已知集合A和B的元素分别用不含头结点的单链表存储，函数difference()用于求解集合A与B的差集，并将结果保存在集合A的单链表中。例如，若
集合A={5,10,20,15,25,30}，
集合B={5,15,35,25}，
完成计算后A={10,20,30}。
思路：首先明白差集的定义：所有属于A但不属于B的元素就是A的差集。所以这道题就是要找到A和B相同的元素并在A集合中删除即可。
用两层循环，第一层控制集合A，第二层控制集合B，处理结点在第二层循环内。
还要注意的是，删除A中的结点之后B的当前结点是不动的，否则两个相邻的相同的结点只能删除一个。
void difference(pList* LA, pList LB)
pNode pa = *LA;
pNode prev = NULL;
//保存A当前结点的前一个结点
while (pa)
pNode pb = LB;
while (pb)
if (pa-&data == pb-&data)
//遇到相同的元素才删除
Node* tmp = pa-&
if (prev == NULL)
//删除第一个结点要更新链表，否则找不到
prev-&next =
//将链表重新链接起来
集合A={5,5,10,20,15,25,30}，
集合B={5,15,35,25}，
完成计算后A={10,20,30}
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//并将结果保存在集合A的单链表中。例如，若集合A = { 5, 10, 20, 15, 25, 30 }，集合B = { 5, 15, 35, 25 }，
//完成计算后A = { 10,...
在B中寻找A的元素，若是找到了，则删除A中的该元素。这样A中剩下的就是A,B的差集
例如，若集合A={5,10,20,15,25,30}，集合B={5,15,35,25}，完成计算后A...
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问题描述：
已知集合A和B的元素分别用不含头结点的单链表存储，函数difference()用于求解集合A与B的差集，并将结果保存在集合A的单链表中。例如，若集合A={5,10,20,15,25,30...
题目描述：
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8月15日，百度2道面试题：
1、来自《编程之美》的概率题：一个桶里面有白球、黑球各100个，现在按下述规则取球：的
i 、每次从通里面拿出来两个...
1.【附加题】–已知集合A和B的元素分别用不含头结点的单链表存储，
函数difference()用于求解集合A与B的差集，并将结果保存在集合A的单链表中。
例如，若集合A={5,10,20,15,...
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【新课标】高中数学必修五全部教案(表格式,有三维目标)
选资源互助社区你的首新课标高中数学必修五全部教案 进位制 课型 新授课 课时 1 备课时 间 理解进位制的概念， 理解进位制的概念，了解一个数能够 作不同进位制之间的转换； 作不同进位制之间的转换；根据对进 知识与技能 位制的理解， 体会计算机的计数原理； 位制的理解， 体会计算机的计数原理； 能设计
不同进位制之间转换的算法程 序框图及程序。 序框图及程序。 学生经历由探究算理， 学生经历由探究算理，到抽象算法步 教学 目 标 过程与方法 绘制程序框图， 骤，绘制程序框图，再到设计并优化 程序的全过程， 程序的全过程，使学生明确自己是在 学数学而不仅仅是在编程序或玩计算 机，这一过程的主要目的是使学生得 到算法思想的熏陶与提升。 到算法思想的熏陶与提升。 以问题引导学习， 以问题引导学习，体现数学知识的形 情感态度与 价值观 成与学生认知的过程性， 成与学生认知的过程性，加强数学知 学生认知的过程性 识间的联系性，促使学生主动探究， 识间的联系性，促使学生主动探究， 培养学生的创新意识和应用意识。 培养学生的创新意识和应用意识。 进制” 进制转十进制” 重点 “十进制转 k 进制”与“k 进制转十进制”的算理分 析
选资源互助社区你的首进制” 进制转十进制” 难点 “十进制转 k 进制”与“k 进制转十进制”的算理分 析 教学方法 教学过程 情景步骤 1．“猜生月生日 游戏” 游戏”： “请先依次指出 表格（ 表格（见附注 1） 中哪些行有你的 生月， 生月，然后再依次 指出表格中哪些 行有你的生日， 行有你的生日，便 知道你的生月生 日．” 设计意图 这个游戏中用到的 生 “ 月生日表” 月生日表” 的制作原理 是二进制记数法， 是二进制记数法， 它需 要掌握 十进制转二进 “ 的方法； 制”的方法；计算生月 生日的程序 1 的算理 二进制转十进制” 是“二进制转十进制” 的算理， 的算理， 这一过程可以 引起学生对游戏的算 法的兴趣， 从而引入本 法的兴趣， 从而引入本 节课． 节课． 2．提出进位制的 教师在学生阅读 让学生体会十进制记 定义、 数法及不同的进位制 定义、表示法及进 课文的基础上介 数法及不同的进位制 实质。 制的一般表现形 绍进位制的意义 实质。 及发展历程。 式。 及发展历程。 3．以 3721 为例， 教师启发，学生 了解进位制的基本特 为例， 教师启发， 为学习 探究十进制数的 观察 点，为学习 k 进制的 3 2 3721 = 3 × 10 + 7 × 10 含义做准备 含义． 含义．+ 2 × 10 + 1师生活动 教师给出生月生 日表， 日表，并同时讲 清游戏规则， 清游戏规则，然 后请一位或两位 学生根据表格回 答，教师记录学 生的回答， 生的回答，并立 即给出学生的生 即给出学生的生 月生日． 月生日．9．以
) 为 师生一起将“情 师生一起将“ 探究“ 例，探究“二进制 景步骤 4”中的 化十进制” 化十进制”的算 理． 师生活动” “师生活动”所 得到的算式由后“ 通过实例体会 二进制 转十进制”的算理， 转十进制”的算理，为 得到 k 进制转十进制” “ 进制转十进制” 的算法程序作铺垫． 的算法程序作铺垫．
选资源互助社区你的首往前代入并整理 得到： 得到： ) ＝ 1 ×2 6 ＋0 ×2 54 3 ＋ 1 ×2 ＋1 ×2 2 1 ＋ 0 ×2 ＋0 ×2 0 89． ＋1×2 ＝89． 教师让学生先思 考上述操作中的 算法结构， 算法结构，然后 写出算法步骤并 进行交流， 进行交流，最后 由教师评析并给 出正确的算法步 骤． 让学生写出程序 框图并进行交 流，随后教师评 析 并给出正确 的程序框图． 的程序框图． 0 2 1 4 3 6 56．从操作过程中 提炼出“ 提炼出“二进制转 十进制” 十进制”算法步 并推广到“ 骤，并推广到“十 进制” 进制转 k 进制”的 法步骤． 算法步骤．得出“ 得出“二进制转十进 的算法步骤， 制”的算法步骤，并推 广到 k 进制转十进制” “ 进制转十进制” 的算法步骤（ 的算法步骤（见附注 4）．7. 由 k 进制转十 “ 进制” 进制”的算法步骤 写出程序框图得出 k 进制转十进制” “ 进制转十进制” 的程序框图（ 的程序框图（见附注 ），进一步领会算法 5），进一步领会算法 结构． 结构．10． 10．编写计算机程 让学生在编写程 使学生掌握 十进制转 “ 序并上机运行“ k 进制” 进制” 序并上机运行“十 的算法程序 见 （ 序并运行， 进制” ），促使学生积 进制转 k 进制”程 序并运行，以 附注 7），促使学生积 序．
) 、 (5 ) 极主动并有效地学习． 324 极主动并有效地学习． 分别转十进制， 分别转十进制， 检查学生的程序 是否正确． 是否正确． 4．以十进制数 89 让学生模仿得 得出“除 2 取余”的二 得出“ 取余”
选资源互助社区你的首为例，探究“ 进 为例，探究“除 2 出： 制记数法则． 取余”的过程． 取余”的过程． 44× 89 = 44×2 ＋ 制记数法则． 1， 22× 44 = 22×2 ＋ 0， 11× 22 = 11×2 ＋ 0， 5× 11 = 5×2 ＋ 1， 5 = 1， 1× 2 = 1 ×2 ＋ 0， 1 = 1. 为例， 探究“ 5．以 89 为例，实 师生一起进行下 探究“十进制化二进 取余” 述操作： 现“除 2 取余”的 述操作： 制” 算法中的主要算法 过程． 89→ 结构： 过程． 89→ 结构： 条件结构与循环 结构． （取 结构． 余） （取 商） 重复进行上述取 余与取商的操 作，直至商为 0． 0× 0× 2 ＋ 2×2 ＋ 2×
选资源互助社区你的首6．从操作过程中 提炼出“ 提炼出“十进制转 二进制” 二进制”算法步 并推广到“ 骤，并推广到“十 进制” 进制转 k 进制”的 算法步骤． 算法步骤．教师让学生先思 考上述操作中的 算法结构， 算法结构，然后 写出算法步骤并 进行交流， 进行交流，最后 由教师评析并给 出正确的算法步 骤． 7. 由 十进制转 k 让学生写出程序 “ 进制” 进制”的算法步骤 框图并进行交 写出程序框图 流，随后教师评 析 并给出正确 的程序框图． 的程序框图． 根据“ TI－ 8．根据“十进制 让学生在 TI－ 进制” 转 k 进制”的程序 92PLUS 图形计 框图， TI－ 框图，在 TI－ 算器上编写程序 并运行， 92PLUS 图形计算 并运行，以 89 分别转二进制、 器上编写程序并 分别转二进制、 运行． 五进制， 运行． 五进制，检查学 生的程序是否正 确． 9．以
) 为 师生一起将“情 师生一起将“ 探究“ 例，探究“二进制 景步骤 4”中的 化十进制” 化十进制”的算 理． 师生活动” “师生活动”所 得到的算式由后 往前代入并整理 得到： 得到： )6 5 ＝ 1 ×2 ＋0 ×2 6 5得出“ 得出“十进制转二进 的算法步骤， 制”的算法步骤，并推 广到“十进制转 广到“十进制转 k 进 的算法步骤（ 制”的算法步骤（见附 注 4）．得出“ 得出“十进制转 k 进 的程序框图（ 制”的程序框图（见附 ），进一步领会算 注 5），进一步领会算 法结构． 法结构． 这是本节课的一个重 要环节， 要环节， 不仅能使学生 正确掌握“ 正确掌握“十进制转 k 进制”的算法程序（ 进制”的算法程序（见 ），还 附注 6），还能使学生 积极主动并有效地学 习． “ 通过实例体会 二进制 转十进制”的算理， 转十进制”的算理，为 得到 k 进制转十进制” “ 进制转十进制” 的算法程序作铺垫． 的算法程序作铺垫．
选资源互助社区4 3 ＋ 1 ×2 ＋1 ×2 2 1 ＋ 0 ×2 ＋0 ×2 0 89． ＋1×2 ＝89． 0 2 1 4 3你的首10． TI－92PLUS 让学生在 TI－ 10． TI－ 在 TI－ 图形计算器上编 写并运行“ 写并运行“k 进制 92PLUS 图形计 转十进制”程序． 转十进制”程序． 算器上编写程序 并运行， 并运行，以
) 、324 分别转十进制， 分别转十进制， 检查学生的程序 是否正确． 是否正确．使学生掌握“k 进制转 使学生掌握“ 十进制” 十进制”的算法程序 ），促使学 （见附注 7），促使学 生积极主动并有效地 学习． 学习．11． 把二 让学生先利用“k 进制转十进制”的程序得出： 让学生先利用“ 进制转十进制”的程序得出： 11． 进制数 89，
) ＝89，先利用“ 进制”的程序得出： 1011001 先利用“十进制转 k 进制”的程序得出： 化为五 89＝324， 89＝324，体会任意两 位制的数之 转化方法： 转化方法： 进制转十进 再 十进制转 “ 制”．进制数． 所以， ) ＝324（5）． 进制数． 所以，12． 讨论 让学生讨论、 让学生讨论、 12． 交流对算法的认识及利用算法思想解 使学生体会 任务中所期 与小结． 决问题的基本步骤，教师进行归纳小结． 与小结． 决问题的基本步骤，教师进行归纳小结． 学习目标． 学习目标．
