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给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ&0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4
题型：单选题难度：中档来源：不详
A由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1&0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
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据魔方格专家权威分析，试题“给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象..”主要考查你对&&弧度制、弧度与角度的互化，任意角的三角函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
弧度制、弧度与角度的互化任意角的三角函数
1弧度的角的概念：
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad。
用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制。 一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
角α的弧度公式：
（l表示圆心角α所对的弧长，r表示圆的半径）。
角度与弧度的换算公式：
360°=2π，180°=π，1°=rad≈0.01745rad，1rad=≈57.30°=57°18′。 扇形面积公式：
S=lr=|α|r2。 扇形面积公式和弧长公式用角度制和弧度制表示对比： 几种常用角之间的换算：
几种常用角的表示：
任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是，那么，，以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
象限角的三角函数符号：
一全正，二正弦，三两切，四余弦。 特殊角的三角函数值：（见下表）
发现相似题
与“给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象..”考查相似的试题有：
888980890980766706825110849379772323篇一：浅谈高中数学二轮复习体会 浅谈高考数学二轮复习体会 高中数学第一轮复习旨在夯实基础、梳理考点，通过此次复习，学生大都能掌握基础知识、基本技能和基本方法。然而，面对整个高中的数学知识，多数学生总感觉所学知识比较零散，对于知识的综合应用仍存在较大的问题。所以当高三数学进入第二轮复习阶段，复习重在贯穿数学思想，提炼数学方法，主要目标就是能对整个高中的数学知识和方法系统化、网络化，把所学的知识连成线、铺成面、织成网，树立出知识结构，使之有机的结合在一起。如何做到有条不紊的复习呢？ 构建知识网络，高考试题的设计，重视数学知识的综合和知识的内在联系，尤其重视在知识网络的交汇点设计试题。二轮复习的过程，是对数学基础知识和基本方法不断深化的过程，要从本质上认识和理解数学知识之间的联系，从而加以分类、归纳、综合，形成一个条理化、排列有序、知识之间关系清晰的知识结构系统。这样在解题时，就可根据题目提供的信息，提取相关的知识点，进行有机结合，探索解题的思路和方法。因此，只有搞清楚知识之间的内在联系，形成知识结构和网络，在解题时才能从不同角度去分析解决，才能对知识融会贯通，运用自如。要求师生把握高中数学“知识块、数学思想” 1. 主干知识块 （1）函数与导数（及其应用）；（2）不等式（解法、证明及应用，这部分不单独命题，常以工具形式出现在问题中，如求范围、比较大小等）；（3）数列（及其应用）；（4）三角函数（图像、性质及变化）；（5）直线与平面及简单几何体（空间三种角、七种距离（点面、异面直线之间距离为常考）、面积与体积的计算）； （6）直线与圆锥曲线；（7）概率与统计。要做到快快清楚，不足之处如何弥补？ 第一，函数与不等式是重点 第二，数列以等差、等比两种基本数列为载体考查数列的通项、求和、应用极限等为重点。 第三，三角函数的考查，训练中重在“变换”与“求值”，应狠抓基本公式的熟练运用：正用、逆用、变用及三角换元时用。 第四，概率与统计，要重视与实际应用问题相结合。 第五，从全国考试大纲看，立体几何应当“两条腿走路”：既能用传统的合力推理，也能用新增的向量法求解！（1）突出“空间”、“立体”，即把线线、线面、面面位置关系的考查置于某几何体中。重视三垂线定理及逆定理的灵活运用； （2）空间角以二面角为重点，熟悉三种找二面角的常用方法。 第六，解析几何以基本性质、基本运算为目标。客观题照顾面，解答题较综合，突出直线和圆锥曲线的交点、数列、三角等内容的联系。 2．把握数学思想方法 数学思想方法是：①函数与方程的思想，②数形结合思想，③分类讨论思想，④化归或转化的思想渗透到问题中去思考与讲评。第一，认真梳理、归纳、总结、提炼，把握规律、灵活运用。第二，提高模拟练习效果，二轮复习中不论课堂还是作业或者周末，都要进行模拟练习，模拟练习效果直接关系到最后的成绩。A.明确模拟联系的目的。B.严格有规律地进行限时训练。C.先做练习后看答案。D.注重题后反思。第三，恰当处理好“高原现象”A.保持坚定的信念。B.对学习和考试保持激情。尽最大努力去喜欢所要学习的东西，去体验考试的刺激，不要形成麻木心理。C.注意劳逸结合，“文武之道，一张一弛”。注意脑力与体力的平衡，在一天的紧张复习后，要安排适当的体育运动，跑跑步，做做操，使疲惫的身体松弛下来。D.家长要给考生创造一个宽松的环境。有些家长对孩子出现的高原现象比他本人还要担忧，不停地干预，这样只会加重孩子的心理负担，不利于孩子走出高原期。家长在这段时间一定要心平气和，拥有大将风度，沉稳大气。第四，注重学法指导：①内容上要充分领悟三个方面：理论、方法，思维；②解题要抓好三个字：数、式，形；③阅读、审题和表述要实现数学的三种语言自如转化；④学习中要驾驭好三条线：知识（结构）是明线（要清楚）；方法（能力）是主线（思维能力是数学诸能力的核心），创造性的思维能力是最强大的创新动力，是检验自己大脑潜能开发好坏的试金石。 总之，在第二轮复习中，只有理解与领悟知识，重视产生知识过程中形成的方法与思想，才能形成内化能力并灵活运用知识。只有关注知识间的交会与融合，才能在解题时游刃有余，才能达到高考考查学生的能力和未来运用知识发展自己的能力的目的。篇二：2015年高三二轮理科数学专题复习资料(有答案) 新课标高中数学三基训练手册 ――之专题训练 第一部分
三角函数类 【专题1---三角函数部分】 1.已知函数-3/13. sin(????)?3cos(??) 3??2.已知tan(????)?3,求?2sin2(???)?4cos2(???);(5) cos(2???)?2sin(????)22 y?loga(x?1)?3(a?0且a?1)的图像恒过点P，若角?的终边经过点P，则sin2??sin2?的值等于 ?
