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江苏省扬州市2015年高考数学三模试卷【解析】
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江苏省扬州市2015年高考数学三模试卷【解析】
官方公共微信2013年高考最后一卷(三)；【热点梳理与押题预测】本套试卷注重对基础知识、基；【测试评价与备考策略】本套试卷与2012年湖北卷；1.解题探究:本题主要考查复数的四则运算,属于基；2??；2=；21+i；+(1+i)2=1-i+2i=1+i,选D.；2.解析:A由正态分布的性质可知P(X≤0)=P；3.解题探究:等差数列和等比数列的基本运算是高考；??1,n
2013年高考最后一卷(三)
【热点梳理与押题预测】 本套试卷注重对基础知识、基本方法、基本技能及数学通性通法的考查,同时注重对考生分析问题、解决问题的能力的考查.2013年湖北省的高考命题估计会延续2012年的命题风格,试卷难度适中,有良好的区分度,题目的设计“少陷阱留平实,少交汇显自然”,淡化压轴.笔者认为其命题趋势将呈现以下几个特点:(1)注重基础的考查不会变;(2)注重主干知识的考查不会变,三角函数、立体几何、数列、概率与统计、圆锥曲线、函数与导数等主干知识的考查仍然是考查的热点;(3)注重能力的考查不会变,如逻辑思维能力、空间想象能力和抽象概括能力,其中部分试题以函数的性质为依托,巧妙结合了数形结合、分类讨论的思想,对考生的思维水平要求较高,体现了较高的区分度.试题源于教材,而又高于教材,有利于考查考生对数学知识和数学思想方法的把握,这个特点也会反映在2013年的高考中.
【测试评价与备考策略】 本套试卷与2012年湖北卷试题难度大致相当,在考查基础知识的同时,注重能力测试,有一定量的创新题型,知识点覆盖较全面,考点设置合理,区分度较好.通过测试也反映出了一些问题,如:(1)基础知识掌握不牢,不能准确进行知识迁移造成错误;(2)计算能力薄弱,部分学生总在计算上出现问题,因此要加强计算的准确性与速度的训练;(3)空间想象能力薄弱,例如三视图试题、立体几何题;(4)解答题审题粗糙,不能准确把握题目实质,解答过程不规范,不能有效地得到步骤分.在今后的复习备考中,首先要回归课本,以课本上的典型例题、习题为本,加强基础知识和基本概念的复习与运算能力的提高;其次是加强解题方法的训练,学会选取最佳解题途径,优化解题步骤,积累解题的思维方法,进而促进解题能力的不断提高.
1.解题探究:本题主要考查复数的四则运算,属于基础题. 解析:D
+(1+i)2=1-i+2i=1+i,选D.
2.解析:A 由正态分布的性质可知P(X≤0)=P(X≥2),所以a-2=2,故a=4,选A.
3.解题探究:等差数列和等比数列的基本运算是高考经常考查的重点,本题根据数列的前n项和求解通项公式,渗透等差数列和等比数列的定义,体现了基本知识的应用,同时也体现了分类讨论的思想,对能力要求较高,应予以重视.
,即an= ??-1,??=1当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,解析:C ∵Sn=an-1(a≠0),∴an= .
??-1????-????-1,n≥2(??-1)??,n≥2数列{an}是一个等比数列.
4.解题探究:本题主要考查三视图知识,考查考生的空间想象能力,正确作出该几何体的直观图是解决本题的关键.
解析:B 根据所给的正视图以及俯视图可知,该几何体的直观图是长方体ABCD-A'B'C'D'截去三棱锥B'-ABE所余下的部分,如图中AECD-A'B'C'D'所示,所以可知其侧视图如B选项所示,选B.
