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（2012o张掖模拟）求未知数X①：X=3：12②X-0.8X-6=16③1-X=④1.25：0.25=．
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①：X=3：12&&&&&&&& 3x=×12，&&&&&&3x÷3=×12÷3，&&&&&&&&& x=3；②X-0.8X-6=16& 0.2x-6+6=16+6，&&&&& 0.2x=22，&0.2x÷0.2=22÷0.2，&&&&&&&& x=110；& ③1-X=，1-X+x=+x，&&&& 1-=+x-，&&&&& x=，&&&&&&& x=；④1.25：0.25=，&&&&&& 0.25x=1.25×1.6，&0.25x÷0.25=1.25×1.6÷0.25，&&&&&&&&&& x=8．
为您推荐：
①根据比例的基本性质写成简易方程，再依据等式性质，方程两边同时除以3求解．②先化简方程，再依据等式性质，方程两边同时加上6，再同时除以0.2求解；③依据等式性质，先方程两边同时加上x，再同时减去，最后同时除以求解；④根据比例的基本性质写成简易方程，再方程两边同时除以0.25求解．
本题考点：
解比例；方程的解和解方程．
考点点评：
本题主要考查学生运用等式的性质以及比例的基本性质解方程能力．
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求未知数x的值．3：x=1.25：　　　　　　　　　　x-x=2.4×．
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（1）3：x=1.25：&&&&&&&& 1.25x=3×&&&1.25x÷1.25=÷1.25&&&&&&&&&&&& x=；（2）x-x=2.4×&&&&&& x=0.3&& x÷=0.3÷&&&&&&&&& x=．
为您推荐：
（1）依据比例的基本性质，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以1.25求解；（2）先化简方程，依据比例的基本性质，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解．
本题考点：
解比例；方程的解和解方程．
考点点评：
本题主要考查学生依据等式的性质以及比例的基本性质解方程的能力．
扫描下载二维码> 【答案带解析】已知x的3倍与2的差比x的2倍大5，则x=____________.
已知x的3倍与2的差比x的2倍大5，则x=____________.
【解析】本题考查的是一元一次方程的应用
根据等量关系：x的3倍与2的差比x的2倍大5，列出方程，解出即可求得结果。
由题意得，3x-2-2x=5，解得x=7.
思路拓展：解答本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
考点分析：
考点1：一元一次方程
定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。
1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=6
2、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.
（1）该方程为整式方程。
（2）该方程有且只含有一个未知数。
（3）该方程中未知数的最高次数是1。
一元一次方程判断方法:
通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫 一元一次方程。
要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件：
⑴它是等式；
⑵分母中不含有未知数；
⑶未知数最高次项为1；
⑷含未知数的项的系数不为0。
学习实践：
在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式—— 方程。
⒊0.52x-(1-0.52)x=80
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
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已知2(a-b)=7，则5b-5a=__________.
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A. a=b&&&&&&
B. a≠0&&&&&& C.b≠0&&&&&& D a=b≠o.
下列各题的“移项”正确的是（&&&&&&
）
A.由2x=3y-1得-1=3y+2x
B.由6x+4=3-x得6x+x=3+4
C.由8-x+4x=7得-x+4x=-7-8
D.由x+9=3x-7得x-3x=-7-9.
方程3x-5=x-2m的解是x=，则m的值为（&&&&&& ）
A.
m=2&&&&&&&& B. m= &&&&&&&&C.
m=-&&&&&&&&&
D. m=1.
题型：填空题
难度：中等
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满分5 学习网 . All Rights Reserved.1 求未知数X. X ×35=1225 X÷＝25 X-2.956＝0.08 2 简便计算. 36×208-8×36 3 用递等式计算. (1) ÷28 +8——精英家教网——
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1 求未知数X. X ×35=1225 X÷＝25 X-2.956＝0.08 2 简便计算. 36×208-8×36 3 用递等式计算. (1) ÷28 +825 ÷34 4 列综合算式计算. (1) 470减去25与8的积,再加上132,得多少? (2) 81与27的商除139与26的和,商是多少? 六 应用题. 1 一只大象平均每天吃45千克食物,照这样计算,5只大象一星期需要吃多少千克食物? 2 水果店运来香蕉和桔子各20筐,每筐香蕉重35千克,每筐桔子重32千克.运来的香蕉比桔子多多少千克? 3 两个美术组一共画了450张图画.第一组13人,第二组比第一组4人.两组平均每天画了多少张图画? 附加题. 1 食堂买来一批面粉,吃去的比剩下的一半多40千克,剩下的是48千克,这批面粉共多少千克? 2 小华和小方共有画片120张,如果小华送20张画片给小方,那么两人的画片就相等,小华和小方原来各有多少张画片? 【】
题目列表(包括答案和解析)
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求未知数X32：X=　　　　　　　　　　　 X-4×25%=1.25．
求未知数．：=x：24　　　 1+20%x=1.8　　　　4x-2.5×3=12.5．
求未知数10：x=4.5：1.25
3x-6.75=8.25
求未知数：
125%X-X=28
（1+40%）X=98
1+20%X=2.4．
（2011?清原县）
求未知数①：x=0.3：
②1-25%&x=0.5
③6x-7.3=19.7．
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第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母 来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x 在集合 A 中，称 x 属于 A ， 记为 x ∈ A ，否则称 x 不属于 A ，记作 x ? A 。例如，通常用 N，Z ，Q，B ，Q+分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 ? 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}， { x x & 0} 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为 A ? B ，例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属 于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， A Ι B = { x x ∈ A且x ∈ B}. 定义 4 定义 5 定义 6 定义 7 并集， A Υ B = { x x ∈ A或x ∈ B}. 补集，若 A ? I , 则C1 A = { x x ∈ I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。 差集， A \ B = { x x ∈ A, 且x ? B} 。 集合 { x a & x & b, x ∈ R , a & b} 记作开区间 ( a, b) ，集合{ x a ≤ x ≤ b, x ∈ R , a & b} 记作闭区间 [ a, b] ，R 记作 (?∞,+∞).定理 1 集合的性质：对任意集合 A ，B，C，有： （1） A Ι ( B Υ C ) = ( A Ι B ) Υ ( A Ι C); （2） A Υ ( B Ι C ) = ( A Υ B ) Ι ( A Υ C) ； （3） C1 A Υ C1 B = C1 ( A Ι B ); （4） C1 A Ι C1 B = C1 ( A Υ B ). 【证明】这里仅证（1）、 3） （ ，其余由读者自己完成。 （1）若 x ∈ A Ι (B Υ C) ，则 x ∈ A ，且 x ∈ B 或 x ∈ C ，所以 x ∈ ( A Ι B) 或 x ∈ ( A Ι C ) ，即 x ∈ ( A Ι B ) Υ ( A Ι C) ；反之， x ∈ ( A Ι B ) Υ ( A Ι C) ，则 x ∈ ( A Ι B ) 或 x ∈ ( A Ι C ) ，即 x ∈ A 且 x ∈ B 或 x ∈ C ，即 x ∈ A 且 x ∈ ( B Υ C) ，即x ∈ A Ι ( B Υ C ).（3）若 x ∈ C1 A Υ C1 B ，则 x ∈ C1 A 或 x ∈ C1 B ，所以 x ? A 或 x ? B ，所以x ? ( A Ι B ) ，又 x ∈ I ，所以 x ∈ C1 ( A Ι B ) ，即 C1 A Υ C1 B ? C1 ( A Ι B ) ，反之也有 C1 ( A Ι B ) ? C1 A Υ C1 B . 定理 2 加法原理：做一件事有 n 类办法，第一类办法中有 m 1 种不同的方法，第二类办法 中有 m 2 种不同的方法，…，第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N = m1 + m2 + Λ + mn 种不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分 n 个步骤，第一步有 m1 种不同的方法，第二步有 m 2 种不同 的方法，…，第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N = m1 ? m 2 ? Λ ? m n 种不 同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设 M = {a a = x 2 ? y 2 , x , y ∈ Z }，求证： （1） 2 k ? 1 ∈ M , ( k ∈ Z ) ； （2） 4 k ? 2 ∈ M , (k ∈ Z ) ；（3）若 p ∈ M , q ∈ M ，则 pq ∈ M . [证明]（1）因为 k , k ?1 ∈ Z ，且 2 k ? 1 = k 2 ? (k ? 1) 2 ，所以 2 k ? 1 ∈ M . （2）假设 4 k ? 2 ∈ M (k ∈ Z ) ，则存在 x, y ∈ Z ，使 4 k ? 2 = x 2 ? y 2 ，由于 x ? y 和x + y 有相同的奇偶性，所以 x 2 ? y 2 = ( x ? y )( x + y ) 是奇数或 4 的倍数，不可能等于 4 k ? 2 ，假设不成立，所以 4 k ? 2 ? M . （3）设 p = x 2 ? y 2 , q = a 2 ? b 2 , x, y, a, b ∈ Z ，则 pq = ( x 2 ? y 2 )( a 2 ? b 2 ) = a 2 a 2 + y 2 b 2 ? x 2 b 2 ? y 2 a 2 = ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ∈ M （因为 xa ? ya ∈ Z , xb ? ya ∈ Z ） 。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A ? B ，再证 B ? A ，则 A =B。例2 设 A ，B 是两个集合，又设集合 M 满足A Ι M = B Ι M = A Ι B , A Υ B Υ M = A Υ B ，求集合 M（用 A，B 表 示 ） 。 【解】先证 ( A Ι B ) ? M ，若 x ∈ ( A Ι B ) ，因为 A Ι M = A Ι B ，所以 x ∈ A Ι M , x ∈ M ，所以 ( A Ι B) ? M ； 再证 M ? ( A Ι B ) ，若 x ∈ M ，则 x ∈ A Υ B Υ M = A Υ B .1）若 x ∈ A ，则 x ∈ A Ι M = A Ι B ；2）若 x ∈ B ，则 x ∈ B Ι M = A Ι B 。所以 M ? ( A Ι B ). 综上， M = A Ι B.3．分类讨论思想的应用。 例3A = { x x 2 ? 3 x + 2 = 0}, B = { x x 2 ? ax + a ? 1 = 0}, C = { x x 2 ? mx + 2 = 0} ，若A Υ B = A, A Ι C = C ，求 a , m.【解】依题设， A = {1,2} ，再由 x 2 ? ax + a ? 1 = 0 解得 x = a ? 1或 x = 1 ， 因为 A Υ B = A ，所以 B ? A ，所以 a ? 1 ∈ A ，所以 a ? 1 = 1 或 2，所以 a = 2 或 3。 因为 A Ι C = C ，所以 C ? A ，若 C = ? ，则 ? = m 2 ? 8 & 0 ，即 ? 2 2 & m & 2 2 ， 若 C ≠ ? ，则 1 ∈ C 或 2 ∈ C ，解得 m = 3 . 综上所述， a = 2 或 a = 3 ； m = 3 或 ? 2 2 & m & 2 2 。 4．计数原理的应用。 例 4 集合 A ，B，C 是 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的 子 集 ， （1）若 A Υ B = I ， 求有序集合对（A ，B）的个数； 2）求 I 的非空真子集的个数。 （ 【 解 】 1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A， A Ι B , I 中的每个元素恰属于其 （ 中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合 对有 310 个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，…，第 10 步，0 也有两种，由 乘法原理，子集共有 2 10 = 1024 个，非空真子集有 1022 个。 