3.设a?2sin24,b?sin85,c?2(sin47sin66?sin24sin43),则( D ) A.a?b?c B.b?c?a C.c?b?a D.b?a?c ??4.已知sin??1?cos?，且????0,?，则 2?2? 6.若0＜?＜?，-? 2 2 ＜?＜0，cos( 的值为; cos2? ??? sin???? 4?? ? 4 ??)? 1，??，则? cos(?)?cos(??? 3242( C )
A B．C D． 7.已知函数f(x)x?cosx,x?R，若f(x)?1，则x的取值范围为( B ) ????x?k???,k?Z??x|k??3?
A．? ??? ?x|2k???x?2k???,k?Z? 3? B．? C． {x|k?? ? 6 ?x?k?? 5? ,k?Z}6 D． {x|2k?? ?5? ?x?2k??,k?Z}66 8.已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( D
) A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120° 9.已知函数f(x)?1(sinx?cosx)?1sinx?cosx,则f(x)的值域是(
) 2 2 (A)??1,1? (B) ? ?? ??? (C) ? ??1? (D) ???1,?? ?
10.若函数f(x)?x?a)?sin(3x?a)是奇函数，则a等于（ D
） A．k?(k?Z)
B． k?? ? 6 (k?Z) C． k?? ? 3 (k?Z) D. k?? ? 3 (k?Z)
- 1 -11.已知函数f(x)?sin(wx? ? 4 x?R,w?0)的最小正周期为?，将y?f(x)的图像向左平移|?|个 单位长度，所得图像关于y轴对称，则?的一个值是（ D
D? 2 8 48 2?30 12. 已知函数f(x)?sin(x??),且 ? f(x)dx?0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是（ A ） A．x? 5?7??? B．x?C．x? D．x? 61236 4 13.关于y?3sin(2x??有以下例题,其中正确命题是(
) ①若f(x1)?f(x2)?0,则x1?x2是?的整数倍;②函数解析式可改为y?3cos(2x??;③函数图象关于 4 88 A.②③B.②④C.①③ D.③④ 14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x),且在[-3,-2]上是减函数, ?,?是锐角三角形的两个角,则(
A) A.f(sin?)?f(cos?) B.f(sin?)?f(cos?) C.f(sin?)?f(sin?) D.f(cos?)?f(cos?) 15.已知sin??cos????(0，π)，则tan?=( A ) x?? ?对称;④函数图象关于点? (?,0)对称. (D) 1 2 22 16.若sinx?cosx,则x的取值范围是(
) (A) ?1 (B) ? 3πππ3π A.{x|2kπ－x＜2kπ＋，k∈Z}B.{x|2kπ＋＜x＜2kπ＋k∈Z} 4444πππ3πC.{x|kπ－＜x＜kπ＋k∈Z}D.{x|kπ＋＜x＜kπ＋k∈Z} 444417.已知函数y?Asin(?x??)?n的最大值为4，最小值为0，最小正周期为的一条对称轴，若 A?0,??0,0??? ? 2 ，直线 x? ? 3是其图像 ? ?2，则函数的解析式y?2sin(4x??2. 6 4 18.求函数y?sinx?xcosx?cosx的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,?]上的单调递增区间.(19.函数 f(x)?6cos2 4 [0, ? 3 5? ,?]6) ?x 2 ?x?3(??0) 在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点， - 2 -
B、C为图象与x轴的交点，且?ABC为正三角形. （1）求?的值及函数f(x)的值域；([?) （2）若f(x0)?，且x0?(?10,2，求 33
2 f(x)?xcosx?2cosx?1(x?R)，求f(x)的值域。([-2,2]) 20.已知函数 f(x0?1)的值)
21.已知向量a?2sinxx，b??sinx,2sinx?，函数f?x??a?b
1）求f(x)的单调递增区间；（f(x)?2sin(2x? 2）若不等式f(x)?m对x?[0, 22.已知函数f(x)?2cosxsin(x? ?? ? 6 ?1；[k?? ? 6 ,k?? ? 3 ](k?Z).） ? 2 ]都成立，求实数m的最大值.（0） ? 3 2x?sinxcosx. ①求函数f(x)的最小正周期;( f(x)?2sin(2x?的x的值.( x?k??? 3 )②求f(x)的最小值及取得最小值时相应 5?) 12 23.已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0??? ? 2 ）的图象与x轴的交点中，相邻 ?2?，且图象上一个最低点为M(,?2). 23 ? 1)求f(x)的解析式；(f(x)?2sin(2x?)) 6 ?? 2）当x?[,，求f(x)的值域.( [-1,2]) 122 两个交点之间的距离为 24.已知曲线y?Asin(?x??)(A?0,??0)上的一个最高点的坐标为( ? 2 ,由此点到相邻最低点间 ??3? ,0),若??(?,. 222 1? (1)试求这条曲线的函数表达式；(y?x?)) 24 的曲线与x轴交于点((2)写出(1)中函数的单调区间. (单增:[4k?? 3???5? ,4k??](k?Z)；单减:[4k??,4k??k?Z)) 2222 - 3 - 25．已知函数f(x)?sin(2x? ? 6 ?2cos2x?1. 1）求函数f(x)的单调增区间；([k?? ? ,k??k?z) 36 ? 2）在?ABC中，a,b,c分别是A,B,C角的对边，且a?1,b?c?2,f(A)?
