导读：6.问题三的建模与求解，全国大学生数学建模竞赛一等奖论文，7.问题四的建模与求解，6.问题三的建模与求解6.1问题分析问题三与问题二的主要区别在于是否已知日期，第三问需要根据所给的xy坐标，求出地点和日期。日期可以通过太阳直射点的纬度求得，但在第二问中每次拟合时，都要不断改变太阳直射点纬度，非常繁琐。所以考虑修改模型，不采用拟合，而是直接构造与坐标点有关的、分辨度更高的目标函数。6.2模型的建
6. 问题三的建模与求解
6.1问题分析
问题三与问题二的主要区别在于是否已知日期，第三问需要根据所给的xy坐标，求出地点和日期。日期可以通过太阳直射点的纬度求得，但在第二问中每次拟合时，都要不断改变太阳直射点纬度，非常繁琐。所以考虑修改模型，不采用拟合，而是直接构造与坐标点有关的、分辨度更高的目标函数。
6.2模型的建立
在模型二基础上进行修改，根据问题二的模型可知：
?cos?sin??
x?h?cos?cos?cos??sin?sin??
x??cos?,y??sin??y1?
sin?cos?cos??cos?sin??y?h?cos?cos?cos??sin?sin?，?
由于直杆所在地与太阳直射点的经度差用?表示，会与极角混淆，所以这里用?1表示，有：
?cos?sin?1?
?x?cos?cos?cos??sin?sin?h?1
sin?cos?cos??cos?sin?1?y?h?cos?cos?cos??sin?sin??1
可以知道，在搜索过程中，每一个确定时刻已知经纬度的地点都可以通过上述式子求出其极坐标值。
将这些极坐标数据进行标准化处理，与附件中给出的确定时刻的影子端点真实坐标值进行比较，构造分辨度更高的目标函数。
(1)极坐标数据标准化
对一个经纬度确定的搜索点相应时刻的21组极坐标值?k进行线性标准化处理：
?k??min??'??k
?max??min?
，k?1,2,...,21（6.2） ?
??'??k??min
k??max??min?
其中?min和?min是附件2或3中所有数据极坐标中的最小值；?max和?max是附件2或3中所有数据极坐标的最大值。
(2)构建目标函数
根据上面分析，问题三的目标函数为：
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其中?0k,?0k为附件2或3中真实数据的极坐标值。
建立出的时空匹配优化模型如下所示：
?mindk?k?1
??k??min?'??k
??'??k??min
（6.4） ?k???
?x??cos?,y??sin??y1?
?cos?sin?1
?x?h?cos?cos?cos?1?sin?sin??
?y?sin?cos?cos?1?cos?sin?h?cos?cos?cos?1?sin?sin??
6.3模型的求解
由于第三问中新增加了一个决策变量日期，若再使用搜索算法，会加大搜索难度，加深算法复杂度，搜索时间会非常长，所以选择采用遗传算法求解第三问。
遗传算法实现的流程图如下：
图6.1 遗传算法流程图
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6.3.1确定个体的适应度函数
参考第二问求解过程中各坐标值的确定过程，根据式（6.3）中目标函数与待求解变量的定量关系，求得目标函数，作为遗传算法中的个体适应度函数，即
6.3.2使用遗传算法对问题进行求解
利用遗传算法对附件2和附件3中数据进行求解，通过MATLAB编程得到一些可能的时空坐标，如下表所示：
两种算法的对比分析
基于第二问的搜索方法，对其中参数之间的耦合关系进行修正，依然能用搜索算法对问题进行求解，将两种方法的求解过程进行对比，结果如下： （1）搜索时间对比
得到5-10组可能数据所需时间对比如下表所示：
结论：遗传算法求解效率更高
（2）搜索精度对比
两种算法五组目标函数的值结果对比如下所示：
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结论：遗传算法拟合精度更高
7. 问题四的建模与求解
7.1问题分析
问题四中，直接以视频的方式给出了固定杆长的距离变化规律。此时需要将图片形式的影长变化规律以坐标的形式进行转换，同时转换为现实的坐标形式。这样就可以利用问题二的模型，求出拍摄地点。
7.2数据的预处理
影长变化规律需要以实际坐标形式进行展示，所以需要对视频资料进行预处理操作。
7.2.1将视频格式的数据转换为图片格式的数据
视频展示的是一个动态过程，而确定视频中影子端点的坐标需要在静态画面中进行。根据我国视频采用的PAL制[1]，每分钟的画面帧数为25帧，影子在一分钟内的变化情况是十分微小的，所以，选取1分钟作为时间间隔来截取视频的静态图片。
以1分钟为时间间隔截取视频画面，得到的静态图片有41张，每张图片的分辨率为。利用matlab软件，读取这些图片的灰度值，以灰度值的变化来刻画杆子的影长的变化规律。
7.2.2确定影子端点在图片中的坐标
（1）将得到的静态图片灰度值矩阵预处理
为了消除静态图片中其他灰度值对刻画影长变化规律的影响，首先将静态图片的灰度值进行归一化，将图片的灰度值均与同一变量进行比较，在这里归一化的方法是阀值[3]归一化方法：
?0,hi?h1?HHi??