选资源互助社区你的首课题 课型 新授课§2.1 数列的概念与简单表示法 课时 2 备课时 间 了解数列的递推公式， 了解数列的递推公式，明确递推公式教 学 目 标知识与技能与通项公式的异同； 与通项公式的异同；会根据数列的递 推公式写出数列的前几项； 推公式写出数列的前几项；理解数列 的前 n 项和与 a n 的关系过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过 程。
选资源互助社区你的首通过本节课的学习， 情感态度与价 通过本节课的学习，体会数学来源于 值观 重 点 难 点 教学方 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 复习引入] Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法： 通项公式法：如果数列 {a n }的第 n 项与序号之间的关 数列及有关定义 理解递推公式与通项公式的关系 生活，提高数学学习的兴趣。 生活，提高数学学习的兴趣。根据数列的递推公式写出数列的前几项系可以用一个公式来表示， 系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式。 列的通项公式。 2、 3、 图象法 递推公式法新疆 王新敞奎屯知识都来源于实践， 知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些 实际问题． 实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
选资源互助社区你的首模型一：自上而下： 模型一：自上而下： 第 1 层钢管数为 4；即：1 ? 4 第 2 层钢管数为 5；即：2 ? 5＝2+3 第 3 层钢管数为 6；即：3 ? 6＝3+3 第 4 层钢管数为 7；即：4 ? 7＝4+3 第 5 层钢管数为 8；即：5 ? 8＝5+3 第 6 层钢管数为 9；即：6 ? 9＝6+3 ＝ 第 7 层钢管数为 10；即：7 ? 10＝7+3 ； 表示钢管数， 表示层数， 若用 a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢 管数为一数列， 管数为一数列，且 an = n + 3(1 ≤n≤7） ≤ ） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应 规律建立了 数列模型，运用这一关系， 数列模型 ，运用这一关系 ，会很快捷地求出每一层的钢管 数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。 这会给我们的统计与计算带来很多方便。新疆 王新敞奎屯＝1+3让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？ 让同学们继续看此图片 ，是否还有其他规律可循？ （启发学生寻找规律） 启发学生寻找规律） 模型二： 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。 。 即 a1 = 4 ； a 2 = 5 = 4 + 1 = a1 + 1 ； a3= 6 = 5 + 1 = a2 + 1依此类推： 依此类推： a n = a n?1 + 1 （2≤n≤7） ≤ ≤ ） 对于上述所求关系， 即可求出其他项， 对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项， 看来，这一关系也较为重要。 看来，这一关系也较为重要。
选资源互助社区你的首递推公式： 或前几项） ，且任一 递推公式：如果已知数列 {a n }的第 1 项（或前几项） 且任一 ， 项 a n 与它的前一项 a n?1 （或前 n 项）间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 式来表示， 递推公式也是给出数列的一种方法。 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列： ， ， ， ， ， ， ， 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为： 递推公式为： a1 = 3, a2 = 5, an = an?1 + an?2 (3 ≤ n ≤ 8) 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联 数列可看作特殊的函数， 其表示也应与函数的表示法有联 系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解 首先请学生回忆函数的表示法： 列表法， 图象法， 析式法．相对于列表法表示一个函数， 析式法． 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示 法：用 表示第一项， 表示第一项，用 表示第一项，……， 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为 4、列表法 ．简记为 例3 ．a1 = 1 ? ? 写出这个数列的前五项。 设数列 {a n }满足 ?a = 1 + 1 (n & 1). 写出这个数列的前五项。 ? n an ?1 ?例 4 已知 a1 = 2 ， a n+1 = 2a n 写出前 5 项，并猜想 an ． Ⅲ.课堂练习 课本 P36 练习 2 [补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的 补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式， ]1 前五项， 前五项，并归纳出通项公式 (1)a1 ＝0, a n+1 ＝ a n ＋(2n－1) (2n－(n∈N)； (n∈N)；
选资源互助社区你的首(2) (3)a1 ＝1, a n+1 ＝2a n an + 2(n∈N)； (n∈N)； (n∈ (n∈N).a1 ＝3, a n+1 ＝3 a n －2Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容： 本节课学习了以下内容： 1．递推公式及其用法； ．递推公式及其用法； 2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公 ．通项公式反映的是项与项数之间的关系， 式反映的是相邻两项（ 之间的关系. 式反映的是相邻两项（或 n 项）之间的关系 Ⅴ.课后作业 习题 2。1A 组的第 4、6 题 教学反 思课题 课型 新授课§2.2 等差数列 课时 1 备课时 间教 学 目 知识与技能了解公差的概念， 了解公差的概念，明确一个数列是等 的概念 差数列的限定条件， 差数列的限定条件，能根据定义判断 一个数列是等差数列; 一个数列是等差数列; 正确认识使用
选资源互助社区你的首标等差数列的各种表示法， 等差数列的各种表示法，能灵活运用 通项公式求等差数列的首项、公差、 通项公式求等差数列的首项、公差、 项数、指定的项 项数、 经历等差数列的简单产生过程和应用 过程与方法 等差数列的基本知识解决问题的过 程。 情感态度与价 值观 通过等差数列概念的归纳概括， 通过等差数列概念的归纳概括，培养 学生的观察、分析资料的能力， 学生的观察、分析资料的能力，积极 思维，追求新知的创新意识。 思维，追求新知的创新意识。重 点 难 点等差数列的概念，等差数列的通项公式。 等差数列的概念，等差数列的通项公式。等差数列的性质教学方 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的 上两节课我们学习了数 列的定义及给出数列和表示的 数列的几种方法――列举法、通项公式、递推公式、 数列的几种方法――列举法、通项公式、 递推公式、图象 几种方法 ――列举法 法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这 这些方法从不同的角度反映数列的特点。
选资源互助社区你的首样一些例子。 样一些例子。 个例子： 课本 P41 页的 4 个例子： ①0，5，10，15，20，25，… 10，15，20，25， ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 18，15.5，13，10.5， 10288， 1 观察：请同学们仔细观察一下， 观察：请同学们仔细观察一下， 看看以上四个数列有什么 共同特征？ 共同特征？ ?共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于 共同特征： 从第二项起， 同一个常数（即等差）（误 每相邻两项的差相等― 同一个常数（即等差） （误 ：每相邻两项的差相等――应 ； 指明作差的顺序是后项减前项） ，我们给具有这种特征的数 指明作差的顺序是后项减前项） 我们给具有这种特征的数 ， 列一个名字――等差数列 列一个名字――等差数列 ―― Ⅱ.讲授新课 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 ．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起， 与它前一项的差等于同一个常数， 与它前一项的差等于同一个常数 ，这个数列就叫做等差数 这个常数就叫做等差数列的公差 常用字母 d” （ “ ” 表示） 列， 表示） 。 一定是由后项减前项所得， ⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项 减后项来求； 减后项来求； (与 ⑵．对于数列{ a n },若 a n － a n?1 =d (与 n 无关的数或字 对于数列{ },若 则此数列是等差数列， 为公差。 母)，n≥2，n∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差。 思考：数列① 思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果 的通项公式存在吗？ 存在，分别是什么？ 存在，分别是什么？ ②48，53，58，63 48，53，58， ④1，10216， 1，10216，
选资源互助社区你的首2．等差数列的通项公式： a n = a1 + (n ? 1)d 【或 a n ．等差数列的通项公式：= a m + ( n ? m) d新疆 王新敞奎屯】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若 ，则据其定义可得： 一等差数列 {a n } 的首项是 a1 ，公差是 d，则据其定义可得：a2 ? a1 = d 即： a 2 = a1 + da3 ? a2 = d 即： a 3 = a 2 + d = a1 + 2da 4 ? a3 = d 即： a 4 = a 3 + d = a1 + 3d……= a1 + (n ? 1)d由此归纳等差数列的通项公式可得： 由此归纳等差数列的通项公式可得： a n∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 a1 和公差 d，便 已知一数列为等差数列， 可求得其通项 a n 。 由上述关系还可得： 由上述关系还可得： a m 即： a1 = a m ? (m ? 1)d 则： a n= a1 + (n ? 1)d = a1 + (m ? 1)d= a m ? (m ? 1)d + (n ? 1)d = a m + (n ? m)da n = a m + ( n ? m) d即等差数列的第二通项公式 d= a m ? anm?n∴[范例讲解] 范例讲解] 例 1 ⑴求等差数列 8，5，2…的第 20 项 ， ， … 是不是等差数列-5， ， …的项？如果是， ⑵ -401 是不是等差数列 ，-9，-13…的项？如果是， 是第几项？ 是第几项？ 解 ： ⑴ 由a 20 = 8 + (20 ? 1) × (?3) = ?49a1 = 8, d = 5 ? 8 = 2 ? 5 = ?3n=20 ， 得