5．配对方法。 例 5 给定集合 I = {1,2,3,Λ , n} 的 k 个子集： A1 , A2 ,Λ , Ak ，满足任何两个子集的交集非 空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 2 n ?1 对，每一对不能同在 这 k 个子集中，因此， k ≤ 2n ?1 ；其次，每一对中必有一个在这 k 个子集中出现，否则，若 有一对子集未出现，设为 C1 A 与 A ，并设 A Ι A1 = ? ，则 A1 ? C1 A ，从而可以在 k 个子 集中再添加 C1 A ，与已知矛盾，所以 k ≥ 2 n?1 。综上， k = 2 n?1。 6．竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A Υ B = A + B ? A Ι B ,A Υ B Υ C = A + B + C ? A Ι B ? A Ι C ? B Ι C + A Ι B Ι C ，需要 xy 此结论可以推广到 n 个集合的情况，即n n i =1 i≠ j∑n1 ≤i & j & k ≤nΥ Ai = ∑ Ai ? ∑ Ai Ι A j +i =1∑Ai Ι A j Ι Ak ? Λ + ( ?1) n ?1 Ι Ai .i =1定义 8集合的划分：若 A1 Υ A2 Υ Λ Υ An = I ，且 Ai Ι A j = ? (1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j ) ，则这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将 mn + 1 个元素放入 n ( n & 1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m + 1 个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，…，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记 I = {1,2,3,Λ ,100}, A = { x 1 ≤ x ≤ 100, 且x能被 2整除( 记为2 x) } ，B = { x 1 ≤ x ≤ 100,3 x}, C = { x 1 ≤ x ≤ 100,5 x} ，由容斥原理，100 ? ?100 ? AΥ B Υ C = A + B + C ? AΙ B ? B Ι C ? C Ι A + AΙ B Ι C = ? ? 2 ?+? 3 ?+ ? ? ? ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 10 ? ? ? 15 ? + ? 30 ? = 74 ，所以不能被 2，3，5 整除的数有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? I ? A Υ B Υ C = 26 个。例 7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最 多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。 又因为 +2，所以 S 一共至多含有 182×5+2=912 个元素，另一方面，当 S = {r r = 11k + t , t = 1, 2, 4,7,10, r ≤ 2004, k ∈ N} 时，恰有 S = 912 ，且 S 满足题目条件 ， 所以最少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 n ( n ≥ 2) ，使得存在实数 a1 , a 2 , Λ , a n 满足：n( n ? 1) }. 2 【解】 当 n = 2 时， a1 = 0, a 2 = 1；当 n = 3 时， a1 = 0, a 2 = 1, a3 = 3 ；当 n = 4 时，{ a i ? a j }1 ≤ i & j ≤ n} = {1,2,Λ ,a1 = 0, a 2 = 2, a3 = 5, a 4 = 1 。下证当 n ≥ 5 时，不存在 a1 , a 2 , Λ , a n 满足条件。 n( n ? 1) 令 0 = a1 & a 2 & Λ & a n ，则 a n = . 2 所以必存在某两个下标 i & j ，使得 ai ? a j = a n ? 1，所以 a n ? 1 = a n?1 ? a1 = a n?1或 a n ? 1 = an ? a 2 ，即 a 2 = 1，所以 a n =（）若 a n =n( n ? 1) n( n ? 1) ， a2 = 1。 , an ?1 = an ? 1或 a n = 2 2n( n ? 1) , a n ?1 = a n ? 1 ，考虑 a n ? 2 ，有 a n ? 2 = a n ? 2 或 a n ? 2 = an ? a 2 ， 2 即 a 2 = 2 ，设 a n? 2 = a n ? 2 ，则 a n?1 ? a n? 2 = a n ? a n?1 ，导致矛盾，故只有 a 2 = 2.考虑 a n ? 3 ，有 a n ? 3 = a n ? 2 或 a n ? 3 = a n ? a 3 ，即 a 3 = 3 ，设 a n ? 3 = a n ? 2 ，则a n ?1 ? a n ? 2 = 2 = a 2 ? a 0 ，推出矛盾，设 a 3 = 3 ，则 a n ? a n ?1 = 1 = a3 ? a 2 ，又推出矛盾 ，所以 a n? 2 = a 2 , n = 4 故当 n ≥ 5 时，不存在满足条件的实数。 （）若 a n =n( n ? 1) , a 2 = 1，考虑 a n ? 2 ，有 a n ? 2 = a n ?1 或 a n ? 2 = an ? a3 ，即 2 a 3 = 2 ，这时 a 3 ? a2 = a2 ? a1 ，推出矛盾，故 a n?1 = a n ? 2 。考虑 a n ? 3 ，有 a n ? 3 = a n ? 2 或 a n ? 3 = a n ? a 3 ，即 a 3 =3，于是 a 3 ? a2 = an ? a n ?1 ，矛盾。因此 a n ? 2 = a n ? 3 ，所以 a n ?1 ? a n ? 2 = 1 = a 2 ? a1 ，这又矛盾，所以只有 a n ? 2 = a 2 ，所以 n = 4 。故当 n ≥ 5 时，不存在满足条件的实数。例9设 A ={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合 Ai ， i = 1,2,Λ ,20, Ai Ι A j ≤ 2,1 ≤ i & j ≤ 20. 求 n 的最小值。 【解】 n min = 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次，则必有 k ≤ 4 。若不然，数 m 出现 k 次 （ k & 4 ） 则 3k & 12.在 m 出现的所有 Ai 中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它 ， 是 1，就有集合{1， a1 , a 2 , m , b1 } {1, a3 , a4 , m , b2 },{1, a 5 , a 6 , m, b3 }，其中a i ∈ A,1 ≤ i ≤ 6 ，为满足题意的集合。 ai 必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数 ， 这不可能，所以 k ≤ 4. 20 个 Ai 中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以 n ≥ 16 。当 n = 16 时，如下20 个集合满足要求： {1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 例 10 集合{1，2，…，3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ，其中 x + y = 3 z ， 求满足条件的最小正整数 n.n【解】 设其中第 i 个三元集为 { xi , y , z i }, i = 1,2, Λ , n, 则 1+2+…+ 3n = 所以∑ 4zi =1i,n 3n( 3n + 1) = 4∑ z i 。当 n 为偶数时，有 8 3n ，所以 n ≥ 8 ，当 n 为奇数时，有 2 i =1 8 3n + 1 ，所以 n ≥ 5 ，当 n = 5 时 ， 集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8} 满足条件，所以 n 的最小值为 5。三、基础训练题 1．给定三元集合 {1, x, x 2 ? x} ，则实数 x 的取值范围是___________。 2．若集合 A = { x ax 2 + 2 x + 1 = 0, a ∈ R , x ∈ R}中只有一个元素，则 a =___________。 3．集合 B = {1,2,3} 的非空真子集有___________个。 4．已知集合 M = { x x 2 ? 3x + 2 = 0}, N = { x ax + 1 = 0} ，若 N ? M ，则由满足条件的实 数 a 组成的集合 P=___________。 5．已知 A = { x x & 2}, B = { x x ≤ a} ，且 A ? B ，则常数 a 的取值范围是___________。 6．若非空集合 S 满足 S ? {1,2,3,4,5} ，且若 a ∈ S ，则 6 ? a ∈ S ，那么符合要求的集合 S 有___________个。 7．集合 X = {2n + 1 n ∈ Z }与Y = { 4k ± 1 k ∈ Z } 之间的关系是___________。 8．若集合 A = { x, xy, xy ? 1} ，其中 x ∈ Z ， y ∈ Z 且 y ≠ 0 ，若 0 ∈ A ，则 A 中元素之和是___________。 9．集合 P = { x x 2 + x ? 6 = 0}, M = { x mx ? 1 = 0} ，且 M ? P ，则满足条件的 m 值构成 的集合为___________。 10．集合 A = { x y = 2 x + 1, x ∈ R + }, B = { y y = ? x 2 + 9, x ∈ R }，则A Ι B = ___________。11．已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1） 1 ? S ;2 ）若 a ∈ S ，则1 ∈ S 。如果 1? aS ≠ ? ，S 中至少含有多少个元素？说明理由。 12．已知 A = {( x, y) y = a x }, B = {( x, y ) y = x + a}, C = A Ι B ，又 C 为单元素集合，求实数 a 的取值范围。 四、高考水平训练题 1．已知集合 A = { x, xy, x + y}, B = {0, x , y} ，且 A=B ，则 x = ___________，y = ___________。2． I = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ? I , B ? I , A Ι B = {2}, (C1 A) Ι (C1 B ) = {1,9},(C1 A) Ι B = {4,6,8} ，则 A Ι (C1 B ) = ___________。3．已知集合 A = { x 10 + 3x ? x 2 ≥ 0}, B = { x m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ，当 A Ι B = ? 时，实 数 m 的取值范围是___________。? ? = 1?, 则a = ___________。 2 ax ? x + 1 ? ? 2 2 5．集合 M = {m , m + 1,?3}, N = {m ? 3,2m ? 1, m + 1} ，若 M Ι N = {?3} ，则 m = ___________。 6．集合 A = {a a = 5 x + 3, x ∈ N + }, B = {b b = 7 y + 2, y ∈ N + } ，则 A Ι B 中的最小元素4．若实数 a 为常数，且 a ∈ A = ? x? ? ? ?1是___________。 7．集合 A = { x ? y, x + y , xy}, B = { x 2 + y 2 , x 2 ? y 2 ,0}，且 A =B ，则 x + y = ___________。 8．已知集合 A = { x ___________。 9．设集合x +1 & 0}, B = { x px + 4 & 0} ，且 B ? A，则 p 的取值范围是 2? xA = {( x, y) y 2 ? x ? 1 = 0}, B = {( x, y ) 4 x 2 + 2 x ? 2 y + 5 = 0}, C = {( x , y ) y = kx + b}，问：是否存在 k , b ∈ N ，使得 ( A Υ B ) Ι C = ? ，并证明你的结论。 10．集合 A 和 B 各含有 12 个元素， A Ι B 含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的个数：1） C ? A Υ B 且 C 中含有 3 个元素；2） C Ι A ≠ ? 。 11．判断以下命题是否正确：设 A ，B 是平面上两个点集， Cr = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ r 2 } ，若 对任何 r ≥ 0 ，都有 Cr Υ A ? C r Υ B ，则必有 A ? B ，证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1．已知集合 A = { x x & 0}, B = { z z =m2x ?1 , x & 2}, B ≠ ?, 且B ? A ，则实数 m 的取值 mx + 1范围是___________。 2．集合 A = {1,2,3,Λ ,2n, 2n + 1 的子集 B 满足：对任意的 x, y ∈ B , x + y ? B ，则集合 B } 中元素个数的最大值是___________。3．已知集合 P = {a, aq, aq 2 }, Q = {a, a + d , a + 2 d} ，其中 a ≠ 0 ，且 a ∈ R ，若 P =Q，则 实数 q = ___________。 4．已知集合 A = {( x, y) x + y = a , a & 0}, B = {( x, y ) xy + 1 = x + y }，若 A Ι B 是平面 上正八边形的顶点所构成的集合，则 a = ___________。 5．集合 M = {u u = 12m + 8 n + 4l , m , l , n ∈ Z } ，集合N = {u u = 20 p + 16q + 12r , p, q , r ∈ Z } ，则集合 M 与 N 的关系是___________。 6．设集合 M = {1, 2,3,Λ ,1995 ，集合 A 满足： A ? M ，且当 x ∈ A 时， 15x ? A ，则 A }中元素最多有___________个。 7．非空集合 A = { x 2a + 1 ≤ x ≤ 3a ? 5}, B = { x 3 ≤ x ≤ 22}，≤则使 A ? A Ι B 成立的所 有 a 的集合是___________。 