?255,hi?h1?H（7.1）
其中Hi是归一化的灰度值，hi是第i张静态图片的灰度值，h1是第一张图片的灰度
值，H为事先所选的合适阀值，在这里选取灰度值为10为阀值。这种归一化方法消除了静态点的灰度值微小变化产生的影响。同时放大了属于影子长度变化灰度值的变化规律。
（2）确定端点在图片中的坐标位置
为了方便的刻画端点处的变化规律，将计算机处理灰度值的范围限制在端点处，在这里通过二维网络搜索方式[3]，搜索到应该将图片的灰度值坐标限制在（800~0）处。
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：地下储油罐的变位分析与罐容表标定摘要加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：β α 测量的油位高度h0实际的油位高度h计算体积所需的高度H于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找?与?最准确的取值。一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析1本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题，就是需要得出变位后油位高度与油料体积的关系，然后在油料高度间隔为1cm或10cm的情况下，算出所有高度所对应的体积值，即可得到新的罐容表标定值。第一问中共做了两次实验，分别为罐体无变位与纵向变位。对于无变位的情况，可以选择合适的体积微元，在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系；对于倾斜角为?=4.1o的纵向变位，我们采用二重积分的方法，分三种情况进行计算。先在油位高度方向积分得到任意处油截面的面积，再积分得到体积公式。最后利用附件1中的实际数据对公式的准确度进行检验，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。第二问中，将储油罐分成三部分进行计算：中间的圆柱体和两端的球冠体。对于?与?的处理问题，对?、?已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系，根据几何关系得出测得的油位高度h0与实际油位高度h的关系（含有参数?），实际油位高度h与计算体积所需的高度H1、H2的关系（含有参数?），并计算得到储油量关于H1、H2的表达式，于是便得到了储油量与测量油位高度h0及变位参数?、?的关系式，代入若干组附表2中的实际数据，即可确定?与?，之后用实际检测数据检验所建模型的正确性与方法的可行性。三、模型假设（1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容积；（2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积；（3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距离；（4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。四、符号说明h：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；x：问题一中建立空间直角坐标系后X轴方向上油料宽度的一半；y：建立空间直角坐标系后Y轴方向上的油料长度；z：建立空间直角坐标系后Z轴方向上的变量；Vi：问题一纵向变位第i种情况下相应某一高度时的油的体积；h0：问题一中变位后测得的油料高度；H：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度；S：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积；Vg：实际储油罐球冠内储油量；V0：实际储油罐中间圆柱部储油量；mi：附表2中编号为i的流水号所对应的出油量。五、模型的建立与求解25.1小椭圆型储油罐5.1.1无变位情况首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分为油料：图1 无变位情况下建立空间直角坐标系从侧面观察得到如下示意图：图2 截面椭圆示意图根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：x2z2??1 220.890.6于是有x?取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：3dv?2?2.45z 体积微元在z轴方向进行积分，得到体积公式：V?2?2.45??h??0.6z ?2.18025??h?0.6? ??h???1.3083??arcsin??1????0.6?2??将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，得到如下曲线：储油量与油位高度关系图4500400035003000储油量 / L15001000500000.20.40.60.8油位高度 / m11.21.4图3 计算曲线与实际数据对比图从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，5.1.2??4.1o纵向变位以椭圆罐底中心为原点，X轴，Z轴平行于罐底，Y轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：由图4可知：H?h0?400tan?接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。第一种情况：当400tan??H?2450tan?