5.解题探究:本题主要考查二项式定理、二项式通项公式以及充要关系的判定.求解时要注意到二项式的两项中x的次数关系. 解析:B 令k=1,则n=2,此时( ( 2=x+3+不含常数项,所以可知条件不具有充分性;因为??2与??2的次数之比为1∶3,所以二项式
n展开式中含常数项时,只有n=4k(k∈N*),可以得出n=2k(k∈N*),条件具有必要性,所以条件是结论的必要不充分条件.
6.解题探究:本题主要考查程序框图的填充,解决程序框图题的一般方法是写出每一次循环的结果,分析变量的变化情况. 解析:A 由程序框图可知,循环结果依次为: S=1+1=2,i=2,不满足条件,继续循环; S=2+2=4,i=3,不满足条件,继续循环; S=4+3=7,i=4,不满足条件,继续循环; S=7+4=11,i=5,不满足条件,继续循环;
S=11+5=16,i=6,此时满足条件,跳出循环,输出S=16,i=6满足i≥6或i&5,选A.
7.解题探究:区域Ω是一个半圆形区域,直线y=mx+2m是斜率为m且过定点(-2,0)的直线,
画出图形即可得出区域M的形状
然后根据几何概型的计算公式即可求出m的取值范围.
解析:D 如图所示,根据题意有m≥0.又P(M)∈[时m=0.故0≤m≤1.故选D.
根据几何概型的意义,弓形的面积最小为π-2,此时m=1;弓形的面积最大为2π,此
8.解题探究:本题主要考查基本不等式、对数函数等知识,综合性强,对考生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力要求较高. 解析:B 由题意知,a2+b2=c2,又因为f(a)=ln a,f(b)=ln b,f(c)=ln c,故ln a+ln b&ln c,即ab&c,a2b2&c2=a2+b2,所以又a,b∈(M,+∞),即
a&M,b&M,故+&
2??1,即M≥ .故M的最小值为
9.解题探究:本题考查线性规划及不等式组中参数的求解.解题时,作出不等式组所表示的平面区域,根据已知平面区域的边界是一个直角三角形不难求解出参数的取值.
??≥0解析:D 先作出不等式组 对应的区域如图中阴影部分所示.因为直线l:kx-y+1=0过定点(0,1),且不等式kx-y+1≥0表示的区域在
??≥??直线l的下方,所以要使所表示的平面区域的边界是直角三角形,则有直线l与x=0垂直或直线l与y=x垂直,所以有k=0或k=-1. 10.解题探究:本题主要考查函数零点的判断方法、函数求导等,考查数形结合、化归转化的数学思想以及考生分析问题、解决问题的能力.
解析:D 令g(x)=xln x,h(x)=a,则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点.由g'(x)=ln x+1,令g'(x)&0,即ln x&-1,可解得0&x&e1
令g'(x)&0,即ln x&-1,可解得x&,所以,当0&x&时,函数g(x)单调递减;当x&,函数g(x)单调递增,由此可知当x=,g(x)min=-作出
函数g(x)和h(x)的简图,据图可得-&a&0.
11.解题探究:本题考查集合的基本运算,注意理解集合A、B所表示的含义,其中A是绝对值不等式的解集,B是二次函数在有界闭区间上的值域.
解析:[-4,-2) 依题意知,A=[-2,2],B=[-4,0],所以(?RA)∩B=[-4,-2).
12.解题探究:本题考查分步计数原理及两个元素相邻的排列方法,注意排列过程中的相邻问题一般利用捆绑法来解决,不要忽略被捆绑的元素之间还需进行排列.
解析:96 由题意知,程序A只能出现在第一步或最后一步,所以从第一个和最后一个位置中选一个位置把A排列,有A22=2种结果.因
2为程序B和C实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,与除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有A44A2=48
种结果,根据分步计数原理可知共有2×48=96种结果.
13.解题探究:本题考查向量的基本运算、三角函数的性质与最值,建立直角坐标系,将向量问题转化成三角函数最值问题是解题的关键.
3sin??+3sin??+2cos??
