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《初中计算问题的思考》
首先咱们谈一谈初一数学的重要性：
　　可以毫不夸张的说初一是初中三年打基础的一年，掌握好各种运算本领和计算能力对孩子今后学习代数式运算、函数计算以至于高中的学习都至关重要。
　　初中数学是一个整体，初二的难点最多，初三的考点最多。相对而言，初一数学知识点虽然很多，但都比较简单。很多同学在学校里的学习中感受不到压力，慢慢积累了很多小问题，这些问题在进入初二，遇到困难（如学科的增加、难度的加深）后，就凸现出来。
　　现在很多名校的孩子到了初二，有一部分新同学因为对初一数学不够重视，慢慢的发现跟不上老师的进度，感觉学习数学越来越吃力，我们分析出的主要原因是对初一数学的基础性重视不够。我们这里先列举一下在初一数学学习中经常出现的几个问题：
　　1、对知识点的理解停留在一知半解的层次上；
　　2、解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力；
　　3、解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题；
　　4、解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏；
　　5、未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点；
　　以上这些问题如果在初一阶段不能很好的解决，在初二的两极分化阶段，同学们可能就会出现成绩的滑坡的现象。相反，如果能够打好初一数学基础，初二的学习只会是在知识点上和难度上的增加，在学习方法上同学们是很容易适应的。在中考越来越重视“坚韧的计算毅力”的背景下，由于计算能力对初一的重要性，因此一定要引起家长们的重视，以便在中考中不出现“瘸腿”的现象。
　　综上所述，要想学好数学，在初一阶段必须打下良好的基础！
　　接下来，咱们来说说一下初一数学的计算怎样来学好？
　　刚升入初中的孩子，学习的第一部分内容就是有理数，发现孩子出现了很大的计算问题，也有家长不断说孩子的计算老出现问题，归纳起来问题主要是这么几个方面：
　　1.计算速度太慢。很多孩子在进行有理数计算的时候，计算速度非常慢，很简单的几道题目需要很长时间，究其原因主要是基本运算法则不熟悉、计算技巧没有掌握。
　　2.计算准确率过低。同学们，你们觉得计算准确率要达到多少才算合格？99%算不算高？100道题我只算错了一道，看起来不错，但是通常一张试卷中会涉及有成百上千个计算。那么你这张试卷还能得到高分吗？？答案可想而知，不能！！！只有当你的计算保证100%正确时，你才有希望拿到高分。这是一个困扰着家长和孩子的大问题，算了半天结果算错了，自己检查可能还查不出错误。这里面包含着孩子从小学带上来的计算和做题习惯的问题，当然也有对不同计算法则的混淆、基本计算概念的不清晰(比如去括号的顺序、运算级别的顺序等)。还有就是使用方法笨拙，没有看出简单的计算方法，导致计算量徒然增大，降低准确率。
　　3.计算方法笨。其实这一点在前两点里都有体现，计算方法笨导致计算的速度慢、准确率低。主要体现在不会使用简便方法，不能熟练运用凑整、裂项、错位等运算技巧。
　　总结起来主要原因是计算法则掌握不牢、计算习惯不好、计算方法和技巧不了解或者不能熟练运用，没达到一定的训练量。解决的办法主要是下面几个：
　　1.&&巩固基本计算法则。这是前提工作，如果连运算法则都糊里糊涂的话那基本上就没戏了，如果你连“游戏规则”都不清楚，更别谈计算的准确率和速度了。
　　2．善于自省，培养良好的计算习惯。计算题做错了的，你必须深刻自省，为什么这道题我会算错？错在哪里？是我的运算法则没弄清楚还是粗心大意把符号搞错了？找到原因之后用文字语言在错题旁边把你所犯的错误描述出来。只有深刻反省后你才会避免犯同类的错误，否则盲目的计算训练只会打击你学习数学的信心与热情。
　　3.&&熟练掌握计算规律和技巧。掌握计算习惯和基本知识对于初中生的计算来说还是远远不够的，平时还应该加强计算技巧的训练，特别是一些典型的计算技巧。在期中、期末考试的难题、附加题中甚至中考的技巧性运算里都会出现。
　　4.&&每天坚持练习计算半小时。要想提高你的计算能力，没有相当的训练量是没用的，俗话说熟能生巧，计算题做多了你也就轻车熟路了。
那么，现在问题来了，做什么练习题呢？
海边，整理了有理数的加减运算、有理数的乘除运算、有理数的混合运算三个板块的题目，每部分20道题目。题目供有需要的家长下载，帮助孩子突破计算问题。
点击附件下载吧：）
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有理数乘除运算1、2题答案更正
傅博宇，昵称 Leo，海边资深研究员，专注研究教学和家庭教育。敬请关注我的个人日志：http://user.qzone.qq.com/
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<font color="#ff初二计算能力PK赛
孩子做题老粗心，怎么办？孩子做作业速度慢，怎么办？孩子学习因式分解、分式、函数综合很吃力，怎么办？
比赛宗旨：1、计算能力是数学能力的重要组成部分，算得快、算得准是考试考高分的关键2、以活动形式促使初二孩子关注自身的计算情况3、帮助初二孩子提高计算能力
比赛时间：
第一场：4月25日（周六）下午 15:30—17:00
第二场：4月26日（周日）上午 09:00—10:30
（孩子根据个人周末安排，只需选择一场参与即可，两场内容一样）
比赛内容：实数运算、整式运算、分式运算、根式运算（中考标准）
比赛地点：海边平台，在线答题，实现数据记录与分析
报名方式：海边
比赛方式：在海边系统上答题，题目是单项选择题，从2个答案到4个答案不等。系统将自动统计每个学生的答案是否正确。比赛共40道题，每道题目时间从2分钟到5分钟不等。做题时，每道题提交答案之后就没有修改机会。
比赛结束后，在<font color="#ff日至4月30日，还可参与计算技巧分享直播课，讲方法，练习，点评，计算必须满分！（只要报名本计算比赛，系统将自动给孩子添加计算直播课表）
计算练习资料样本
（下载附件）
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成绩评定：根据题目的正确情况进行评定。如果正确题数一样，则依据做题总时间进行排名。如果正确情况和做题时间都一样，则产生并列奖。比赛结果4月27日（周一）公布。
奖项设置：所有参加比赛的小伙伴，都将获得一份答题数据学习报告。初二数学套餐学员，辅导老师还会给与指导，提供额外针对性练习，帮助孩子在后续学习中提高计算能力。
一等奖：1名，个人漫画肖像一幅+Leo的高中计算器+额外300贝壳二等奖：3名，海边全套明信片+ 额外200贝壳
三等奖：6名，海边推荐的科普读物（老师有手写寄语哦）+ 额外100贝壳参与奖：每位参与者都将获得贝壳的奖励
参加方法：报名之后，在比赛时间开始前进入教室，即可参加比赛，请确保网络畅通。比赛结束之后即可离场，比赛结果4月27日（周一）公布。
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<em id="authorposton15-4-23 21:25
Powered by中学生提高数学考试解题速度必备6大技巧中学生提高数学考试解题速度必备6大技巧智彩数学百家号在大家考试期间，经常会因为时间分配不均导致检查没时间，错题率因此上涨不少。遇到这种情况，大家要学会在接下来的考试中“吃一堑，长一智”，那如何确保自己的解题速度保持在正常轨道上呢？跟着我们的脚步一起来看看。1、用“基础知识”来解决实际问题。解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，大家不能够为了解题而解题。解题的目的是检查学生是否吸收了教科书上的知识点，是否深刻理解了其中的概念、定理、公式和规则，能否利用这些概念、定理、公式和规则解决实际问题。解题时，我们越熟悉基础知识，解题速度就会越快。因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别基础的书本内容，正确理解其中本质，接着马上运用到做题上，就做章节后附带的练习，一刻也别停。2、理清核心题型的核心解法。解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。否则，走了弯路就多花了时间。3、认真做好归纳总结。当你的做题数量达到一定的高度时，就要学会对试题中所设计中在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，这样才能达到举一反三、触类旁通的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。4、解题注意先易后难。人们认识事物的过程都是从简单到复杂。简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。养成了习惯，遇到一般的难题，同样可以保持较高的解题速度。有些学生不太重视这些基本的、简单的习题，认为没有必要花费时间去解这些简单的习题，结果是概念不清，公式、定理及解题步骤不熟，遇到稍难一些的题，就束手无策，解题速度就更不用说了。5、认真、仔细地审题。对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。读题一旦结束，哪些是已知条件？求解的结论是什么？还缺少哪些条件，可否从已知条件中推出？在你的脑海里，这些信息就应该已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以验证。有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。很多时候学生问问题的时候，老师和他一起读题，读到一半时，他说：“老师，我会了。”所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。6、学会绘图。画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。智彩数学总结：相信只要你掌握了这些方法，解题速度会在原来的基础上快好几倍。学习本身就是一个不断深化的过程，大家对所学内容越熟悉，思维也就越跳跃，更容易将局部与整体有机结合在一起，提升解题速度和质量。本文仅代表作者观点，不代表百度立场。系作者授权百家号发表，未经许可不得转载。智彩数学百家号最近更新：简介:专注数学思维训练体系作者最新文章相关文章1. 告诉学生，高考和中考也不可能改分数，就算批错了，这也是考试的一部分。在试卷上涂涂改改本身就会增加被批错的概率，要避免老师批错的话，写答案的时候就要尽可能的写清楚。跟足球比赛一样，要避免误判，你就把球踢进球门，压在门线上的事儿，误判了也就误判了，比赛结果不可更改。&br&&br&2. 既然家长都找你了，那你跟家长谈谈，让家长考虑一下是不是关注学生成绩的方式方法不对，才导致学生为了一次无关紧要考试的成绩而有这样大的压力。&br&&br&3. 这种涂改答案以后来找分的情况在美国大学里也常见，重要考试之后试卷通常要复印存档。不重要的考试每次复印太麻烦，所以批卷的时候，都在学生错误的地方用红笔划一道，在空白地方也划一道，避免涂改或添加结果之后来找分。&br&&br&4. 不明白某大V的逻辑，“一个成年人，如果坚持去和一个小孩子去计较谁对谁错，那最好别从事教育工作”。老师这个工作，就是要告诉小孩子什么是对的，什么是错的啊。老师的是非观不一定跟学生一致，学生也不一定要听老师的，但老师总不能明明感觉学生错了还不跟学生说吧。