（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：图5 第一种情况先在Z轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：S?2??h??600z?hh2???h???5 ?890?h?600????5.34?10?arcsin?1?????2??600?2???300600?再将h视为变量，在Y轴方向上定积分：V1??其中h?Htan?0S?h?dyH?ytan?，代入后解得：V1??8.622?10?3H4?1.242?104H2?20.69H3?1.17?108H?7.021?109?7.45?106?arcsin?1.667?10?3H?1?H?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1??7.45?106第二种情况：当2450tan??H?1200 （单位：mm）时，两端罐底都接触油面，如图6：5V2??代入 24500S?h?dyh?H?ytan?得：V2?2.558?109?6.462?106H?1.250?104H2?6.057H3?7.450?106?arcsin?1.667?10?3H?1.2927?H?+5.778?109?arcsin?1.667?10?3H?1.?10?257.45?106?arcsin?1.667?10?3H?1?H?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1? ?7.45?106?第三种情况：当H0?1200，其中H0?h0?400tan? （单位：mm）时，一端罐底已经完全被油浸没，如图7：图7 第三种情况V3????且h?Htan?0S?h?dyH?ytan?，其中H?2450tan??H0?1200，代入上式解得：V3?1.??V1?H?将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：纵向变位后储油量与测量油位高度关系图3000罐内储油量 / L200测量油位高度 / mm10001200图8 变位后储油量与油位高度关系图从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保持在3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图9：7纵向变位前后储油量与测量油位高度关系对比图3000罐内储油量200测量油位高度 / mm10001200图9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比结合公式以及图9可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响：变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0，刚好接触油浮子时，将数据代入公式可计算得此时储油量约为1.75L；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L。根据假设，为使油位高度与储油量是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。从0到1200mm每间隔10mm取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值：85.2实际储油罐变位分析我们将储油罐分成三段来考虑，两端为球缺，中间为圆柱体。中间部分采用类似第一题的积分方法求解。对于两端的球冠体，若直接积分，结果将十分复杂，为方便计算，同时使误差尽量小，对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说，我们以中间圆柱体一侧底面圆心为原点，平行于罐体的轴为Y轴，平行于油面的轴为X轴建立空间直角坐标系。图10 储油罐纵向变位示意图9根据图10可以得到以下关系式：H1?2tan??hH2?h?6tan?用垂直于Y轴的平面去截油罐得到图11所示的储油罐的横向变位截面示意图，图中两个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中，并使油位探针方向相同，以方便计算，此时前后液面形成夹角?：横向变位 后油液面图11 储油罐横向变位示意图h0为测量值，h实际油位高度，根据图像可得如下关系式：h??h0?1.5?cos??1.5综合上面几个式子，可得H1、H2与h0的关系式：H1??h0?1.5?cos??2tan??1.5H2??h0?1.5?cos??6tan??1.55.2.1球冠体内储油量的计算根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为1.625m，球过球心的截面图如下，以圆心为原点，平行于空间坐标系Y轴的轴为X轴，建立新的平面直角坐标系，阴影部分为储油部分：图12 球冠还原为球后截面图10该圆的方程为：x表示圆上一点到Y轴距离，所以：x2?y2?1.6252x? 以平行于空间坐标系Y轴的平面去截球冠，得到如下所示截面图：图13 球冠体截面图可以得知：0.625??arccos()?arc x所以球冠内油料截面面积为：S??x2??arcVg??H?1.52?y2)?当球冠内油位高度为H时，球冠内储油量为：?1.5Sdy在计算两端球冠内储油量时，分别用H1、H2代替H即可求出结果。5.2.2中间圆柱体内储油量的计算计算方法与第一问中类似，用垂直于Y轴的平面去截得到如下截面示意图：图14 圆柱部截面示意图截面圆的方程为：11x2?z2?1.52于是得到：x?又有：h??ytan??H1即：y?于是该截面面积：h?1.5H1?htan?S???1.5由于有转折点，又要分三种情况讨论，分别求解。 当2tan??H1?8tan?（单位：m）时V01??SdyH1当8tan??H1?3（单位：m）时V02??SdyH2H1当3?8tan??H2?3?6tan?