结合函数图象解决行程问题——数形结合思想在一次函数中的应用--《初中数学教与学》2015年10期
结合函数图象解决行程问题——数形结合思想在一次函数中的应用
【摘要】：正学函数要掌握好函数的图象和性质,并能利用函数图象解决实际应用问题,从而真正体会到数形结合在解决问题中的具体应用.下面剖析几个实例,以期帮助同学们清楚地认识到这一点.例1已知:如图1,A、B两地相距4千米,上午8:00,甲从A地出发步行到B地,8:20乙从B地出发骑自行车到A地,甲、乙两人离A地的距离(千米)与所用的时间(分)之间的关系如图所示.由图中的信息可知,乙到达A
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
学函数要掌握好函数的图象和性质,并能利用函数图象解决实际应用问题,从而真正体会到数形结合在解决问题中的具体应用.下面剖析几个实例,以期帮助同学们清楚地认识到这一点.例1已知:如图1,A、B两地相距4千米,上午8:00,甲从A地出发步行到B地,8:20乙从B地出发骑自行车到A地,甲、
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&&&&&&& 在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.
&&&&&&& 一、&面积型
&&&&&&& 根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.
&&&&&&& 例1.&求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.
&&&&&&& 【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.
&&&&&&& &&
&&&&&&& 所以交点C的坐标为（5，13）
&&&&&&& 因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以&AB=3-（-2）=5.又CD&=5,所以& .
&&&&&&& 【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.
&&&&&&& 例2.&一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴
&&&&&&& 围成三角形的面积为4，求直线的解析式.
&&&&&&& 【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.
&&&&&&& 【解】& 设解析式为y=kx+b（k&0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：&&&&&&&&&&
&&&&&&& 当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；
&&&&&&& 当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；
&&&&&&& 当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；
&&&&&&& 当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；
&&&&&&& 综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4
&&&&&&& 【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.
&&&&&&& 二、不等式型
&&&&&&& 例3.&作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：
&&&&&&& （1）&x取何值时，x+3＞0；
&&&&&&& （2）&x取何值时，x+3＜0；
&&&&&&& （3）&x取何值时，x+3＞1；&&&&
&&&&&&& 【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.
&&&&&&& 【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.
&&&&&&& （1）&当x＞-3时，x+3＞0；
&&&&&&& （2）&当x＜-3时，x+3＜0；
&&&&&&& （3）&当x＞-2时，x+3＞1.
&&&&&&& 【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的&三部曲&.
&&&&&&& 例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4&x&-2相应函数值的范围是4&y&6求此函数的解析式.
&&&&&&& 【思路分析】一次函数y=kx+b（k&0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4&x&-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.
&&&&&&& 【解】对k的值分两种情况进行讨论；
&&&&&&& （1）&当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因
&&&&&&& 此，一定是当x=4时，y=4；当x=2时，y=6故得：y=x+8
&&&&&&& （2）&当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=4时，y=6；x=2时，y=4，于是得y=x+2.
&&&&&&& 综合上述两种情况，符合条件的解析式为：
&&&&&&& y=x+8或yx+2
&&&&&&& 【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.
&&&&&&& 三．实际应用型
&&&&&&& 我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.
&&&&&&& 例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.
&&&&&&& （1）&试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
&&&&&&& （2）&在同一坐标系中画出y1、y2的图像；
&&&&&&& （3）&根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
&&&&&&& 【思路点拨】&选择&是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.
&&&&&&& （1）&由题意很容易得出y1=0.3x+15（x&0）；y2=0.6x（x&0）；
&&&&&&& （2）&y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；
&&&&&&& （3）&由图像可知：
&&&&&&& 当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；
&&&&&&& 当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；
&&&&&&& 当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，
&&&&&&& 【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.
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您的邮件地址:第4讲利用数形结合思想求解；一、方法技巧；1.数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对；2数形结合的思想，其应用大致可以分为两种情形：；一是“数”中构“形”，用形解决数的问题，常见于借；二是“形”中觅“数”，用数解决形的问题，常见于运；3.数形结合思想在初中数学中应用非常广泛，本讲主；（1）借助函数图像求解方程（组）、不等式（组）；；（2）借助数轴化简绝
第4讲 利用数形结合思想求解
一、方法技巧
1. 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化；通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。
2 数形结合的思想，其应用大致可以分为两种情形：
一是“数”中构“形”，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题，可使代数问题几何化，
二是“形”中觅“数”，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题，可使几何问题代数化.