8．已知集合 A ，B ，aC（不必相异）的并集 A Υ B Υ C = {1,2,Λ , n}, 则满足条件的有序三 元组（A ，B，C）个数是___________。 9．已知集合 A = {( x, y) ax + y = 1 B = {( x, y ) x + ay = 1 C = {( x, y ) x 2 + y 2 = 1} ，问： }, }, 当 a 取何值时， ( A Υ B ) Ι C 为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为 3 个元素集合，结 论如何？ 10．求集合 B 和 C，使得 B Υ C = {1, 2, Λ ,10}，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11．S 是 Q 的子集且满足：若 r ∈ Q ，则 r ∈ S ,?r ∈ S , r = 0 恰有一个成立，并且若 a ∈ S , b ∈ S ，则 ab ∈ S , a + b ∈ S ，试确定集合 S。 12．集合 S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元 素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题 1． S1 , S 2 , S 3 是三个非空整数集，已知对于 1，2，3 的任意一个排列 i,j, k ，如果 x ∈ S i ，y ∈ S j ，则 x ? y ∈ S i 。求证： S1 , S 2 , S 3 中必有两个相等。2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 Ai (i = 1,2,Λ ,117) ，使 得（1）每个 Ai 恰有 17 个 元 素 ； （2）每个 Ai 中各元素之和相同。 3．某人写了 n 封信，同时写了 n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情 况有多少种？ 4．设 a1 , a 2 , Λ , a 20 是 20 个两两不同的整数，且整合 {a i + a j 1 ≤ i ≤ j ≤ 20} 中有 201 个 不同的元素，求集合 { a i ? a j 1 ≤ i & j ≤ 20} 中不同元素个数的最小可能值。 5．设 S 是由 2 n 个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶 数。 6．对于整数 n ≥ 4 ，求出最小的整数 f (n ) ，使得对于任何正整数 m ，集合{m, m + 1, Λ , m + n ? 1} 的任一个 f (n) 元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。7．设集合 S={1，2，…，50}，求最小自然数 k ，使 S 的任意一个 s 元子集中都存在两个不 同的数 a 和 b，满足 ( a + b ) ab 。 8．集合 X = {1,2,Λ ,6k}, k ∈ N + ，试作出 X 的三元子集族&，满足： （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含； （2） & = 6k 2 ( & 表示 & 的元素个数) 。 9．设集合 A = {1, 2, Λ , m } ，求最小的正整数 m ，使得对 A 的任意一个 14-分划A1 , A2 ,Λ , A14 ，一定存在某个集合 Ai (1 ≤ i ≤ 14) ，在 Ai 中有两个元素 a 和 b 满足b&a≤4 b。 3第二章二次函数与命题一、基础知识 1．二次函数：当 a ≠ 0 时，y=ax 2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴 为直线 x=-b b ，另外配方可得 f(x )=a(x-x0)2 +f(x0 )，其中 x0 =，下同。 2a 2a2．二次函数的性质：当 a&0 时，f(x )的图象开口向上，在区间（-∞，x0 ]上随自变量 x 增大 函数值减小（简称递减） ，在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a&0 时 ， 情况相反。 3．当 a&0 时，方程 f(x )=0 即 ax2 +bx+c=0…①和不等式 ax 2+bx+c&0…②及 ax2 +bx +c&0…③与 函数 f(x)的关系如下（记△=b2-4ac） 。 1）当△&0 时，方程①有两个不等实根，设 x1 ,x 2(x1 &x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x&x1 或 x &x 2}和{x|x1&x &x 2}，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1 )(x-x2 ). 2）当△=0 时，方程①有两个相等的实根 x1 =x2 =x 0= ? {x|x ≠ ?b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2ab }和空集 ? ，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a3）当△&0 时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a&0 时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：若 a&0，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x 0)=4ac ? b 2 ,若 a&0，则当 4ax=x0 = ?b 4ac ? b 2 时，f(x )取最大值 f(x0 )= .对于给定区间[m,n]上的二次函数 2a 4af(x)=ax 2+bx+c(a&0)，当 x0 ∈[m, n]时 ，(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0 ); 当 x0 &m 时 。 (x)在[m, n] f f 上的最小值为 f(m)；当 x0 &n 时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即 可得出） 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“3&5”是 命 题 ， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联 结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题； p 且 q”复合命 “ 题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q； 逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p ? q 否则记作 p ≠ q.在命题“若 p 则 q”中 ， 如果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q ? p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p ? q 但q 不 ? p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 ? q 但 p ? q，则 p 称为 q 的必要非充分 条件；若 p ? q 且 q ? p，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例 1 设方程 x2 -x +1=0 的两根是α，β，求满足 f(α)=β,f(β)=α, f(1)=1 的二次函数 f(x ). 【解】 设 f(x)=ax2 +bx +c(a ≠ 0), 则由已知 f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程 x2-x+1=0 中△ ≠ 0， 所以α ≠ β，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以 a+b+1=0.又因为 f(1)= a+b+c =1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x )=ax2 -(a+1)x+2. 再由 f(α)=β得 aα2 -(a+1)α+2=β, 所以 aα2-aα+2=α+β=1，所以 aα2-aα+1=0. 即 a(α2 -α+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2 -2x+2. 2．方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax 2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c ≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.8 5 f(2)- f(1), 3 3 8 5 8 5 所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4, 3 3 3 3又-1≤f(2)=4a-c ≤5, f(3)= 所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a,b, c∈R, a ≠ 0)， 若方程 f(x)=x 无实根， 求证： 方程 f(f(x))= x 也无实根。 【证明】若 a&0，因为 f(x )=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x )-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上，所以对任意的 x∈R, f(x)-x&0 即 f(x )&x，从而 f(f(x))&f(x)。 所以 f(f(x))&x，所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a&0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x 2 满足 0&x1&x 2&1 , a（Ⅰ）当 x∈(0, x 1)时，求证：x&f(x )&x1 ； （Ⅱ）设函数 f(x)的图象关于 x =x0 对称，求证：x0&x1 . 2【证明】 因为 x1, x 2 是方程 f(x )-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x -x 1)(x -x2 )+x. （Ⅰ）当 x∈(0, x 1)时，x-x1&0, x -x2 &0, a&0，所以 f(x)&x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x -x 2)+1]=a(x-x1)[x-x2+1 ]&0，所以 f(x)&x1 . a综上，x&f(x)&x 1. （Ⅱ）f(x)=a(x-x1 )(x-x2 )+x=ax2 +[1-a(x1 +x 2)]x+ax1x 2,a( x1 + x2 ) ? 1 x1 + x 2 1 , = ? 2a 2 2a x x 1 1? 1? 所以 x 0 ? 1 = 2 ? = ? x2 ? ? & 0 ， 2 2 2a 2 ? a?所以 x0= 所以 x 0 &x1 . 25．构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax +1)2 =a2(a-x 2), a&1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2 +2ax+1-a2 =0. 构造 f(x)=2a2x 2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2 &0, f(-1)=(a-1)2&0, f(0)=1-a2&0, 即△&0，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。x 4 + x2 + 5 取最小值？求出这个最小值。 ( x 2 + 1) 2 1 5 1 【解】 y=1- 2 + 2 ,令 2 = u,则 0&u≤1。 2 x + 1 ( x + 1) x +1例6 当 x 取何值时，函数 y=1 ? 19 19 ? y=5u -u+1=5 ? u ? ? + ≥ , 10 ? 20 20 ? 1 19 且当 u = 即 x= ± 3 时，ymin= . 10 2022例7设变量 x 满足 x2 +bx≤-x(b&-1)，并且 x 2+bx 的最小值是 ? 由 x2+bx≤-x(b&-1)，得 0≤x≤-(b+1).1 ，求 b 的值。 2【解】 )-b b 2 b2 1 ≤-(b+1)，即 b≤-2 时，x2 +bx 的最小值为,? = ? ，所以 b2=2，所以 2 4 4 2 b = ± 2 （舍去） 。 b ) - &-(b+1)，即 b&-2 时，x2 +bx 在[0，-(b+1)]上是减函数， 2 1 3 所以 x2+bx 的最小值为 b+1, b+1=- , b=- . 2 2 3 综上，b=- . 27.一元二次不等式问题的解法。 例8 已知不等式组 ??x 2 ? x + a ? a2 & 0 ? x + 2a & 1①②的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1 =a, x2 =1-a, 若 a≤0，则 x1 &x2.①的解集为 a&x&1-a，由②得 x&1-2a. 因为 1-2a≥1-a，所以 a≤0,所以不等式组无解。 若 a&0，）当 0&a&1 时，x1&x 2,①的解集为 a&x&1-a. 2因为 0&a&x&1-a&1，所以不等式组无整数解。1 时，a=1-a，①无解。 2 1 ）当 a& 时，a&1-a，由②得 x&1-2a， 2）当 a= 所以不等式组的解集为 1-a&x&a. 又不等式组的整数解恰有 2 个， 所以 a-(1-a)&1 且 a-(1-a)≤3， 所以 1&a≤2，并且当 1&a≤2 时，不等式组恰有两个整数解 0，1。 综上，a 的取值范围是 1&a≤2. 8．充分性与必要性。 例 9 设定数 A ，B，C 使得不等式 A (x-y)(x-z )+B (y-z )(y -x)+C(z -x)(z -y)≥0 ① 对一切实数 x,y, z 都成立，问 A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及 A，B ，C 的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为 A，B ，C≥0 且 A 2+B2 +C2 ≤2(AB +BC+CA ). 