选资源互助社区你的首⑵由 a1 = ?5, d = ?9 ? (?5) = ?4a n = ?5 ? 4(n ? 1)得数列通项公式为： 得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得? 401 = ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得n=100， n=100，即-401 是这个数列的第100 项 已知数列{ 的通项公式 是常数， 例 3 已知数列 a n }的通项公式 a n = pn + q ，其中 p 、 q 是常数， 那么这个数列是否一定是等差数列？若是， 那么这个数列是否一定是等差数列？若是 ，首项与公差分 别是什么？ 别是什么？ 是不是等差数列， 分析：由等差数列的定义， 分析：由等差数列的定义，要判定 {a n }是不是等差数列， 无关的常数。 只要看 a n ? a n?1 （n≥2）是不是一个与 n 无关的常数。 ≥ ） 当 ≥ 解： n≥2 时, （取数列 {a n }中的任意相邻两项 a n?1 与 a n （n≥2） ≥ ） ）a n ? a n ?1 = ( pn + q ) ? [ p (n ? 1) + q ] = pn + q ? ( pn ? p + q ) = p 为常数是等差数列， ∴{ a n }是等差数列，首项 a1 = p + q ，公差为 p。 是等差数列 。 注：①若 p=0，则{ a n }是公差为 0 的等差数列，即为常 ， 是公差为 的等差数列， 数列 q，q，q，… ， ， ， 从图象上看, ②若 p≠0, 则{ a n }是关于 n 的一次式 从图象上看 ≠ 是关于 的一次式,从图象上看 表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的 的图象上 一次项的 系数是公差,直线在 系数是公差 直线在 y 轴上的截距为 q. ③ 数 列 { an } 为 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 其 通 项a n =pn+q(p、q 是常数 ，称其为第 3 通项公式。 、 是常数)， 通项公式。
选资源互助社区你的首④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个 通项公式中的一个。 通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习 课本 P45 练习 1、2、3、4 [补充练习] 补充练习] 1.（1）求等差数列 3，7，11，……的第 4 项与第 10 （ ） ， ， ，……的第 项. 解：根据题意可知： a1 =3,d=7－3=4.∴该数列的通项公 根据题意可知： － ∴ 式为： 式为：a n =3+（n－1）×4,即 a n =4n－1（n≥1,n∈N*）∴ a4 =4 （ － ） 即 －（ ≥ ∈ ） ×4－1=15, －a10 =4×10－1=39. × －评述：关键是求出通项公式 评述：关键是求出通项公式. （2）求等差数列 10，8，6，……的第 20 项. ） ， ， ，……的第 解：根据题意可知： a1 =10,d=8－10=－2. 根据题意可知： － － 该数列的通项公式为： ∴ 该数列的通项公式为 ： a n =10+（n－1）× （－ ） , （ － ） （－2） 即： a n =－2n+12,∴ a 20 =－2×20+12=－28. － ∴ － × － 的项？ （3）100 是不是等差数列 2，9，16，……的项？如果 ） ， ， ，……的项 是，是第几项？如果不是，说明理由. 是第几项？如果不是，说明理由 解：根据题意可得： a1 =2,d=9－2=7. 根据题意可得： － 式为： 式为： a n =2+（n－1）×7=7n－5. （ － ） － 解得： 令 7n－5=100,解得：n=15, － 解得 15 项. ∴100 是这个数列的第 ∴此数列通项公
选资源互助社区你的首）－20 ，－3 的项？ （4）－ 是不是等差数列 0，－ 1 ，－ ，……的项？ ）－ ，－ ，－7，……的项2如果是，是第几项？如果不是，说明理由 如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知： a1 =0,d=－3 1 由题意可知： －2∴此数列的通项公式－ 为： a n =－ 7 n+ 7 ,2 2令－ 7 n+ 7 =－20,解得 n= 47 － 解得2 2 7因为－ 因为－ 7 n+ 7 =－20 没有 －2 2正整数解，所以－ 不是这个数列的项. 正整数解，所以－20 不是这个数列的项 Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课后作业 课本 P45 习题 2.2[A 组]的第 1 题 教学反 思课题§2.2 等差数列课型新授课课时2备课时 间教知识与技能明确等差中项的概念；进一步熟练掌 明确等差中项的概念；
选资源互助社区你的首学 目 标握等差数列的通项公式及推导公式, 握等差数列的通项公式及推导公式 , 能通过通项公式与图像认识等差数列 的性质，能用图像与通项公式的关系 的性质， 解决某些问题。 解决某些问题。通过等差数列的图像的应用， 通过等差数列的图像的应用，进一步 过程与方法 渗透数形结合思想、函数思想； 渗透数形结合思想、函数思想；通过 等差数列通项公式的运用， 等差数列通项公式的运用，渗透方程 思想。 思想。 通过对等差数列的研究， 通过对等差数列的研究，使学生明确 等差数列与一般数列的内在联系， 情感态度与价 等差数列与一般数列的内在联系，从 值观 而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点。 重 点 难 点 教 学 方 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 题 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
选资源互助社区你的首首先回忆一下上节课所学主要内容： 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每 ．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起， 一项与它前一项的差等于同一个常数， （n 一项与它前一项的差等于同一个常数 ， 即 a n － a n?1 =d ， （ ，这个数列就叫做等差数列 ≥2，n∈N + ） 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做 ， ∈ ，这个数列就叫做等差数列， 等差数列的公差（常用字母“ ”表示） 等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： ．等差数列的通项公式：a n = a1 + (n ? 1)d新疆 王新敞奎屯( an= a m + ( n ? m) d或 a n =pn+q (p、 是常数)) 、 是常数 q3．有几种方法可以计算公差 d ① d= a n － a n?1 Ⅱ.讲授新课 问题： 问题：如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a ，A， b 成等差 ， ， 数列数列， 应满足什么条件？ 数列数列，那么 A 应满足什么条件？ 由定义得 A- a = b -A2a ?a ② d= n 1 n ?1 a ?a ③ d= n m n?m，即： A = a + b2反之， 反之，若 A = a + b ，则 A- a = b -A 由此可可得： 由此可可得： A = a + b ? a, b, 成等差数列2[补充例题] 补充例题] 例 在等差数列{ 中 在等差数列 an }中，若 a1 + a6 =9,a4 =7,求 a3 ,a9.分析：要求一个数列的某项， 分析 ：要求一个数列的某项， 通常情况下是先求其通 项公式，而要求通项公式， 项公式， 而要求通项公式 ，必须知道这个数列中的至少一 项和公差，或者知道这个数列的任意两项（ 项和公差 ，或者知道这个数列的任意两项 （知道任意两项
选资源互助社区你的首就知道公差） 本题中，只已知一项，和另一个双项关系式， ，本题中 就知道公差） 本题中，只已知一项，和另一个双项关系式， ， 想到从这双项关系式入手…… 想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {an }是等差数列 是等差数列 ∴a1 + a6 = a4 + a3=9 ? a3 =9－ a4 =9－7=2 － －∴ d= a4 － a3 =7－2=5 － ∴a9 = a4 +(9－4)d=7+5*5=32 －∴a3=2,a9 =32[范例讲解] 范例讲解] 课本 P44 的例 2 课本 P45 练习 5 已知数列{ 是等差数列 已知数列 an }是等差数列 是否成立？ 为什么？ （1） 2a5 = a3 + a 是否成立？ 2a5 = a1 + a 呢？为什么？ ）7 9解略（2） 2an = an ?1 + a ） 论？ （3）2an = an ?k + a ） 结论？ 结论？n+1(n & 1) 是否成立 ？ 据此你能得到什么结 是否成立？n+ k(n & k & 0) 是否成立？？你又能得到什么 是否成立？？ ？？你又能得到什么结论： 性质） （性质 在等差数列中， m+n=p+q， ， m + a n = a p + aq 若 结论： 性质） （ 在等差数列中， ， a 则 即 m+n=p+q? a m + a n = a p + aq(m, n, p, q ∈N ) 推 不 出 m+n=p+q ， ②但 通 常 ① 由 am + anam + an = am+n= a p + aq
选资源互助社区你的首探究： 探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习 1.在等差数列 1.在等差数列 {a n }中，已知 a5 = 10 ，a12 = 31 ，求首项 a1 与公差 d 2. 在等差数列 {a n }中, 若 Ⅳ.课时小结 节课学习了以下内容： 节课学习了以下内容： 1． A = a + b ? a, A, b, 成等差数列 ．2a5 = 6 a8 = 15求 a14在等差数列中， m+n=p+q 2． 在等差数列中， N ) Ⅴ.课后作业 课本 P46 第 4、5 题 教学反 思? a m + a n = a p + aq(m, n, p, q ∈课题 课型 新授课§3.3 等差数列的前 n 项和 课时 1 备课时 间教 学 目 知识与技能掌握等差数列前 n 项和公式及其获取 思路； 思路；会用等差数列的前 n 项和公式 解决一些简单的与前 n 项和有关的问
选资源互助社区你的首标题 通过公式的推导和公式的运用， 通过公式的推导和公式的运用，使学 生体会从特殊到一般， 生体会从特殊到一般，再从一般到特 殊的思维规律，初步形成认识问题， 殊的思维规律，初步形成认识问题， 过程与方法 解决问题的一般思路和方法； 解决问题的一般思路和方法；通过公 式推导的过程教学，对学生进行思维 式推导的过程教学，对学生进行思维 灵活性与广阔性的训练， 灵活性与广阔性的训练，发展学生的 思维水平. 思维水平 通过公式的推导过程， 情感态度与价 通过公式的推导过程，展现数学中的 值观 对称美。 对称美。重 点 难 点项和公式的理解、 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问 题教学方 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事 : 小故事”: 小故事 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时, 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老 师出了一道题目,老师说: 现在给大家出道题目 现在给大家出道题目: 师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
