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组合数学答案——(1-4章答案)
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在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（　　）
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在数字1，2，3与符号“+”，“-”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有A 3
3 =6种排法，再将“+”，“-”两个符号插入，有A 2
2 =2种方法，共有12种方法，故选B．
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　1、几何符号　　&&& ∥&& &&& ⌒&& ⊙&& &&& ≌&&& △　　2、代数符号　　&&& &&& &&& ～&& &&& &&&& &&& &&& &&& &&& ∶　　3、运算符号　　如加号（＋），减号（－），乘号（&或&），除号（&或／），两个集合的并集（&），交集（&），根号（&），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（&），曲线积分（∮）等。　　4、集合符号　　&&& &&& &　　5、特殊符号　　&&&& π（圆周率）　　6、推理符号　　|a|&&& &&&& ∽&&& △&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &　　&&&& &&&& &&&& ↖&&& ↗&&& ↘&&& ↙&&& ∥&&& &&&& &　　&;&& &　　①&& ②&& ③&& ④&& ⑤&& ⑥&& ⑦&& ⑧&& ⑨&& ⑩　　Γ&&& Δ&&& Θ&&&& Λ&&& Ξ&&& Ο&&& Π&&&& Σ&&& Φ&&&& Χ&&& Ψ&&& Ω　　α&&& β&&& γ&&& δ&&& ε&&& ζ&&& η&&& θ&&& ι&&& κ&&& λ&&& μ&&&& ν　　ξ&&& ο&&& π&&& ρ&&& σ&&& τ&&& υ&&& φ&&& χ&&& ψ&&& ω　　Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ　　ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ　　&&& &&& &&& ∕&& &&& &&& &&& ∟ &&&& ∣&& ∥&& &&& &&& &&& &&& &&& ∮　　∴&& ∵&& ∶&& ∷&& ∽&& &&& ≌&& ≒&& &&& &&& &&& &&& ≦&& ≧&&& ≮&& ≯&& &&& ⊙&&& &　　⊿&& ⌒&&&& ℃　　指数0123：o123　　7、数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。　　8、关系符号　　如&＝&是等号，&&&是近似符号，&&&是不等号，&＞&是大于符号，&＜&是小于符号，&&&是大于或等于符号（也可写作&≮&），&&&是小于或等于符号（也可写作&≯&），。&& &表示变量变化的趋势，&∽&是相似符号，&≌&是全等号，&∥&是平行符号，&&&是垂直符号，&&&是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）&&&是属于符号，&??&是&包含&符号等。　　9、结合符号　　如小括号&（）&中括号&［］&，大括号&｛｝&横线&&&　　10、性质符号　　如正号&＋&，负号&－&，绝对值符号&| |&正负号&&&　　11、省略符号　　如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（&），　　∵因为，（一个脚站着的，站不住）　　∴所以，（两个脚站着的，能站住） 总和（&），连乘（&），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。　　12、排列组合符号　　C-组合数　　A-排列数　　N-元素的总个数　　R-参与选择的元素个数　　!-阶乘 ，如5！=5&4&3&2&1=120　　C-Combination- 组合　　A-Arrangement-排列　　13、离散数学符号　　├ 断定符（公式在L中可证）　　╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）　　┐ 命题的&非&运算　　& 命题的&合取&（&与&）运算　　& 命题的&析取&（&或&，&可兼或&）运算　　& 命题的&条件&运算　　A&=&B 命题A 与B 等价关系　　A=&B 命题 A与 B的蕴涵关系　　A* 公式A 的对偶公式　　wff 合式公式　　iff 当且仅当　　& 命题的&与非& 运算（ &与非门& ）　　& 命题的&或非&运算（ &或非门& ）　　□ 模态词&必然&　　◇ 模态词&可能&　　φ 空集　　& 属于（??不属于）　　P（A） 集合A的幂集　　|A| 集合A的点数
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品评校花校草，体验校园广场【例】设有n份物品（如下图圆圈所示），现将其分给；现将每份物品间用竖线隔开，则共有n-1条竖线；现将其分给m个人，且每人至少分得一份，经分析知m；下面我们来看一个例题：；【例1】把10份相同的礼物分给6个员工，每人至少；A.126B.252C.540D.1680；解：设m=6，n=10，带入公式得==126种答；拓展题型：；【例2】某单位订阅了30份学习资料
【例】设有n份物品（如下图圆圈所示），现将其分给m个人，每人至少分得1份，求共有多少种分法 ？
现将每份物品间用竖线隔开，则共有n-1条竖线
现将其分给m个人，且每人至少分得一份，经分析知m个人之间共有m-1条竖线，所以问题现转化成: 即在n-1条竖线抽m-1条竖线进行组合。每相邻两条竖线间至少有一份物品,也就保证了每人至少分得一份物品，所以总的分法种数为 ：
下面我们来看一个例题：
【例1】把10份相同的礼物分给6个员工，每人至少有一份礼物，有多少种分法？
解：设m=6，n=10，带入公式得
答案： 选A
拓展题型：
【例2】某单位订阅了30份学习资料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（
解析方法：我们可以先假设给每个部门发放8份资料，则剩余6份资料。问题现在转化成：将6份资料分给3个部门，每个部门至少分得1份，则共有多少中分法？
（即转化为第一类问题）
所以分法种类为： = = = 10 种
答案：选 B
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：
3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？
分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”
因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式
排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式
∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。
例4．解方程
解：原方程可化为：
评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
(1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）甲排中间； （2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；
（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；
（6）甲，乙，丙两两不相邻。
解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。
（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有?=3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有?=1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。
（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有=720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有 =1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种； 第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有=388（个）。
（2）5的倍数：按0作不作个位来分类
第一类：0作个位，则有=120。
第二类：0不作个位即5作个位，则=96。
则共有这样的数为：=216（个）。
（3）比20300大的数的五位数可分为三类：
第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有个，
因此，比20300大的五位数共有：=474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：
第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；
第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；
第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19（条）
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