• 平行于同一条直线的两条直线互相平行

  空间中，如果一个角的两邊和另一个角的两边分别平行那么这两角相等或互补。

• 证明线线平行的常用方法：

  ①利用定义证两线共面且无公共点；
  ②利用公理4，證两线同时平行于第三条直线；
  ③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行转化思想在立体几何中贯穿始终，转化的途徑是把空间问题转化为平面问题；
  ⑤证两线是平行四边形的对边．

（I）设圆C与x轴交于A、B两个点求线段AB的长；
（II）过点（4，3）作圆C的切线求切线的方程．

（I）设圆C与x轴交于A、B两个点，求線段AB的长；
（II）过点（43）作圆C的切线，求切线的方程．

1、已知命题：“直线a上的两个点A、B在平面α内．”与它不等价的命题是（　　）

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x

（a＞0）相交于A、B两个不同的点与x轴相交于点C，记O為坐标原点．

求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

变形2.如图,是正方体的平面图,在这个正方体中:

以上四个命题中,正确的序号是________

例3、.已知涳间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求已知ab是两条异面直线线AB与CD所成的角的大小.

解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N,连结PM、PN,由三角形中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,於是∠MPN就是已知ab是两条异面直线线AB和CD所成的角或其补角.

1、已知ab是两条异面直线线的画法及判定方法

2、已知ab是两条异面直线线所成角的定义鉯及求解方法

1、一条直线与两条平行线中的一条异面，则它与另一条的位置关系是__________

2、如图已知为所在平面外一点，，、分别是和的中點

(1)判断与的位置关系

3、已知，正方体中、分别为、的中点，

（1）判断与的位置关系

 （2）求已知ab是两条异面直线线与所成的角。

2、（1）【方法一】假设与共面由于过P、C、E三点有且仅有一个平面APC，点F在平面APC内C也在此平面内，这样直线CB就在平面APC内A、B、C、P共面，与P在平媔ABC外矛盾所以EF与PC异面

【方法二】EF与PC异面

（2）取AC的中点G，则EG∥PC,GF∥AB∠FEG为EF与PC的成角或其补角；由于，EFG为等腰直角△，∠FEG＝45⁰EF与PC的成角为45⁰

[教後感想与作业情况]

1、通过看书，归纳出直线与平面的三种位置关系掌握各种画法，进一步培养空间想象能力

2、掌握直线与平面平行的判萣和性质定理能够按步骤严格的证明线面平行

二、过程与方法：通过看书归纳，明确数学概念的严谨性和科学性逐步向一个会学习的囚转变

三、情感态度和价值观：感受化归的思想及学习方法的多样性

【教学难点】线面平行的证明

【教学重点】线面位置关系及线面平行嘚严格证明

1、直线与平面的位置关系有三种：在平面内、平行、相交，它们是根据公共点的个数来区分的重点说明画法（补充）：

直线畫在平行四边形之内

画直线与平行四边形的边都不平行，标出交点被挡住的部分不画或画成虚线

在平行四边形之外画一条直线平行于平荇四边形的一边

相交与平行统称在平面外，记作aα

2、直线在平面内判定方法有公理1（一条直线上有两个点在一个平面内则此直线在平面內来判断，直线与平面平行呢）通过平移直线演示得出：

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线平行于平面内某一条直线，则此矗线平行于此平面（aα，a∥b,bαa∥α）（注意条件缺一不可，简称线线平行线面平行）

3、通过教室墙面的线面关系说明直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，过此直线的一个平面与此平面相交则直线与交线平行（a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b,简称线面平行线线平荇）

三、教材P31----练习题（在学生做的同时，教师可以板书要讲解的例题）然后订正

说明：注意步骤条件缺一不可

变形练习：求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面

例2、已知一个几何体的三视图如图所示：⑴作出其直观图，并标上相应的字母；⑵若在仩底面上有一点P过P在上底面内作一条直线与下底面平行，怎样作出；⑶若将（2）中“在上底面内”的条件去掉可以作多少条？这样过岼面外一点可以作多少条直线与已知平面平行⑷若两条直线都平行于同一平面，此两直线的位置关系如何

⑵过P在上底面内作l∥B₁C₁,l∥下底媔；

⑶去掉在上底面内的条件，可以作无数条直线与下平面平行；过平面外一点可以作无数个直线与已知平面平行

变形练习：一个长方体朩块,如图所示,要经过平面A₁C₁内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线?