选资源互助社区你的首1+2+…100=? 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10… 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得 不亦乐乎时，高斯站起来回答说： 不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。 1+2+3+… 100=5050。 教师问： 你是如何算出答案的？ “ 教师问： 你是如何算出答案的？ 高斯回答说： 1+100=101； 高斯回答说：因为 1+100=101； 2+99=101； 50+51=101， 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 101×50=5050 这个故事告诉我们： 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所 作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考， 以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性 的东西。 的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要 的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加” 的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 Ⅱ.讲授新课 1．等差数列的前 n 项和公式 1： S n 证明： 证明：S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n?1 + a n S n = a n + a n ?1 + a n ?2 + L + a 2 + a1= n(a1 + a n ) 2① ②①+ ②： 2 S n= (a1 + a n ) + (a 2 + a n ?1 ) + (a3 + a n? 2 ) + L + (a n + a n )∵ a1 + a n = a 2 + a n?1 = a3 + a n? 2 = LL
选资源互助社区你的首∴ 2S n= n(a1 + a n )由此得： 由此得： S n=n(a1 + a n ) 2新疆 王新敞奎屯从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 项和公式 2． 等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na1 + n(n ? 1)d2必须具备三个条件： 用上述公式要求 S n 必须具备三个条件： n, a1 , a n 但 a n = a1 + (n ? 1)d 即得： 代入公式 1 即得：S n = na1 + n(n ? 1)d 2必须已知三个条件： 此公式要求 S n 必须已知三个条件： n, a1 , d （ 有时比较有 用） [范例讲解] 范例讲解] P49课本 P49-50 的例 1、例 2、例 3 之间的关系： 由例 3 得与 an 之间的关系： 的定义可知， 由 S n 的定义可知， 当 n=1 时， S1 = a1 ；当 n≥2 时，a n = S n - S n?1 ，即 an = ? Ⅲ.课堂练习?S1 (n = 1) . ?S n ? S n ?1 (n ≥ 2)P52 课本 P52 练习 1、2、3、4 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容： 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前 1.等差数列的前 n 项和公式 1： S n= n(a1 + a n ) 2 22.等差数列的前 2.等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na1 + n(n ? 1)d
选资源互助社区你的首Ⅴ.课后作业 P52- 习题[A ]2、 课本 P52-53 习题[A 组]2、3 题 教学反 思课题§2.3 等差数列的前 n 项和课型新授课课时2备课时 间进一步熟练掌握等差数列的通项公式 进一步熟练掌握等差数列的通项公式 教 学 目 标 过程与方法 知识与技能 项和公式； 和前 n 项和公式；了解等差数列的一 些性质， 些性质，并会用它们解决一些相关问 题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值； 的最值；经历公式应用的过程
选资源互助社区你的首通过有关内容在实际生活中的应用， 通过有关内容在实际生活中的应用， 情感态度与价 值观 使学生再一次感受数学源于生活， 使学生再一次感受数学源于生活，又 服务于生活的实用性，引导学生要善 服务于生活的实用性， 于观察生活，从生活中发现问题， 于观察生活，从生活中发现问题，并 数学地解决问题。 数学地解决问题。 重 点 难 点 教学方 法 教学过程 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前 1.等差数列的前 n 项和公式 1： S n= n(a1 + a n ) 2熟练掌握等差数列的求和公式灵活应用求和公式解决问题2.等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na1 + n(n ? 1)d 2.等差数列的前2Ⅱ.讲授新课 探究：――课本 探究：――课本 P51 的探究活动 结论： 一般地， 如果一个数列 {a n }, 的前 n 项和为 Sn = pn 2 + qn + r ， 结论： 一般地，
选资源互助社区你的首为常数， 其中 p、q、r 为常数，且 p ≠ 0 ，那么这个数列一定是等差数 列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由 Sn = pn 2 + qn + r ，得 S1 = a1 = p + q + r 当 n ≥ 2 时 an = Sn ? Sn ?1 = ( pn 2 + qn + r ) ? [ p(n ? 1)2 + q(n ? 1) + r ] = 2 pn ? ( p + q)∴ d = an ? an ?1 = [2 pn ? ( p + q )] ? [2 p (n ? 1) ? ( p + q )] =2p项和公式2： 对等差数列的前 n 项和公式 ： S n = na1 + n(n ? 1)d 可化成式2子：Sn = d 2 d n + (a 1 ? ) n ， 当 2 2d≠0，是一个常数项为零的二次式[范例讲解] 范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 课本 P51 的例 4 解略 小结： 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法 （1） 利用 a n : ） 当 a n &0，d&0，前n项和有最大值 可由 a n ≥0，且 a n+1 ≤0， ， ， 项和有最大值 ， ，新疆 王新敞奎屯求得n的值 求得 的值新疆 王新敞 奎屯当 a n &0，d&0，前n项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n+1 ≥0， ， ， 项和有最小值 ， ，新疆 王新敞 奎屯求得n的值 求得 的值新疆 王新敞 奎屯（2） 利用 S n ： ） 由 Sn= d 2 d n + (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 2 2n 的值Ⅲ.课堂练习
选资源互助社区你的首24， 1．一个等差数列前 4 项的和是 24，前 5 项的和与前 2 项的 27，求这个等差数列的通项公式。 和的差是 27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{ a n }中, ．差数列 中 的最小值。 项和 S n 的最小值。 Ⅳ.课时小结 为常数， 1．前 n 项和为 Sn = pn 2 + qn + r ，其中 p、q、r 为常数，且 p ≠ 0 ， 一定是等差数列， 一定是等差数列，该数列的 首项是 a1 = p + q + r 公差是 d=2p 通项公式是 通项公式是 an = ?S1 = a1 = p + q + r , 当n = 1 时 ? Sn ? Sn ?1 = 2 pn ? ( p + q), 当n ≥ 2 时 ?a 4 ＝－ ＝－15,公差 d＝3, 求数列 a n }的前 n ＝ 求数列{ 的前2．差数列前项和的最值问题有两种方法: ．差数列前项和的最值问题有两种方法 d&0， 项和有最大值 （1） a n &0， ， n项和有最大值 可由 a n ≥0， a n+1 ≤0， ） 当 ， 前 ， 且 ，新疆 王新敞奎屯求得n的值。 求得 的值。 的值 当 a n &0，d&0，前n项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n+1 ≥0， ， ， 项和有最小值 ， ，新疆 王新敞 奎屯求得n的值。 求得 的值。 的值 （2） S n ） 由 值 Ⅴ.课后作业 习题[A 课本 P53 习题[A 组]的 5、6 题= d 2 d n + (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 的 利用二次函数配方法求得最值时n的 2 2
选资源互助社区你的首教学反 思课题 课型 新授课§2.4 等比数列 课时 备课时 间 知识与技能 掌握等比数列的定义； 掌握等比数列的定义；理解等比数列 的通项公式及推导； 的通项公式及推导； 通过实例，理解等比数列的概念； 通过实例，理解等比数列的概念；探教 学 目 标索并掌握等比数列的通项公式、 性质， 索并掌握等比数列的通项公式、 性质， 过程与方法 能在具体的问题情境中， 能在具体的问题情境中，发现数列的 等比关系，提高数学建模能力；体会 等比关系， 提高数学建模能力； 等比数列与指数函数的关系 充分感受 数列是反映现实生活的模 体会数学是来源于现实生活， 情感态度与价 型，体会数学是来源于现实生活，并 值观 应用于现实生活的， 应用于现实生活的，数学是丰富多彩 的而不是枯燥无味的， 的而不是枯燥无味的，提高学习的兴
选资源互助社区你的首趣 重 点 难 点 教学方 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： 复习：等差数列的定义：a n － a n?1 =d等比数列的定义及通项公式灵活应用定义式及通项公式解决相关问题（n ， n ≥2 ，n ∈N + ） （等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中， 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数 列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 我们还会遇到下面一类特殊的数列。 的数列 个例子： 课本 P41 页的 4 个例子： ①1，2，4，8，16，… 16， ②1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，…2 4 8 16③1，20， 202 ， 203 ， 204 ，… 20， ④ 10000 ×1.0198 ， 10000 ×1.01982 ， 10000 ×1.01983 ， 10000 ×1.01984 ，10000 × 1.01985 ，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上① 观察：请同学们仔细观察一下， 看看以上 ①、② 、③、④ 四个数列有什么共同特征？ 四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起， 共同特点 ：从第二项起， 第一项与前一项的比都等于同一