先证必要性，①可改写为 A(x-y)2 -(B -A-C)(y -z )(x-y)+C(y-z )2≥0 ② 若 A=0，则由②对一切 x ,y, z ∈R 成立，则只有 B=C，再由①知 B=C =0，若 A ≠ 0，则因为② 恒成立， 所以 A &0，△=(B -A -C)2(y-z )2-4AC(y-z )2≤0 恒成立， 所以 (B -A -C)2-4AC≤0， A 2+B2 +C2 即 ≤2(AB+BC+CA ) 同理有 B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再证充分性，若 A≥0，B ≥0，C≥0 且 A 2+B2 +C2 ≤2(AB +BC+CA )， 1）若 A=0，则由 B 2 +C 2≤2BC 得(B -C)2≤0，所以 B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若 A&0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若 m&0，则-m≤x ≤m 等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a, b∈R, 则 a2+b2 ≥2ab；若 x ,y∈R +,则 x+y≥ 2 xy . (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若 x+y=0，则 x、y 互为相反数”的逆命 题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q≤1，则 x2 +x +q=0 有实根”的逆 否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题中，p 或 q 为真，p 且 q 为假，非 p 为真的是_________.①p；3 是偶数，q：4 是奇数；②p:3+2=6, q:③ p:a∈(a,b),q:{ a} ? {a, b}; ④ p: Q ? R, q: N=Z . 3. 当|x -2|&a 时，不等式|x2 -4|&1 成立，则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2 +(ab+1)x+b&0 的解是 1&x&2，则 a, b 的值是____________. 5. x ≠ 1 且 x ≠ 2 是 x-1 ≠ x ? 1 的__________条件，而-2&m&0 且 0&n&1 是关于 x 的方程 x2 +mx +n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x |mx2 +5x+2=0}的子集至多有 2 个，则 m 的取值范围是_________. 8. R 为全集，A={x|3-x≥4}, B= ? x?5 ? ≥ 1? , 则(C RA)∩B=_________. ? x+2 ?9. 设 a, b 是整数，集合 A ={(x, y)|(x-a)2 +3b≤6y}，点（2，1）∈A ，但点（1，0） ? A ， 3，2） （ A 则 a,b 的值是_________. ? 10．设集合 A={x||x |&4}, B ={x |x 2-4x+3&0}，则集合{x|x∈A 且 x ? A∩B }=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1≥-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。? 2 ? x ? 2kx + k ? 4 & 0 12．对任意 x∈[0,1],有 ? ①②成立，求 k 的取值范围。 ? x 2 ? kx ? k + 3 & 0 ?四、高考水平训练题 1．若不等式|x-a|&x 的解集不空，则实数 a 的取值范围是_________. 2．使不等式 x2+(x-6)x +9&0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3．若不等式-x2+kx-4&0 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是_________. 4．若集合 A={x||x +7|&10}, B ={x||x-5|& k}，且 A ∩B=B ，则 k 的取值范围是_________. 5．设 a1、a2 , b1、b2 , c1 、c2 均为非零实数，不等式 a1 x2+b1 x+c1 &0 和 a2x2 +b2x+c2 &0 解集分别为 M 和 N，那么“a1 b1 c1 = = ”是“M=N”的_________条件。 a2 b2 c 26．若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2 +(a-1)x +a2=0, x2 +2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根， 则实数 a 的取值范围是_________. 7． 已知 p, q 都是 r 的必要条件， 是 r 的充分条件， 是 s 的充分条件，则 r 是 q 的_________ s q 条件。 8．已知 p: |1-x ?1 |≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m&0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则实数 3m 的取值范围是_________. 9．已知 a&0，f(x)=ax2+bx +c ，对任意 x∈R 有 f(x +2)=f(2-x)，若 f(1-2 x2)&f(1+2x -x 2)，求 x 的 取值范围。 10．已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c , g(x)=ax+b, 当|x |≤1 时，|f(x)|≤1, (1)求证：|c|≤1; (2)求证：当|x|≤1 时，|g(x)|≤2; (3)当 a&0 且|x|≤1 时，g(x)最大值为 2，求 f(x). 11.设实数 a,b, c,m 满足条件：a b c + + =0，且 a≥0,m&0，求证：方程 ax2 +bx+c=0 m + 2 m +1 m有一根 x0 满足 0&x0 &1. 五、联赛一试水平训练题 1．不等式|x|3-2x2 -4|x|+3&0 的解集是_________.?x + 2 y & 0 ? 2．如果实数 x, y 满足： ? x ? 2 y & 0 ，那么|x|-| y|的最小值是_________. ?x 2 ? 4 y 2 = 4 ?3．已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c 的图象经过点（1，1）， 3，5） f(0)&0，当函数的最小值取 （ ， 最大值时，a+b2+c 3=_________. 4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程 f(f(f)(x)))=1 x 有_________个实根。 25．若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1，1]上至少有一个实根，则 m 取值范围是_________. 6．若 f(x)=x4 +px 3+qx2 +x 对一切 x∈R 都有 f(x)≥x 且 f(1)=1，则 p+q2=_________. 7. 对一切 x∈R，f(x)=ax2+bx +c (a&b)的值恒为非负实数，则a+b +c 的最小值为_________. b?a8． 数 f(x)=ax2 +bx+c 的图象如图， 函 且 b 2 ? 4ac =b-2ac. 那么 b2 -4ac_________4.（填&、=、&） 9．若 a&b&c&d，求证：对任意实数 t ≠ -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两个不 等的实根。 10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下 一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x 的系数等于较小的根，二次项系数 都是 1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。 11．已知 f(x)=ax2 +bx+c 在[0，1]上满足|f(x )|≤1,试求|a|+|b|+|c |的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1．设 f(x)=ax2 +bx +c，a,b, c∈R, a&100，试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最多有几个？ 2．设函数 f(x)=ax2 +8x +3(a&0)，对于给定的负数 a，有一个最大的正数 l(a)，使得在整个区 间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。 3．设 x1, x2 ,…, xn∈[a, a+1]，且设 x=1 n 1 n xi , y= ∑ x 2 , 求 f=y-x2 的最大值。 ∑ n i =1 n j =1 j4．F(x)=ax2 +bx +c，a,b, c∈R, 且|F(0)|≤1,| F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。5．已知 f(x)=x2 +ax +b，若存在实数 m，使得|f(m)|≤1 1 ,|f(m+1)|≤ ,求△=a2 -4b 的最大值和 4 4最小值。 6．设二次函数 f(x)=ax2 +bx +c (a,b, c∈R, a ≠ 0)满足下列条件： 1）当 x∈R 时，f(x-4)= f(2-x)，且 f(x)≥x； 2）当 x∈(0, 2)时，f(x)≤ ?? x + 1? ? ; ? 2 ?23）f(x)在 R 上最小值为 0。 求最大的 m(m&1)，使得存在 t∈R，只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)≤x. 7.求证：方程 3ax2 +2bx-(a+b)=0(b ≠ 0)在(0,1)内至少有一个实根。 8．设 a, b,A ,B ∈R+, a&A , b&B，若 n 个正数 a1, a2 ,…, an 位于 a 与 A 之间，n 个正数 b1 , b2,…,bn 位于 b 与 B 之间，求证：? AB + (a + a + Λ + a )( b + b + Λ + b ) ? ab ≤? 2 (a1 b1 + a 2 b2 + Λ + a n bn ) 2 ? ? ?2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 nab ? ? AB ? . ? ? ?29．设 a,b, c 为实数，g(x)=ax2+bx+c , |x |≤1，求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值： （） g ?? 1 ? =381; ? ?2?（）g(x)max=444; （）g(x)min=364.第三章函数一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A ，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A →B 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A , x ≠ y, 都有 f(x ) ≠ f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B，都有一个 x∈A 使得 f(x)=y，则称 f: A →B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: A→B 。 定义 5 函数，映射 f: A→B 中，若 A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定 义域，若 x∈A, y ∈B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y ） 则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集 ， 合{f(x)| x∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义 的未知数的取值范围，如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x≥0, x∈R}. 定义 6 反函数，若函数 f: A→B （通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1 : A →B 叫原函数的反函数， 通常写作 y=f-1 (x). 这里求反函数的过程是： 在解析式 y=f(x)中反解 x 得x=f1 (y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1 (x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=1 1 的反函数是 y=1- (x ≠ 0). 1? x x定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1 , x2 ∈I 并且 x 1& x 2，总有 f(x1)&f(x 2)(f(x )&f(x2 ))，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2） 奇偶性： 设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集， 若对于任意的 x ∈D， 都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 x∈D，都有 f(-x)=f(x )，则称 f(x)是偶函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数 时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小 的正数 T0 ，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a&b， 则数 集 {x|a&x&b, x∈R}叫 做 开 区 间 ， （a, b） 集 合 {x|a≤x≤b,x ∈R} 记作 ， 记作闭区间[a,b]，集合{x|a&x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x&b}记作半闭半开区 间[a, b)，集合{x|x&a}记作开区间（a, +∞） ，集 合 {x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞, a]. 定义 9 函数的图象，点集{(x, y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y =f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a, b&0)； 1）向右平移 （ a 个单位得到 y=f(x-a)的 图 象 ； （2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的 图 象 ； （3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的 图 象 ； （4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴 对 称 ； （5）与函数 y=-f(-x) -1 ( x)的图象关于直线 y=x 对 称 （ 7） 的图象关于原点成中心对称； 6） （ 与函数 y =f ； 与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x )]的单调性，记住四个字： “同增异减”。