-1(0≤θ≤)
(1)以A为坐标原点,以射线AB,AD为x轴,y轴正半轴建立直角坐标系,设正方形的边长为2,则
2=??+2??cos??
,得(2,2)=λ(1,-2)+μ(2cos θ,2sin θ),即
+μ????A(0,0),E(1,0),C(2,2),D(0,2),P(2cos θ,2sin θ).由????,可得
2=-2??+2??sin??λ+μ=
3sin??+3sin??+2cos??
-1(0≤θ≤对λ+μ求导,得(λ+μ)'=(
π3sin??+3sin??+2cos??
6+6sin??-3cos??(sin??+2cos??)&0,所以λ+μ在[0,上单调递增,于是当θ=0时,λ+μ取最
小值,此时λ+μ=-1=
14.解题探究:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,属于直线与圆锥曲线位置关系问题中比较常见的面积最值问题和证明直线过定点问题,考查函数与方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大.
解析:4 (m,2) (1)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点,∵k1k2=-1,∴AB⊥CD.设AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由??=??(x-1)4??+????+??222 21得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=,y1y2=-4.∵M(1212),∴M(+1,同理,点N(2??1+1,-2k1),∴
??22????111??=4x
S△EMN=|EM|?|EN|= ()2+()2? (2??1)+(-2??1)2=2 ??1++2≥2 当且仅当??1=,即k1=±1时,△EMN的面积取最小
22????????
值4;(2)设AB的方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),由 M(同理,点N(+m,∴kMN=
??1??2??1+??2
??=??1(x-m)4??+????+??
得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=1y2=-4m,∵M(1212),∴2??122??=4x
1k2∴MN的方程为y-=k1k2[x-(即y=k1k2(x-m)+2,∴直线MN恒过定点(m,2).
15.解题探究:本题考查平面几何中圆的性质及应用和三角函数的计算.处理平面几何问题,要注意应用圆的有关定理,如直径所对的圆
周角是直角、射影定理等.
连接AC、BC,则AC⊥BC,设OA=R,由AD=3DB,得AD=R,BD=R,因为CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD?BD,所以CD=2
在Rt△ODC中,tan∠COD=tan θ=
16.解题探究:本题考查直线的极坐标方程和曲线的参数方程的相关知识,处理这类问题,一般是将极坐标方程和参数方程分别转化成直角坐标方程和普通方程.
??= 1,解得 ??=0或解析:(0,0) 依题意,直线的直角坐标方程为y= x,曲线的普通方程为y=2(x∈[-2,2]),联立方程 12
2??=0??=??,x∈[-2,2]
(舍去),所以点P的直角坐标为(0,0). ??=6
17.解题探究:本题主要考查正弦函数的图象及性质.(1)根据图象中所给特殊点的坐标容易得到函数解析式;(2)写出函数g(x)=f(x)-cos 2x的表达式并进行化简,利用正弦函数的性质求出最值. 解析:(1)由图可得A=1,∴T=π,ω=2.(3分)
362π??2πππ
当x=时,f(x)=1,可得+φ)=1,
即+φ=2kπ+∈Z,
∵|φ|&,∴φ=∴f(x)=sin(2x+分)
(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin(2x+ 2x=sin 2xcos +cos 2xsin
2x=sin 2x- 2x=sin(2x-).(9分)
∵0≤x≤∴-≤2x-≤.
当2x-,即x=0时,g(x)取得最小值为-分)
名师语要:高考对这部分知识的考查以三角恒等变换、三角函数的性质、解三角形为主,难度是中低档,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在三角函数求值问题中,一般运用恒等变换,将未知角变换为已知角进行求解;在研究三角函数的性质问题时,一般运用恒等变换,将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解;对于三角函数与解三角形结合的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理实现边角互化.
18.解题探究:(1)由数列的递推关系及整体思想将问题转化为bn+1与bn间的关系,由等比数列的概念进行分类讨论;(2)根据(1)的结论,将数列求和转化为分组求和. 解析:(1)由 2????+1an=kan-????+1,可得∴bn+1=
2????+1??????