选资源互助社区你的首个常数。 个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 ．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起， 项与它的前一项的比等于同一个常数， 项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 比数列 这个常数叫做等比数列的公比； 表示（ ≠ ） ，即 母 q 表示（q≠0） 即： ，an a n ?1=q（q≠0） （ ≠ ）1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ° 从第二项起” 前一项”之比为常数 ｛ an ｝成等比数列 ?a n +1 =q（ n ∈ N + ,q≠0） （ ≠ ） an2° 隐含：任一项 a n ≠ 0且q ≠ 0 ° 隐含： 成等比数列的必要非充分条件． “ an ≠0”是数列｛ an ｝成等比数列的必要非充分条件． ”是数列｛ 3° q= 1 时，{an}为常数。 ° 为常数。 为常数 2.等比数列的通项公式 1: 等比数列的通项公式a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0)由等比数列的定义， 由等比数列的定义，有：a 2 = a1 q ；a 3 = a 2 q = (a1q )q = a1q 2 ； a 4 = a 3 q = (a1 q 2 )q = a1 q 3 ；… … … … … … …a n = a n ?1 q = a1 ? q n?1 (a1 ? q ≠ 0)新疆 王新敞奎屯3.等比数列的通项公式 2: 等比数列的通项公式a n = a m ? q m ?1 (a1 ? q ≠ 0)4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 既是等差又是等比数列的数列：
选资源互助社区你的首探究： 页的探究活动―― ――等比数列与指数函数的 探究：课本 P56 页的探究活动――等比数列与指数函数的 关系[范例讲解] 范例讲解] 解略。 课本 P57 例 1、例 2、P58 例 3 解略。 Ⅲ.课堂练习 课本 P59 练习 1、2 [补充练习] 补充练习] 2.（ 公比是－ 2.（1） 一个等比数列的第 9 项是 4 ，公比是－ 1 ，求它的9 3答案： =2916） 第 1 项（答案： a1 =2916） 10， 20， （2）一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的 答案： 第 1 项与第 4 项（答案： a1 = Ⅳ.课时小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 A 组 1、2 题a2 q=5,a 4 = a3 q=40） =40）教学反 思
选资源互助社区你的首课题 课型 新授课§2.4 等比数列 课时 2 备课时 间 灵活应用等比数列的定义及通项公 知识与技能 式；深刻理解等比中项概念；熟悉等 深刻理解等比中项概念；熟悉等 比数列的有关性质， 比数列的有关性质，并系统了解判断 数列是否成等比数列的方法教学 目 标过程与方法通过自主探究、 通过自主探究、合作交流获得对等比 数列的性质的认识。 数列的性质的认识。 充分感受数列是反映现实生活的模情感态度与 价值观型，体会数学是来源于现实生活，并 体会数学是来源于现实生活， 应用于现实生活的， 应用于现实生活的，数学是丰富多彩 的而不是枯燥无味的， 的而不是枯燥无味的，提高学习的兴 趣。重点 难点等比中项的理解与应用 灵活应用等比数列定义、 通项公式、 性质解决一些相 灵活应用等比数列定义、 通项公式、 关问题
选资源互助社区你的首教学方法 教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它 ．等比数列：如果一个数列从第二项起， 的前一项的比等于同一个常数， 的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 于同一个常数 这个常数叫做等比数列的公比； 列.这个常数叫做等比数列的公比； 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母 q 表示 q （ ，即 ≠0） 即： ） ，an a n ?1=q（q≠0） （ ≠ ）a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0)2. 等 比 数 列 的 通 项 公 式 :a n = a m ? q n ? m ( a m ? q ≠ 0)，3． an ｝成等比数列 ? ． ｛a n +1 =q（ n ∈ N + ,q≠0） （ ≠ ） an“ an ≠0” ”是数列｛ 是数列｛ an ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 既是等差又是等比数列的数列： Ⅱ.讲授新课 1． ． 等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G， a,G， 等比中项： ， 使 ， b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项 成等比数列， 的等比中项. G=± ±ab （a,b即同号） 同号）如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数 ， ， 列，则 G =a b ? G 2 = ab ? G = ± ab ， Ga G成等比数列。 反之， 则 反之，若 G 2 =ab,则 G = b ，即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b
选资源互助社区你的首成等比数列 ? G 2 =ab（a?b≠0） （ ? ≠ ） [范例讲解] 范例讲解] 课本 P58 例 4 证明： 证明：设数列 {a n }的首项是 a1 ，公比为 n 项与第q1 ; {bn }的首项为 b1 ，公比为 q 2 ，那么数列 {a n ? bn }的第n+1 项分别为： 项分别为：a1 ? q1n ?1? b1 ? q 2 与a1 ? q1 ? b1 ? q 2 即为a1b1 (q1 q 2 ) n ?1 与a1b1 (q1 q 2 ) nn nn ?1Qa n +1 ? bn +1 a b (q q ) n = 1 1 1 2 n ?1 = q1 q 2 . a n ? bn a1b1 (q1q 2 )无关的常数， 它是一个与 n 无关的常数，所以 {an ? bn }是一个以 q1q2 为公比 的等比数列 拓展探究： 拓展探究： 中的等比数列{ 数列{ 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn }，数列{ an }也一定是等比bn数列吗？ 数列吗？ 探究：设数列{ 探究 ： 设数列 { an } 与 { bn } 的公比分别为 q1和q2 ， 令 cn = an ， 则bn cn +1 = an +1 bn +1an +1 cn +1 bn +1 a b q ∴ = = ( n +1 ) ( n +1 ) = 1 an cn an bn q2 bn，所以，数列{ an }也一定是等比数 所以，数列{bn列。 课本 P59 的练习 4 （1 是否成立？ 已知数列{ 是等比数列， （ 已知数列{ an }是等比数列， 1） a52 = a3a7 是否成立？ a52 = a1a9 成
选资源互助社区你的首立吗？为什么？ 立吗？为什么？ （ 2 ） an2 = an?1an +1 (n & 1) 是否成立 ？ 你据此能得到什么结论 ？2 an = an ? k an + k (n & k & 0) 是否成立？你又能得到什么结论？ 是否成立？你又能得到什么结论？结论： ．等比数列的性质： 结论：2．等比数列的性质：若 m+n=p+k，则 a m an = a p ak ， Ⅲ.课堂练习 P59课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 m+n=p+q， 1、若 m+n=p+q， a m ? an= a p ? aq是项数相同的等比数列， 2、若 {a n }, {bn }是项数相同的等比数列，则 {an ? bn }、{ an }也是等bn比数列 Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 2.4A 组的 3、5 题教学反 思
选资源互助社区你的首课题 课型 新授课§2.5 等比数列的前 n 项和 课时 1 备课时 备课时 间 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式 知识与技能 证明思路； 证明思路；会用等比数列的前 n 项和 公式解决有关等比数列的一些简单问 题 经历等比数列前 n 项和的推导与灵 过程与方法 活应用，总结数列的求和方法， 活应用，总结数列的求和方法，并能 在具体的问题情境中发现等比关系建 立数学模型、解决求和问题。 立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价 值观 在应用数列知识解决问题的过程中， 在应用数列知识解决问题的过程中， 要勇于探索，积极进取， 要勇于探索，积极进取，激发学习数 学的热情和刻苦求是的精神。 学的热情和刻苦求是的精神。教 学 目 标重 点 难 点等比数列的前 n 项和公式推导灵活应用公式解决有关问题教学方 法 教学过程
选资源互助社区你的首Ⅰ.课题导入 [创设情境] 创设情境] [提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 提出问题] P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列， [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我 们可以得到一个等比数列， 们可以得到一个等比数列，它的首项是 1，公比是 2，求第 一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个 等比数列的前 64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前 项的和。 项和公式。 n 项和公式。 1、 项和公式： 等比数列的前 n 项和公式： 当 q ≠ 1 时， S n= a1 (1 ? q n ) 1? q①或 Sn=a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n = na1 时用公式① 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, 用公式② 用公式②. 公式的推导方法一： 公式的推导方法一： 一般地， 一般地，设等比数列 a1 , a 2 + a3 ,L a n L 它的前 n 项和是S n = a1 + a 2 + a 3 + L a n a n 时，由? 得? ??S n = a1 + a 2 + a3 + L a nn ?1 ?a n = a1 q?S n = a1 + a1q + a1 q 2 + L a1 q n ? 2 + a1 q n ?1 ?qS n = a1 q + a1 q 2 + a1q 3 + L a1q n?1 + a1 q n ?