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竟然有同学点赞啊&br&那我就完善一下答案&br&希望能帮助更多的人&br&&br&已经是第二次更新&br&希望大家都能进步！&br&&br&第三次更新&br&发两张当时的化学笔记&br&记得不好但是希望大家知道如何记化学笔记&br&&br&&br&稍作细节上的完善&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ffb73ea280288_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ffb73ea280288_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2c07d88e60d3c1bcb3e58f82d0a10b50_b.jpg& data-rawwidth=&2048& data-rawheight=&1536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2c07d88e60d3c1bcb3e58f82d0a10b50_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1e53eca9dc7b_b.jpg& data-rawwidth=&2048& data-rawheight=&1536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1e53eca9dc7b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7fea7e3be1c057c723c_b.jpg& data-rawwidth=&2048& data-rawheight=&1536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7fea7e3be1c057c723c_r.jpg&&&/figure&&br&以下正文&br&&br&首先阐明观点：&br&重点高中绝对不是遥不可及天方夜谭，&br&在看这个答案的你一定有这个实力。&br&但是如果不努力，你绝不可能考上。&br&&br&&br&各地中考考纲有所不同，请根据考试大纲进行复习内容的规划！&br&各地中考考纲有所不同，请根据考试大纲进行复习内容的规划！&br&各地中考考纲有所不同，请根据考试大纲进行复习内容的规划！&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-302ef1c73_b.jpg& data-rawwidth=&636& data-rawheight=&612& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&636& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-302ef1c73_r.jpg&&&/figure&&br&&br&【1】&br&语文请你根据当地中考考点进行复习&br&&br&基础部分：有的分是只要背了就能拿的比如文言文重点实词虚词解释 通假字 古诗古文默写等等 谁背谁拿分 很简单的道理 相当于白送的分你不要吗？&br&&br&默写的时候不要写连笔字！你眼里的潇洒在阅卷老师眼里就是难以辨别和零分！&br&&br&汉语拼音标音调位置不要模糊不清！&br&永远不要把汉语拼音写成英文字母！&br&&br&阅读理解和古诗文赏析： &br&有模板可以套！&br&有模板可以套！&br&有模板可以套！&br&&br&尤其是议论文和说明文 推荐找去年前年市内中考 一模二模 各个区模拟的阅读题和答案 对着不同的问题归纳模板 标准答案已经告诉你了能得分的答题格式&br&你为什么不照着用呢？&br&&br&举个例子&br&问：文中人物大槐有什么性格特点？请结合文章内容概括作答。&br&（这样的问题可以先点明性格再概括事件 用小数字标出 方便老师给分）&br&答：&br&1.性格开朗：和朋友们打成一片&br&
2.容易冲动：遇到xxx事后不能很好的控制自己的情绪&br&
3.执行力较弱：易三分钟热血&br&&br&另外大家要看分值答题 看分值答题 看分值答题！&br&&br& 不要两分的题答好几个点 不要抱着广撒网的心态 否则容易被老师给低分！&br&&br&要做一个枪枪精准的狙击手！&br&不是漫天扫射的机枪手！&br&&br&一定趁寒假准备几篇好作文 精心修改 流畅的背下来 多看看议论文优秀范文，积累论据。&br&&br&写议论文不要用论据代替论述！不是要你把故事写出来！你的论据老师可能看过无数次了！把论证和论据的比例调节好。&br&&br&不要抄袭，你承担不起这个风险！&br&不要抄袭，你承担不起这个风险！&br&不要抄袭，你承担不起这个风险！&br&&br&一定要练字 把字写好看了！&br&好看的字让你全卷多得五分你信不信！&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a487df5dd8d9b8baaab6d50b982de917_b.jpg& data-rawwidth=&198& data-rawheight=&172& class=&content_image& width=&198&&&/figure&&br&&br&【2】&br&数学&br&咱先把公式背牢了再说别的&br&一元二次方程求根公式咱都说不利索&br&我就问你怎么做题？&br&&br&圆的基本性质都模糊不清？&br&几何证明从何而起？&br&&br&公式背好了就从基础题开始做 &br&不要专盯偏难怪的题目&br&循序渐进！&br&一步登天是扯犊子！&br&&br&把每一道错题搞明白&br&你永远不想在考场上出现这样的情况：&br&哎呀卧槽这题我做过&br&但是我还是不会&br&是不是心情憋屈？&br&浪费时间 影响心情&br&&br&&br&一定要有错题本 &br&一定要有错题本 &br&一定要有错题本&br&&br&你记不住以前在什么地方摔了&br&怎么能避免下一次的跌倒？&br&&br&不懂就问老师 问同学
如果你在所谓面子上过意不去那你很难取得进步&br&把题搞会了才是真本事 &br&&br&只有基础不丢分才能为后面的大题做保障&br&基础到处扣分我就不信你全卷能拿高分&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cadb5d1b163cd307f4632d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cadb5d1b163cd307f4632d_r.jpg&&&/figure&&br&大题自己分析解题思路 归纳辅助线 规范答题步骤 把一步一步的写清楚 不要动辄省略步骤 作图以及辅助线描述要规范 字母写清楚&br&&br&把上两届的中考原题和市区模拟刷一遍&br&自己给自己掐时间 感受一下&br&一定要做整套卷子 让自己对时间的把把握心里有数&br&&br&另外&br&理科题目要学会放弃&br&不要碰到不会的了就停滞不前&br&后面还有广阔的天地等着你呢&br&（1）不会证你就看看（2）啊&br&干嘛要吊死在一棵书上？&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a6cd68d5b6_b.jpg& data-rawwidth=&119& data-rawheight=&112& class=&content_image& width=&119&&&/figure&&br&&br&【3】&br&英语&br&最简单粗暴的方式就是背单词 背课文&br&&br&我绝不相信一个小升初年纪第一的学生在把英语单词课文倒背如流的情况下英语不打高分&br&&br&在寒假就着几个重点作文话题准备几篇并且背下来 记几个好看的短语写作文用&br&&br&举几个例子：&br&把in my opinion换成from my perspective&br&把in the end换成eventually&br&把so换成therefore（用于句首后面加逗号）&br&把i think换成as far as i am concerned&br&把i like playing football换成i am fond of playing football&br&把thanks换成best gratitude&br&&br&等等有很多 但是千万不要通篇高级词组 那样就会弄巧成拙 过度装逼就是罪过&br&&br&也可以记下几个好的句型&br&适当使用从句给文章增色&br&&br&注意是适当使用&br&注意是适当使用&br&注意是适当使用&br&&br&假期要练字&br&假期要练字&br&假期要练字&br&练幼圆体！不是倾斜的手写体！&br&手写体整体好看但是读起来不顺！&br&你觉得老师会有时间一个单词一个单词给你辨别然后连成一句话在看作文？&br&naive！&br&幼圆体好看易读是最好的选择&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8c805042abb8cdc33158_b.jpg& data-rawwidth=&188& data-rawheight=&188& class=&content_image& width=&188&&&/figure&&br&【4】&br&物理&br&牢记各种公式以及导出公式的推导过程&br&计算题书写工整&br&该写公式就写公式&br&不要把各种单位丢下啊！&br&不要随心所欲的跳步骤！&br&你省略的步骤都是你白白扣掉得分！&br&&br&题目没告诉你g=10N/kg它就是9.8！&br&刻度尺分度值估读好好看啊兄弟！&br&电路图画的美观大方 该连上就连上 该断开就断开 不是画迷宫！&br&开关电阻灯泡S1 R1 L1写明白&br&不要脏兮兮的！&br&&br&把死知识背好 用习题量开拓思路&br&物态变化的简答就从现象到本质&br&蒸发凝固升华凝华&br&把得分点写出来！&br&不要洋洋洒洒一大面子得分的知识点不写上&br&那样做零分！&br&&br&要有错题本&br&要有错题本&br&要有错题本&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-58cd2b8005fdacd8b88e5b_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&301& class=&content_image& width=&392&&&/figure&&br&【5】&br&化学&br&最最最最基础的把化学方程式背牢&br&哥们你连个配平的化学计量数都记不下来咱们还做啥计算题？同样把课本上的基础熟练到张口就说&br&&br&空气中各气体含量是什么&br&问你硫在空气和纯氧中燃烧现象你就要直接想到淡蓝色火焰和明亮的蓝紫色火焰&br&问你空气污染物你就张口就来SO2 CO NO2 O3 可吸入颗粒物&br&酸碱盐 金属实验题注意归纳&br&&br&不要写错别字啊兄弟&br&NaOH怎么是苟性钠呢？&br&人家是苛性钠！&br&高猛酸钾？&br&猛个卵啊人家是锰Mn！&br&&br&气体箭头沉淀箭头反应条件错了都是没有分的！&br&&br&你要知道俗名和化学名称对应&br&生石灰CaO&br&熟石灰Ca（OH）2&br&大理石 石灰石CaCO3&br&烧碱火碱苛苛苛性钠NaOH&br&纯碱苏打Na2CO3&br&小苏打NaHCO3&br&胆矾蓝矾CuSO4-5H2O&br&明矾KAl（SO4）2-12H2O&br&&br&&br&你还得掌握各种装置用法 洗气瓶 干燥剂 长进短出 先点哪个酒精灯 如何尾气处理等等&br&你总要只要试管口略微向下倾斜的作用&br&你要知道H2点燃之前怎么验纯&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa2b7ac0a136c8beca12c_b.jpg& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&421& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa2b7ac0a136c8beca12c_r.jpg&&&/figure&&br&综上&br&敢于下功夫努力学习 假期绝对不能放&br&所有的学科都要以基础知识为起点逐步攻克 如果你现在觉得吃力请坚持下去 如果你三月份觉得没有起色请客观的分析自己的学习方法是否有问题 并且继续坚持努力 你的时间还充足 你要相信自己一定会成功&br&&br&没有走出中考考场之前 谁都不知道会发生什么 每个人的未来都是未知数&br&&br&暂时的没有起色不代表你不会在中考有优秀的成绩 不要让别人（有心机）的评价影响了你的学习与进步 ta可能就是想把你搞下去&br&&br&亲身经历&br&&br&共勉&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3ebd112e07f35becb4b39_b.jpg& data-rawwidth=&902& data-rawheight=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&902& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3ebd112e07f35becb4b39_r.jpg&&&/figure&&br&&br&同学，你看我打得这么辛苦&br&为什么不用你高贵的手指轻轻的点一下赞呢？&br&祝你考上理想的高中！&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fd6a87b0ccd2a4bffe9d6_b.jpg& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&700& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fd6a87b0ccd2a4bffe9d6_r.jpg&&&/figure&