例如 y =1 , u=2-x 在 2? x（-∞,2）上是减函数，y=1 1 在（0，+∞）上是减函数，所以 y= 在（-∞,2）上是增函 u 2? x数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 1 y 例 1 求方程|x -1|= 的正根的个数. x1 x x 1x【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=1 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根 。 x例2求函数 f(x)=x 4 ? 3 x 2 ? 6 x + 13 ? x 4 ? x 2 + 1 的最大值。【解】 f(x)= ( x 2 ? 2) 2 + ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 + ( x ? 0) 2 ，记点 P (x , x 2)，A（3，2） B ，（0，1） 则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 ， 因为|P A|-|P A|≤|AB|= 等号成立。 所以 f(x)max= 10 . 2.函数性质的应用。 例3 设 x, y∈R，且满足 ?32 + ( 2 ? 1) 2 = 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时?( x ? 1) 2 + 1997 ( x ? 1) = ?1 ? ，求 x+y. ?( y ? 1) 3 + 1997( y ? 1) = 1 ?【 解 】 设 f(t)=t3 +1997t， 证 f(t)在 -∞，+∞） 先 （ 上递 增 。 事实 上 ， a&b， f(b)-f(a)=b3-a3 +1997(b若 则 2 +ba+a2 +1997)&0，所以 f( t)递增。 a)=(b-a)(b 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)&0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2 )=-f(a2 -1)，由题设 f(1-a)&f(a2 -1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1&1-a&a2-1&1，解得 0&a&1。 例 5 设 f(x)是定义在（-∞，+∞） 上以 2 为周期的函数，对 k∈Z , 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1]， 已知当 x∈I0 时，f(x)=x 2，求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik，则 2k-1&x≤2k+1， 所以 f(x-2k)=(x -2k)2 . 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数， 所以当 x∈Ik 时，f(x)=f(x-2k )=(x-2k)2. 例 6 解方程：(3x-1)( 9 x 2 ? 6 x + 5 + 1 )+(2x-3)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3，方程化为4 x 2 ? 12 x + 13 +1)=0.m( m 2 + 4 +1)+n( n 2 + 4 +1)=0. ① 若 m=0，则由①得 n=0，但 m, n 不同时为 0，所以 m ≠ 0, n ≠ 0. )若 m&0， 则由 ①得 n&0，设 f(t)=t( t 2 + 4 +1),则 f(t)在（ 0，+∞） 上是增函数。又 f(m)=f(-n)，4 . 5 4 )若 m&0，且 n&0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m&0 矛盾。 5 4 综上，方程有唯一实数解 x= . 5所以 m=-n，所以 3x -1+2x-3=0，所以 x = 3.配方法。 例7 求函数 y=x+2 x + 1 的值域。1 [2x+1+2 2 x + 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x + 1 +1)-1≥ -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时，y 取最小值- ，所以函数值域是[- ，+∞） 。 2 2 2【解】y=x+ 2 x + 1 =4．换元法。 例8 求函数 y=( 1 + x + 1 ? x +2)( 1 ? x 2 +1),x∈[0,1]的值域。【解】令 1 + x + 1 ? x =u，因为 x∈[0,1]，所以 2≤u2=2+2 1 ? x 2 ≤4,所以2 ≤u≤2,u+2 2 2+2 u+2 u2 ≤ ≤2，1≤ ≤2，所以 y= ,u ∈[ 2 +2，8]。 2 2 2 2 所以该函数值域为[2+ 2 ，8]。所以 5．判别式法。 例9 求函数 y=x 2 ? 3x + 4 的值域。 x 2 + 3x + 41 ≤y ≤1. 7【解】由函数解析式得(y-1)x2 +3(y +1)x+4y -4=0. ① 当 y ≠ 1 时，①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2 -16(y-1)2≥0，解得又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立， 所以函数值域为[1 ，7]。 76．关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证 ： y=f-1 (x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x 1&x2 , 且 y1=f-1 (x 1), y2 =f-1 (x2)，则 x1 =f(y1 ), x2=f(y2)，若 y1 ≥y2，则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以 x1 ≥x2 与假设矛盾，所以 y 1&y2 。 即 y=f-1 (x)在(-∞,+ ∞)递增。4x + 1 ，解方程：f(x)=f-1(x). 3x + 2 2 1 【解】 首先 f(x)定义域为（-∞，- ）∪[- ，+∞） ；其次，设 x1 , x2 是定义域内变量，且 3 4 2 4 x 2 + 1 4 x1 + 1 5( x 2 ? x1 ) x1 &x2&- ; = &0, ? 3 3 x 2 + 2 3 x1 + 2 (3x 2 + 2)(3 x1 + 2) 2 1 所以 f(x)在（-∞，- ）上递增，同理 f(x )在[- ，+∞）上递增。 3 4例 11 设函数 f(x)= 4 在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x )=f-1 (x)=y，则 y≥0，又由 f-1 (x )=y 得 f(y)=x，所以 x≥0,所以 x, y∈[-1 ，+∞）. 4若 x ≠ y ，设 x&y，则 f(x)=y&f(y)=x，矛盾。 同理若 x&y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4 -4x-1=0, 即(x-1)(3x4 +5x 3+5x2 +5x+1)=0, 因为 x≥0，所以 3x4 +5x3 +5x 2+5x+1&0，所以 x=1. 三、基础训练题1．已知 X ={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射 f：X →Y 满足：对任意的 x∈X ，它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。 2．给定 A ={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射 f：X →Y，若 f 为单射，则 f 有_______个；若 f 为满射，则 f 有_______个；满足 f[f(x )] =f(x)的映射有_______个。 3．若直线 y =k (x-2)与函数 y =x 2+2x 图象相交于点（-1，-1） ，则图象与直线一共有_______个 交点。 4．函数 y=f(x)的值域为[ , 5．已知 f(x)=3 4 ]，则函数 g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x ) 的值域为_______。 8 91 ，则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 x +16．已知 f(x)=|x+a|，当 x≥3 时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是_______。1 ，2）内是增函数，则 y=f(x2 -1)的单调递减区间为_______。 2 8．若函数 y= ? (x)存在反函数 y = ? -1 (x )，则 y= ? -1(x)的图象与 y=- ? (-x)的图象关于直线7．设 y=f(x)在定义域（ _______对称。1 1 1 ? x ?1 ? ? =1- + 2 ，则 f( )=_______。 x x x ? x ? 10. 函数 y= x + 1 ? x ? 1 , x∈(1, +∞)的反函数是_______。9．函数 f(x)满足 f ? 11．求下列函数的值域： （1）y = (3)y =x +2x ? 2 ? x ? 1 ; (2)y = x +1 1 ? x + +1; x xx + 1 ; (4) y=x ?1 . x2 + 212. 已知 y = f (x ) 定义在 R 上，对任意 x∈R, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当 x ∈[2,3] 时，f(x)=x ，则当 x∈[-2,0]时，求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 1．已知 a∈ ? ?? 1 ,0? , f(x)定义域是（0,1]，则 g(x )=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 ? 2 ? ?2．设 0≤a&1 时，f(x )=(a-1)x2 -6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3．映射 f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足 10&f(a)?f(b)?f(c)? f(d)&20，这样的映射 f 有_______ 个。 4． 设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R， 且为增函数， 若方程 f(x)=x 解集为 P ，f[f(x)]=x 解集为 Q， 则 P，Q 的关系为：P_______Q（填=、 ? 、 ? ） 。≠ ≠5．下列函数是否为奇函数： （1）f(x)=(x-1)1+ x ； 2）g(x)=|2 x+1|-|2x-1| ; (3) （ 1? x? (x )= x 2 ? 1 + 1 ? x 2 ；（ 4）y= x + 1 ? x ? 1.6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x ≠ 0)，对任意非零实数 x1 , x2 满足 f(x1x 2)=f(x1 )+f(x2 )，又 f(x)在（0， +∞）是增函数，则不等式 f(x)+f(x7． 数 f(x)= ? 函1 )≤0 的解集为_______。 2x∈P ， 中 P，M 为 R 的两个非空子集， 其 又规定 f(P)={y |y =f(x), x∈P }, x∈ M f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若 P∩M= ? ，则 f(P ) ∩f(M)= ? ；②若 P ∩M ≠ ? ，则 f(P ) ∩f(M) ≠ ? ；③若 P ∪M=R, 则 f(P ) ∪f(M)=R；④若 P ∪M ≠ R，则 f(P ) ∪f(M) ≠ R. 其中正确的判断是_______。8．函数 y=f(x+1)的反函数是 y =f-1 (x+1)，并且 f(1)=3997，则 f(1998)= _______。?x ?? x9．已知 y=f(x )是定义域为[-6，6]的奇函数，且当 x ∈[0，3]时是一次函数，当 x∈[3，6]时是 二次函数，又 f(6)=2，当 x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。 10．设 a&0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x +a)=1 + 2f ( x) ? [ f ( x )] 2 ，求证：f(x)为周期函数 。4x ? t ,（1）求 f(α)、 x2 + 111．设关于 x 的方程 2x2 -tx-2=0 的两根为α，β（α&β） ，已知 函 数 f(x)=f(β)； 2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数； （ （3）对任意正数 x 1, x2 ，求证：? x α + x2 β ? f? 1 ? x +x ?? ? ? 1 2 ?? x β + x 2α ? f? 1 ? x + x ? &2|α-β|. ? ? 1 2 ?五、联赛一试水平训练题 1．奇函数 f(x)存在函数 f-1 (x)，若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位，然后向右平移 2 个单位 后，再关于直线 y=-x 对称，得到的曲线所对应的函数是________. 2．若 a&0，a ≠ 1, F(x)是奇函数，则 G(x)=F(x) ? 3．若 F ?? 1 + 1 ? 是________（奇偶性）. ? x ?a ?1 2 ?? 1 ? x ? =x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x )；②F(-x)= ? ?1+ x ? ?1? x ? F? ? ；③F(x-1 )=F(x)；④F(F(x))=-x. ?1+ x ?R R R 4.设函数 f：R→R 满足 f(0)=1，且对任意 x,y ∈R，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则 f(x)=________. R 5． 知 f(x)是定义在 R 上的函数，(1)=1， 已 f 且对任意 x ∈R 都有 f(x+5)≥f(x )+5, f(x+1) ≤f(x)+1。 若 g(x)=f(x )+1-x，则 g(2002)= ________. 6. 函数 f(x)=1的单调递增区间是________.x 2 ? 2x ? 3 x x 7. 