选资源互助社区你的首∴ (1 ? q ) S n = a1 ? a1 q n∴当 q ≠ 1 时， S n=a1 (1 ? q n ) 1? q①或 Sn=a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n = na1 公式的推导方法二： 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， a 有等比数列的定义， 2a1 = a3 a =L= n = q a2 a n ?1根据等比的性质， 根据等比的性质，有 即a 2 + a3 + L + a n S ? a1 = n =q a1 + a 2 + L + a n ?1 S n ? a nS n ? a1 = q ? (1 ? q ) S n = a1 ? a n q S n ? an（结论同上） 结论同上）围绕基本概念， 从等比数列的定义出发， 运用等比定理， 围绕基本概念， 从等比数列的定义出发， 运用等比定理， 导出了公式． 导出了公式． [解决问题] 解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由 a1 = 1, q = 2, n = 64 可得Sn = a1 (1 ? q n ) 1× (1 ? 264 ) = = 264 ? 1 。 1? q 1? 2264 ? 1 这个数很大，超过了 1.84 × 1019 。国王不能实现他的诺言。 这个数很大， 国王不能实现他的诺言。[例题讲解] 例题讲解] P65课本 P65-66 的例 1、例 2 Ⅲ.课堂练习 课本 P66 的练习 1、2、3 例 3 解略
选资源互助社区你的首Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式： 等比数列求和公式 ： 当 q=1 时 ， S n = na1Sn = a1 ? a n q 1? q当 q ≠ 1 时，或 Sn=a1 (1 ? q n ) 1? qⅤ.课后作业 课本 P69 习题 A 组的第 1、2 题教学反 思课题 课型 新授课§2.5 等比数列的前 n 项和 课时 2 备课时 间 会用等比数列的通项公式和前 n 项和教 学 目 标知识与技能公式解决有关等比数列的 S n , a n , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简 单问题；提高分析、 单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法通过公式的灵活运用， 通过公式的灵活运用，进一步渗透方 程的思想、分类讨论的思想、 程的思想、分类讨论的思想、等价转
选资源互助社区你的首化的思想. 化的思想 通过公式推导的教学， 通过公式推导的教学，对学生进行思 维的严谨性的训练， 情感态度与价 维的严谨性的训练，培养他们实事求 值观 是的科学态度. 是的科学态度.重 点 难 点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式灵活使用公式解决问题教学方 法 教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 项和公式： 等比数列的前 n 项和公式： 当 q ≠ 1 时， S n= a1 (1 ? q n ) 1? q①或 Sn=a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n = na1 时用公式① 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, ② Ⅱ.讲授新课a n 时，用公式
选资源互助社区你的首等比数列前 n 项， 2n 项， 3n 项的和分别是 Sn， ， Sn， S2n， 1、 前 前 S2n S3n， S3n， 求证： n 2 求证： S 2 + S2 n = S n (S2 n + S3n )2 3 n 为常数， 2、设 a 为常数，求数列 a，2a ，3a ，…，na ，…的前 n 2 3 n项和； 项和； （1）a=0 时，Sn=0 a=1， Sn=1+2+3+… （2）a≠0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+…+n= 1 n(n ? 1)2若 Sn=a ≠ 1 ， Sn-aSn=a （ 1+a+ … +an-1-nan ） ，a [1 ? ( n + 1)a n + na n +1 ] 2 (1 ? a )n-1nⅢ.课堂练习Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业
选资源互助社区你的首教学反 思
选资源互助社区你的首课题 课型 新授课§3.1 不等式与不等关系 课时 备课时
选资源互助社区你的首间 知识与技能 教 学 目 标 过程与方法 掌握不等式的基本性质， 掌握不等式的基本性质，会用不等式 的性质证明简单的不等式； 的性质证明简单的不等式； 通过解决具体问题， 通过解决具体问题，学会依据具体问 题的实际背景分析问题、 题的实际背景分析问题、解决问题的 方法； 方法； 通过讲练结合， 情感态度与价 通过讲练结合，培养学生转化的数学 值观 重 点 难 点 教学方 法 教学过程 思想和逻辑推理能力. 思想和逻辑推理能力.掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简 单的 不等式； 不等式； 利用不等式的性质证明简单的不等式。 利用不等式的性质证明简单的不等式。1.课题导入 1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方 不等式的两边同时加上或减去同一个数， 向不改变； 向不改变； 即若 a & b ? a ± c & b ± c
选资源互助社区你的首（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数， 方向不改变； 方向不改变； 即若 a & b, c & 0 ? ac & bc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数， 方向改变。 方向改变。 即若 a & b, c & 0 ? ac & bc2.讲授新课 2.讲授新课1、不等式的基本性质： 不等式的基本性质： （ 1 ） a & b, b & c ? a & c （2 ） a & b ? a + c & b + c （3） a & b, c & 0 ? ac & bc （4） a & b, c & 0 ? ac & bc 2、探索研究 思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： 思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （ 1 ） a & b, c & d ? a + c & b + d ； （2） a & b & 0, c & d & 0 ? ac & bd ； （3） a & b & 0, n ∈ N , n & 1 ? a n & n a & n b 。 证明： 证明： 1）∵a＞b， ∵a＞ ∴a＋ ∴a＋c＞b＋c ①
选资源互助社区你的首∵c＞ ∵c＞d， ∴b＋ ∴b＋c＞b＋d． 由①、②得 2） a ＋ c ＞b ＋d ． ②a & b, c & 0 ? ac & bc ? ? ? ac & bd c & d , b & 0 ? bc & bd ?3）反证法）假设 n a ≤ n b ， ）反证法） 则：若 nna & a =n nb ? a & b b ? a = b矛盾， 这都与 a & b 矛盾，∴n a & n b ．3.随堂练习 1 3.随堂练习1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： 在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ （3＋ 2 ）2６＋26 ； ） 3－ 2 ） （2） （ （2（6－1）2； ） （3） log 1 b21 5?21 6? 5； (4) 当 a ＞ b ＞ 0 时 ， log 1 a2[补充例题] 补充例题] 比较( 3)（ 的大小。 例 2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2） a－4）的大小。 （随堂练习 21、 比较大小： 比较大小：2（ （ 1 ） x ＋ ５ ） x ＋ ７ ） 与 （ x ＋ ６）2 （
选资源互助社区你的首（2） x 2 + 5 x + 6与2 x 2 + 5 x + 94.课时小结 4.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一 本节课学习了不等式的性质， 些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式） 些简单的不等式 ，还研究了如何比较两个实数（ 代数式） 的大小――作差法，其具体解题步骤可归纳为： 的大小――作差法，其具体解题步骤可归纳为： ――作差法 第一步：作差并化简， 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平 方式或常数的形式； 方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步： 第三步：得出结论5.评价设计 5.评价设计课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题；[B 组]第 1 题教学反 思课题3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时课型新授课课时备课时 间
选资源互助社区你的首理解一元二次方程、 理解一元二次方程、一元二次不等式 与二次函数的关系， 与二次函数的关系，掌握图象法解一 知识与技能 元二次不等式的方法；培养数形结合 元二次不等式的方法； 的能力，培养分类讨论的思想方法 方法， 的能力，培养分类讨论的思想方法， 教 学 目 标 过程与方法 培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 经历从实际情境中抽象出一元二次不 等式模型的过程和通过函数图象探究 一元二次不等式与相应函数、 一元二次不等式与相应函数、方程的 联系， 联系，获得一元二次不等式的解法 情感态度与价 值观 重 点 难 点 激发学习数学的热情， 激发学习数学的热情，培养勇于探索 的精神，勇于创新精神， 的精神，勇于创新精神，同时体会事 物之间普遍联系的辩证思想。 物之间普遍联系的辩证思想。从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次 不等式的解法。 不等式的解法。 理解二次函数、 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集 的关系教学方 法 教学过程1.课题导入 1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
选资源互助社区你的首教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题， 教师引导学生分析问题、 解决问题，最后得到一元二次不 等式模型： x 2 ? 5 x & 0 …………………………(1) 等式模型： (1)2.讲授新课 2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义这样，只含有一个未知数， 象 x 2 ? 5 x & 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次 的不等式， 数是 2 的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x & 0 的解集怎样求不等式（ 的解集呢？ 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1 探究： 1）二次方程的根与二次函数的零点 （ 关系：二次方程的根就是二次函数的零点。 关系：二次方程的根就是二次函数的零点。 程的根就是二次函数的零点 （2）观察图象，获得解集 观察图象， 的图象，如图，观察函数图象，可知： 画出二次函数 y = x 2 ? 5 x 的图象，如图，观察函数图象，可知： x&0， 轴上方，此时， 当 x&0，或 x&5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时，y&0, 轴下方，此时， 即 x 2 ? 5 x & 0 ；当 0&x&5 时，函数图象位于 x 轴下方，此时， y&0,即 所以， y&0,即 x 2 ? 5 x & 0 ；所以，不等式 x 2 ? 5 x & 0 的解集是 { x | 0 & x & 5} ， 从而解决了本节开始时提出的问题。 从而解决了本节开始时提出的问题。 的3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax 2 + bx + c & 0, (a & 0)或ax 2 + bx + c & 0, (a & 0)一般地，怎样确定一元二次不等式ax 2 + bx + c&0 与
选资源互助社区你的首ax 2 + bx + c &0的解集呢？ 的解集呢？组织讨论，总结讨论结果： 组织讨论，总结讨论结果： （l）抛物线y = ax 2 + bx + c （a&0） 轴的相关位置， 0）与 x 轴的相关位置，分ax 2 + bx + c =0为三种情况，这可以由一元二次方程 为三种情况，这可以由一元二次方程? = b 2 ? 4ac 三种取值情况(?& 三种取值情况( &的判别式0， =0 =0， &0 来确定.因此， &0） 0，?=0，?&0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a&0 可以转化为 a&0 分 ?&O， =0， &0 三种情况， &O， =0， 三种情况， 得到一元二次不等式 ax 2 + bx + c &0 &O ?=0 ?&0 与 ax 2 + bx + c &0 的解集 的解集： 一元二次不等式 ax 2 + bx + c & 0或ax 2 + bx + c & 0(a ≠ 0) 的解集： 设相应的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0 )的两根为x1、x2 且 x1 ≤ x2 ，? = b 2 ? 4ac ，则不等式的解的各种情况如下表： 则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第 86 页的表格) 让学生独立完成课本第 页的表格?&0 ?=0 ?&0二次函数y = ax 2 + bx + cy = ax 2 + bx + cy = ax 2 + bx + cy = ax 2 + bx + c（ a & 0 ） 的图 象