竟然有同学点赞啊 那我就完善一下答案 希望能帮助更多的人 已经是第二次更新 希望大家都能进步！ 第三次更新 发两张当时的化学笔记 记得不好但是希望大家知道如何记化学笔记
稍作细节上的完善 以下正文 首先阐明观点： …
谢邀！！&br&首先，我肯定是反对Phil的答案，我不清楚他是不是教育行业，但你我都是老师，应该很清楚，小学和初中阶段是培养人格和习惯的重要时刻，如果这个不纠结，那个无所谓，不去计较对错，那是纵容，这孩子将来会谎话连篇，真假难辨。&br&而且，如果这个孩子真的是自己改的，老师觉得无所谓直接改了，那接下来不用说，会有一群人轮流来改。&br&这叫做“&b&破窗效应&/b&”。&br&大家要搞明白一个事情，教育应该是来源于现实，却又高于现实，不能说，现实社会说实话没什么用，还可能被人陷害，所以我们要教育就对说谎话睁只眼闭只眼，那还不如开一门课叫“碰瓷”，躺着就把钱赚了。&br&所以，这种事情，必须认真，必须妥当。&br&&br&而对于这种无法分辨的事情，你要坚持一个原则就是“&b&疑罪从无&/b&”。&br&既然你证明不了，那就是没罪。&br&如果我来解决这事的话。&br&第一，我会先用轻松的语气问：真的吗？我隐隐约约记得你好像错了诶，没骗我吧！&br&说这话的时候看着她的眼睛，如果她撒谎，神情会紧张，眼睛会往左或者右看，小孩子不是什么间谍，达不到说谎面不改色心不跳。&br&&b&这里我再补充一点&/b&：确实也有学生能达到，那都是惯犯了，撒谎成习惯，这时要注意，尽量少以他撒谎为由，惩罚他，他既然已经到了初中，撒谎成习惯，那必然是死猪不怕开水烫，惩罚效果甚微，尽量少罚，慢慢的他知道了，撒谎会被拆穿，说实话也不会被罚，他就不会撒谎了，因为没意义啊，这时再由事实来进行轻微处罚和长时间说教（说不到一节课都不算长），效果会更好。有时候，罚多了就习惯了，其实学生更怕老师烦他，三天两头说教，一次一个小时，他更头大。&br&第二，不管我是否判断出她撒谎，我都在语言上相信她没撒谎，因为我没有证据。我会说：那我相信你。&br&第三，&b&我会把分数改给她&/b&。&br&第四，跟她父母打电话，说明情况，并告诉家长自己也无法判断孩子是否撒谎，但一定要求他们不能伸张，不能质问，否则一旦自己判断失误会造成孩子对大人的不信任。&br&这样就完了吗？&br&NO，一个人如果真的是撒谎得来的好处，做了一次，必然有第二次。&br&第二、三次模拟考时，记得拍照，如果这孩子那次是撒谎，后面一般还会再故伎重演。&br&这时，你有了证据。&br&叫家长，批评，并严厉的询问：上一次是不是也是改了答案了？基本上小孩都会招了。然后告诉她：第一次的时候，我其实已经看出来了。让她知道，大人没那么好骗。一次制住她的要害，让她明白撒谎是不可能瞒天过海的。&br&如果她随后考试都未出现，那有九成概率她第一次的确是改错了。告之家长。&br&如果她的确撒谎，但随后考试并没有再来一次，那可能是那次考试家长对于她的成绩要求较高，并且有惩罚或者奖励。告之家长，尽量看她的学习态度、勤奋程度和综合素质，少以分数定胜负。&br&&br&总而言之，&b&学生的自尊心很脆弱，尽量相信自己的学生&/b&。&br&&br&宁可放过，不可错杀。&br&&br&就像我在后面评论里说的：为师者尽可能要以善眼看学生，总是怀疑人的是警察！！因为万一真的学生没错，只需一次的不信任，即可毁掉老师的形象，也会毁了学生！&br&&br&他一定会恨你一辈子！！&br&&br&并且，不要怕麻烦，而且你的家长如此关心小孩，这是好事，多沟通，你会少很多事。&br&&br&除非原则和规定问题，少站到学生的对立面。与学生谈话要注意分寸和尺度。&br&&br&你那句&b&“&/b&你在我心里还是个各方面都挺优秀的同学，如果说答案确实是改过的，我也会很失望。但是我也没证据说你改过，你也没法证明你没改过，那就这样，分数不改了，这件事也就过去了&b&”&/b&其实基本等于“&b&我在怀疑你，你很可能改了答案&/b&”。&br&如果她是真的没改，你这句话无疑是刺痛人心。&br&人心一旦被伤，想要弥补，那可是很难的，你会付出比这个辛苦的多的劳累才能重获学生的信任。&br&&br&而且你说一个孩子“恶人先告状”，这就有点小题大做了。&br&&br&你想想，一个孩子，她的母亲承诺自己的考了70分就可以奖励，现在没考到，那必然要找理由啊，不可能说“因为我没好好读书”吧，一般会说“试卷太难”、“全班都没考好”、“那个XXX才XX分”、“笔不好写”、“考试的时候肚子有点不舒服”。。。。。。而现在，刚好有这么个理由，并且很可能她的确是被冤枉的，那必然会添油加醋的甩锅给你啊，别说小孩，大人都是如此，至于什么人品问题之类的话，如果不是你平时经常对学生讲，就是她父母平时讲的，顺手加进来了而已。&br&&br&好了，说了这么多，我总结下我的一些浅见，毕竟我不是什么特级班主任，也仅仅带班了两年，谈不上经验丰富，而且是中途接了别人的班级，但好歹我把一个烂到任课老师不敢进，一个星期打一场架的混乱班级，带到现在稳定，和谐下来，虽然学习成绩已经是日薄西山，但起码不捣乱不惹事，明事理，尊重老师。&br&&br&而我秉承的原则就是：&b&公平和信任。&/b&&br&公平对待每个学生，每个学生不管以前多烂，绝对就事论事，不是他以前经常打架，那这次打架他就一定有份，不是他每次都乱丢垃圾，这次就一定是他。每次事件，都从头开始判断，都从证据和证人开始分析。&br&信任每个学生，如果证明不了的事情，就当他是对的，说谎多的，最终会露出马脚，抓住一次机会，动用家长能力，制止其行为，既保证了公平的原则，又取得了其他同学的信任，而他自己也无话可说。教育有时不在于次数多，而在于是否精准，一击要害，胜过你唠叨一年。&br&&br&&b&老师的威严来自于学生的信任&/b&，你要尽力做到让学生服你，这不仅要求你教学水平过硬，还要能洞悉人心，真正爱护学生，在保证他们拥有足够自尊的情况下，教授他们人生道理。&br&&br&与楼主共勉之。
谢邀！！ 首先，我肯定是反对Phil的答案，我不清楚他是不是教育行业，但你我都是老师，应该很清楚，小学和初中阶段是培养人格和习惯的重要时刻，如果这个不纠结，那个无所谓，不去计较对错，那是纵容，这孩子将来会谎话连篇，真假难辨。 而且，如果这个孩子…
“老师上课说的都能听得懂，但一到做综合题就蒙了，基础题会做就是会马虎。”&br&所有这类问题，都要首先建立一个认知：&b&“听得懂”≠“会做”≠“拿分”。&/b&&br&如果将最后顺利的拿上分作为100%完成度。&br&那么，&b&“听得懂”可能也只有20%而已，而到达“会做”也只相当于是完成了50%，“又快又准的做出来”的完成度是80%。&/b&&br&——也就是说，“又快又准的做出来”，到“中考（高考）时顺利拿上分数”，其实还有20%的工作。&br&凡是不重视这一点的人，都有很大的概率在高考、中考中翻船。&br&&br&你能考到班级前3，说明智力程度还算可以，&b&脑子聪明点的人，都有一个问题：就是太“浮”。（&/b&包括以前的我）&br&你“一到综合题就蒙了”的一个重要原因就是：你基本功太弱。&br&举个例子，一个非常简单的例子，分解因式。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/c3f3b52ccdf753ea38dbc706_b.jpg& data-rawwidth=&136& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&136&&&/figure&比如见到这个式子，我如果说可以分解因式，那么某个学生小明可能会去用十字相乘法：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/6ff652c8c6ca_b.jpg& data-rawwidth=&211& data-rawheight=&145& class=&content_image& width=&211&&&/figure&然后再去配正负号，这个速度就慢了。&br&如果碰到这种式子：&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f8a8dea79d12_b.jpg& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&145&&&/figure&小明的反应速度就会更慢了。&br&甚至，小明可能根本想不到用分解因式，而用了配方法。这个数字还比较简单，用配方法也还好，不过出错的概率会增大，时间也会增长。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/0af154d5232f1efaed1c4e878bd7ea74_b.jpg& data-rawwidth=&140& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&140&&&/figure&到了这个式子的时候，配方法就开始容易出错了。尤其，如果x^2前面的系数如果是“-2”的时候，出错率会大大增加。（不知道为什么用不成公式编辑了，只能上传图片了）&br&而如果碰到这个式子：&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/d0a628cefb898fc3a3f94ffef56cd328_b.jpg& data-rawwidth=&151& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&151&&&/figure&这个式子，其实是高考中的一个很简单的形状，小明根本就没有看出来分解因式，用配方做的。&br&那如果是这个——&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c00d3c1c10fb23f9be972a7f1cc7d23c_b.jpg& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&336&&&/figure&或这个&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/2045def675e657acc93a741a3bc162f6_b.jpg& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&46& class=&content_image& width=&403&&&/figure&&br&小明就连做也不会做了。而正经考试的时候，出现的形状就是这种形状。&br&&br&基本功不熟练，等到形状复杂的时候，你根本反应不过来。&br&再回到最初的那个最简单的分解因式&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/c3f3b52ccdf753ea38dbc706_b.jpg& data-rawwidth=&136& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&136&&&/figure&和&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f8a8dea79d12_b.jpg& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&145&&&/figure&小明是需要有人提醒他“分解因式”，或者想到“嗯，有可能用分解因式，我用十字相乘法试一试的”，才有可能将这个式子正确分解。