26.平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x?[? 1 ，求?ABC的面积2 ) ,. 442cosx (1)求向量OP和OQ的夹角?的余弦值；(cos??) 1?cos2x (2)令f(x)?cos?,求f(x)的最小值.(f(x)min??? ) 3
【专题2----解三角形部分】 1.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosC?ccosB?asinA, 则△ABC的形状为A
(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 cosA-2cosC2c-a = ?cosBb． 2.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC 1）求sinA的值；（2） 2）若cosB= 14 ，b=2，?ABC的面积) 3.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c1）若
2）若 4.在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,S为?ABC的面积,且
1）求角B的度数；（ B? sin(A? ? 6 )?2cosA, ?求A的值；( ) cosA? 1 ,b?3c3，求sinC的值.(1/3) 4sinBsin2( ? 4 ? B ?cos2B?12. ? 3 或 2? 3 ） 2）若a?4,S?b的值。 5.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c,a?2bsinA. - 4 -
1)求B的大小；( ? 6 ) 2)求cosA?sinC的取值范围.( 3)2 )n?(cosA,sinA)，且m?n?1. 6．已知A,B,C是?ABC的三个内角，向量m?(?1）求角A；（A?60） ??3tanC?B?sinBtanCcos2）若，求.（）
7．一艘缉私巡逻艇在小岛A南偏西38?方向，距小岛3海里的B处，发现 隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向岛北偏西22?方向行驶，测得其速度为10海里/小时，问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向行驶，恰好用0.5小时在C处截住该走私船？(14海里/小时,方向正北)（参考数据sin38?22?） 解析：如图，在?ABC中，AB=3，AC=5，?BAC=120，
222..22 由余弦定理可知BC=AB+AC- 2ABACcos?CAB=3+5-2?3?5?(?=49 12 所以BC=7,则巡逻艇的速度为14海里/小时;????6分 AB2?BC2?AC21(来自: 小龙 文档 网:高中数学二轮复习)1 在?ABC中，AB=3，AC=5，BC=7, 由余弦定理可知cos?B?= 142AB?BC 又sin38?
1100 ,则cos38?,所以?B?38. 14所以,巡逻艇用14海里/小时的速度朝正北方向行驶，恰好用0.5小时在C处截住该走私船.
函数类 【专题1----函数部分】 1?1.已知集合A??x?R|x?3?x?4?9?,B???x?R|x?4t??6,t?(0,??)?，则集A?B={x|?2?x?5}. t?? 2. 若函数f(x)?x??2x?a的最小值为3，则实数a的值为（
C.?1或?4 D.?4或8 51 3.若关于x的不等式|ax?2|?3的解集为{x|??x?，则a?33 4.已知
- 5 - f( 2 ?1)?lgxx,求 y?f(x).(f(x)?lg2) x?1篇三：2014高考数学二轮复习专用(完整版) 2014高中数学 第一章 集合与简易逻辑
集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言， 集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集 的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给 定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等 式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】 1. {(集0合,{x(y?,)?x0?y2?,0x?列y2Z,法,表用举}示0),(0．, 2.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??． {0,2} ． 3.已知集合M?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?_______ CIA?{5,7}，4.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，则实数a的值为____8 或2___．
【范例解析】 例.已知R为实数集，集合A?{2x?3x?2?0.}若B?CRA?R， B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B. 分析：先化简集合A，由B?CRA?R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1）?A?{x?x?2}，?CRA?{xx?1或x?2}.又B?CRA?R， A?CRA?R， 可得A?B.而B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}， ?{x0?x?1或2?x?3}?B. 借助数轴可得B?A?{x0?x?1或2?x?3}?{x0?x?3}.
【反馈演练】 1．设集合A??1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________． 2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是____8___个． 3．设集合P?{xx2?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}. （1）若P?Q?P，求实数a的取值范围； （2）若P?Q??，求实数a的取值范围； （3）若P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值. 解：（1）由题意知：P?{x?2?x?3}，?P?Q?P，?Q?P. ①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3． ②当Q??时，得?2?2a?a?3?3，解得?1?a?0． 综上，a?(?1,0)?(3,??)． （2）①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3； ?2a?a?3,3②当Q??时，得?，解得a??5或?a?3． 2?a?3??2或2a?3 3综上，a?(??,?5]?[,??)． 2 （3）由P?Q?{x0?x?3}，则a?0．
