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线性代数(复旦大学出版社)第二章
矩阵第一节
矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵
数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。记做A=B。3、不同型的零矩阵是不相等的
矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A
二、减法：A-B=A+(-B)三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时， 两个矩阵才能相乘。简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)
A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵
2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λB（4）1*A=A,
(-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）AkAl=Ak+l（6）(Ak)l=Akl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k ≠AkBk （A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
四、矩阵的转置1、转置：矩阵的行和列依次互换位置，记为AT（或A’）（1）（AT）T
=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(λA)T=λAT（λ为数）（4）(AB)T=BTAT2、对称阵：AT=A（A为n阶方阵），即A的元素以对角线为对称轴而对应相等。T
反对称阵：A=-A（A为n阶方阵），即A的元素以主对角线为对称轴而数值对应相等，符号对应相反，且主对角线上的元素全为0。
五、方阵的行列式1、方阵是一个数表，行列式是一个数。2、性质：（1）AT=A（2）λA=λnA（3）AB=BA=AB
逆矩阵1、定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称方阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵或逆阵。B可记为A-1，即AA-1=A-1A=E2、性质：（1）若B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵；（2）若方阵A有逆矩阵，则A的逆阵是唯一的；（3）上（下）三角矩阵的逆阵也是上（下）三角矩阵；（4）上（下）三角矩阵的逆阵的对角线上的数是原矩阵对角线上的数的倒数；（5）若A可逆，则（A-1）-1=A；（6）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（λA）-1 =1-1；
λ（7）若A,B为同阶方阵，且A,B都可逆，则AB可逆，且（AB）-1 =B-1A-1；（8）若A可逆，则AT可逆，且（AT）-1 =（A-1）T；（9）若A可逆，则A-1=1A-1
A3、伴随矩阵：A*，Aij是A的元素aij的代数余子式AA*=AE=A*A4、n阶方阵A可逆的充分必要条件是A≠0，且当A可逆时，有1A-1= A*A5、奇异方阵：A≠0（A为方阵）非奇异方阵：A=0（A为方阵），可逆方阵即为非奇异方阵。第四节
分块矩阵1、分块后的矩阵，把小矩阵当作元素，按普通的矩阵运算法则进行运算。2、一般将特殊矩阵如零矩阵、单位阵、纯量阵等分成一块。3、分块矩阵的转置：分块内部转置
矩阵的秩与矩阵的初等变换一、矩阵的秩1、矩阵A的最高非零子式的阶数称为矩阵的秩，记为rank(A)，简记为r(A)。2、r(O)=03、矩阵的性质：设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵（1）r(A)=r(AT)（2）r(A) ≤minxm,ny（3）maxxr(Am×n),r(Bm×l)y≤r(A+B) ≤rank(A,B) ≤r(A)+r(B)（4）r(A)-r(B)≤r(A+B) ≤r(A)+r(B)（5）r(AB) ≤minxr(A),r(B) y（6）若Am×nBn×l=O,则r(A)+r(B)=n（7）若Am×nBn×l=O且r(A)=n,则B=O（8）若Am×nBn×l=C,且r(A)=n,则r(B)=r(C)4、满秩矩阵：r(A)=m，A为m×n矩阵（非奇异方阵A≠0 ?r(An)=n）
降秩矩阵：r(A) ＜m，A为m×n矩阵（奇异方阵A=0 ?r(An) ＜n）二、矩阵的初等变换1、初等变换：（1）互换两行或列（ri ?rj 或ci ?cj）（2）以非零数λ乘以某一行或列的所有元素（λ×ri 或λ×ci）（3）将某一行或列的所有元素乘数λ后加到另一行或列的对应元素上去（ri+λrj或ci+λcj）
2、对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。3、行阶梯矩阵：每个“阶梯”上只有一行，任一行的第一个非零元素的左方和下方的元素均为0.（限定只实施初等行变换获得）行最简形：行最简行阶梯矩阵，非零行的第一个非零元素为1，且含有这些“1”的列的其他元素都为零同理可得列阶梯形和列最简形。4、任何矩阵Am×n总可经过有限次初等变换化为如下标准形：Er O Am×n= OO标准形既是行最简形又是列最简形的矩阵。5、等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记为A~B
等价是矩阵间的一种关系，满足：（1）自反性（反身性）：A ~A（2）对称性：若A ~B，则B ~A（3）传递性：若A ~B，B ~C，则A ~C（4）若A ~B，则r(A)=r(B)
三、初等矩阵1、初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵2、设A是一个m×n矩阵，则对A实施一次初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A;对A实施一次初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A3、初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵4、m×n阶矩阵A ~B的充分必要条件是：存在m阶可逆方阵及n阶可逆方阵Q,使PAQ=B
( )5、（A┆E）――――→（E┆A-1）初等行变换 （A┆B）――――→（E┆A-1B） 初等行变换
*资料采用了网上的一些图片，本人没找到原出处，若采用了您的资料，敬请原谅。
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以下内容为结合自己书上所学以及参考资料整理所得，理解有误的地方请大家指正。
星期四（7月18日），下午4点，地点：819；数学研习小组的研讨题目：对行列式性质及应用的探讨，主讲人：沈俊。
一、矩阵的等价
1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1)矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；
2)用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；
3)将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；
即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3. 矩阵等价具有下列性质
任一矩阵A与自身等价；&
2)&对称性 若A与B等价，则B与A等价；
若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；
注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：
显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
二．矩阵的乘法
1.定义：设A是一个m*s的矩阵，B是一个s*n的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C记为C=AB，其中
由矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。所谓对应元，及第i行的列号与第j列的行号相同的元。
注意：1).矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下，ABBA.