选资源互助社区你的首一 元 二 次 方 有两相异实 有两相等实 程 根 根(a & 0)的根ax + bx + c = 02无 实 根x1 , x2 ( x1 & x2 )x1 = x2 = ?b 2aax 2 + bx + c & 0 (a & 0)的解集{x x & x 或x & x }1 2? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?R?ax 2 + bx + c & 0(a & 0)的解集{x x1& x &x2}?[范例讲解 范例讲解] 范例讲解 例2 (课本第 87 页)求不等式 4 x 2 ? 4 x + 1 & 0 的解集 课本第 的解集. 求不等式2解：因为 ? = 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x + 1 = 0 的解是 x1 = x2 = 1 . 所以， 所以，原不等式的解集是 ? x ??1? x≠ ? 2?例3(课本第 88 页)解不等式 ? x 2 + 2 x ? 3 & 0 . 课本第 解不等式解：整理，得 x 2 ? 2 x + 3 & 0 . 整理， 无实数解， 因为 ? & 0 , 方程 x 2 ? 2 x + 3 = 0 无实数解，2 所以不等式 x ? 2 x + 3 & 0 的解集是 ? .从而， 从而，原不等式的解集是 ? .3.随堂练习 3.随堂练习（3 、 （5 、 （7 课本第 89 的练习 1（1）（3）（5）（7） 、4.课时小结 4.课时小结解一元二次不等式的步骤： 解一元二次不等式的步骤：
选资源互助社区你的首将二次项系数化为“ ” ① 将二次项系数化为“+” A= ax 2 + bx + c &0(或&0)(a&0) ： 或 分析不等式的解的情况： ② 计算判别式 ? ，分析不等式的解的情况： . ? &0 时，求根 x1 & x2 ， ? . ? =0?若A & 0，则x & x1或 & x 2； ?若A & 0，则x1 & x & x 2 .?若A & 0，则x ≠ x0的一切实数； 时，求根 x1 ＝ x2 ＝ x0 ， ?若A & 0，则x ∈ φ； ? ?若A ≤ 0，则x = x . 0 ?方程无解， . ? &0 时，方程无解， ? ③ 写出解集. 写出解集?若A & 0，则x ∈ R； ?若A ≤ 0，则x ∈ φ .5.评价设计 5.评价设计3.2[A]组第 课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 教学反 思
选资源互助社区你的首课题§3.2 一元二次不等式及其解法 第 2 课时课型新授课课时备课时 间巩固一元二次方程、 巩固一元二次方程、一元二次不等式 知识与技能 教 学 目 标 情感态度与价 值观 重 点 难 点 理解一元二次不等式与一元二次方程、 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关 系 过程与方法 与二次函数的关系； 与二次函数的关系；进一步熟练解一 元二次不等式的解法； 元二次不等式的解法； 培养数形结合的能力， 培养数形结合的能力，一题多解的能 能力 力，培养抽象概括能力和逻辑思维能 力； 激发学习数学的热情， 激发学习数学的热情，培养勇于探索 的精神，勇于创新精神， 的精神，勇于创新精神，同时体会从 不同侧面观察同一事物思想熟练掌握一元二次不等式的解法教学方 法 教学过程1.课题导入 1.课题导入
选资源互助社区你的首1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 一元二次方程、 2．一元二次不等式的解法步骤――课本第 86 页的表格 一元二次不等式的解法步骤――课本第 ――2.讲授新课 2.讲授新课[范例讲解] 范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车 有如下的关系 的关系： 的速度 x km/h 有如下的关系：s= 1 1 2 x+ x 20 180在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那 在一次交通事故中， 39.5m， 么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h） 么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h） ？（ km/h，根据题意， 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h，根据题意， 我们得到1 1 2 x+ x & 39.5 20 180移项整理得： 移项整理得： x 2 + 9 x ? 7110 & 0 显然 即x1 ≈ ?88.94, x2 ≈ 79.94 。所以不等式的解集为 { x | x & ?88.94, 或x & 79.94}& 0 ，方程 x 2 + 9 x ? 7110 = 0 有两个实数根， 有两个实数根，在这个实际问题中，x&0， 在这个实际问题中，x&0，所以这辆汽车刹车前的车速至少 为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线， 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线， 这条流水线生产的摩托车数量 x（辆）与创造的价值 y（元） 之间有如下的关系： 之间有如下的关系：y = ?2 x 2 + 220 x
选资源互助社区你的首若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元 以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车，根据题意， 设在一个星期内大约应该生产 辆摩托车，根据题意， 我们得到?2 x 2 + 220 x & 6000移项整理， 移项整理，得x 2 ? 110 x + 3000 & 0因为 数根= 100 & 0 ， 所以方程 x 2 ? 110 x + 3000 = 0 有两个实x1 = 50, x2 = 60由二次函数的图象，得不等式的解为： 由二次函数的图象，得不等式的解为：50&x&60 只能取正整数，所以， 因为 x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水 线在一周内生产的摩托车数量在 51―59 辆之间时，这家工 51― 辆之间时， 元以上的收益。 厂能够获得 6000 元以上的收益。3．随堂练习 1课本第 89 页练习 2 [补充例题] 补充例题] ▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系） 例：设不等式 ax 2 + bx + 1 & 0 的解集为 {x | ?1 & x & 1} ，求 a b ? 3 ▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系） 例：设 A = {x | x 2 ? 4 x + 3 & 0}, B = {x | x 2 ? 2 x + a ? 8 ≤ 0} ，且 A ? B ，求 a
选资源互助社区你的首的取值范围. 的取值范围 都成立， 的范围. 改：设 x 2 ? 2 x + a ? 8 ≤ 0 对于一切 x ∈ (1,3) 都成立，求 a 的范围 改：若方程 x 2 ? 2 x + a ? 8 = 0 有两个实根 x1 , x2 ，且 x1 ≥ 3 ， x2 ≤ 1 ， 的范围. 求 a 的范围随堂练习 21、已知二次不等式 ax 2 + bx + c & 0 的解集为 {x | x & 1 或x & 1 } ，求关 3 2 的解集. 于 x 的不等式 cx 2 ? bx + a & 0 的解集. 的解集为空集， 2、若关于 m 的不等式 mx 2 ? (2m + 1) x + m ? 1 ≥ 0 的解集为空集， 、 的取值范围. 求 m 的取值范围 改 1：解集非空 ： 改 2：解集为一切实数 ：4.课时小结 4.课时小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系5.评价设计 5.评价设计3.2[A]组第 课本第 89 页的习题 3.2[A]组第 3、5 题教学反 思
选资源互助社区你的首课题§3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 二元一次不等式（ 第 1 课时课型新授课课时备课时 间教 学 目 标知识与技能了解二元一次不等式的几何意义， 了解二元一次不等式的几何意义，会 用二元一次不等式组表示平面区域； 用二元一次不等式组表示平面区域； 经历从实际情境中抽象出二元一次不 等式组的过程， 提高数学建模的能力； 等式组的过程， 提高数学建模的能力； 的能力过程与方法通过本节课的学习， 情感态度与价 通过本节课的学习，体会数学来源与 值观 生活， 生活，提高数学学习兴趣重 点 难 点用二元一次不等式（ 用二元一次不等式（组）表示平面区域； 表示平面区域；二元一次不等式的几何意义教学方 法 教学过程1.课题导入 1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 从实际问题中抽象出二元一次不等式（
选资源互助社区你的首页的“银行信贷资金分配问题” 课本第 91 页的“银行信贷资金分配问题” 教师引导学生思考、探究， 教师引导学生思考、探究 ，让学生经历建立线性规划模型 的过程。 的过程。 在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识： 在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课 2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型 把实际问题转化 uuuuu r数学问题： 数学问题：设用于企业贷款的资金为 x 元，用于个人贷款的资金为 y 元。 （把文字语言转化 uuuuu r符号语言） 符号语言）? x + y ≤ （ 资 金 总 数 为 25 000 000 元 ） （1 ）（预计企业贷款创收 12%， 12%， 个人贷款创收 10%， 10%， 共创收 30 000 元 以 上 ） 即? (12%)x+(10%)y ≥ 3000012 x + 10 y ≥ 3000000（2 ） （用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）? x ≥ 0, y ≥ 0（3 ）（2 （3 合在一起，得到分配资金应满足的条件： 将（1） 2） 3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： （ （
选资源互助社区你的首? x + y ≤
? ?12 x + 10 y ≥ 3000000 ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最 二元一次不等式：含有两个未知数， 的不等式叫做二元一次不等式。 高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不 二元一次不等式组： 等式组称为二元一次不等式组。 等式组称为二元一次不等式组。 （3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式 二元一次不等式（ 的解集： 的取值构成有序实数对（x,y） ，所有这样 （组）的 x 和 y 的取值构成有序实数对（x,y） 所有这样 ， 的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（ 的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组） 的解集。 的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的 二元一次不等式（ 点之间的关系： 点之间的关系： 二元一次不等式（ 的解集是有序实数对， 二元一次不等式（ 组 ）的解集是有序实数对， 而点的 坐标也是有序实数对，因此， 坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平 面内点的坐标，进而，二元一次不等式（ 面内点的坐标， 进而，二元一次不等式（ 组）的 解集就可 以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 3.探究二元一次不等式（ 探究二元一次不等式 （1）回忆、思考 回忆、 回忆：初中一元一次不等式（ 的解集所表示的图形― 回忆：初中一元一次不等式（组 ）的解集所表示的图形― ―数轴上的区间
选资源互助社区你的首思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（ 思考：在直角坐标系内， 二元一次不等式 （组） 的解集表 示什么图形？ 示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般： 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式 x-y&6 的解集 所表示的图形。 所表示的图形。 如图：在平面直角坐标系内， 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6 表示一 条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类： 上的点； 第一类：在直线 x-y=6 上的点； 第二类： 左上方的区域内的点； 第二类：在直线 x-y=6 左上方的区域内的点； 第三类： y=6 右下方的区域内的点。 第三类：在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。 上的点，选取点， 设点是直线 x-y=6 上的点，选取点，使它的坐标满足不等 式 x-y&6，请同学们完成课本第 93 页的表格， y&6， 页的表格， 横坐标 x 点 P 的纵 坐标 y1 点 A 的纵 坐标 y2 并思考： 并思考： 有相同的横坐标时， 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时，它们 的纵坐标有什么关系？ 的纵坐标有什么关系？ -3 -2 -1 0 1 2 3
选资源互助社区你的首根据此说说， 根据此说说，直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y&6 有 什么关系？ 什么关系？ 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢？ 右下方点的坐标呢？ 学生思考、讨论、交流，达成共识： 学生思考、讨论、交流，达成共识： 在平面直角坐标系中， 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x-y&6 的解 的左上方；反过来， 为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上方；反过来，直线 x-y=6 y&6。 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y&6。 因此，在平面直角坐标系中，不等式 x-y&6 表示直线 因此，在平面直角坐标系中， 左上方的平面区域；如图。 x-y=6 左上方的平面区域；如图。 类似的： 类似的：二元一次不等式 x-y&6 表示直线 x-y=6 右下方的 区域；如图。 区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论： 结论： 二元一次不等式 Ax+By+C＞0 在平面直角坐标系中表示 某一侧所有点组成的平面区域 区域. 直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示 区域不包括边界直线） 区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 同一侧的所有点( 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y )，把它 的坐标（ 所得到实数的符号都相同， 的坐标（ x, y )代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所 以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 只需在此直线的某一侧取一特殊点（