（单位：m）时V03?V0?V01其中V0为圆柱体的总体积用Matlab积分得到的结果过于冗长，不便于写在正文中，具体结果见附录。5.2.3参数?，?的确定由于第二种情况的可能性最大，数据最多，所以在求解参数?与?时，利用附表2中显示油高值在中间部分的值进行计算。由于显示的油量容积是利用没有变位情况下的公式计算得到的，不是真实值，故不能加以利用。附表2给出了出油量与显示油高的对应数据，我们用差值计算，即利用累计出油量与油高的变化值的对应关系求解?、?。取流水号分别为323、337、351的三组数据， 令：h1?1696.61 ; h2?1609.06 ; h3?1516.81于是得到如下方程组：337??H1?h1????Vg??H2?h1????V02?h1??Vg??H1?h2????Vg??H2?h2????V02?h2???mi?Vg??i?324?351?V?H?h???V?H?h???V?h??V?H?h???V?H?h???V?h??mi?g?12?g?22?022g?13?g?23?023?i?338?用Matlab7.0求解该方程组，得到一组解?=1.6o，?=0o于是便得到了变位后储油量与油位高度的关系式，间隔10cm取值代入得到如下罐12容表标定值：将得到的关系曲线764变位后罐容量与油位高度关系图54罐容量(L)321-100.511.522.53油位高度(m)13六、模型的评价与推广6.1模型的评价本题主要运用微积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型，进而求出罐内油料体积与测量油位高度之间的关系式，并利用附表中的数据对模型进行检验以及求解参数，结果表明得到的公式精确度足够高，可以应用于实际。模型原理简单明了，在计算复杂积分时借助Matlab软件，提高了计算效率。题目中给出了储油罐向一个方向纵向倾斜后的示意图，如果储油罐向相反的方向倾斜，计算方法类似，可将本模型应用到其求解过程中。但由于油位探针在储油罐的一侧，两种情况的结果将有部分差异，这一点在实际应用中应加以考虑。模型建立时忽略了题目未给出数据的罐壁厚度等因素，在实际中时建议测出这些值，从而进一步提高模型精度。6.2模型的推广本模型虽解决的是储油罐的变位识别及其罐容表标定问题，但可以推广到各种罐状容器，用类似方法建模求解，解决该问题时，我们计算的是平顶和球缺顶的圆柱形储油罐，通过查阅国家技术监督局1996年发布的《中华人民共和国国家计量检定规程 JJG 266-1996》，卧式罐的两端顶板按形状可以分为平顶、弧形顶、圆台顶、锥形顶、球缺顶、椭球顶等类顶。参考文献[1] 苏金明，王永利，MATLAB7.0使用指南，北京：电子工业出版社，2004。[2] 田铁军，倾斜立式罐部分容积的计算，现代计量测试，第4期：39-44页，1999。[3] 罗祖帖，容器液位标尺的快速标定，石油化工设备，第33卷第2期：58-59页，2004。[4] 高炳军，苏秀苹，各种封头的卧式容器不同液面高度体积计算，石油化工设备，第28卷第4 期：24-26页，1999。[5] 黄明山，关于卧式容器中标定液位的简便计算方法，中国调味品，第10期：35-36页，2004。14附录15
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全国大学生数学建模竞赛论文格式规范
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　　l 本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。
　　l 用白色A4纸单面打印;上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。
　　l 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。
　　l 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。
　　l 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。
　　l 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从&1&开始连续编号。
　　l 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
　　l 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中;二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐(不居中)。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。
　　l 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要(包括关键词)，在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写(注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文)。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。
　　l 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的的表述方式在正文引用处和中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等;引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：
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