考研高等数学导数公式求问这道题证明方法一算到驻点为什么不继续算二阶导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-05-24 12:13 标签： 高等数学导数的应用
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高等数学证明题总结
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3秒自动关闭窗口一道高数证明题，有点疑问，在线等设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，且f’(a)=f’(b)=0，证明：在(a,b)内存在一点η，使∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+(b-a)^3f”(η)/6.
我的思路：
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f”(η1)(x-η1)^2/2
f(x)=f(b)+f’(b)(x-b)+f”(η2)(x-η2)^2/2
f(x)=[f(a)+f(b)]/2+f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4
∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+∫(a,b)[ & f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx
我想知道如何使(b-a)^3f”(η)/6＝∫(a,b)[ & f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx
或者我的思路有点问题？？？？？
回答1：过程是这样的：
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f”(η1)(x-a)^2/2，η1介于a和x之间
f(x)=f(b)+f’(b)(x-b)+f”(η2)(x-b)^2/2，η2介于x和b之间
所以f(x)=[f(a)+f(b)]/2+f”(η1)(x-a)^2/4+f”(η2)(x-b)^2/4
令m为二阶导数最小值，M为二阶导数最大值（因为二阶导数连续，所以存在最大值和最小值）
令A=[f(a)+f(b)]/2，这样就有A+((x-a)^2+(x-b)^2)*m/4
&= A+((x-a)^2+(x-b)^2)*M/4
对f(x)求积分，有（b-a)*A/2 + (b-a)^3*m/6
&= ∫(a,b)f(x)dx
&= （b-a)*A/2 + (b-a)^3*M/6
因为二阶导数连续，所以存在m
&= M,由介值定理就得到答案。
你的错误在于：
1 泰勒公式弄错了，再去看看书。
2 ∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+∫(a,b)[ f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx是不对的，因为x是个变量，所以η也在变。这里要用不等式才行。

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