交于两个不同的点 所以方程 的两个根为 ，则 ，两式相减得&，&&&&&&& ……8分又 ，则&下证 （*），即证明 &即证明 在 上恒成立&&& …10分因为 又 ，所以 所以， 在 上是增函数，则 ，从而知 故 ，即 成立&&&&&& ………12分22、解: （1）∵PA是圆O的切线&& ∴&&& 又 是公共角&&&& ∴ ∽&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………2分∴&&&&&&&& ∴&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………4分& （2）由切割线定理得：&&&& ∴ &&&&&& 又PB=5&& ∴&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………6分&&&&&& 又∵AD是 的平分线& ∴ &&&&&& ∴&&&&& ∴&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………8分&&&&& 又由相交弦定理得：&&&&&&&&&&&&&&&& ………10分23、解:(Ⅰ)曲线 的普通方程为 直线的普通方程为 &&&& ---------4分(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得 ,&，&&& ------------6分又& ,由题意知, ,代入得&&&&&&&&&&& ---------10分24、解:(Ⅰ)当x 时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5&0得x&-5，所以x 成立当 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3&0得x&1,所以1&x&4成立当 时f(x)=-x-5&0得x&-5所以x&-5成立，综上,原不等式的解集为{x|x&1或x&-5}&&&&&&&&&&&& ------------5分（Ⅱ）f(x)+ =|2x+1|+2|x-4| 当 所以m≤9&&&&&&&&&&&&&&& ------------10分
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