选资源互助社区你的首表示直线哪一侧的平面区域. 的正负即可判断 Ax+By+C＞0 表示直线哪一侧的平面区域. 常把原点作为此特殊点） （特殊地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点） 特殊地， 【应用举例】 应用举例】 表示的平面区域。 例 1 画出不等式 x + 4 y & 4 表示的平面区域。 画成虚线） 解：先画直线 x + 4 y = 4 （画成虚线）. （ ， ， 0） 取原点 0， ） 代入 x +4y-4,∵0+4×0-4=-4 ∵ × ＜0, 表示的平面区域内， ∴原点在 x + 4 y & 4 表示的平面区域内，不等式 x + 4 y & 4 表示的 区域如图： 区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“ 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用 “直线定 界，特殊点定域”的方法。特殊地，当 C ≠ 0 时，常把原点作 特殊点定域”的方法。特殊地， 为此特殊点。 为此特殊点。 所表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ≤ 12 所表示的平面区域。 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ≥ 1 所表示的平面区域。 用平面区域表示.不等式组 ? 例 2 用平面区域表示 不等式组 ?y & ?3 x + 12 ?x & 2 y的解集。 的解集。分析： 分析 ：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示 的平面点集的交集， 的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分。 的公共部分。 不等式 y & ?3x + 12 表示直线 y = ?3x + 12 右下方的 解： 区域， 右上方的区域， 区域， x & 2 y 表示直线 x = 2 y 右上方的区域，取两区域
选资源互助社区你的首重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 归纳： 归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平 面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公 面点集的交集， 共部分。 共部分。& 表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 ( x + 2 y + 1)( x ? y + 4） 0 表示的平面区域。变式 2、由直线 x + y + 2 = 0 ， x + 2 y + 1 = 0 和 2 x + y + 1 = 0 围成的三 角 形 区 域 （ 包 括 边 界 ） 用 不 等 式 可 表 示 为 。3.随堂练习 3.随堂练习1、课本第 97 页的练习 1、2、34.课时小结 4.课时小结1．二元一次不等式表示的平面区域． 二元一次不等式表示的平面区域． 2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域． 二元一次不等式组表示的平面区域．5.评价设计 5.评价设计3.3[A]组的第 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 1 题 教学反 思
选资源互助社区你的首课题二元一次不等式（ §3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 第 2 课时课型新授课课时备课时 间巩固二元一次不等式和二元一次不等 知识与技能 教 学 目 标 情感态度与价 值观 重 点 难 点 过程与方法 式组所表示的平面区域； 式组所表示的平面区域；能根据实际 问题中的已知条件，找出约束条件； 问题中的已知条件，找出约束条件； 经历把实际问题抽象为数学问题的过 体会集合、化归、 程，体会集合、化归、数形结合的数 学思想； 学思想； 结合教学内容， 结合教学内容，培养学生学习数学的 兴趣和“用数学”的意识， 兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新. 创新理解二元 一次 不等式表 示平 面区域并 能把 不等式 （组）所表示的平面区域画出来； 所表示的平面区域画出来； 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（ 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平 面区域教学方 法 教学过程1.课题导入 1.课题导入
选资源互助社区你的首[复习引入] 复习引入] 二元一次不等式 二元一次不等式 Ax+By+C＞0 在平面直角坐标系中表示 某一侧所有点组成的平面区域. 直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示 区域不包括边界直线） 区域不包括边界直线） 判断方法： 判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 把它的坐标（ (x,y)，把它的坐标（x,y)代入 Ax+By+C，所 得到实数的符号都相同， 所以只需在此直线的 得到实数的符号都相同，2x+y-6&0 y62x+y-6&0从 某一侧取一特殊点（x0,y0)， Ax0+By0+C 的正 某一侧取一特殊点 （ 负即可判断 Ax+By+C＞0 表示直线哪一侧的平03x 2x+y-6=0面区域. 特殊地， 常把原点作为此特殊点） 面区域.（特殊地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点） 。随堂练习 1表示的平面区域. 1、画出不等式 2 x +y-6＜0 表示的平面区域.?x ? y + 5 ≥ 0 2、画出不等式组 ? x + y ≥ 0 表示的平面区 ? ?x ≤ 3 ?y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)域。2.讲授新课 2.讲授新课【应用举例】 应用举例】 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市 万兴办一所完全中学， 场进行调查后， 他得到了下面的数据表格 以班级为单位） （以班级为单位） ： 场进行调查后， 学段 班级学生 人数 教师年薪/ 配备教师 硬件建设 教师年薪/ 数 /万元 万元
选资源互助社区你的首初中 高中45 402 326/班 26/班 54/班 54/班2/人 2/人 2/人 2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 根据题意， 解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总 20共招生班数应限制在 20-30 之间，所以有 20 ≤ x + y ≤ 30 考虑到所投资金的限制， 考虑到所投资金的限制，得到 26 x + 54 y + 2 × 2 x + 2 × 3 y ≤ 1200 即x + 2 y ≤ 40另外，开设的班数不能为负， 另外，开设的班数不能为负，则 x ≥ 0, y ≥ 0 把上面的四个不等式合在一起，得到： 把上面的四个不等式合在一起，得到：?20 ≤ x + y ≤ 30 ? x + 2 y ≤ 40 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（ 用图形表示这个限制条件 ，得到如图的平面区域 （阴影部 分） 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料， 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲 18t； 种肥料的主要原料是磷酸盐 18t； 生产 1 车皮乙种肥料需要 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、 的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、 硝 66t，在此基础上生产两种混合肥料。 酸盐 66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条 件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
选资源互助社区你的首设 解： x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥 料的车皮数，于是满足以下条件： 料的车皮数，于是满足以下条件：? 4 x + y ≤ 10 ?18 x + 15 y ≤ 66 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分） 。 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分） [补充例题] 补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1)( x ? y )( x ? y ? 1) ≤ 0 ；(2)x ≤ y ≤ 2x分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传 转化为等价的不等式组 递性， 不等式仍成立， 递性，由 x ≤ 2 x ，得 x ≥ 0 ，又用 ? y 代 y ，不等式仍成立，区域 轴对称。 关于 x 轴对称。? 解：(1) ? ?x ? y ≤ 0 ? 0 ≤ x ? y ≤ 1或 ? 矛盾无解， 矛盾无解，故点 ( x, y) ?x ? y ? 1 ≤ 0 ?x ? y ≥ 1x? y ≥0在一带形区域内（含边界） 。 在一带形区域内（含边界）? (2) 由 x ≤ 2 x ，得 x ≥ 0 ；当 y & 0 时，有 ?x? y≤0?2 x ? y ≥ 0点 ( x, y ) 在由对称性得出。 一条形区域内(边界) 一条形区域内(边界)；当 y ≤ 0 ，由对称性得出。 指出： 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求 解
选资源互助社区你的首例?2 x ? y ? 3 & 0 利用区域求不等式组 ? 2、利用区域求不等式组 ?2 x + 3 y ? 6 & 0 的整数解 ?3x ? 5 y ? 15 & 0 ?分 析 ： 不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 3 = 0 ，l 2 : 2 x + 3 y ? 6 = 0 ， l 3 : 3 x ? 5 y ? 15 = 0 所围成的三角形区域内部 ( 不 所围成的三角形区域内部(含边界) 含边界)。设 l1 ∩ l 2 = A ， l1 ∩ l3 = B ， l 2 ∩ l3 = C ，求得区域内点横 坐标范围， 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 坐标范围，取出 x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 的整数值。l l l 设 解： l1 : 2 x ? y ? 3 = 0 ，2 : 2 x + 3 y ? 6 = 0 ，3 : 3 x ? 5 y ? 15 = 0 ，1 ∩ l 2 = A ，15 3 75 12 , ) ， B (0,?3) ，C ( ,? ) 。于是看出 8 4 19 19 区域内点的横坐标在 (0, 75 ) 内，取 x ＝1，2，3，当 x ＝1 时， 19l1 ∩ l 3 = B ，l 2 ∩ l 3 = C ，∴ A(? ? y & ?1 ? ＝－2 代入原不等式组有 ? y & 4 ? ? 12 & y & ?1 ，得 y ＝－2，∴区域 ? 3 5 ? 12 ? ?y & ? 5 ?内有整点(1,-2)。 同理可求得另外三个整点(2,0)， -1)， 内有整点(1,-2)。 (1, 同理可求得另外三个整点(2,0)， (2,0) (2,-1)， (2, (3,-1)。 (3,-1)。 指出： 指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难 它为线性规划中求最优整数解作铺垫。 点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫 。常有两种处理 方法，一种是通过打出网络求整点； 方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中
选资源互助社区你的首所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围， 所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定 x 的所有 的一元一次不等式组， 整数值，再代回原不等式组， 整数值，再代回原不等式组，得出 y 的一元一次不等式组， 的所有整数值， 再确定 y 的所有整数值，即先固定 x ，再用 x 制约 y 。3.随堂练习 2 3.随堂练习1． ） y & ． （1） （x + 1；． （2 ） x& y； （3 ） x & ．y3．课本第 97 页的练习 44.课时小结 4.课时小结 5.评价设计 5.评价设计3.3[B]组的第 1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 教学反 思课题§3.3.2 简单的线性规划 第 3 课时课型新授课课时备课时 间教 学知识与技能使学生了解二元一次不等式表示平面 使学生了解二元一次不等式表示平面 区域；了解线性规划的意义以及约束 区域；
选资源互助社区你的首目 标条件、目标函数、可行解、可行域、 条件、目标函数、可行解、可行域、 最优解等基本概念； 最优解等基本概念；了解线性规划问 题的图解法，并能应用它解决一些简 题的图解法， 单的实际问题； 单的实际问题； 过程与方