&&&&中国纺织出版社美术/特长生&【JPKS】高考色彩难点攻&塑造训练&丁立龙&中国纺织出版社&978750...
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高中数学几何体如何做辅助线
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从结果入手，一般是证明题，先观察证明那些关系，原图中没有的，就添线，或者从结果反推，观察要得到结果先要知道哪些条件，题目中未给出的却又是得到最终结果的必经之路的条件，就要做辅助线，总而言之一句话，顺藤摸瓜。
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浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第12课时 空间几何体
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& 2017届高考文科数学一轮复习专题演练：空间几何体（含解析）
2017届高考文科数学一轮复习专题演练：空间几何体（含解析）
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空间几何体
【三年高考】
1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（
2. [2016高考新课标文数]在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（
3．[2016高考新课标文数]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B．
4．【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（
（A）（B）
（C）（D）
【解析】由已知，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.
5. 【2016高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积
6. 【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（
【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
7.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（
8. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
9.【2015高考湖南，文18】如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。
（I）证明：平面平面；
（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。
【解析】（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形 的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面
（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，，所以，故三棱锥的体积。
10．【2014高考大纲卷文第10题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（
11. 【2014高考全国1卷文第8题】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（
【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．
12. 【2014高考江苏卷第8题】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档．主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．对简单几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 ,要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.球的组合体问题是高考必考内容之一，每年都涉及，试题难度在中等，有时在压轴题的位置，从整体上来看，试题难度理科比文科要大，主要考查学生的画图能力，空间想象能力，运算能力及逻辑推理能力，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2017年高考题中，对组合体的考查，以球的组合体为主，考查组合体的体积与表面积有关的问题．对三视图的考查，以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力．对空间几何体的面积与体积的考查，以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．复习建议：三视图在近几年的高考题都有体现，多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念，注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想.因此，三视图的内容应重点训练.与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用【2017年高考考点定位】
高考对空间几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.
【考点1】空间几何体
【备考知识梳理】
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
棱锥与圆锥统称为锥体
（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴
圆台和棱台统称为台体.
（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.
(5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
2．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法
建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；
画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.
（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.
3.几种常凸多面体间的关系
2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质
名称 棱柱 直棱柱 正棱柱
义 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱
侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等
侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形
对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形
平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台
侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点
侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形
对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形
平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形
高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质
名称 特殊性质
平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分
直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分
长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
【规律方法技巧】
1. 注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体．
2. 棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形．
3．注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．
4.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.
5.常见的特殊几何体的性质
（1）平行六面体：
底面是平行四边形的四棱柱.
{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
平行六面体的任何一个面都可以作为底面；
平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.
（2）长方体：
长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；
若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+ cos2+cos2=1；
若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.
（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.
正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形；
若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.
（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.
设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为.
正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBCPA, EBC⊥面PAB, EBC面PAC. EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；
正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.
6. 几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段．
【考点针对训练】
1. 【2016届山西省太原市高三下第三次模拟】棱长为的正方体中，若与平行的平面截正方体所得的截面面积为，则的取值范围是
2．【2016届山东省临沂十八中高三三模】已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为（
【考点2】空间几何体的三视图
【备考知识梳理】
空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.
他具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.
2.三视图画法规则
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐
长对正：主视图与俯视图的长应对正
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
【规律方法技巧】
1.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．
2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．
3.解答三视图题目时：
(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；
(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；
(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．
4．从能力上来看，三视图着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图——对图形进行必要的分解、组合；会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.
【考点针对训练】
1. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】 把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（
【解析】在三棱锥中，在平面上的射影为的中点，左视图的面积等于，故选：D．
2. 【2016届广西柳州市高三下4月模拟】某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（
【考点3】空间几何体的表面积与体积
【备考知识梳理】
1．多面体的面积和体积公式
名称 侧面积() 全面积() 体 积 ()
柱 棱柱 直截面周长× +2 ·=·
锥 棱锥 各侧面积之和 + ·
台 棱台 各侧面面积之和 ++ (++)
表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.
2．旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径.
【规律方法技巧】
1. 求体积常见方法
直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
2. 求体积常见技巧
当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．
(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
3.组合体的表面积和体积的计算方法
实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．
[易错提示]　空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．
4.求解几何体体积的策略及注意问题
(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．
(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．
(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．
【考点针对训练】
1. 【2016届河北省衡水中学高三下六调】在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（
D．与点的位置有关
2. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求该组合体的体积.
【解析】（1）证明：因为平面，，所以平面，又因为平面，所以，因为，，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.
（2）连结，过作，因为平面，平面，所以，因为，，，所以平面，因为，所以，因为平面，，所以，所以该组合体的体积为.
【考点4】球与几何体的组合体
【备考知识梳理】
1.组合体：由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体.
【规律方法技巧】
1. 几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为，球的半径为，
正方体的外接球，则；
正方体的内切球，则；
球与正方体的各棱相切，则.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.
3.解决与球有关的切、接问题的方法：
(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
4.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．
【考点针对训练】
1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺猜三】如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（
2. 【2016年江西九江高三模考】如图所示，半径为的球内切于正三棱锥中，则此正三棱锥体积的最小值为____.