命题及逻辑联结词 【考点导读】 1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述 相关的数学内容． 3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学 内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】 1.下列语句中：①x2?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6． 其中，不是命题的有____①②④_____． 2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，逆否命题可表示为若?q则?p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】 例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分； （3） 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d. 分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解： （1） 原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题； 逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2） 原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题； 逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题； 逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3） 原命题：设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d；真命题； 逆命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b,c?d；假命题；否命题：设a,b,c,d?R，若a?b或c?d，则a?c?b?d；假命题； 逆否命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b或c?d；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即?p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等. 例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数； （2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； （3）p：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x2?x?1?0的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解： （1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题. （2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题. （3）p或q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题； p且q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2?x?1?0的两实根的符号不同，真命题. 点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数； （3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 分析：全称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)”，特称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)” . 解： （1）?p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）?p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题； （3）?p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）?p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 【反馈演练】 若b?M，则a?M 1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p:?x?R,sinx?1. 3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____. ab若a?b，则2?2?1 ． 4．命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为________________________ 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0； （2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0． 解： （1）逆命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；真命题； 否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0且b?0；真命题； 逆否命题：设a,b?R，若a?0且b?0，则ab?0；真命题； （2）逆命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0,b?0；假命题； 否命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；假命题； 逆否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；真命题．相关热词搜索：已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C_高中数学_高考题_解三角形_问酷网
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试题编号：1200973
题型：选择题
知识点：解三角形