????+1??-11
2????+12??????
??-1????????-1
首项b1=-若-若-423??-1423??-1
??1??-13??-1
=0,即k=,数列{-52
}为零数列,不成等比数列;
≠0,即k&0,k≠1且k≠,
,为公比的等比数列.
综上所述,当k=时,数列{bn}不成等比数列; 当k&0,k≠1且k≠,数列{bn}是等比数列.(6分)
(2)当k=3时,数列{bn}是以为首项,.
∴bn=(n,即-1=()n,∴n,
∴Sn+…=(1+2+…2…??.(9分)
记Tn2…?? ①,
则Tn… ②,
两式相减得Tn=++…+,
??(??+1)33+2??
×3-n.(12分)
链接高考:高考对数列的考查主要是以等差数列、等比数列、数列求和问题为主.本题主要是依据两个基本数列及其求和的基本方法
进行命题,第(1)问考查等比数列的概念;第(2)问题考查等比数列的通项、数列求和的主要方法(公式法、错位相减法).
19.解题探究:本题考查离散型随机变量的分布列、期望,考查复杂事件求概率,考查了转化与化归、函数方程、必然与偶然的数学思想,锻炼学生从实际生活现象中抽象中数学本质的能力.(1)利用期望与分布列的知识联立方程组求解;(2)先求出A完成第1,2,3关测试的概率,再利用相互独立事件同时发生的概率公式求解至少进入第4关的概率. 解析:(1)由题意知Eξ=+3m+4n,可得3m+4n=,
又由可得m+n=,故m= (5分)
(2)用Gi(i=1,2,3,4)表示事件:“A完成第i关测试”,由(1)可得P(G1)=1-因为P(ξ=2)=P(G1???2)=P(G1)P(??2)=×P(??2)=,(7分)
所以P(2,P(G2)=1-,
因为P(ξ=3)=P(G1?G2?3)=P(G1)P(G2)P(3P(3,
所以P(3,P(G3)=1-.(10分)
设事件N表示:“A至少进入第4关测试”,这也就是表示A完成了第1关、第2关和第3关,所以P(N)=P(G1?G2?G3)=P(G1)P(G2)?P(G3)=
故完成第3关的概率和至少进入第4关的概率分别为分)
方法提升:湖北高考的概率统计试题注重创新,主要考查事件的概率.求解此类问题的关键是对事件进行准确的定性,这是解题的难点所在,本题特别注意这一点的考查,求解时多体会命题者的用意.
20.解题探究:本题主要考查了空间线面位置关系以及二面角的求解.(1)将证明线面平行转化为证明线线平行;(2)对于本小问可以用两种方法来求,向量法思维量较小,但要注意准确写出向量坐标. 解析:(1)过点Q作QD⊥BC于点D,
∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC,(2分) 又∵PA⊥平面ABC,∴QD∥PA,又∵QD?平面QBC, ∴PA∥平面QBC.(4分)
(2)解法一 ∵PA⊥平面ABC,∴∠PAC=∠PAB=90°,又∵PA=PA,AB=AC. ∴△PAC≌△PAB,∴PC=PB, ∵PQ⊥平面QBC, ∴∠PQB=∠PQC=90°, 又∵PB=PC,PQ=PQ,
∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ,
∴点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC, ∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD, ∴四边形PADQ是矩形.(6分) 设PA=2a,
a,∴BQ= a, 过点Q作QR⊥PB于点R, ∴????22
取PB的中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN, ∵PR=PB=PA,∴MA∥RN, (9分)
∵PA=AB,∴AM⊥PB,∴RN⊥PB,
∴∠QRN为二面角Q-PB-A的平面角.(10分)
连接QN,则QN== 2??= a,又∵RN=∴cos∠QRN=
????2+R??2-Q??2
2?????????
即二面角Q-PB-A的余弦值为-.
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