&br&而真正学得好的人，在看到上面的这两个式子的时候，脑子中会直接冒出来(x-5)(x+3)和(x+18)(x-2)，后面的那个会略慢一点点，但也几乎是瞬间完成的。&br&这个“瞬间”是什么意思呢？就是&b&你手上被针扎了一下，你马上就缩手，这就是“瞬间”。&/b&&br&而到了这个式子——&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c00d3c1c10fb23f9be972a7f1cc7d23c_b.jpg& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&br&我才会内心想：“嗯，这个式子好像是可以分解因式的，我用十字相乘试一试”。&br&&br&也就是说：&b&基本功不熟练的人，可能在难度级别为2的时候，就开始反应速度慢了下来。而基本功熟练的人，可能是到了难度级别为4、5的时候，反应速度才会慢下来。&/b&&br&而数学，&b&不仅仅是“反应速度”的问题，还会影响到你的“解题方向”&/b&，比如上面这个复杂的式子（高考的题目），&b&如果第一反应没有看到“可以分解因式”，那么就会沿着一条很复杂的路径走下去&/b&，计算量极其之大，根本算不出来（在高考的情境下）。&br&你现在的状态，就是这个样子：&b&你以为你“会”了，其实你的基本功很薄弱，漏洞百出。&/b&&br&但你还不是那种“完全不会”的漏洞，而是“半会半不会”。&br&就像我刚才所说的这个小明一样。&br&（顺便说一下，最后的高考，小明去了一个中档的211大学。嗯，没错，211的水平就是这个样子的，所以高考真心不难的。）&br&&br&你现在要做的事情，不是“多做题”——多做题的效率太低，性价比不高。&br&你要做的是：&br&&b&1. 强化基本功。&/b&&br&如果你不知道自己哪块弱，那么就从初一开始，将课本上的知识点重新刷一遍，将课本、练习册上的基础题、中档题，全部都过一遍，记住一点“一定要做到快而准”，不要贪图进度，放慢一点，把基本功弄扎实了。&br&当然，最好还是针对自己的薄弱的模块，效率更高。但这个需要你通过归类等方法进行寻找。&br&基本功好了之后，综合题再进行一下总结和练习，分数就能拿上了。&br&但之前，你还是需要先保证“中档题、基础题100%拿上分”再说。&br&&b&2. 通过归类，找到自己经常容易出错的点，然后让自己警醒。&/b&&br&比如我刚才所说的，同样是配方，&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/057cf2fab44ab20598af06_b.jpg& data-rawwidth=&152& data-rawheight=&46& class=&content_image& width=&152&&&/figure&&br&就要比&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/0af154d5232f1efaed1c4e878bd7ea74_b.jpg& data-rawwidth=&140& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&140&&&/figure&更容易出错的多。这就是我自己做题的一个总结。&br&再比如，只要整个式子变长，我就会放慢解题速度，并当时就进行检查，以保证正确。&br&我是追求速度的，但是如果“做错了”，那么速度再快也没有意义的。&br&你肯定有自己特别容易出错、马虎的地方，自己进行一下归纳，然后多给自己两耳光，让自己记住这些出错点。&br&&br&&br&&br&--------------------------------------&br&本人的博客：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sina.com.cn/mrwishdream& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&本源教室MrWish_新浪博客&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
“老师上课说的都能听得懂，但一到做综合题就蒙了，基础题会做就是会马虎。” 所有这类问题，都要首先建立一个认知：“听得懂”≠“会做”≠“拿分”。 如果将最后顺利的拿上分作为100%完成度。 那么，“听得懂”可能也只有20%而已，而到达“会做”也只相当…
谢邀。&br&代数：&br&小学：加减乘除、乘方开方；&br&中学：解方程、不等式、函数；&br&本科：线性代数、矩阵；群环域模，Galois理论；&br&现代代数学家：everything e.g. &group& becomes &groupoid&, &Lie algebra& becomes &Lie algebroid&.&br&&br&几何：&br&小学：不记得有没有；&br&初中：平面几何，辅助线；&br&高中：（竞赛党）更多更难的辅助线；（一般人）平面解析几何、立体解析几何；&br&数学本科及以上：几何学主要分为微分几何和代数几何两大块，主要研究流形、orbifold、代数簇、scheme、stack等抽象的几何对象。&br&&br&空间：&br&小学到中学：三维欧氏空间，我们生活的物理空间，并且不对两者进行区分；&br&本科数学及以上：最典型的用法包括线性空间和拓扑空间。从广义上来说，一切几何对象都可以成为空间，比如projective spaces, Alexander spaces, Lenz spaces, loop spaces, etc.&br&&br&张量：&br&中学以前：没听过,是不是一个姓张的人发明的？&br&工科生：一堆带指标的东西做一些乱七八糟的变换；&br&学代数的：两个R模可以根据某种universal property定义张量积，里面的元素就是张量；&br&学微分几何的：我不关心张量在代数上的抽象定义，我只知道什么是协变张量、反变张量，我还会对张量求协变导数；&br&物理学家：Tensor is something that transforms like a tensor.&br&&br&曲线、曲面：&br&中学以前：不直的线，不平的面，没有严格定义；&br&本科：曲线是区间到拓扑空间上的连续映射，或者说一维流形（可能有自交）。曲面即二维流形；&br&复几何学家：我们的曲线是2维的，曲面是4维的（复流形实维数翻倍）；&br&代数几何学家：我们的曲线可以是离散的（over Q），可以只有有限个点（over finite field）。我们有时候还关心一条曲线是不是空的（是否有有理点）。
谢邀。 代数： 小学：加减乘除、乘方开方； 中学：解方程、不等式、函数； 本科：线性代数、矩阵；群环域模，Galois理论； 现代代数学家：everything e.g. "group" becomes "groupoid", "Lie algebra" becomes "Lie algebroid". 几何…
1. 欧拉的五角形数定理 (Euler's Pentagonal number theorem)，容易描述，不容易证明，背景深刻，知道的人相对不多，适合做为中学生的思考题（作为竞赛题太难了，当年欧拉都想了很久）。&br&&br&如下。我们把左边展开，会发现右边的系数居然都在[-1,1]范围：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%281-x%29%281-x%5E2%29%281-x%5E3%29+%5Ccdots+%3D+1+-+x+-+x%5E2+%2B+x%5E5+%2B+x%5E7+-+x%5E%7B12%7D+-+x%5E%7B15%7D+%2B+x%5E%7B22%7D+%2B+x%5E%7B26%7D+-+%5Ccdots& alt=&(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots& eeimg=&1&&&br&&br&事实上，欧拉的五角形数公式是：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%281-x%5E%7Bn%7D%5Cright%29%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28-1%5Cright%29%5E%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%5Cleft%283k-1%5Cright%29%7D& alt=&\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{n}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{k}x^{\frac{k}{2}\left(3k-1\right)}& eeimg=&1&&&br&&br&&i&【可能大家会问：右边的求和的下标是不是写错了？怎么是从负无穷大开始的呢？请算一下就知道没有写错。严格说，是应该理解为从 -n 到 n 求和，然后 n 再趋于无穷大】&/i&&br&&br&这个证明不容易。中学生可能会想用数学归纳法，用数学归纳法确实可以证出来，但颇有难度。另一种思路是思考左边的组合意义。具体方法也不容易想到。&br&&br&如果此前没有见过这个公式，不妨思考一下怎么证明。&br&&br&&b&数学背景：&/b&与数论和表示论的一些事情有深刻联系。直接推广是 Jacobi triple product 公式。稍改一点就是 Dedekind eta 函数。&br&&br&&b&难度：&/b&★★★★★。如果能自己想出来，说明你的解题能力相当强。既然叫五角形数定理，难度就定为五颗五角星吧。&br&&br&=============================&br&&br&2. 第二个问题，乍听上去可能有点奇怪。&br&&br&如果一个级数：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+a_0+%2B+a_1+x+%2B+a_2+x%5E2+%2B+a_3+x%5E3+%2B+a_4+x%5E4+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots& eeimg=&1&&&br&&br&满足：对于所有正整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cgeqslant+0& alt=&n\geqslant 0& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28f%28x%29%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(f(x))^{n+1}& eeimg=&1&& 中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5En& alt=&x^n& eeimg=&1&& 项的系数等于 1。&br&&br&那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_0%2C+a_1%2C+a_2%2C+a_3%2C+%5Ccdots& alt=&a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots& eeimg=&1&& 是否有简单的公式？&br&&br&如果算一下会发现只有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+1+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+x+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x) = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + \cdots& eeimg=&1&& 满足这个要求。