难度：三级
已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+
，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）
A. bc（b+c）＞8
B. ab（a+b）＞16
C. 6≤abc≤12
D. 12≤abc≤24
视频解析：
∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+
∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+
，∴sin2A+sin2B+sin2C=
，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=
2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=
，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=
，∴sinAsinBsinC=
设外接圆的半径为k，由正弦定理可得：
，及正弦定理得sinAsinBsinC=
，即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，
由sinAsinBsinC=
，显然选项C，D不一定正确，
A.bc（b+c）＞abc≥8正确，
B.bc（b+c）＞abc，但bc（b+c）≤
.不一定正确，数学家谈如何做研究（转）
&桂子山诤言子列之四：研究要知难而退 以退为进（张景中院士）
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本文根据张景中院士的演讲录音整理，未经本人审阅。
研究：知难而退 以退为进
各位老师各位同学，很高兴能有这样的机会和大家一起聊聊。我今天讲的是再研究工作的体会，我要先了解一下在做的各位同学都是什么专业的，这样我举例子的时候会有所侧重。在座的学计算机的有哪些，不多不多啊，好，请放下，学数学的有哪些，也不多也不多，学信息技术的，哦，比较多啊。计算机、数学、信息技术都是有一些共同点的。在座的学文科的有那些，还是有一些的。好，好，请放下。那我举例子的时候，如果涉及到数学的话尽可能据初中以下的数学。&
做研究工作的第一个问题是：为什么要做研究？为什么要做这个研究？你做研究总要有一个题目吧。这就要选题。将来为什么要做这个研究呢，或者说是任务或者说是工作。那么多的题目，为什么要做这个呢，这其中是有一定道理的。题目是成千上万，到时候你做的题目是从这成千上万的题目中选一个。
选题往往有这样几个原因：一个是兴趣。这个题目吸引了你，你觉的有趣味。一个是有用。你做了这个题目后，很多人啊，国家啊等能从其中得到的好处。有用就是有价值，或者说是有社会效益，或者说是有经济效益。第三个呢是有挑战性。也许你并不了解这个题目，但是呢很多人都没有做出来。我呢，要试一试。还有一个回答呢就是，别的题目我都做不出来，就这个题目我能做出来。
数学大师陈景润呢，有人问他，你为什么要做数学呢。他说，别的我都做不了，那我就只好做数学了。做物理，做化学呢都要做实验，我的手比较笨，我就只好做数学了。做研究题目呢，就是有趣，有用。对这个有趣呢，我举一个例子。我做过一个研究。研究的题目就是有一个生锈的圆规。什么是生锈的圆规呢？本来这个圆规的两条腿是可以活动的，可以画大的圆和小的圆。这圆规生锈呢就不能来回活动了。用这个圆规，没有支持可以做什么图。当时国际上提出这样一个问题：给了你一条线，用这个生锈的圆规找到这条线的中点。这个题目你要是会解答的话就属于初中生的题目，要是不会解答的呢就是博士生也不会做的题目。在两三年内，没有人给出正确的解答。这个问题可有意思了，圆规只能在线的两端做圆。怎么也不能把它连起来啊，找到中间点。这个问题呢就是有趣，有挑战性。因为听了之后，事先不知道能做不能做。不能做，你给他证明出来不能做，再不然，你给他证明出来也行。有的时候是有用。
我研究的是如何用面积来解题。那是74年我在新疆教书，教的是初中几何。我发现初中的同学学了几何后解几何题很困难。我用面积方法解决了一道高考题，随后就研究它发展它。一会儿再说如何用面积来解题。后来我做了智能教育软件，有用，老师用了可以减轻负担，学生用了可以提高学习成绩。有挑战性的问题比如说几何的可读证明。什么是几何的可读证明？几何的可读证明就是：我国的科学家吴文俊得了中国的科学研究奖。得这个奖的有两个人，一个是吴文俊，一个是袁隆平。吴文俊主要有两个研究成果。一个是复合型在欧式空间的嵌入问题。就是说给了5个点，有的连，有的不连，完了就说能不能做印刷工作。应到纸上的是金属粉末，可作为电路，任何线不能交叉，否则就造成了短路。这个能印吗？在ssp上操作演示。最后得出结论：吴文俊解决的问题就是：对任何一个复合题，若能在n维空间实现就不能在n-1维空间实现。吴文俊一下子把所有的问题都解决了，因此得了56年的国家自然科学奖。十年动乱后，大家都没做什么事情。动乱之后，吴先生再看拓扑界的文献发现看不懂了，认为自己不能再研究拓扑了，就转而去研究计算机几何证明。因为他发现好多人都没研究出来。这个问题就是有趣有用有挑战性的。并且也是他力所能及的。他以前教过代数。吴先生的工作是的初等几何计算机证明已经不成问题了。我提出的一个问题就是：计算机能不能把几何证明的道理打印出来呢？吴先生说还不能。有个科学家叫王浩，他提出：“计算机就是用量的复杂克服质的复杂”。研究科学啊确实是很多人在做同一件事情。
研究成功的呢最后只有一个人。那其他的人就只有向他表示祝贺了，他们就是无名英雄。去年有个日本人得了诺贝尔奖。他得了诺贝尔奖和他们的研究工作体制有关系。在日本，所有的人都可以做研究，只要到相应机构立项。说明有人在做这个事儿就行，就会拨给你经费搞研究。所以呢就容易出成果。你想啊，同一个问题很多人研究，最后肯定会有一个人研究出来。而我们中国就不一样。做项目得先申请，一个项目会有很多人申请，最后申请到的只有那么一两个人。那这一两个人最后研究不出来呢，这个问题或项目就得不到解决。所以呢，造成了一个奇怪的现象：在中国，拿5万做成了一个项目，拿500万的也同样的做成了这个项目。拿500万的人就比拿5万的人有能力，因为从自己单位角度出发，不仅完成了任务，还拿到了500万。
做项目选题啊，要敢想敢做，不要受权威意见的左右。但权威的意见又不能不考虑，因为权威代表这个领域最先进最前沿的方向，根据他的意见说能做的事情，绝大多数情况下是能做的，说不能做的事情往往70%是错的。因为他并能证明这件事不能做，只是表达了一种看法。比如说，爱迪生说交流电没用，但是现在看我们用的都是交流电。还比如说，计算机刚出来时，我们国家说只做一台计算机就行了。有人说计算机只会用在政府机构，但现在证明不是这样的。我做的这个几何证明也是这样。根据我教学的经历，我越来越感觉的存在一个统一的方法优化几何教学。