2).两个非零矩阵之积可能为零矩阵。
3).若AB=AC,不能推出B=C.
2、矩阵乘法满足下列运算规律：
（1）（AB）C=A(BC);
（2）&A(B+C)=AB+BC,(B+C)A=BA+CA;
（3）&k（AB）==A(kB),其中k是常数；
三、将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型
将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型就是利用矩阵的初等变换。下面是以上三种形式的定义：
1、若满足以下两个条件：
（1）若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；
（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。
则为行阶梯型，简称阶梯型。
2、首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。
3、对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵
我们称N为矩阵A的等价标准形。此标准形是有m，n，r完全确定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。是否每个矩阵都能经过初等变换化为行阶梯型或行最简型呢？下面这个定理给出了肯定的回答。
定理1：任意m*n矩阵A总可以经初等变换行阶梯型及行最简型矩阵。
推论：m&n矩阵A经过初等变换化为的行最简型是唯一的。
四、求矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征，是反映矩阵本质属性的一个不变的量。它在线性方程组等问题的研究起着非常重要的作用。下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法。
1.矩阵的秩的定义
如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.
由定义可得：
（1）若矩阵A有一个r阶子式不等于零，则（R）的所有r+1子式全为零，则R（A）=r.
（2）若任意m*n矩阵A，必有R(A)≤min{m，n}.
（3）若矩阵B是矩阵A的子矩阵，则R(B)≤R(A).
1. 求矩阵的秩的方法
(1)子式判别法（定义）
结论：阶梯型矩阵的秩＝台阶数 .
(2)用初等变换发求矩阵的秩
定理：初等变换不改变矩阵的秩
推论:设A是任一m*n矩阵，P、Q分别是m阶、n阶可逆（满秩）矩阵，则必有
&&&&&R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)。
求矩阵A的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
五、求可逆矩阵的逆矩阵
逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵基本方法规律相同。
下面是矩阵的逆矩阵的定义：
& 设A为n方阵，若存在方阵B，使
则称A为可逆矩阵或A是可逆的，并且称B为A的逆矩阵。
可逆矩阵具有唯一性，即A若可逆，其可逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵的求法有三种：
(1)特殊的矩阵。
1)矩阵为对角阵或者分块对角阵，可用特殊的方法求解。
2)若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来位置。
3)若矩阵分块对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵，然后将逆矩阵放到原来的位置即可。
4)矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解（公式根据逆矩阵的定义推出）
&&若ad-bc≠0，则矩阵
可逆，且逆矩阵为：(2)
运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。
其原理：若A为n阶可逆矩阵，其逆也是n阶可逆矩阵，故A可表示为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵
由逆矩阵定义，有
&&&若摆放方式不同也可以将A，E竖放在经过初等列变换可得逆矩阵与单位矩阵。与第一个问题相关的是，变换前后两个矩阵等价。
(3)根据公式
可知A的逆矩阵为
这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就有较大优势。例：信息加密问题将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后，“send
money”编码为19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢？根据式子AB=C，知B=
C.可知破译方式，即将得到的信息乘以逆矩阵就可以了。
明文SEND MONEY对应的9个数值按3列被排成以下矩阵:
矩阵乘积：
对应密文编码为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
81,77,93,62,73,79,38,32,44。
合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文。&最后得到的序列对应写出明文即可。&
这里所述仅是信息加密的原理，实际应用中密钥矩阵的阶数可能很大，其构造也十分复杂。
六、求线性方程组的解
求线性方程组的解可利用行列式和矩阵
1.利用行列式求解
用行列式求线性方程组的解的主要原理是克拉默法则，下面是克拉默法则的内容：如果线性方程
组的系数行列式D=|A|≠0，则线性方程组有唯一解。
由克拉默法则，可得下述定理：
齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0
这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。
2、利用矩阵判定线性方程组的解
判断线性方程组的解有如下定理：
n元线性方程组Ax=b，
有解的充要条件是R（A）=
有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n；
有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B）&n.（其中B为A的增广矩阵）
注意：（1）的你否命题为：线性方程组Ax=b误解的充要条件是R（A）&R（B）.