函数 f(x)= ? 的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非） 。 x 1? 2 2 x 2 ? 3x + 2 的值域为________. x ∈ [1,2] ?1 9．设 f(x)= ? , x ∈ (2,3] ?x ?18. 函数 y=x+ R 对任意的 a∈R，记 V(a)=max {f(x)-ax |x ∈[1, 3]}-min{f(x )-ax|x∈[1, 3]}，试求 V(a)的最小值。?1 ? x 2 = y ? 10．解方程组： ?1 ? y 2 = z. （在实数范围内） ?1 ? z 2 = x ?11．设 k∈N+, f: N+→N+满 足 ： （1）f(x)严格递增； 2）对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]= kn， 求 证 ： （ 对任意 n∈N+, 都有2k k +1 n≤f(n)≤ n. k +1 2六、联赛二试水平训练题 1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f， 满 足 ： （1）对任意 x≠0,f(x)=x ?f ? ? ； 2）对所有的 x≠-y 且 xy≠0，有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). （2.设 f(x)对一切 x&0 有定义，且满足： （）f(x)在（0，+∞）是增函数；()任意 x&0,?1? ? x?f(x)f ? f ( x) +? ?1? ? =1，试求 f(1). x?R 3. f:[0,1]→R 满 足 ： 1） （ 任意 x∈[0, 1], f(x)≥0； 2）f(1)=1； 3）当 x, y, x +y ∈[0, 1]时，f(x)+f(y) （ （ ≤f(x+y)，试求最小常数 c，对满足（1）， 2）， 3）的函数 f(x )都有 f(x)≤cx . （ （ 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y 2)(x +y )-4(x2+xy +y2)-3(x +y)+5(x&0, y&0)的最小值。 5．对给定的正数 p,q∈(0, 1)，有 p+q&1≥p2+q2 ，试求 f(x)=(1-x)p 2 ? x 2 + x q 2 ? (1 ? x) 2 在[1-q,p]上的最大值。x ?Q ?x ? R 6．已知 f: (0,1)→R 且 f(x)= ? p + 1 . p x ? , ( p, q ) = 1,0 & p & q ? q q ? ?7 8? 当 x∈ ? , ? 时，试求 f(x)的最大值。 ?8 9? ( n ≥ 1000) ?n ? 3 7．函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)= ? ，求 f(100)的值。 ( n & 1000) ? f [ f (n + 5)] π 8．函数 y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角 后 不 变 。 （1） 求 证 ： 2方程 f(x)=x 恰有一个解； （2）试给出一个具有上述性质的函数。 9．设 Q+是正有理数的集合，试构造一个函数 f: Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=f ( x) , ? x, y∈Q+ . y第四章几个初等函数的性质一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如 y=ax(a&0, a ≠ 1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+∞） 当 0&a&1 时，y=ax 是减函数，当 a&1 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点 ， （0，1） 。1m n2．分数指数幂： a n =a , a n = n a m , a ?n =1 ?m ,a n = an1n。am3．对数函数及其性质：形如 y =loga x(a&0, a ≠ 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 0&a&1，y=loga x 为减函数，当 a&1 时，y=loga x 为增函数 。 4．对数的性质（M&0, N &0） ； 1）ax=M ? x=log aM(a&0, a ≠ 1)； 2）loga (MN)= log a M+ loga N；M ）= log a M- loga N ；4）loga Mn =n log a M； ， N log c b 1 5）loga n M = log a M；6）alog a M=M; 7) log a b= (a, b,c&0, a, c ≠ 1). n log c a a 5. 函数 y=x+ （a&0）的单调递增区间是 ? ∞, ? a 和 a ,+∞ ，单调递减区间为 x ? a ,0 和 0, a 。 （请读者自己用定义证明）3）loga （(] [)[) (]6．连续函数的性质：若 a&b, f(x)在[a, b]上连续，且 f(a)?f(b)&0，则 f(x)=0 在（a,b）上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1&0. 【证明】 设 f(x)=(b+c )x+bc +1 (x∈(-1, 1))，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)&0 且 f(1)&0（因为-1&a&1）. 因为 f(-1)=-(b+c )+bc+1=(1- b)(1-c)&0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)&0， 所以 f(a)&0，即 ab+bc+ca+1&0. R 例 2 （柯西不等式）若 a1 , a2,…,an 是不全为 0 的实数，b1, b2 ,…, bn ∈R，则n n n（∑ a i2 ）?（ ∑ bi2 ）≥( ∑ ai bi )2，等号当且仅当存在 ? ∈ R，使 a i= ?bi , i=1, 2, …, n 时i =1 i =1 n i =1 n2 i成立。n i i n2 i【证明】n令 f(x)= （2 i∑ai =1 n）x2 -2(∑a bi =1)x+∑ b = ∑ (ai =1 i =1ix ? bi ) 2 ,因为∑ai =1R &0，且对任意 x∈R, f(x)≥0，n n2 i所以△=4( 展开得（∑a bi i =1 ni)-4（n∑ai =1）(n∑bi =12 i)≤0.∑ ai2 ）( ∑ bi2 )≥( ∑ ai bi )2。i =1 i =1 i =1等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在 ? ，使 a i= ?bi , i=1, 2, …, n。 例3 R 设 x, y∈R +, x+y=c, c 为常数且 c ∈(0, 2]，求 u= ? x +? ?1 ?? 1? ?? y + ? 的最小值。 ? x ?? y? ?【解】u= ? x + =xy+? ?x y 1 1 1 ?? 1? ?? y + ? =xy + + + ≥xy + +2? ? ? y x xy xy x ?? y?x y ? y x1 +2. xy( x + y)2 c 2 1 c2 = ,设 f(t)=t+ ,0&t≤ . 4 4 t 4 ? c2 ? c2 因为 0&c ≤2，所以 0& ≤1，所以 f(t)在 ? 0, ? 上单调递减。 ? 4 4 ? ?令 xy=t，则 0&t=xy≤c 2 c2 4 c2 4 )= + 2 ，所以 u≥ + +2. 4 4 c 4 c2 c c2 4 当 x=y= 时，等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 2 4 c2所以 f(t)min=f( 2．指数和对数的运算技巧。 例4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q)，求q 的值。 p【解】令 log9 p= log12q= log16(p+q)=t，则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t ，所以 9 t +12 t =16 t ，即 1+ ? ? = ? ? .?4? ?3?t?4? ?3?2tq 12 t ? 4 ? 1± 5 = t = ? ? ，则 1+x =x 2，解得 x = . p 9 2 ?3? q q 1± 5 又 &0，所以 = . p p 2记 x= 例5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z , w ，若 ax=by=cz =70w，且t1 1 1 1 + + = ，求 x y z w证：a+b=c. 【证明】 由 ax=by=c z=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70， w x w y w z ?1 1 1? 1 1 1 1 1 相加得 (lga+lgb+lgc)= ? + + ? lg70，由题设 + + = ， ?x y z? w x y z w ? ?所以 所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc =lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a&1. 又 a≤b≤c，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c =7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x ≠ 1, ac ≠ 1, a ≠ 1, c ≠ 1. 且 loga x+logcx=2logb x，求证 c2 =(ac)logab. 【证明】 由题设 loga x+logcx=2logbx ，化为以 a 为底的对数，得log a x +log a x 2 log a x = ， log a c log a b因为 ac&0, ac ≠ 1，所以 logab=logacc2 ，所以 c2 =(ac )logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 ? ? + ? ? + ? ? =1。设 f(x)= ? ? + ? ? + ? ? , 则 f(x)在(-?1? ?2?x? 2? ? 3?x? 5? ? 6?x?1? ?2?x? 2? ? 3?x? 5? ? 6?x∞,+∞)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.? x x + y = y 12 ? R 例 8 解方程组： ? x + y （其中 x, y∈R+）. 3 ?y =x ? ?( x + y ) lg x = 12 lg y 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ? . ①② ?( x + y ) lg y = 3glx把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2 -36]lgx=0. R 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y )2 -36=0(x, y∈R +)得 x+y=6， 2 2 代入①得 lgx=2lgy ，即 x=y ，所以 y +y-6=0. 又 y&0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ? 例9? x1 = 1 ? x 2 = 4 ? ? ;? . ? y1 = 1 ? y 2 = 2 ? ?已知 a&0, a ≠ 1，试求使方程 loga (x-ak)=loga2 (x 2-a2)有解的 k 的取值范围。?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 ? x ? ak & 0 .①②③ ?x 2 ? a2 & 0 ?若①、②同时成立，则③必成立， 故只需解 ??( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 . x ? ak & 0 ?④由①可得 2kx=a(1+k 2)，当 k=0 时，④无解；当 k ≠ 0 时，④的解是 x=a(1 + k 2 ) 1+ k 2 ，代入②得 &k. 2k 2k若 k&0，则 k2 &1，所以 k&-1；若 k&0，则 k2 &1，所以 0&k&1. 综上，当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。 三、基础训练题 1．命题 p: “(log 23)x-(log 53)x≥(log 23)-y-(log 5 3)-y”是命题 q:“x+y≥0”的_________条件。 2．如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根，x2 是方程 x+10x=27 的根，则 x1 +x2 =_________. 3．已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，点 A （-1，1） B （1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它 ， 的反函数，则不等式|f-1(log2x )|&1 的解集为_________。1+ a2 &0，则 a 取值范围是_________。 1+ a a ? ? 5．命题 p: 函数 y=log 2 ? x + ? 3 ? 在[2，+∞）上是增函数；命题 q: 函数 y =log2 (ax2-4x+1) x ? ?4．若 log2 a 的值域为 R，则 p 是 q 的_________条件。 6．若 0&b&1, a&0 且 a ≠ 1，比较大小：|loga(1-b)|_________| loga(1+b). 7．已知 f(x)=2+log3x, x ∈[1, 3]，则函数 y =[f(x)]2 +f(x2 )的值域为_________。 8．若 x=1 1 log 1 3 2+1 1 log 1 3 5，则与 x 最接近的整数是_________。9．函数 y = log 1 ? 10．函数 f(x)=1 ? ? 1 + ? 的单调递增区间是_________。 1? x 1+ x ? 2?2x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________。 ? x ? 2x + 5 ? ?2 ?? ?lg 2 x =2 有一解，二解，无解？ lg( x + a)R 11．设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x?a]，其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(∞,1]时有意义，求 a 的取值范围。 12．当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题 1．函数 f(x)=8 ? 