你做研究必须是自己熟悉的领域，不能老是浮在事物的表面，要深入进去。就像现在的教育技术遇到了一个尴尬的问题，教育技术没有多大的改善教学。一开始就上去讲教育技术的定义。很笼统，很一般，一般的原来是解决不了具体的问题啊。各个大的学科往往是从研究具体问题开始的，像化学、物理等。做事情要从小的事情出发，往往到最后就解决了大问题。这就是小中见大。举例子：等高同底的两三角形面积相等。看问题要举一反三，也就是推陈出新。下面讲述的是它自创的“消点法”的由来。成立了，要么就举个反例说这个定理不成立，最后证明。比方说，我只有算出来等于2，那就说明这个定理不成立，我知道他是个2，所以说不相等，是不是，所以我只要算出来这个东西来就行了。这样一个问题我们可以看到啊，非常具体。我想到了这个之后我就想到了，那就是说只要这个消点怎么依赖呢，第一个依赖于做图，这是两个相交做出来的，这是平行线相交做出来的，那依赖于做图，第二个呢，依赖于你采用的几何式的表达量，这个叫线段比，这个叫三角形面积，那么做图方法是有限的，这个表达式，表达式的类型也是有限类，有限乘有限即几何是有限的。只要对每种做图和每种表达式，我把消点公式给研究出来，推出来，这个并不难的，这个只要是推个几天就出来了，但这个关键是这样解决的话呢，这样解决啊，这么简单一个推理啊，解决个大问题，就是鸡刀解牛。
什么大问题呢，从有几何以来，大家就想对各种各样的几何题目给一个统一的办法来解决。欧几里德是想了个全等三角形，相似三角形，用这个来解决，但是的话呢，具体怎么做呢，各种各样巧妙的方法没法统一来处理，后来呢，笛卡尔就想了取了个坐标系来解决，取了坐标系之后，可以把几何问题变成代数问题，但变成代数问题，并不见得就能解决，后来是吴先生吴文俊先生才把代数问题用了国外立体的一个原理才把他解决的，而且解决了之后不能生成可读的证明，有一个大数学家赫尔贝特他是提出一个方法，能够对关联性的定理，具有关联性，什么叫关联性呢？只用到点在直线上，直线经过点，直线不经过点，只用到这个性质，这种问题呢，他有个办法，而且那个办法做出来的话呢，也是相当麻烦的，不是那么简单，不想这么简单就能做出来，而我们的话呢，几乎没有用到什么现代数学的东西，只用到最古老的几何知识，一下子的话呢就找出一个办法，只要你这个问题是个等式性的几何问题，垂直啊，平行啊，面积相等啊，等等，等式性的，而且他是可以用做图来，是可构造的，就是说你这个问题的叙述可以一步一步的，先过什么点，后过什么点，再过什么点，最后这个问题，这样的，这种题目几乎保罗了绝大部分常见的定理，都用一个办法一个算法，可以用计算机做，也可以用铅笔在纸上做，这个……我做了这个题目，首先就是说，这个是简单的，确实是对的，那你能不能说他不是定理，他不是定理我知道了，也就是说……这样一个东西吧，他不是定理，那你能不能啊，用你的办法证明他不是定理，说这是一条线，这上面取了一个点，任意取个点，然后话呢，连线，再连线，在这儿有个交点，那么，再连线，再连线，又得到一个交点，再连线，再连线，又得到一个交点，要证明这三个点在一条线上，这个是不好做的，我相信啊，一般的学过几何的和学过初中几何或者学过高中几何的，如果事先没见过，那这个题目够想一阵子的，够他想一阵子的，不好做的，他叫他不是定理，我从来也没做过，如果我没有想到消点法呢，我是当场做不出来的，但是我就硬着头皮，这不都是相交吗，相交就可以消吗，我就拿了一张纸就写，二十分钟内我就写出来了，最后就消完了，他就出来了，这个他信了，他说你学点程序吧，学Lisp程序吧，学了之后你编程，看看我们这个思路可能能突破了，后来的话呢我们就突破了这个问题。
这个研究工作往往会遇到这种情况，就是在一个关键的地方突破了之后就豁然开朗了，剩下的就是体力劳动了，你要一个一个的公式，建立公式，写文章，还要画图，编程序，那体力劳动是做了几个月的，做了几个月，出来之后的话呢，好多这个……过了几年，我们是1992年做的，到96年美国国家基金委那个召开了一个国会议，也是学术报告会吧，他一个关于智能推理的一个很有名的数学家拉乌兰德做了一个关于智能推理的大报告，其中六次提到我们这个结果，这是一个智能推理的一个进展，而且这个结果呢，教育上是有用的，这个，我回头想啦，这就是运气好，这么两千多年啦，任何一个人呐，是要考虑几何的都可能发现这个问题，因为太简单了，但是无一例外都把它忽略掉了，但是我为什么发现这个了呢，就是因为熟悉啊，这个中国有句话——孰能生巧，我从74年教书之后呢，我反复的考虑几何解题的一般方法，道理都非常非常熟了，非常非常熟了之后呢就会看出以前没看出的东西来，中国的这句话啊，这是中国说的这句话，孰能生巧，这外国人啊，他……不见得相信的，就是说你非常非常熟的话，你往往能够创新，对一个定理，你如果不熟……这个，吴文俊做出他的工作之后，在一次论文答辩会上，有一个专家就问，你的论文用吴先生的方法证明了一百多个定理，你有什么体会没有，说不出什么体会吧，后来他的老师鲍威尔呢，就说这个很简单，要几何专家做，吴先生几何专家做就能够成功，所以说要深入研究就要深入到学科，搞这个机器证明，你搞哪一个学科你用那一科的专家进来就容易成功，这个例子呢，我觉得说明了好几个问题，第一个呢，权威的话可以相信，但是也不能全信，第二个话呢，小的问题细节不能忽略，如果我忽略了细节，就是刚才那个这样一个式子，忽略了细节，这样一个式子，看到这边有这个点，这边没这个点，这样后面就不会发表，后面就不会这么想了，一旦往这边想之后这个问题就成功了，这就会想到这一点，这样想的话呢，这个……消点法。
下面的话呢，咱们休息一下吧，现在是一个多小时了，是到五点是不是啊，要不要休息十分钟？（听众：不用）不用啊，不休息的话呢，就是我就这样讲下去了，再讲一个从小问题出发发现一个问题。这是个非常小的问题，这是一个长方形，长方形面积等于长乘宽，这个问题小的不能再小了，长方形面积等于长乘宽，学几何第一个公式就是这样子，长方形面积等于长乘以宽，这是3这是2，他就等于个2乘3，这里头，如果你想一下啊，这个角度如果不是90度，如果不是90度的话会发生什么现象，那个2乘3必须乘上一个东西，对不对啊，就是要打个折扣，就是说，你假设你买房子，房子是长20米宽20米，这个房子如果是直角，那你20乘30，那么600平方米，你给钱，那就算价，如果不是直角你肯定不能给那么多钱，对不对啊，那一定要打折扣了，不是直角，你面积肯定不够啦，要打折扣，这个问题很简单的，那么打多大的折扣，跟这个角是有关系的，那么现在是63度打0.887折，是不是，如果是30度的话呢就要打五折，对不对啊，他这个是近似了，因为这个30度也是近似的，就这样后来忽略了，这个如果是90度，这个地方就不打折。这样一来呢，这个折扣跟角度有关，就叫他这个角度sin，起个名字，对不对啊，他正好是sin，知道什么是sin吧？（听众：知道）
这个问题很小但是啊，我们原来的定义sin我们很辛苦啊，要学了相似三角形，要告诉你在直角三角形里的话呢要对边比斜边，等于这个角的sin正弦，对边比斜边是sin，完了之后呢，那事先要告诉你，三角形大于号小于号的关系，因为我们学了相似三角形，我们知道了，这个一开始在小学里就知道，如果这个东西变成平行四边形的话呢，他的面积要打个折扣，那打的折扣的话呢就叫sin，也就是说呀，把边长为1，有一个角为a的菱形的面积叫做sin
a，很具体。边长为1，有一个叫为a的（菱形）面积叫做sin a。那么sin 90
度就是单位正方形的面积，就等于1，很简单呐。那这样的定义啊，有三个特点，第一个，他很严格，为什么严格呢，原来我们那个定义sin 90
度等于1，为什么等于1
啊，锐角的对边比斜边，那锐角不能是90度啊，但你为什么说90度等于1呢，老师就要给学生做个思想工作啦，说你把那个锐角越来越放大，接近90度，对边就越来越长，越来越长，他就慢慢的接近于1了，所以你要解释，学生还半信不信的只好承认了。他不严格，没有学极限嘛，现在很简单了，那什么叫sin