对于齐次线性方程组，判断其解有定理：
n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.
推论：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.
通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了，下一步就是要使用向量这个工具讨论线性方程组通解性质。下面就是求线性方程组通解的方法：
关于基础解系的定义:
齐次线性方程组Ax=0的解空间V的基称为该方程组的基础解系。
&基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组合。
首先讨论线性方程组通解的性质：
&&&&以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即：先判断方程组是否有解，在根据定理一判断对应齐次线性方程组的解空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解即可求出对应非其次线性方程组的通解。
七、判定向量组的线性相关性
九．求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）
十、化二次型为标准型
1.正交变换法
定义：设Q是n阶正交矩阵，则称线性变换x=Qy为正交变换。正交变换具有以下
（1）正交变换保持向量的內积不变；
（2）正交变换保持向量的范数不变；
（3）正交变换保持向量的夹角不变。
定理：对任意n元实二次型f=A（x）,总可以经正交变换x=Qy化为标准型
f=A（y）；其中是A的全部特征值，正交矩阵Q的行向量为A的对应特征值的正交单位特征向量。
3.初等变换法
利用初等变换求可逆矩阵C及其对角阵，使的方法称为初等变换法。具体做法是：构造2n*m矩阵,对它做一次初等列变换，紧接着作一次相应的初等行变换，直至把A化为对角矩阵。当A化为对角阵时，单位矩阵E就化为C。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
个人觉得线性代数是一门基础但是比较难的课程，不过只要在平时的学习中多总结，多做练习，熟练以后就会灵活应用了。对于矩阵的初等变换及其应用这一块知识是线代里最基础的知识，学得时候感觉知识零碎，计算量也比较大。不过通过此次讨论课，对知识进行了梳理，自己感觉收获还是颇多的。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。请问2者有什么区别，麻烦解释这道题目区别，谢谢
可能叫法在各种相关信息上有所不同吧，一般应该称为行最简型（可能就是你说的简化阶梯形）与行阶梯型（你说的阶梯形）矩阵。
行阶梯型矩阵，其形式是：
从上往下，与每一行第一个非零元素同列的、位于这个元素下方（如果下方有元素的话）的元素都是0；
行最简型矩阵，其形式是：
从上往下，每一行第一个非零元素都是1，与这个1同列的所有其它元素都是0。
显然，行最简型是行阶梯型的特殊情形。
本题中，A3第一行第一列的元素为1，第一列的其它元素都是0；从第二行开始没有非零元素了，所以是行最简型。
A4第一行第一列为1，它下面的元素都是0；第二行第一个非零元素是第二行第三列为1，它下面的元素都是0（其实它上面的元素也都是0）；第三行第一个非零元素是第三行第四列为1，它下面没有元素了，所以A4是行阶梯型。因为A4的第三行第四列元素1同列的上方元素不是都是0，所以A4不是行最简型。
如果对A4作行初等变换：r1+r3,r2+5r3，矩阵成为：
1，-2，0，0
0，0，1，0
0，0，0，1
这个矩阵就是行最简...
可能叫法在各种相关信息上有所不同吧，一般应该称为行最简型（可能就是你说的简化阶梯形）与行阶梯型（你说的阶梯形）矩阵。
行阶梯型矩阵，其形式是：
从上往下，与每一行第一个非零元素同列的、位于这个元素下方（如果下方有元素的话）的元素都是0；
行最简型矩阵，其形式是：
从上往下，每一行第一个非零元素都是1，与这个1同列的所有其它元素都是0。
显然，行最简型是行阶梯型的特殊情形。
本题中，A3第一行第一列的元素为1，第一列的其它元素都是0；从第二行开始没有非零元素了，所以是行最简型。
A4第一行第一列为1，它下面的元素都是0；第二行第一个非零元素是第二行第三列为1，它下面的元素都是0（其实它上面的元素也都是0）；第三行第一个非零元素是第三行第四列为1，它下面没有元素了，所以A4是行阶梯型。因为A4的第三行第四列元素1同列的上方元素不是都是0，所以A4不是行最简型。
如果对A4作行初等变换：r1+r3,r2+5r3，矩阵成为：
1，-2，0，0
0，0，1，0
0，0，0，1
这个矩阵就是行最简型了。
1。第一行(-1)倍加第二行(-1)倍，最后加到第四行上，第四行为0
2。第一行(-3)倍加第三行(-1)倍，最后加到第二行上，第二行为0
...
把向量组按列排成矩阵A;
2.用初等行变换把A化为行阶梯形(不必求行简化梯矩阵)
3.非零行的首非零元所在列对应的向量就是一个极大无关组
通过高斯消去法，总能把矩阵 变成 左边0的个数递增的形式，就是所谓的梯形矩阵
如果矩阵满足：
1、元素不全为0的行在矩阵的上方；
2、每个不全为0行的第一个非零元素是1，且这个1所在列的其它元素都是0；
3、下一行第一个非零元素1的...
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