&br&因为此时 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5E2+%3D+1+%2B+x+%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x)^2 = 1 + x + \frac{5}{12} x^2 + \cdots& eeimg=&1&&&br&并且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5E3+%3D+1%2B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx+%2B+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x)^3 = 1+ \frac{3}{2}x + x^2 + \cdots& eeimg=&1&&等等等等。&br&&br&事实上，可以证明：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-e%5E%7B-x%7D%7D+%3D+%5Csum_i+%5Cfrac%7B%28-1%29%5Ei+B_i%7D%7Bi%21%7D+x%5Ei& alt=&f(x) = \frac{x}{1-e^{-x}} = \sum_i \frac{(-1)^i B_i}{i!} x^i& eeimg=&1&&&br&这个大家一般用留数定理证。但肯定也有初等方法的证明，可以想想。&br&&br&&b&数学背景：&/b&这是 代数几何/微分几何/代数拓扑 中 Todd class 的由来。A-hat class 之类都是用类似的方法定义。&br&&br&&b&难度：&/b&★★★。&br&&br&=============================&br&&br&3. 第三个问题。用一个非常简单的方法，可以算一个微妙的代数数论的东西。&br&&br&令 p 为一个大于 3 的质数。然后我们把从 1 到 p-1 的平方，模 p 的余数，都写出来。&br&&br&比如说，如果 p = 11，那么从 1 到 10 的平方，模 11，就是：&br&1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1&br&它们加起来等于 44 。&br&&br&加起来的结果，肯定可以被 p 整除（易证）。令商为 S(p)。比如这里 S(11) = 44 / 11 = 4。&br&&br&那么，现在各位可以写个程序，算个表出来：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Btabular%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0Ap%265%267%17%29%41%C%0A%5Chline%0AS%28p%29%262%262%264%266%268%268%268%18%C%5C%0A%5Chline%0A%24%5Cfrac%7Bp-1%7D%7B2%7D-S%28p%29%24%260%261%261%260%260%261%263%260%263%260%260%261%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Btabular%7D& alt=&\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
p&5&7&11&13&17&19&23&29&31&37&41&43\\
S(p)&2&2&4&6&8&8&8&14&12&18&20&20\\
$\frac{p-1}{2}-S(p)$&0&1&1&0&0&1&3&0&3&0&0&1\\
\end{tabular}& eeimg=&1&&&br&&br&如果 p = 1 (mod 4)，那么 S(p) = (p-1)/2（易证）。&br&&br&如果 p = 3 (mod 4)，那么 S(p) 比 (p-1)/2 小。令 T(p) = (p-1)/2 - S(p)。&br&&br&你会发现 T(p) 是振荡着越来越大的。T(p) 只在某几个 p 时等于1。这几个 p 是：&br&7, 11, 19, 43, 67, 163&br&那么，怎么证明只有这几个 p 时等于1？&br&&br&&b&数学背景：&/b&如果学过代数数论，看到 163 就应该知道是什么了。它们是 &a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Heegner number&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，原因是 T(p) 可以联系到虚二次域的类数。163 是个很玄的数字，和 12 或 24 （上一个问出现了 12）一样神出鬼没。&br&&br&比如说不少人都知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%5E2+-+n+%2B+41& alt=&n^2 - n + 41& eeimg=&1&& 在 n 从 1 到 40 都是质数。它的判别式是 163。&br&&br&又比如 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B%5Cpi+%5Csqrt%7B163%7D%7D+%3D++%5Ccdots& alt=&e^{\pi \sqrt{163}} =
\cdots& eeimg=&1&& 特别接近整数。再说到 j-invariant 再说说就是另一个奇妙联系 monstrous moonshine 了。&br&&br&&b&难度：&/b& ★★★★★★★。&br&&br&=============================&br&&br&4. 第四个问题。定义一个括号操作，定义是 [A, B] = AB - BA。这里的加减法是正常的，可以交换和结合。只是字母的顺序不能随便移动。&br&&br&比如说，如果 [A, B]=C，那么就说明 AB - BA = C，那么就说明 AB = BA + C。&br&&br&另外，显然 [A, B] = -[B, A]。因为 (AB-BA) = -(BA-AB) 嘛。&br&&br&那么，现在考虑 H X Y 这三个字母，令：&br&[H, X] = 2X （注意，数字都和正常的理解一样，比如 2X = X+X）&br&[H, Y] = -2Y（数字都确实和正常的理解一样，比如 2Y + (- 2Y) = 2Y - 2Y = 0） &br&[X, Y] = H（举例：那么， XY - YX = H，那么，XY = YX + H）&br&&br&然后我们考虑一个表达式：&br&C = HH + 2XY + 2YX&br&&br&算一下 [X, C]，也就是 XC - CX，会发现：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%0AXC+-+CX+%26%3D+XHH+%2B+2%5C%2CXXY+%2B+2%5C%2CXYX+-+HHX+-+2%5C%2CXYX+-+2%5C%2CYXX%5C%5C%0A%26%3D+XHH+%2B+2%5C%2CX%5C%2C%28YX+%2B+H%29+%2B+2%5C%2C%28YX+%2B+H%29%5C%2CX+-+H%5C%2C%28XH%2B2%5C%2CX%29+-+2%5C%2C%28YX%2BH%29%5C%2CX+-+2%5C%2CYXX+%5C%5C%0A%26%3D+XHH+%2B+2%5C%2CXYX+%2B+2%5C%2CXH+-+HXH+-+2%5C%2CHX+-2%5C%2CYXX%5C%5C%0A%26%3D+XHH+%2B+2%5C%2C%28YX%2BH%29%5C%2CX+%2B+2%5C%2CXH+-+%28XH%2B2%5C%2CX%29%5C%2CH+-+2%5C%2CHX+-+2%5C%2CYXX%5C%5C%0A%26%3D+0.%0A%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*}
XC - CX &= XHH + 2\,XXY + 2\,XYX - HHX - 2\,XYX - 2\,YXX\\
&= XHH + 2\,X\,(YX + H) + 2\,(YX + H)\,X - H\,(XH+2\,X) - 2\,(YX+H)\,X - 2\,YXX \\
&= XHH + 2\,XYX + 2\,XH - HXH - 2\,HX -2\,YXX\\
&= XHH + 2\,(YX+H)\,X + 2\,XH - (XH+2\,X)\,H - 2\,HX - 2\,YXX\\
\end{align*}& eeimg=&1&&&br&&br&而且 [Y, C] 和 [H, C] 也都恰好等于 0。&br&&br&为什么刚好全部抵消了？这个C是怎么构造出来的？对于其它的“括号规则”，该怎么构造C？还有没有其它的C？&br&&br&&b&数学背景：&/b&这是李代数中的 Casimir 算子。关于它还有很多更深刻的神奇事情。&br&&br&&b&难度：&/b&★★★★★。&br&&br&=============================&br&&br&&b&各位觉得有意思赞一下，迟点再补充几个看上去初等但实际深刻的问题。。。&/b&
1. 欧拉的五角形数定理 (Euler's Pentagonal number theorem)，容易描述，不容易证明，背景深刻，知道的人相对不多，适合做为中学生的思考题（作为竞赛题太难了，当年欧拉都想了很久）。 如下。我们把左边展开，会发现右边的系数居然都在[-1,1]范围： (1-x)…
（欧几里德及其他很多度量空间中）&b&两点之间直线&/b&（测地线）&b&最短。证毕……&/b&&br&（严格凸赋范空间中）这是距离定义的一环。&br&（普通读者请忽略括号中的内容。）
（欧几里德及其他很多度量空间中）两点之间直线（测地线）最短。证毕…… （严格凸赋范空间中）这是距离定义的一环。 （普通读者请忽略括号中的内容。）
&p&辅助线的做法真的是太多了，在这里让我带领着大家一起总结一下吧，有点长，先给你们打个预防针。看的累的话就收藏下来每天一点一点的看……　　　&/p&&br&&p&辅助线的添加注意两方面：&/p&&p&1）图形所涉及的知识点相关的性质定理能够直接或间接推导出来的等量关系；&/p&&p&2）根据题目给出或隐藏的等量关系联系全等判定定理来添加条件，从而我们把辅助线添加出来。&/p&&br&&h2&一&/h2&&p&先说梯形吧，梯形与平行四边形不同，它只有一组对边平行，在解决梯形中的问题时，常常需要作辅助线．梯形中常用的辅助线有如下几种．&/p&&p&一、作梯形的高&/p&&p&二、平移一腰&/p&&p&三、平移一条对角线&/p&&p&四、作梯形的中位线&/p&&p&五、对角线绕中点旋转180°&/p&&p&六、利用一腰中点旋转180°&/p&&p&七、平移两腰&/p&&p&八、延长两腰&/p&&p&分别如下图&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b9d91ae61a3ccdeca5c0b_b.png& data-rawwidth=&689& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&689& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b9d91ae61a3ccdeca5c0b_r.png&&&/figure&&br&&br&&h2&&b&二&/b&&/h2&&p&三角形常见辅助线：&/p&&br&&p&1. 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-41c58f338a5189aa93cffeba_b.png& data-rawwidth=&373& data-rawheight=&259& class=&content_image& width=&373&&&/figure&&p&注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.&/p&&p&2. 