啊？就是角为a的边长为1的菱形面积，a等于90度，那这个菱形就是正方形，单位正方形的面积就是1，他严格。第二个，很简单，原来是需要很多准备，需要学了相似三角形，现在不用，只要是知道菱形什么意思就行了。学了这基本几何式就够了。第三个，更一般化，为什么呢，你那样只能给你锐角的对边比斜边，钝角呢，不行，直角三角形没有钝角，现在这个菱形呢，一个角可能是锐角也可能是钝角，对不对啊。
那这样一来的话呢，你这个定义是比平常的既简单了严谨啦又一般化了，那我们从一个很简单事情就发现了这个事情，从这个事情出发就改造了整个初中数学的系统，你知道了，小学六年级吧，上了初中的时候，我们也做了实验了，我们宁波的一个老师写了报告说完全能理解，说非常容易的就理解了什么是正弦什么是sin嘛。然后的话呢，在这个基础之上，都研究sin的性质，sin
0等于sin 180等于0，为什么，变成线段了，自然就是0了，sin 90等于1，那么sin
a就是sin（180-a），如果两个角互补，他的sin相等。为什么呢，同一个菱形相邻的角是互补的，然后呢，平行四边形的面积等于两边相乘，再乘上sin
a夹角，那么然后的话呢，平行四边形去掉一半，三角形面积，等于两边的乘积乘上夹角的sin除以2，对不对啊？那么知道了三角形面积公式，这个公式同乘以2，同除以abc，都用2乘分母就是没有了，用abc来除，第一个是bc，bc要是用abc除的话，同乘以2同用abc除，得到什么啊，正弦定理，对不对，都乘以2，都用abc除，正好约掉。那有了正弦定理马上就知道，如果两个角相等，这两个边也相等，如果要是同一个三角形里面，两个角相等，那么对边相等，那不用画图就知道了，一看这个式子就知道了，如果有两个三角形，他三个角对应相等，这三边成比例，这都不好证的，这都知道了，然后呢，正弦定理，相似三角形，这都是高中学的，实际上初中就能学。
那么有了正弦定理，然后根据这个定理再根据接着往下走，如果还用这个面积公式，你把这一个三角形做一个高分成两块，计算这个面积，整个的面积是b乘c乘上sin
a假如a等于α加β的话，就是b乘c乘上sin（α+β）除以2，那么这一块a，高把他分到左边这一块，就是b乘h乘上sinα，这边是b乘以h乘以sinβ，然后把b
c除过来，然后h比上c的话是对边比斜边，是这个角的sin，就得到了和角公式，那么你说，只能用到对边比斜边的话呢，根据我们刚才那个正弦定理，根据三角形面积公式吧，你算这个三角形面积公式，面积等于两个直角边乘上2分之1，2分之ab，又等于2分之bc
a，两个相等一列就得出了，原来用菱形的定义和用锐角对角比斜边的定义是一致的。用上这个一致性就得到了和角公式，和角公式高中里面学的，现在初一就能学，有了和角公式，和角公式里面αβ都等于30度，就得到sin
60度就等于二倍的sin30 sin60度，把sin 60度约掉就得到sin30等于1/2，类似的sin45就等于√2 /
2，就得出来了，这自然就把三角几何和代数方程联系起来了，解方程，再进一步，这个和角公式里面这边是90度，去乘90度，sin90等于1，sin
a，如果a+b等于90度，那么90度减b等于a，90度减a就等于b，sin90就等于sin a的平方加sin
b的平方。那也就是这边全是等于1的话呢a和b加起来等于90度嘛，是这个直角三角形互余的两个角嘛，就是c分之b的平方加c分之a的平方，就是1，那就是勾股定理。
全有了，就是说你注意到一点，从那个……我记得是科学出版社，我准备写一本书，就写这个问题，从这一点出发，温故知新吧，推陈出新，就从小学里面的矩形面积的计算，你只要换个角度，压一压就可以产生三角函数，正弦，有了正弦马上就能出正弦定理，就能出和角公式，马上一大堆的几何问题，半个学期的问题就全有了，当然真正讲课的话，你要把他分散一点，让他慢慢做习题啊，这样啊他就整个都记住了，这就作为教育改革，作为课程改革的话呢，就产生了一个，我就产生了一个教育数学的思想，就是在九十年代的话呢我写了一本书，从数学教育到教育数学，出发点就是个面积方法，发展起来就提出一个思想。
什么思想呢，教育数学，什么是教育数学呢，为了教育来研究数学，为了教育来改造数学，那么举个简单的例子，什么叫做教育数学呢，我们吃核桃，核桃啊在四川的成都有一种夹密的核桃，就是啊核桃仁啊夹得很紧，要砸的很碎才能吃到手，有些核桃一砸开就很香就吃到了，有些核桃你砸开以后那些核桃仁在里头夹的很结实，要剥得很细才能吃到夹密的核桃，这就像学习数学有些问题很好学，有些难点要花力气才能学，那么数学教育，我另外研究数学教育是干什么呢，就是研究怎么砸核桃，怎么砸核桃才能吃到，教育数学是研究怎么改良核桃的品种，让他不夹，让他能够容易吃到核桃，就是区别就在于这儿。所以说，研究就是改良核桃的品种，数学教育是研究怎么砸核桃，砸核桃的方法，当然砸核桃的方法很重要，可是如果你改良了品种的话呢，砸起来自然就容易了，所以能不能改良的容易呢，这就是个例子。就是说我们学的知识啊，并不是最有利于学习的知识，我举个例子，你学英语，一月是什么？
听众：January
张：一月是January，二月呢？
听众：February
张：三月，March，你背这12个单词你回忆一下啊当初你背这些你花了多大的力气来背，你没有个半个小时记不住，而且记了还容易忘，忘了还要复习，那为了考试最后你记住了，Januray，February，March，这个April，May这一个个都记住了，我说呀，这个英国人语言创造的确实是很不便于学习啊，那你改成一月就是month
one，二月就是month two不马上就学会了吗？
听众：笑……
张：对不对啊，因为你已经学了one，two，three了，一月就是month one，二月就是month two，三月叫month
three，那这样，那用学这些，这就是说知识是可以增率的，如果允许的话，人家不允许，人家就认为这样才够味道，人家觉得January，February让你背一背才好，是不是啊，就要难一难。要是month
one，month
two显得太老土了，是不是？这个数学里面没这个，所以你不用非得在三角形里面sin锐角等于对边比斜边才是对的。你用个菱形就是老土是不是？那我可以改啊，改了以后大家都容易了，学生也容易了，老师也容易了，这就叫教育数学，就是说为了教育研究什么改造数学，教育数学基本思想就是，当初数学家研究数学不是为了教育而研究的，他是为了解决问题，后人就把它记下来当成教科书了，真正用在教育上，并不见得是最优的，后来教育数学出了本书，我是在上个世纪九十年代出的书，现在我们国家已经很多人感兴趣，大家支持吧，又成立了教育数学的学会，中国高等教育成立了个教育数学协会，每年开一次年会，很多人都承认了这门学科，而你要成立这个学科呢，你的学科一定要给别人具体的问题啊，有些人说来了，你这个教育数学就是要把数学学得很好啊，具体内容啊，现在我有具体内容，什么具体内容啊，比方说原来这个几何解题法无定法，现在这个消点法，这是通过研究教育数学得到的，原来这个三角系统，你要讲了相似三角形才能讲，现在可以从小学毕业就可以讲了，这样简单，如果采用这个教材做实验的话，就很可能减轻学生的负担，让学生能够学的更多更好，初中就可以把现在高中的内容很容易就学了，后来教育数学研究了微积分，我在科大教少年班的微积分的时候，曾经想过一些想法，把极限的学的简单一些，大家现在学微积分都要讲极限，没有极限学不来微积分，但是讲极限的话很多东西就变得非常不好证，有些问题就变得很麻烦。如果一个函数的导数是正的，那这个函数怎么样？函数递增，导数正，函数就递增，导数负的函数就递减，那位同学能说出来到底为什么？