3. 数形结合思想在初中数学中应用非常广泛，本讲主要讲解：
（1）借助函数图像求解方程（组）、不等式（组）；
（2）借助数轴化简绝对值；
（3）构造数学模型解实际问题
二、应用举例
借助函数图像求解方程（组）、不等式（组）
（一）借助一次函数图象求解
【例题1】（2015?辽阳）如图，直线y??x?2与y?ax?b（a?0且a，b为常数）的交点坐标为（3，1），则关于x的不等式?x?2?ax?b的解集为（
试题分析：
函数y??x?2与y?ax?b（a?0且a，b为常数）的交点坐标为（3，1）
，求不定式
?x?2?ax?b的解集，就是看函数在什么范围内y??x?2的图象对应的点在函数y?ax?b的图象上面.
试题解析：
解：从图象得到，当x≤3时，y??x?2的图象对应的点在函数y?ax?b的图象上面，∴不等式?x?2?ax?b的解集为x≤3．
考点：一次函数与一元一次不等式．
点评：本题考查了一次函数与不等式（组）关系及数形结合思想的运用.解决此题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合.
【难度】较易
（二）借助一次函数与反比例函数图象求解
【例题2】 （2015?营口）如图，在平面直角坐标系中，A（－3，1），以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1?k1在第一象限内的图象经过点B，设直线AB的解析x
式为y2?k2x?b，当y1?y2时，x的取值范围是（
B．0?x?1或x??5
D．0?x?1或x??6
试题分析：
由△AOB是等腰直角三角形，先求B点坐标，然后利用待定系数法可求双曲线和直线的解析式，然后将y1?153与y2?x2?联立，求得双曲线与直线交点的横坐标，然后根据图22x1
像即可确定出x的取值范围.
试题解析：
解：如图所示：
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA?OB,?3??2?90?，
又∵?1??3?90?，
∵点A的坐标为（-3,1），
∴点B的坐标为（1,3），
将B（1,3）代入反比例函数的解析式得：3?
∴k=3， ∴y1?k， 13， x
将A（-3,1），B（1,3）代入直线AB的解析式得：???3k2?b?1， ?k2?b?3
1?k???22解得：?， 5?b???2
∴直线AB的解析式为y2?15x?, 22
?y??315?将y1?与y2?x?联立得：?x22?y???
解得：x1?1，x2??6， 3x， 15x?22
当y1＞y2时，双曲线位于直线上方，
∴x的取值范围是：x＜-6或0＜x＜1.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，
求得双曲线和直线的交点坐标是
解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数角度看，y1＞y2就是双曲线
315位于直线y2?x?上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度看，y1＞y2x22
315就是求不等式＞x?的解集. x22y1?【难度】一般
【例题3】如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y?k2相交于A（1，2），B（m，－1）两点． x
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x?b?
【答案】（1）y＝x＋1
y?k2的解集． x2（2）y2＜y1＜y3
（3）x＞1或－2＜x＜0 x
试题分析：
（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式。
（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式：
∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，
∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，
则y2＞y3＞y1。
（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集.
试题解析：
k2经过点A（1，2）， x
2∴k2＝2，∴双曲线的解析式为y?． x
2∵点B（m，－1）在双曲线y?上，
x解：（1）∵双曲线y?
∴m＝－2，则B（－2，－1）．
由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，
得??k1?b?2,?k1?1解得：?,
?2k?b??1.b?1??1
∴直线的解析式为y＝x＋1．
（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，
∴y2＜y1＜0．
又∵y3是正数，故y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
（3）由A（1,2），B（-2,-1）， 当k1x?b?k2，即y1＞y2时， x
利用函数图像可知直线在双曲线上方的横坐标即为所求，
∴x＞1或－2＜x＜0．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系.
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【难度】一般
（三）借助二次函数图象求解
2【例题4】（2016?钦州）二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，若点A（1，y1），B（2，
y2）是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是 （
D．不能确定
试题分析：
利用二次函数性质即可解答.
试题解析：
解：观察二次函数的图形可知：当x＞-3时，y随着x的增大而减小，
∵点A（1，y1），B（2，y2）是图象上的两点，2＞1，
∴y1＞y2，
考点：二次函数图象的性质．
点评：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，
学会比较图像上点的坐标的大小是解本题
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谈数形结合思想在一次函数中的应用
【摘要】：正著名的数学家华罗庚说过:"数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事非."数形结合的中心思想就是把问题的数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来解决问题.一次函数是反映数量关系和变化规律的数学模型,是初中数学最基本和简单的一种函数.学习一次函数就要学会运用待定系数法、数形结合法思想(由数到形,将条件直观化;由形到数,寻求等
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