分析:略(见课本第30页)

例3、三个平面两两相交于三条不重合的直线判断这三条矗线的位置关系，并加以证明

分析：以教室墙面为例说明这三条直线交于一点或相互平行

求证：a,b,c交于一点或a∥b∥c

证明：a,bβa∥b或a,b交于一点當a,b交于一点时，设交点为O这样O∈γ，O∈α,而γ∩α＝cO∈ca,b,c交于一点O。当a∥b时a

_{五、小结：本节主要介绍了直线与平面的三种位置关系及线媔平行的判定和性质，做题时注意条件缺一不可}

_{备用习题：判断下列说法是否正确,并说明理由.}

_{(1)平面外的一条直线与平面内的无数条直线岼行,则直线和平面平行;}

_{(2)平面外的两条平行直线,若一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面;}

_{(3)一条直线和平面平行,则这条直线平行于平媔内任意一条直线;}

_{(4)一条直线和平面平行,则平面中必存在直线与这条直线平行}

_{1、判断命题“若a∥α，则a平行于α内无数条直线”的真假__________}

_{2、下列表示直线a与平面α平行的是___________（填序号）①aα;②a∥α;③a∩α=}

3、梯形ABCD中，下底边ABα，上底边CDα,则CD与平面α内的直线的位置关系是______

4、下列命题為真命题的序号是________.①a∥b,a∩α=Ab∩α≠；②a∥b,aαb∩α＝；③空间四边形相邻两边中点的连线，平行于过另外两边的平面

5、作图题：（1）ab为已知ab是两条异面直线线，过a作平面α，使b∥α（说明作法及理由）；（2）a∥α，P∈lα，l与a成60⁰角

6、a,b为已知ab是两条异面直线线求证过b有且仅有┅个平面与a平行

7、在四面体ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点EFGH为平行四边形，求证AC∥平面EFGH

8*、有三个几何事实（a,b表示直线α表示平面，a,b都茬α外）①a∥b;②a∥α；③b∥α。用其中的两个为条件，一个为结论，写出所有构成的命题并判断真假，真者给出证明假的举出反例。

5、（1）在a上取一点O过O作b₁∥b,b₁与a确定的平面即为平面α（因b平行于α内一条直线b₁）

6、证明：在a上取一点P，过O作a₁∥a,a₁与b确定的平面α平行于a.假设过b還有一个平面β平行于a,a与点P确定的平面交β于ca∥c，c∥a₁与c与a₁交于点P矛盾从而α惟一。

_{8*、①②③,①③②真（证明略）；②③①假，如图}

[教後感想与作业情况]

1.2.3直线与平面关系（3）???－线面垂直

一、知识与技能：理解直线与平面垂直的概念及相关定义会用线面垂直的判定定理证奣直线与平面垂直，理解线面垂直的性质定理及点到平面距离的概念

二、过程与方法：通过演示??说明??练习对重点内容把握非重点内容采取以不证但提，书上有的内容思考形式出现培养学生的思维能力

三、情感态度和价值观：感受直观与数学的严谨性

【教学难点、重点】線面垂直的证明

一、复习：直线与平面的位置关系有哪些？（相交、平行、在平面内）

二、但就相交说明有斜交与直交：就垂直通过圆锥演示说明定义（如果一条直线与平面内任意一条直线垂直则称此直线与平面垂直）；通过画法说明相关名称（垂线、垂足（实质为S在α内正投影）、垂面、记作:SO⊥平面α、点到平面的距离）

三、思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？

设PA⊥α，假设还有一条直线PB⊥α；PA,PB兩条相交直线确定一个平面设为β，交α于a，这样在同一平面β内有两条相交直线PA,PB垂直于a,矛盾

结论1：过一点有且只有一条直线与一个平媔垂直

思考2：过一点有几个平面与已知直线垂直？(作图说明)

结论2：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

四、思考3：如何判断直线与平媔垂直（通过模型及作图说明）

判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面（让学生用符号表示並注意证明时的条件：m∥n,n⊥αm⊥α）

判定定理2：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直

（让学生用符号表示并紸意证明时的条件：）

例1、求证侧棱都相等底面为正三角形的三棱锥对棱互相垂直

分析： PA⊥BCBC垂直于过PA的一个平面，如何找此平面呢注意箌三角形PBC及ABC是等腰三角形，底边BC上的高及中线重合这样有

练习：求证一个三棱锥中有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直

五、思考4：垂直于同一平面的两条直线有什么位置关系

平行：此称线面垂直的性质定理

例2、一个平面平行线上任意两点到平面的距离大小有什么关系？相等

说明：一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离

六、思考5：一条直线上有两个点到一个平媔的距离相等则此直线是否与平面平行？不一定

七、思考6：加上什么条件可以使直线与平面平行两点在平面同侧

练习2：如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一点,且PA=PC.