1 +lg(x 2-1)的定义域是_________. x ? ? 1? ? 时恒成立，则 m 的取值范围是_________. 2?2．已知不等式 x2-logmx &0 在 x ∈ ? 0,3．若 x∈{x |log2 x=2-x}，则 x2 , x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln1? x ? a + b ? _________. ，则使 f(a)+f(b)= f ? ? 1+ x ? 1 + ab ? ? ?5. 命题 p: 函数 y =log 2 ? x +a ? 3 ? 在[2，+∞）上是增函数；命题 q：函数 y=log2(ax2 -4x+1) ? x ?的值域为 R，则 p 是 q 的_________条件. 6．若 0&b&1, a&0 且 a ≠ 1，比较大小：|log a (1-b)| _________|log a (1+b)|. 7．已知 f(x)=2+log3x, x ∈[1, 3]，则函数 y =[f(x)]2 +f(x2 )的值域为_________. 8．若 x=1 1 log 1 3 2+1 1 log 1 3 5，则与 x 最接近的整数是_________.9．函数 y= log 1 ? 10．函数 f(x)=1 ? ? 1 + ? 的单调递增区间是_________. ?1? x 1+ x ? 2x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________. ? x ? 2x + 5 ? ?2 ?? ?211．设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x?a]， 其中 n 为给定正整数， ≥2,a∈R。若 f(x) 在 x∈(n ∞,1]时有意义，求 a 的取值范围。 12．当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题 1．函数 f(x)=lg 2 x =2 有一解，二解，无解？ lg( x + a)8 ? 1 +lg(x 2-1)的定义域是__________. x ? ? 1? ? 时恒成立，则 m 的取值范围是 ________. 2?2．已知不等式 x2-logmx &0 在 x ∈ ? 0,3．若 x∈{x |log2 x=2-x}，则 x2 , x, 1 从大到小排列是________. 4．若 f(x)=ln1? x ? a + b ? 成立的 a, b 的取值范围是________. ，则使 f(a)+f(b)= f ? ? 1+ x ? 1 + ab ?10235．已知 an=logn(n+1)，设∑ log a 100 =n =2 n1q ，其中 p, q 为整数，且(p ,q)=1，则 p?q 的值 p为_________. 6．已知 x&10, y&10, xy=1000，则(lgx)?(lgy)的取值范围是________. 7．若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是________. 8．函数 f(x)= ??| lg | x ? 1 || ?0x≠1 的定义域为 R，若关于 x 的方程 f 2 (x)+bf(x )+c=0 有 7 个 x =1不同的实数解，则 b, c 应满足的充要条件是________. （1）b&0 且 c&0； 2）b&0 且 c&0； 3）b&0 且 c=0； 4）b≥0 且 c=0。 （ （ （? 1 + 1 ? x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ≠ 0)，则 F(x)是________函数（填奇偶性）. ? x ? 2 ?1 2 ? ? 1+ x ? ? a+b ? ? a?b ? 10．已知 f(x)=lg ? ? ，若 f ? ? =1， f ? ? =2，其中|a|&1, |b|&1，则 ?1? x ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ?9．已知 f(x)= ?f(a)+f(b)=________. R 11．设 a∈R，试讨论关于 x 的方程 lg(x -1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12．设 f(x)=|lgx|，实数 a, b 满足 0&a&b, f(a)=f(b)=2f ? （1）a4 +2a2 -4a+1=0, b4 -4b3+2b2 +1=0； 2）3&b&4. （ 13．设 a&0 且 a ≠ 1, f(x)=loga (x+1? a + b ? ，求证： ? ? 2 ?x 2 ? 1 )(x ≥1)，（ 1）求 f(x )的反函数 f-1(x)；（ 2）若 f-(n)&3n + 3?n (n∈N+)，求 a 的取值范围。 2五、联赛一试水平训练题 1．如果 log2 [log 1 (log2 x)]= log3 [log 1 (log3x )]= log5 [log 1 (log5z )]=0，那么将 x, y, z 从小到大排2 3 5列为___________. 2．设对任意实数 x0 & x 1& x 2& x3&0，都有 log 成立，则 k 的最大值为___________.x0 x11993+ log x 1993+ log x 1993& klog10 2x0 x31993 恒x2x33．实数 x, y 满足 4x2 -5xy +4y2=5，设 S=x2+y2 ，则1S max+1S min的值为___________.4．已知 0&b&1, 00 &α&450，则以下三个数：x=(sinα)logb s ina, y=(cosα) logb sina, z =(sinα) log bs ina 从小到大排列为___________. 5．用[x]表示不超过 x 的最大整数，则方程 lg2 x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6．设 a=lgz +lg[x(yz )-1 +1], b=lgx-1 +lg[xyz +1], c=lgy+lg[(xyz )-1+1]，记 a, b, c 中的最大数为 M， 则 M 的最小值为___________.1R 7．若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)= x 1998 ，则 f ?? 98 ? ?， ? 19 ?104 ? f? ? ? 由小到大排列为___________. ? 15 ? 1 8．不等式 log 2 x ? 1 + log 1 x 2 +2&0 的解集为___________. 2 29．已知 a&1, b&1，且 lg(a+b )=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).101 ? f? ? ?, ? 17 ?lg( 6 ? x ) + lg( x ? 2) + log10． 1）试画出由方程 （ （2）若函数 y=ax+1 10( x ? 2) =lg 2 y1 所确定的函数 y=f(x)图 象 。 21 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。 2 11．对于任意 n∈N+(n&1)，试证明：[ n ]+[ 3 n ]+…+[ n n ]=[log2n]+[log3 n]+…+[lognn]。六、联赛二试水平训练题 R 1．设 x, y, z ∈R+且 x+y +z =1，求 u=3 x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z + + 的最小值。 1 + x2 1+ y2 1+ z22．当 a 为何值时，不等式 log 1 ( x 2 + ax + 5 + 1) ?log5 (x2 +ax+6)+loga 3≥0 有且只有一个n解（a&1 且 a ≠ 1） 。 3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何 x, y&1 及 u, v&0, [f(y)] ①都成立，试确定所有这样的函数 f(x). R R 4. 求所有函数 f：R→R，使得 xf(x )-yf(x)=(x-y)f(x +y )①成立。 5．设 m≥14 是一个整数，函数 f：N→N 定义如下：1 u yv )≤[ f(x )] 4 u f(x 1 4vf(n)= ?? ?n ? m + 14 ? ? f ( f (n + m ? 13))n & m2 n ≤ m2,求出所有的 m,使得 f(. 6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)?f(y), x, y∈Q . 7． 是否存在函数 f(n)， 将自然数集 N 映为自身， 且对每个 n&1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立 。 8．设 p, q 是任意自然数，求证：存在这样的 f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合） ，使对 x 轴上的某个长为1 p 1 的开区间中的每一个数 x, 有 f ( x ) ? & 2. q q q ?f ? ? 成立。 ?2?R 9 ． 设 α ， β 为 实 数 ， 求 所 有 f: R+ → R ， 使 得 对 任 意 的 x, y∈R+,f(x)f(y)=y2?f ? ? + x β f ?? x? ?2?第五章数列一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2 , a3,…，an 或 a1 , a2, a3 ,…， an…。其中 a1 叫做数 列的首项，an 是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an }的前 n 项和，则 S1=a1 , 当 n&1 时，an =Sn -Sn -1 . 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1 -an=d（ 常 数 ） ，则{an}称为等差数列， d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差 为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an =a1 +(n-1)d；2）前 n 项和公式： Sn=n( a1 + a n ) n (n ? 1) = na1 + d ；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若 n+m=p+q， 2 2则 an+am=ap+a q；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap -aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不 为零，则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 比。 定理 3 等比数列的性质：1）an =a1qn -1；2）前 n 项和 Sn ，当 q ≠ 1 时，Sn = 等比数列，若对任意的正整数 n，都有an +1 = q ，则{an }称为等比数列，q 叫做公 an a1 (1 ? q n ) ；当 1? qq=1 时，Sn =na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2 =ac (b ≠ 0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4） 若 m+n=p+q，则 aman=ap aq。 定义 4 极限，给定数列{an }和实数 A ，若对任意的 ε &0，存在 M，对任意的 n&M(n∈N), 都有|an-A |& ε ，则称 A 为 n→+∞时数列{an }的极限，记作 lim a n = A.n →∞定义 5无穷递缩等比数列，若等比数列{an }的公比 q 满足|q|&1，则称之为无穷递增等比数列，其前 n 项和 Sn 的极限（即其所有项的和）为a1 （由极限的定义可得） 。 1? q定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)， 若 ： （1）p(n0)成 立 ； （2）当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由（1）， 2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 （ 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)， 若 ： 1）p(n0 )成 立 ； 2）当 p(n)对一切 n≤k 的自 （ （ 然数 n 都成立时（k ≥n0）可推出 p(k +1)成立，则由（1）， 2）可得命题 p(n)对一切自然数 n （ ≥n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn =axn-1 +bxn -2，设它的特征方程 x2 =ax+b 的两个根为α, β:(1)若α ≠ β，则 xn =c 1an -1+c2 βn-1 ，其中 c1 , c2 由初始条件 x1 , x2 的值确定；(2)若α=β，则 xn =(c1 n+c2 ) αn -1，其中 c1 , c2 的值由 x1 , x2 的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项 （不要求证明） 1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…； ； 3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）an =n2 -1；2）an=3n -2n ；3）an=n2 -2n. 例2 已知数列{an }满足 a1 = 因为 a1=1 , a1 +a 2 +…+an =n2an , n≥1，求通项 an . 2【解】1 ,又 a1 +a 2 =22 ?a2, 21 a + a2 1 1 ，a3 = 1 2 = ,猜想 a n = (n≥1). 3×2 3 ?1 3 × 4 n( n + 1) 1 证明；1）当 n=1 时，a1= ，猜想正确。2）假设当 n≤k 时猜想成立。 2×1所以 a2= 当 n=k +1 时，由归纳假设及题设，a1 + a1+…+a1 =[(k+1)2-1] ak+1 ,，1 1 1 + +Λ + =k(k+2)ak+1 , 2 ×1 3× 2 k × (k + 1) 1 1 1 1 1 即1? + ? +Λ + ? =k(k+2)ak+1, 2 2 3 k k +1 k 1 所以 =k(k+2)ak+1,所以 ak+1 = . k +1 (k + 1)( k + 2) 1 由数学归纳法可得猜想成立，所以 a n = . n( n + 1) 1 例 3 设 0&a&1，数列{an}满足 an =1+a, an-1 =a+ ，求证：对任意 n∈N+ ,有 an&1. an所以 【证明】 证明更强的结论：1&an≤1+a. 1)当 n=1 时，1&a1 =1+a，①式成立； 2)假设 n=k 时，①式成立，即 1&an ≤1+a，则当 n=k+1 时，有1 + a & a k +1 =1 1 1+ a + a2 1+ a +a ≥ +a = & = 1. ak 1+ a 1+ a 1+ a由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等，这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an }满足 an +pan -1+qan -2=0, n≥3，q ≠ 0，求证：存在常数 c，使得2 2 a n +1 + pa n +1 ?an+ qa n + cq n = 0.2 2 2 2 【证明】 a n+1 + pa n+1 ?an+1 + qa n+1 = a n+ 2 (pan+1 +an+2 )+ qa n+1 =an +2?