【解析】设正三棱锥的底面积为，侧面积为，高为，斜高为，底面边长为，内切球的半径为.由等积转换得，即，，，，解得，，，令得，故当时，.
【应试技巧点拨】
1.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．
2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．
3.解答三视图题目时：
(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；
(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；
(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．
4．从能力上来看，三视图着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图——对图形进行必要的分解、组合；会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.
5. 求体积常见技巧
当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．
(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
6.求体积常见方法
直接法（公式法）；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
7.常见的特殊几何体的性质
（1）平行六面体：
底面是平行四边形的四棱柱.
{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
平行六面体的任何一个面都可以作为底面；
平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.
（2）长方体：
长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；
若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+ cos2+cos2=1；
若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.
（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.
正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形；
若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.
（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.
设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为.
正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBCPA, EBC⊥面PAB, EBC面PAC. EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；
正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.
8．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.
9.注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．
1. 【2016年安徽安庆高三一模】一个几何体的三视图如图所示,其体积为（
2. 【2016年湖北八校高三联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为(
3. 【2016年安徽淮北一中高三检测】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（
【解析】，若，则，．故选B．
4. 【2016年河南商丘高三二模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，
面积的最大值是（
A．　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．
5. 【2016年江西南昌高三二模】已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.
【解析】如图1，取的中点,连接. 由已知条件易证得面面. 则外接球球心在面内，如图2，,垂直平分,其中， . 分别解得,外接球的表面积为.
6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为,当其外接球的体积最小时, 它的高为（
【解析】设四棱锥底面正方形边长为，四棱锥高为，外接球半径为，则，所以，因为，所以时取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.
7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（
8. 【2017届湖南师大附中高三上入学摸底】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是
B．24π＋8π
C．24π＋4π
【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和．圆柱的侧面积为S1＝2π×2×4＝16π，半球的表面积为S2＝2π×22＝8π，圆锥的侧面积为S3＝×2π×2×2＝4π，所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝24π＋4π.
9. 【2016届吉林四平一中高三五模】半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（
【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故.
11 .【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
【解析】几何体为一个斜置的四棱锥，高为，底面为矩形，长为，宽为，所以体积为，选C.
12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为（
13.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】 平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （
【解析】根据题意，如图，可知中，，在中，，又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：．故选A．
14.【2015届北京市西城区高三二模】在长方体中，，，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）
【答案】C．
15.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的外接球的表面积为______________．
【答案】．
试题以及解析
1. 若半径为2的球内切于一个正三棱柱中，则该三棱柱的体积为
【答案】．
【解析】由题设可知：三棱柱的高为4，底面内切圆的半径为2，则其底面三角形的边长为，其底面积为，故该三棱柱的体积为．
【入选理由】本题主要考查空间几何体与球的组合体，三棱柱的体积公式、球与三棱柱的切接问题, 空间想象能力及分析问题解决问题的能力．这类题是高考考查球及其组合体的常考题型，有两类重要组合模型，即球的内接与球的外切．而此题是内切问题,故选此题.
2．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为
【答案】π
【解析】由题意得，圆锥的体积为.
【入选理由】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，本题考查知识基础，是高考出题方向，故选此题.
3. 如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（
A．　　　　B．　　　　C．4　　　　D．
【入选理由】本题考查三视图及几何体的体积和旋转体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力. 几何体的三视图是高考的热点问题，通常与几何体的体积和表面积结合考查．本题给出几何体的三视图及其体积，要求考生据此计算圆锥的母线长，本题通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向，故选此题.
4. 在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_____________．
【入选理由】本题主要考查空间几何体与球的组合体，即四棱锥的体积公式，函数与导数函数极值等基础知识, 意在考查基本运算能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，本题考查知识点多，综合性强，有一定的难度,故选此题.
5. 如图是某几何体的三视图，当最大时，该几何体的体积为（
【入选理由】本题考查空间几何体的三视图，柱体与棱锥的体积,基本不等式等基础知识，意在考查学生的空间想象能力，基本运算能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，本题考查与基本不等式结合，有新意,故选此题.
6. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【入选理由】本题考查四棱锥与球的组合体问题、球的表面积计算、棱锥的性质、面面垂直的性质等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．组合体是高考考试的重点与难点,也是平常练习的重点，故选此题.
7. 已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（
【解析】由可知取AC 中点M，则OM为DA 的中位线，又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.
【入选理由】本题考查与三角形外接圆、三角形中位线和球的表面积计算公式等知识，考查考生的空间想象能力，运算求解能力和分析问题解决问题的能力，以及转化思想的应用．组合体是高考考试的重点与难点,也是平常练习的重点，故选此题.
8. 如图，在平面四边形中，若，则对角线的最大值为
【答案】．
【入选理由】考查换元法、余弦定理、三角函数的最值等基础知识，检测化归与转化的思想，函数与方程的数学思想及运用所学知识分析问题解决问题的能力．本题立意新,考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.
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