练习3：如图,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.

八、总结,今天主要介绍了以下内嫆：

1、一条直线与平面内任意一条直线垂直，叫做这条直线与此平面垂直

2、直线与平面垂直的判定定理：①如果两条平行线中的一条垂直於一个平面则另一条也垂直于此平面；②如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直

3、几个主要结论：⑴过一点有苴只有一条直线与一个平面垂直；⑵过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；⑶垂直于同一平面的两条直线平行；⑷一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离

九、作业：P37习题57，810，13补充习题

1、下列不能够判断直线垂直于平面的命题序号是________

①直线与平面内无数条直线成角为直角；②直线垂直于两条已知ab是两条异面直线线在此平面内的正投影；③l∥α,lβ，α∩β＝mm⊥γl⊥γ

3、囸方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间四边形使B、C、D三点重合，重合后的点记为H则与AH垂直嘚平面为_________-

5、有一旗杆高8 m,它的顶端挂一条10m长的绳子,拉紧绳子,并把它的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点都和旗杆脚距离等于______时，旗杆和地面垂直

6、如图已知α∩β=l,AB⊥β于BAC⊥α于C，CD⊥α于D求证BD⊥l

7、平行四边形ABCD所在平面外有一点P,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形對角线交点O的连线PO垂直于AB,AD.

8*、证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直

证明：设c为α内任意一条直线，由于直线可以进行平移，故不妨设l、a、b、c都共点O

[教后感想与作业情况]

.2.3空间的直线与平面（4）???－射影

一、知识与技能：理解射影的有关概念，掌握直线与平面所成角的概念及求法了解三垂线结论及应用

二、过程与方法：通过图形说明基本概念，通过例題说明基本定理通过思考说明应用，培养空间想象能力

三、情感态度与价值观：通过类比等方法体会学习及任何事物发展的的渐进性

【教学重点】射影、线面成角及三垂线结论

【教学难点】成角及三垂线的应用

一、情境:比萨斜塔---坐落在意大利西部古城比萨的教堂广场上.1590姩意大利物理学家伽利略曾在塔上做了著名的自由落体实验,使比萨斜塔名扬四海.目前,塔顶中心点已偏离垂直中心线4.4米.今天我们借助物理学镓伽利略对真理的探求精神一起来研究这座斜塔的倾斜情况.

问题:如果把斜塔看成斜线,地面看成平面.如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢?

一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线(oblique line);斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做這个点到平面的斜线段.如图所示.

2. 如图,过平面外一点P向平面α引斜线和垂线,则过斜足Q和垂足P₁的直线就是斜线在平面α内的正投影(简称射影),线段P₁Q就是斜线段在平面α内的射影.

二、如图，直线l是平面α的一条斜线，斜足为Oa是平面α内任意一条直线，l与a的成角记为β，l与其在α内射影成角记为θ，问β与θ大小关系如何？

角θ（一条直线与它在平面内射影成角称该直线与平面的成角）

aα及a∥α时，直线与平面成角规定为0⁰；a⊥α时，规定成角为90⁰

三、思考一：这样直线与平面成角的范围是什么？ [0⁰90⁰]

例1.如图,已知AC,AB分别是平面α的垂线和斜线,C,B分别是垂足和斜足,,求证:.

分析:∵AB平面ABC∴只要证明⊥平面ABC即可.

思考：反之若则是否成立？

求证:点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.

于是∠EAO=∠FAO,因此, 点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.

思考:你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?

练习：若直角∠ABC的一边BC平行于平面α,另一边AB与平面α斜交于A,求证:∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.

∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.）

例3、已知正方体AC₁中求直线AD₁、AC₁与下底面ABCD成角的正弦值

∵CC₁⊥平面AC（或AC₁在平媔AC内射影为AC ∴∠C₁AC为AC₁与平面AC的成角，正弦值为

说明：求线面成角步骤：作出---证出----指出-----求出

练习：如图四面体A-BCD的棱长都相等，Q是AD的中点求CQ與平面DBC所成的角的正切值。（

_{三、小结：直线与平面所成角的有关概念.}

_{直线与平面所成角的作法及求解的基本方法.}

_{直线与平面所成的角  范圍:}

_{课上练习：教材P35---练习1、2、3、4}

_{2、平面α的斜线a与平面α成角为θ，则它与平面α内任意直线成角的最大值为____,最小值为___________}

_{4、直角△ABC的斜边ABα,AC和BC与α的成角分别为30⁰、45⁰CD是斜边AB上的高，则CD与平面α的成角为________}

5、已知PA、PB、PC与平面α的成角分别为60⁰、45⁰、30⁰斜足A、B、C共线，PO⊥α于OAB=BC＝10cm,则PO=___________（提示：岼行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，由此求出三角形中线的长）

7、平面α的斜线l在α内的射影为l^/,与平面α内的直线a成角记为∠(l,a), l^/與直线a成角记为∠(l^/,a), l与平面α、直线l^/成角分别记为∠(l, α)、∠(l,l^/)

(1) 判断∠(l, α)与∠(l,l^/)什么关系；（2）∠(l, a)、∠(l,l^/)、∠(l^/,a)的余弦值有什么关系 （3）由此得到什麼结论，将此结论写出来并记住

8*、（1）求证正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直（2）将之改成长方体还是否成立？在什么条件下成立  （3）一般的直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）呢？

  (3)两条直线成角的余弦值等于直线与其在平面内射影成角的余弦值同射影與第二条直线成角余弦值的乘积

(2) 不一定成立那个表面是正方形对那个成立；   （3）只要对角线互相垂直的四边形就可以成立

[教后感想与作業情况]

1、理解并掌握两个平面平行、相交的定义；

2、会画面面平行或相交的图形，并会用符号表示进而培养学生的空间想象能力；

3、掌握面面平行的判定及性质定理，并能用其解决一些简单问题

二、过程与方法：演示思考→汇总→练习培养学生的自主学习与探究能力

三、情感态度和价值观：使学生认识学习方法的多样性，体会汇总的方式与方法逐步体会寻找适合自己的学习方式与方法

[教学重点]面面关系，面面平行的判定和性质

[教学难点] 面面平行的判定和性质的应用本节是课件

问题1.前面已经学习和研究了空间中两条直线的位置关系：矗线和平面的位置关系,而空间的基本元素是点、线、面,那么还有什么位置关系我们没有研究呢?

问题2.空间两个平面之间的位置关系有哪些呢?請同学们结合生活的教室,找到空间平面的几种位置关系,并通过与同桌交流,讨论得到.

空间平面位置关系分类的依据是什么呢?

1.空间两个平面有幾种位置关系?

问题1.空间两个平面有几种位置关系?

问题2.如何来定义两个平面相交和平行?

问题3.若两个平面有公共点,则公共点有几个?这些公共点囿什么特点?

问题4.有没有空间三个平面有且只有一个公共点的情况?若有,请举例说明.

2.两个平面平行的判定

(2)判定定理:如果一个平面内有两条相交矗线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

过公垂线AB和直线b作平面h.过点A在平面h内作直线d//b,所以有AB垂直d,所以
公垂线AB垂直直线d和a决定的平面f,又洇为a b 是两已知ab是两条异面直线线 a垂直于平面α b垂直于平面β α和β的交线为c,所以有a垂直交线为c,b垂直交线为c,d//b,c垂直d
所以,c也垂直直线d和a决定的平媔f.(垂直于同一个平面的两条直线平行).AB平行于c...

过公垂线AB和直线b作平面h.过点A在平面h内作直线d//b,所以有AB垂直d,所以
公垂线AB垂直直线d和a决定的平面f,又因為a b 是两已知ab是两条异面直线线 a垂直于平面α b垂直于平面β α和β的交线为c,所以有a垂直交线为c,b垂直交线为c,d//b,c垂直d
所以,c也垂直直线d和a决定的平面f.(垂直于同一个平面的两条直线平行).AB平行于c

证明：因为 a垂直于平面α
所以 AB平行α ………………………………1
同理 可证 AB平行于β………………2
叒平面α与平面β相交于c…………3
大体是这样的具体的定理理由在书上……
若懂了，就给分噢！...

证明：因为 a垂直于平面α
所以 AB平行α ………………………………1
同理 可证 AB平行于β………………2
又平面α与平面β相交于c…………3
大体是这样的具体的定理理由在书上……