(-qan)+ qa n+1 =2 2 2 2 q ( an +1 ? an an + 2 ) = q[ a n +1 +an(pqn +1+qan )]=q( a n +1 + pan +1 a n + qan ). 2 2 2 若 a 2 + pa 2 a1 + qa12 =0，则对任意 n, a n +1 + pan +1 a n + qa n =0，取 c=0 即可. 2 2 2 2 若 a 2 + pa 2 a1 + qa12 ≠ 0，则{ a n +1 + pan +1 a n + qa n }是首项为 a 2 + pa 2 a1 + qa12 ，公式为 q的等比数列。 2 2 所以 a n+1 + pa n+1a n + qa n = ( a 2 + pa2 a1 + qa12 ) ?qn. 22 取 c = ?( a2 + pa1 a 2 + qa12 ) ?1 即可. q综上，结论成立。 例52 已知 a1 =0, an +1 =5an+ 24 an + 1 ，求证：an 都是整数，n∈N +.【证明】因为 a1=0, a2 =1，所以由题设知当 n≥1 时 an+1 &an . ①2 又由 an+1 =5an+ 24 an + 1 移项、平方得 2 2 a n +1 ? 10a n a n +1 + a n ? 1 = 0.2 2 当 n≥2 时，把①式中的 n 换成 n-1 得 a n ? 10 an an ?1 + an ?1 ? 1 = 0 ，即2 2 a n+1 ? 10a n a n+1 + a n ? 1 = 0.②2 因为 an-1 &an +1 ，所以①式和②式说明 an -1, an +1 是方程 x 2-10anx+ a n -1=0 的两个不等根。由韦达定理得 an+1 + an -1=10an (n≥2). 再由 a1=0, a2 =1 及③式可知，当 n∈N +时，an 都是整数。 3．数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。1 (n=1, 2, …)，求 S99=a1+a2+…+a99. 4 +
2 × 2100 + 4 n + 4100 ? n 1 【解】 因为 an+a100-n= n + 100? n = 100 = 100 ， 100 100 100 n 100? n 4 +2 4 +2 4 × 2 + 2 (4 + 4 ) 2 1 99 1 99 99 所以 S99= ∑ ( an + a100? n ) = × 100 = 101 . 2 n =1 2 2 2 1 1 1 例 7 求和： S n = +…+ . + 1× 2 × 3 2 × 3× 4 n( n + 1)( n + 2) 1 k +2?k 【解】 一般地， = k ( k + 1)( k + 2) 2k (k + 1)( k + 2) ? 1? 1 1 = ? ? k (k + 1) ? ( k + 1)( k + 2) ? ， ? 2? ? n 1 所以 Sn= ∑ k =1 k ( k + 1)( k + 2) ? 1? 1 1 1 1 1 1 = ? ? + ? +Λ + ? 2 ?1 × 2 2 × 3 2 × 3 3 × 4 n (n + 1) ( n + 1)( n + 2) ? ?例6 已知 an =n? 1 ?1 1 ? 2 ? (n + 1)( n + 2) ? 2? ? 1 1 = ? . 4 2(n + 1)( n + 2) =例8 已知数列{an }满足 a1 =a2 =1，an+2 =an+1 +an, Sn 为数列 ?? an ? 的前 n 项和，求证：Sn &2。 n ? ?2 ?①【证明】 因为 S n = 所以由递推公式可知，数列{an}前几项为 1，1，2，3，5，8，13。a 1 1 2 3 5 8 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +Λ + n ， 2 2 2 2 2 2 2na 1 1 2 3 5 S n = 2 + 3 + 4 + 5 + Λ + nn 1 。 2 2 2 2 2 2 +②1 1 1 ?1 1 a ? a S n = + 2 ? + 2 + Λ + n ? 2 ? ? nn 1 ， ?2 2 2 2 2 ? 2 n? 2 ? 2 + ? a 1 1 1 所以 S n = + S n ? 2 ? n n 1 。 2 2 4 2 + a 又因为 Sn -2&Sn 且 n n 1 &0, 2+ 1 1 1 1 1 所以 S n & + Sn, 所以 S n & ， 2 2 4 4 2由①-②得所以 Sn &2，得证。 4．特征方程法。 例 9 已知数列{an }满足 a1 =3, a2 =6, an+2 =4n+1 -4an，求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1 =x2=2. 故设 an=(α+βn)?2n -1，其中 ??3 = α + β ， ?6 = (α + 2β ) × 2所以α=3，β=0， 所以 an=3?2n-1 . 例 10 已知数列{an }满足 a1 =3, a2 =6, an+2 =2an+1 +3an ，求通项 an . 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1 =3, x2 =-1, 所以 an=α?3n+β?(-1)n ，其中 ? 解得α=?3 = 3α ? β ， ?6 = 9α + β3 3 ，β = ? ， 4 4 1 n +1 所以 a n = [3 + ( ?1) n +1 ?3]。 45．构造等差或等比数列。 例 11 【解】 正数列 a0, a1,…,an ,…满足 由 a n a n? 2 ?a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ? 2 =2an -1(n≥2)且 a0 =a1 =1，求通项。 an a ? 2 n ?1 =1， an ?1 a n? 2a n ?1 a n ? 2 = 2a n ?1 得即? a ? an + 1 = 2? n ?1 + 1?. ? an ?2 ? an ?1 ? ?令 bn=an a1 +1，则{bn}是首项为 +1=2，公比为 2 的等比数列， an ?1 a0 an a +1=2n，所以 n =（2n -1）2 ， an ?1 an ?1n an a a a ? n ?1 … 2 ? 1 ?a0= ∏ (2 k ? 1) 2 . an ?1 a n ? 2 a1 a0 k =1所以 bn= 所以 an=n注：∏Ci =1i= C1 ?C2?…?C n.2 xn + 2 ,n∈N+ , 求通项。 2xn例 12 【解】已知数列{xn }满足 x1 =2, xn +1= 考虑函数 f(x)=x2 + 2 x2 + 2 的不动点，由 =x 得 x = ± 2. 2x 2x因为 x1=2, xn +1 =2 xn + 2 ,可知{x n}的每项均为正数。 2 xn2 又 x n +2≥ 2 2 x n ，所以 xn +1≥2 (n≥1)。又①X n+1 - 2 =2 xn + 2 ( x ? 2) 2 ? 2= n , 2 xn 2 xnX n+1 + 2 =2 xn + 2 ( x + 2) 2 , + 2= n 2 xn 2 xn 2②x ? 2 ? xn ? 2 ? 由①÷②得 n +1 =? ? 。 xn +1 + 2 ? x n + 2 ? ? ? x1 ? 2又 &0，③x1 + 2由③可知对任意 n∈N+，xn ? 2 xn + 2&0 且 lg ?? x n +1 ? 2 ? ? xn ? 2 ? ? = 2 lg ? ?, ? x n +1 + 2 ? ? xn + 2 ? ? ? ? ?所以 lg ?? xn ? 2 ? ?2 ? 2 ? ? 是首项为 lg ? ? ，公比为 2 的等比数列。 ? xn + 2 ? ?2 + 2 ? ? ?所以 lgxn ? 2 xn + 22?=2n ?1?2 ? 2 ? xn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? lg ? =? ? ，所以 ? xn + 2 ? 2 + 2 ? ?2 + 2 ?2 n ?1 2 n ?12 n ?1，解得 x n =(2 + 2 ) (2 + 2 )+ (2 ? 2) ? (2 ? 2)2 n ?1 2 n ?1。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题 1． 数列{xn}满足 x1=2, xn +1 =Sn +(n+1)，其中 Sn 为{xn}前 n 项和，当 n≥2 时，xn=_________.2 xn 1 ，xn +1= ,则{xn }的通项 xn =_________. 2 3 xn + 2 1 3. 数列{xn }满足 x1 =1，xn = x n ?1 +2n-1(n≥2)，则{xn }的通项 xn =_________. 22. 数列{xn }满足 x1 = 4. 5. 6. 7. 等差数列{an }满足 3a8 =5a13，且 a1 &0, Sn 为前 n 项之和，则当 Sn 最大时，n=_________. 等比数列{an }前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10，S30=70，则 S40=_________. 数列{xn }满足 xn +1 =x n-xn -1(n≥2)，x 1=a, x2 =b, Sn=x1 +x2+…+ xn，则 S100=_________. 数列{an }中，Sn =a1+a2 +…+an =n2-4n+1 则|a1 |+|a2 |+…+|a10|=_________.x3 xn x1 x2 = = =Λ = ，并且 x1+x2 +…+ xn =8，则 x1=_________. x1 + 1 x 2 + 3 x3 + 5 xn + 2n ? 1 S a 2n 9. 等差数列{an }，{bn }的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ，若 n = ，则 lim n =_________. n →∞ b Tn 3n + 1 n8. 若n2 + n + 1 10. 若 n!=n(n-1)…2?1, 则 ∑ ( ?1) =_________. n! n =12007n11．若{an }是无穷等比数列，an 为正整数，且满足 a5+a6 =48, log2a2 ?log2 a3 + log2a2 ?log2a5 +log2a2 ?log2a6 + log2 a5?log2 a6=36，求 ??1? ? 的通项。 ? an ?n12． 已知 数 列{an}是公差不为零的等差数列， 数列{ a b }是公比为 q 的等比数列， b1 =1, b2=5, 且b3 =17, 求 ： （1）q 的 值 ； （2）数列{bn }的前 n 项和 Sn。四、高考水平训练题? 1 ?x + 2 ? ? 1．已知函数 f(x)= ?2 x ? 1 ? ?x ?1 ? ?1? ? ?x ≤ ? 2? ? 7 ?1 ? ? & x & 1? ，若数列{an}满足 a1= ，an +1=f(an)(n∈N+)， 3 ?2 ? ( x ≥ 1)则 a2006=_____________. 2．已知数列{an}满足 a1=1, an =a1 +2a2+3a3 +…+(n-1)an-1 (n≥2)，则{an}的通项an = ??1 ?( n = 1) . ( n ≥ 2) 1 , 前 n 项和为 Sn , 且 210S30-（210+1）S20+S10=0，则 23. 若 an =n2 + λ n , 且{an}是递增数列，则实数 λ 的取值范围是__________. 4. 设正项等比数列{an }的首项 a1 =an =_____________.5. 已知 lim3n 1 = ，则 a 的取值范围是______________. n +1 n n →∞ 3 + ( a ? 1) 36．数列{an}满足 an+1 =3an+n(n ∈N+ ) ，存在_________个 a1 值，使{an }成等差数列；存在 ________个 a1 值，使{an }成等比数列。 7．已知 a n =n ? 401 (n ∈N +)，则在数列{an }的前 50 项中，最大项与最小项分别是 n ? 402____________. 8．有 4 个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数 的和中 16，第二个数与第三个数的和是 12，则这四个数分别为____________. 9. 设{an }是由正数组成的数列，对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中 项，则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中，最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11．已知数列{an }中，an ≠ 0，求证：数列{an }成等差数列的充要条件是1 1 1 1 1 （n≥2）①恒成立。 + + +Λ + = a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 an an +1 a1 an +1 bn ?1 12．已知数列{an}和{bn}中有 an =an-1 bn, bn= (n≥2), 当 a1 =p, b1=q(p&0, q&0)且 p+q=1 2 1 ? an ?1 a 时， （1）求证：an &0, bn &0 且 an+bn =1（n∈N）； 2）求证：an +1= n ； 3）求数列 （ （ an +1 lim bn .n →∞13．是否存在常数 a, b, c，使题设等式 1?22 +2?32 +…+n?(n+1)2=n( n + 1) 2 (an +bn+c ) 12对于一切自然数 n 都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项和为 972 ，这样的数列共 有_________个。 2．设数列{xn}满足 x1=1, x n=4 xn ?1 + 2 ，则通项 xn=__________. 2 xn ?1 + 72 5 3. 设数列{an }满足 a1 =3, an &0，且 3an = a n?1 ，则通项 an =__________. 4. 已知数列 a0 , a1, a2 , …, an , …满足关系式(3-an+1 )?(6+an)=18，且 a0=3，则n∑ai= 01i=__________.5. 等比数列 a+log23, a+log4 3, a+log8 3 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4，其首项