听众：……
张：这个如果不是数学系的，一百个有一百个回答不出来，在国外的教科书上有一个这么说，这些证明都是乱形成理解的，导数是什么，是速度，导数正说明向前走，向前走不是越走越远了吗，不是递增了吗？这还证什么？有些证明学生也不能理解，所以就唬过去了。搞个笑话就过去了，说那些数学家搞得证明是外星人才能够理解的，而且那个外星是离地球比较远的外星。
听众：笑……
张：这个……能不能讲的很容易理解，这是最近我们的工作，和中科院合作的，我在中科院的启发下，微积分的基本问题大家都知道，一开始都要讲这个例子，瞬时速度，什么是瞬时速度，牛顿来计算瞬时速度，自由落体落下来，一开始慢后来越来越快，瞬时速度怎么算呢，先取一个区间上的平均速度，先取平均速度，然后这个区间越来越缩小，平均速度取极限就是瞬时速度，微积分的精华就在这。
我们换个角度看，瞬时速度和平均速度什么关系啊，比方说刘翔跑了110，跑奥运会110（米栏），一开始起步很快，跑到中间放松一下，最后冲刺也比较快，过栏的时候要慢一些，跳起来肯定要慢一些，又要加快，速度是不一样的，他12秒9跑了110米，那就算的处来他平均每秒是多少，可是他每时每刻的速度是不是就是平均速度啊？不是，他和平均速度有没有关系啊？有，什么关系啊？有时候大，有时候小。后来根据这一点，就不用讲极限就把微积分的道理说清楚了，为什么呢？不就是研究两个函数嘛，一个函数是f（a）一个是f（b），求（f（b）-f（a））/（b-a）,就是算出任何两点的平均变化率嘛。假设每一个式子都有变化率，那两者之间有什么关系呢？平均变化率是在两个瞬时变化之间。在此，我不再多举例了，对数学有兴趣的同学，以后我还可以给你们做一次专门的讲座，如果需要。从这点出发，既然这个瞬时速度要么大于平均速度，要么小于平均速度，平均速度在两个速度之间，对吧？如果瞬时速度都是正的，那么平均速度是不是一定是正的呢？任取两个点，平均速度就在两点的瞬时速度之间，如果平均速度是正的，那么任何两点之间的速度是正的，如果平均速度是负的，那么任何两点间的瞬时速度是负的。平均速度是正的，说明两点之间递增；平均速度是负的，说明两点之间是递减。这种分析和极限没有关系，完全不考虑极限问题。今天我不是来讲这个问题的，对数学有兴趣的同学，以后我还可以给你们做一次专门的讲座，如果需要。从这点出发能建立整个微积分的理论，不需要极限和其他理论，能证明牛顿莱布尼茨公式，能证明泰勒公式基本的微积分知识就包含在里面了。这时你就可以认识到刘翔跑100米的平均速度，其中的任何一段也有一个平均速度，任意两点的平均速度都在两点瞬时速度之间，从这点出发，理解微积分就都的出来了。
这个问题看起来很简单，我在学微积分的时候就想能不能用其他的方法不用极限把问题说的更清楚些，这个问题我想了50年，最近才想出来，我是54年在北大学的数学，当时学到微积分时，我感觉很惊讶，还有这么好的数学？那么难的问题用微积分就解决了，莱布尼茨说过，这些知识让饱学之士感觉一筹莫展，但是一个普通的人按照我的这种方法都能做出来。很多数学家感觉很难的问题，他用一种方法就通通的解决了。他的这种方法运用极限难以理解。我有时在想如果我能早出生一些的话，这个问题我也能解决，呵呵……很多同学都有这种想法，这个定理、那个定理是多么的完美，这些东西都让别人发明完了，我研究什么，我发明什么呢，呵呵……不用着急，有你们要做的事情，后来我在科大做了小的简化，到现在做了大的简化，有很多的大数学家，白字黑字的写着，微积分不用极限是说不清楚的，但我能不用极限能把微积分说明清，以上从欧几米德定理、三角形面积公式的推到、100米跑求速度三个方面，大家可以体会出如何求导数，至于如何求导数我给大家写出来，就举这个例子，例子讲解。
遇到困难了怎么办？我认为遇到困难要知难而退，不是知难而进，要以退为进。什么叫以退为进呢，就是大问题解决不了，就做简单一点的问题，从简单问题的解决中取得经验再解决大问题。吴先生的成就呀，为什么国外研究及其证明一二十年没有进展呢？国外一直想把等式和不等式放在一起解决掉，吴先生一眼就看出来，不等式太难了，我先解决等式，把不等式抛开不管，等式的问题很快就解决掉了，然后回过头来解决不等式的问题，这就是大家。大家知道自己的情况，因为他知道难，知道难是不容易的。
有这么一个故事，三个人初试得了前三名了，乾隆皇帝殿试出对联选拨状元、榜眼、探花，出的对联是“烟锁池塘柳”，第一个人一看对不来就离开了，第二个人做了二十分钟说做不出来就离开了，这个题目难在这个对联每个字的偏旁是水、木、金、火、土。要对出来必须含有这些偏旁，五个字是形成一句话，第三个人坐了一个小时离开了。最后皇帝第一个是状元，他一眼据看出问题是难的，第二个是第二名，最后一个是第三名。这就是说能看出问题难是有水平的。吴先生是大家，在国外住了20年，他拿来一看不等式太难了，不等式不证了，先来把等式解决了，所以知难而退，退到有意义的地方；
第二温故知新，都想创新，但创新的事不能从天上掉下来，一定是在原来的基础上前进一步，在旧的东西上更进一步，温故知新，对原来的东西没有深刻的了解就很难有创新。咱们中国的作家王朔有这么一个笑话，他说，我就不看那些大作家的古典的文学，我做出来的就和他们的不一样，既然没看人家的怎么知道和别人的不一样呢？他说这句话就忘了，温故知新、推陈出新的道理了，要想创新就要学习前人的东西，把那些东西学好才能创新，所以遇到大的问题要分割迂回、步步为营、捉小围大、各个击破。下棋、打仗都是这个道理，然后要实事求是、知己知彼、甘于寂寞、大器晚成。陈景润为什么能作出大的成果呀？因为没有人“理”他呀，呵呵……
就是说你让一个母鸡下蛋的话就不要理它，让它慢慢下蛋，如果是一会去访问或者看望一下，它就下不出蛋来。在没有熟知之前做了大量的工作，很多的人作出成果之后，实际工作就少了，他们说经常的有开会、报告、访问、会见行政领导等等，他们没有时间去做。做东西是需要时间的，多一个小时少一个小时是不一样的，有时候多一个小时就想出来了，它需要轻松。国外的一个数学家说，很多想法在澡盆里泡澡时想出来的，就是要放松。我们现在情况是太重视项目和经费，张扬有多少国家实验室、省级实验室、有多少大项目，每年有多少科研经费等，这样可以一时的鼓励员工，但长远来看，会越来越重视科研经费，轻视实际的工作。有很多东西很平常，从常识看来不正确，那它一般就不正确。
创新并不难，但大家认识到创新并且实现创新是很难的。王选的成功是不容易的，他的汉字排版研究了13年，申请立项几经周折，其中得到北大教授的支持。他说，我水平最高的时候是在北大当助教的时候，等到把我选为院士了，很多人超过我了，我已经赶不上前沿了，前沿的东西我知道的已经很少了。自己在是无名小辈时我的想法是前沿的，有很多的东西我看到了，世界上其他人还没有看到，我已经不能再搞计算机科学了，因为我离计算机科学很远了，他说寄希望于青年。今天我也在这里寄希望于大家，谢谢！（转）
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