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dfd3b330ec19d0f683dd7ffd895fb338_b.png& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&222& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-dfd3b330ec19d0f683dd7ffd895fb338_r.png&&&/figure&&p&3. 有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. &/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f8b488c0ac6dc_b.png& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&354&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fd3081badc27f8800ccf84e42f59d5a1_b.png& data-rawwidth=&731& data-rawheight=&648& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&731& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fd3081badc27f8800ccf84e42f59d5a1_r.png&&&/figure&&br&&p&6. 截长补短作辅助线的方法&/p&&p&截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；&/p&&p&补短法：延长较短线段和较长线段相等.&/p&&p&这两种方法统称截长补短法.&/p&&p&当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：&/p&&p&①a＞b&/p&&p&②a±b = c&/p&&p&③a±b = c±d&/p&&p&7. 证明两条线段相等的步骤：&/p&&p&①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。&/p&&p&②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.&/p&&p&③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.&/p&&p&8. 在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d5af8beaea9_b.png& data-rawwidth=&648& data-rawheight=&866& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d5af8beaea9_r.png&&&/figure&&br&&p&12. 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fa4b16c5c6e_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&715& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fa4b16c5c6e_r.png&&&/figure&&br&&br&&p&15. 有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ed28aec512e9cb5034414_b.png& data-rawwidth=&217& data-rawheight=&175& class=&content_image& width=&217&&&/figure&&p&16. 有等腰三角形时常用的辅助线&/p&&p&⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 &/p&&p&⑵有底边中点时，常作底边中线 &/p&&p&⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 &/p&&p&⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线&/p&&p&⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线&/p&&p&⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 &/p&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d592c76d8cab208e2a759dba701c3ad5_b.png& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&812& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d592c76d8cab208e2a759dba701c3ad5_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-aabb1b23af63d2cd98ec6e56e5faa636_b.png& data-rawwidth=&639& data-rawheight=&875& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&639& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-aabb1b23af63d2cd98ec6e56e5faa636_r.png&&&/figure&&br&&p&⑶加倍小角&/p&&p&例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC&/p&&p&求证：∠ABC = ∠ACB&/p&&p&证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略）&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-da83cc463fadb3303a82ace4e0521385_b.png& data-rawwidth=&619& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&619& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-da83cc463fadb3303a82ace4e0521385_r.png&&&/figure&&p&22. 条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.&/p&&p&例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =根号2 ，求AC的长. &/p&&p&解：过A作AD⊥BC于D &/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-223f0fd6bdfe089bc2ab82_b.png& data-rawwidth=&447& data-rawheight=&471& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&447& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-223f0fd6bdfe089bc2ab82_r.png&&&/figure&&p&——————————————————————————————————————&/p&&p&————————————————————————————————————&/p&&p&——————————先贴图到这，等我有时间把下面的辅助线做法再贴出来————&/p&&p&————————————————————————————————————————&/p&&p&——————————————————————————————————————————&/p&&p&想要全粉资料的私聊我吧~&/p&&h2&&b&三&/b&&/h2&&br&&br&&br&&br&&p&1) 有平行线时常作平行线构造平行四边形&/p&&p&2) 有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. &/p&&br&&br&&br&&p&3) 有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.&/p&&p&4) 正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等&/p&&p&. &/p&&br&&p&5) 有正方形一边中点时常取另一边中点.&/p&&p&6) 利用正方形进行旋转变换&/p&&p&
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.&/p&&p&
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.&/p&&p&旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.&/p&&p&7) 有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.&/p&&br&&p&8) 有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.&/p&&p&9) 有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题.&/p&&p&10) 有下列情况时常作三角形中位线.&/p&&p&⑴有一边中点；&/p&&p&⑵有线段倍分关系；&/p&&p&⑶有两边（或两边以上）中点.&/p&&br&&br&&p&还要掌握相关规律&/p&&p&规律1.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形.&/p&&p&规律2.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形.&/p&&p&规律3.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形.&/p&&p&规律4.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形.&/p&&p&规律5.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形.&/p&&p&规律6.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.&/p&&br&&p&规律7.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.&/p&&p&如图：S△BEC
S□ABCD&/p&&br&&br&&br&&p&规律8.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.&/p&&p&如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD =
S□ABCD&/p&&br&&p&规律9.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.&/p&&p&如图：AO2＋OC2 = BO2 ＋DO2&/p&&br&&br&&br&&br&&p&规律10.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.&/p&&p&如图：四边形GHMN是矩形&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&h2&四&/h2&&p&圆&/p&&p&1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题. &/p&&br&&p&2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. &/p&&p&3.有弦中点时常连弦心距&/p&&p&4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.&/p&&p&5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：&/p&&p&⑴连结过弧中点的半径&/p&&p&⑵连结等弧所对的弦&/p&&p&⑶连结等弧所对的圆心角&/p&&p&6.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. &/p&&p&7.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.&/p&&p&8.有等弧时常作辅助线有以下几种：&/p&&p&⑴作等弧所对的弦&/p&&p&⑵作等弧所对的圆心角&/p&&p&⑶作等弧所对的圆周角&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&p&9.有弦中点时，常构造三角形中位线&/p&&p&. &/p&&p&10.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.&/p&&p&11.两圆相交时，常连结两圆的公共弦&/p&&br&&br&&p&12.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：&/p&&p&⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.&/p&&p&⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.&/p&&br&&br&&br&&p&13.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. &/p&&br&&h2&五 切线的辅助线的做法&/h2&&h2&未完待续……&/h2&
辅助线的做法真的是太多了，在这里让我带领着大家一起总结一下吧，有点长，先给你们打个预防针。看的累的话就收藏下来每天一点一点的看…… 辅助线的添加注意两方面：1）图形所涉及的知识点相关的性质定理能够直接或间接推导出来的等量关系；2）根据题目给…
&p&以下是从&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&中考数学的压轴题有什么快速运算的高中公式或技巧？ - 知乎&/a&中摘出的与选择填空相关的内容。稍有改动，有兴趣可以到原答案查看。&/p&&br&&p&&b&一、代数篇&/b&&/p&&p&&b&（1）立方公式：&/b&（实用度： ★ ）&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28a%2Bb%29%5E3%3Da%5E3%2B3a%5E2b%2B3ab%5E2%2Bb%5E3& alt=&(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E3%2Bb%5E3%3D%28a%2Bb%29%28a%5E2-ab%2Bb%5E2%29& alt=&a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28a-b%29%5E3%3Da%5E3-3a%5E2b%2B3ab%5E2-b%5E3& alt=&(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E3-b%5E3%3D%28a-b%29%28a%5E2%2Bab%2Bb%5E2%29& alt=&a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)& eeimg=&1&&&br&&p&&b&（2）头同尾合十：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&名词解释：&/p&&p&例如28*22，两个两位数，十位数字2相同，个位数字8+2=10，故称头同尾合十。&/p&&p&&b&巧算方法：&/b&&/p&&p&尾数相乘，得出的答案占&b&后两位&/b&；头乘（头+1），占前一位到两位，就可以得出积。比如28*22，尾数相乘：2*8=16，2*（2+1）=6，依次排序就是616。&/p&&p&&b&用法：&/b&&/p&&p&85*85，口算时，为8*（8+1）=72，5*5=25，一边算一边写就得出了答案7225。&/p&&p&47*45，口算时，折分成（45+2）*45来计算。45*45=2025，在脑子里对2025加上90，即得2115。&/p&&p&PS：这个是小学速算，本质是整式的乘法。小学时也学过不少别的技巧，不过感觉这个最实用，尤其是对于35^2，65^2之类，效果很好，初中高中都能用到，能省半分钟时间且没有算错的可能，也就没有了验算的麻烦。&/p&&br&&p&&b&二、几何篇&/b&&/p&&p&&b&（1）平行四边形：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d3bde64b3_b.png& data-rawwidth=&335& data-rawheight=&247& class=&content_image& width=&335&&&/figure&&br&&p&两边长为a和b，两对角线长为m和n，则有&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%28a%5E2%2Bb%5E2%29%3Dm%5E2%2Bn%5E2& alt=&2(a^2+b^2)=m^2+n^2& eeimg=&1&&&p&可以拿这个公式和托勒密定理对比记忆。&/p&&br&&p&&b&（2）三角形：&/b&&/p&&p&&b&A.勾股数：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&常见的最简勾股数有：&/p&&p&3、4、5&/p&&p&5、12、13&/p&&p&8、15、17&/p&&p&7、24、25&/p&&p&9、40、41&/p&&p&&b&B.面积公式：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%2AabsinC& alt=&S=\frac{1}{2}\*absinC& eeimg=&1&&&p&利用两边及其夹角求面积。&/p&&p&PS：几何中的三角形面积公式只需要记这一个，其他的公式连竞赛都很难用得上。&/p&&p&&b&C.三角恒等式：&/b&（实用度： ★ ）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e9ff0fb653eff98f6bc36_b.png& data-rawwidth=&315& data-rawheight=&232& class=&content_image& width=&315&&&/figure&&br&&p&这几个公式对于初中来说确实没什么用，很少能用到。不过如果有兴趣，记下来了，高中需要背的时候就会少一些麻烦。&/p&&p&&b&D.正余弦定理：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7200faf5547aa55dde4a273c6a75b98a_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&157& class=&content_image& width=&241&&&/figure&&p&在遇到45度、60度、75度之类的非直角三角形题目时，我们可以用上这两个公式。其他时候很少能用得上。所以要记得：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bd684ca68e1c8d_b.png& data-rawwidth=&313& data-rawheight=&124& class=&content_image& width=&313&&&/figure&&br&&p&&b&E.重心（质量法）：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&三角形的重心将中线分为2：1的两段。&/p&&p&&b&质量法：（填空压轴题重点！！）&/b&&/p&&p&两个小球A、B，如果质量相等，如（1），那么它们的重心是AB的中点D。&/p&&p&如果质量不等，质量比为m/n，如（2），那么重心D仍在AB上，而AD/DB=n/m。（即杠杆原理）&/p&&p&如果三个质量相等（都等于1）的小球A、B、C构成三角形ABC要求它们的重心可以分为两步：&/p&&p&先求出B、C的重心，即B、C的中点D，可以用质量为2（=1+1）的小球放在D点，以取代B、C两个小球。&/p&&p&再求A、D的重心，由于D处的质量为2，A处的质量为1，所以重心G在AD上，且分AD为2：1（即AG：GD=2：1）。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bc3aca01cfeea6_b.png& data-rawwidth=&410& data-rawheight=&172& class=&content_image& width=&410&&&/figure&&p&下面，我们举一个简单的例子。&/p&&p&例：如图△ABC，AB上有一点E，BC上有一点D，AD交CE于点G，当AE：EB=1：2，BD：DC=1：2时，AG：GD等于多少？&/p&&p&解：我们在C处放质量为1的小球，B处放质量为2的小球，A处放质量为4的小球。此时AB、BC的重心E、D满足AE：EB=1：2，BD：DC=1：2。&/p&&p&我们将B、C的质量集中在D点，质量为3。A点质量为4。故AG：GD=3：4&/p&&p&同样如果需要，我们可以求得EG：GC=1：6&/p&&br&&p&&b&（3）圆：&/b&&/p&&p&&b&A.弦切角定理：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&解释：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%25BC%25A6%25E5%E8%25A7%2592& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&弦切角&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-23ececab109bddc506c28_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&202& class=&content_image& width=&220&&&/figure&&br&&p&如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。&/p&&p&&b&定理：&/b&弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。&/p&&p&在上图中，我们有∠TCB=∠CAB、∠PCA=∠CBA&/p&&br&&p&&b&B.圆幂定理：&/b&（实用度： ★
★）&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E7%259B%25B8%25E4%25BA%25A4%25E5%25BC%25A6%25E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&相交弦定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%%25E7%25BA%25BF%25E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&割线定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%E5%%25E7%25BA%25BF%25E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&切割线定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、切线长定理的统称。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cf69f4cec99f08fea5069463_b.png& data-rawwidth=&372& data-rawheight=&120& class=&content_image& width=&372&&&/figure&&br&&p&&b&①相交弦定理：&/b&圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。&/p&&p&如图I，即有AP·PB=CP·PD&/p&&p&&b&②割线定理：&/b&从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，&/p&&p&如图II，即有PA·PB=PC·PD&/p&&p&&b&③切割线定理：&/b&从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E6%25AF%%25BE%258B%25E4%25B8%25AD%25E9%25A1%25B9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&比例中项&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&/p&&p&如图III，即有PA^2=PC·PD&/p&&p&&b&④切线长定理：&/b&从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。&/p&&p&如图IV，即有PA=PC&/p&&br&&p&&b&C.托勒密定理：&/b&（实用度：
★ ）&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-024a7f776c51d6ab53d9_b.png& data-rawwidth=&242& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&242&&&/figure&&p&圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。&/p&&p&如图，即有AB·CD+AD·BC=AC·BD&/p&&br&&p&&b&D.四点共圆：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&&b&（填空压轴题重点！！）&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f60bca8aff63f3eeda602de082cdebb_b.png& data-rawwidth=&239& data-rawheight=&239& class=&content_image& width=&239&&&/figure&&p&①对角互补的四边形四点共圆。&/p&&p&∠ADC+∠ABC=180度&/p&&p&②一个角的对角等于其补角的四边形四点共圆。&/p&&p&∠ADC=∠EBC&/p&&p&③同底、同侧且对底边张等角的四点共圆。&/p&&p&∠ADB=∠ACB&/p&&p&④相交弦定理的逆定理。&/p&&p&AP·PC=BP·PD&/p&&p&⑤割线定理的逆定理。&/p&&p&PA·PB=PC·PD（图中未给出）&/p&&p&⑥托勒密定理的逆定理&/p&&p&AB·CD+AD·BC=AC·BD&/p&&p&⑦其他，如西姆松定理的逆定理等。&/p&&br&&p&上述定理的核心之处就在于各个定理通过&b&四点共圆&/b&和&b&相似三角形&/b&联系在一起。我们举一个例子进行练习。&/p&&p&例：如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，连接AE、BE，∠BEC=60度，若AE=3，CE=7 ，则BE=________。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-244ec5b92b76fb6a5d0ba_b.png& data-rawwidth=&212& data-rawheight=&187& class=&content_image& width=&212&&&/figure&&br&&p&解：&/p&&p&因为△ABC为等边三角形，&/p&&p&所以∠BAC=∠BEC=60度，&/p&&p&所以A、E、B、C四点共圆&/p&&p&由托勒密定理可得：AB·CE=AC·BE+AE·BC，&/p&&p&因为AB=AC=BC，&/p&&p&所以CE=AE+BE，&/p&&p&所以BE=CE-AE=4&/p&&br&&p&&b&三、解析几何篇&/b&&/p&&p&&b&（1）点线之间的距离：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&&b&A.点与点：&/b&&/p&&p&对于点（x1，y1）和点（x2，y2），距离&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a44de3db81a3f49e971cd6d10a147d1b_b.png& data-rawwidth=&242& data-rawheight=&41& class=&content_image& width=&242&&&/figure&&br&&p&&b&B.点与线：&/b&&/p&&p&对于点（x0，y0）和线y=kx+b，距离&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c771fa0db98eb9_b.png& data-rawwidth=&166& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&166&&&/figure&&br&&p&&b&C.线与线：&/b&&/p&&p&对于线y=kx+b1和线y=kx+b2（注意k必须相等，即平行线才有距离），距离&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dcf431ca5de383f10dc7_b.png& data-rawwidth=&117& data-rawheight=&75& class=&content_image& width=&117&&&/figure&&br&&p&&b&（2）三角形的面积公式：&/b&（实用度： ★
★ ）&/p&&p&对于一个点在原点，另两个点分别为（x1，y1）和（x2，y2）的三角形面积为&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7aac5fe73adef02bffc86_b.png& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&160&&&/figure&
以下是从中摘出的与选择填空相关的内容。稍有改动，有兴趣可以到原答案查看。 一、代数篇（1）立方公式：（实用度： ★ ）(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)^3=a^3-3a^2b…
太早学编程当然不好了。&br&我小学就会C了，现在只能在某九线城市搬砖。&br&&br&再给你举两个反面教材。&br&&br&&br&A是十来岁就学编程，天天跑去写，后来跑去哈佛，无心向学，大二写了篇论文就退学去开什么公司，结果被告反垄断，简直业界毒瘤。&br&&br&B也是十来岁就编程，后来也跑去哈佛，情商低，又厌世，还不务正业擅自把学校女生照片放上网侵犯她人隐私。屡教不改，后来还退学搞网站、结果被告，身败名裂，丑事传千里，不仅被当地人拍成电影警告世人，连我国政府都觉得他教坏小朋友封了他的网站。&br&&br&中二是个建立三观的重要时期，千万别学编程！&br&&br&=======&br&唉，这么好猜居然都有人猜不到。A是比尔盖茨，B是扎哥。&br&&br&=======&br&&br&说实话了，学编程跟数学差有个毛关系，题主就是给自己数学差找借口。&br&题主说的编程，学下来花的时间也就相当于从零开始拿复音口琴学完整吹个国歌差不多。&br&去上课的话，十来个课时内就能入门的东西，能花多少时间？&br&要是这么点东西楼主就觉得能影响学习的话，不学是最好的选择，反正学早学晚一样。&br&要学的话好好找个老师，别走弯路。
太早学编程当然不好了。 我小学就会C了，现在只能在某九线城市搬砖。 再给你举两个反面教材。 A是十来岁就学编程，天天跑去写，后来跑去哈佛，无心向学，大二写了篇论文就退学去开什么公司，结果被告反垄断，简直业界毒瘤。 B也是十来岁就编程，后来也跑去…
先来讲讲我三年数学的成绩变化吧&br&初一上半学期，除了最后一次期末没有上过九十（初一啊同志们！现在想想我当时觉得数学难真是naive！我更怀疑我的智商当时是发生了什么！）最后一次考试上了九十，不过也是九十二而已（“呵呵”）。那次考试我们班四个满分（然而全年组一共六个，我们班是语文班主任。没错就是这么任性啊哈哈！）&br&初一下，我好像开窍了，整个学期考试成绩都稳定在96-98之间（上面提到四个满分的哥们哈哈哈这个学期都没有考过我呢蛤蛤）&br&初二平稳，90-98直接（这段没有吐槽的）&br&初三（黄色微笑脸），上学期我记不太清了，但是和初一上差不多，没上过九十，一直都是八十多，而且上学期期末考试我也没有上九十（哭瞎）。&br&下学期（此处高能：之前的满分都是一百分，现在开始要变为150分哦）&br&第一次，我80&br&，&br&，&br&，&br&没打错，真的&br&第二次，我129&br&，&br&，&br&，&br&后两次大概就是115-130之间&br&最后中考135史上最高。&br&你看我并不是什么数学大神，就是混了个中等偏上，所以我才敢说这是我努力的结果，和天赋智商超前学习并无关系。&br&而且我本人，除了初二真心喜欢数学，剩下其他的时间也都在纠结“天哪噜数学作业好多这个看起来我会就不写了我天这个好难好好研究一下呼总算写完了玩会知乎吧”&br&因为我有进步，所以敢说。&br&题主已经初三了呢，所以无论怎样努力，你要保证的都是：拼尽全力。&br&你知道初三有多残酷吗，中间的寒假我以为我很努力学了结果开学第一次考试我没有进步反而退步了。&br&你懂了？&br&好，我们开始讲正题。&br&这个假期已经没几天了，你首先要做的任务是把所有的数学书找出来，认认真真看一遍。包括概念定理，例题导语。重新加固一遍概念定理，有助于你今后推理时的应用。而例题往往是最基本的，每一道例题都代表一种解题模型，仔细研究，这样大部分的基础分你都能拿到。及格就是很好突破的了。&br&我猜你这样的成绩，看书时肯定会遇到没有学会的，请一点点靠教材弄明白你不懂的地方，然后反复做基本题加深。什么样的基本题呢？直截了当考察你不会的考点的题，每道题就这么一个知识点，就是你不会的那个。&br&如果你全力去做，再加上你不错的智商，我猜只要五天这个任务就能完成，咱们四舍五入，算一周（什么鬼）。这一周你就要吃透课本，加固基础。你的目标是弄明白书中每一个知识点。&br&OK，，，接下来呢&br&接下来我们做几套套题，正规的要同一系列的哦。五套左右吧。自己照答案对，看看主要错在哪类题。（如果你上一周的工作做得好，这几套题的成绩应该能有提高）&br&归类总结，发现自己的问题了。那我们就接着专攻它们。&br&如果你是马虎，那就什么样的题都来点，但求全对。&br&如果你是读题读不懂，那就像做阅读理解，分出题目的条件，数字，类型，再逐一计算。&br&如果你是推理小白，那就认真读题，写出思路，像扩充一样整理成步骤。然后和标准答案一！步！一！步！对！（前提你的答案是完全标准的）&br&总之以此类推，找弱点逐项击破。这个大概要五天？嗯差不多。&br&接下来你的假期还有最后的几天了，别犹豫去预习吧。&br&预习之后的事情，我们明天再说。
先来讲讲我三年数学的成绩变化吧 初一上半学期，除了最后一次期末没有上过九十（初一啊同志们！现在想想我当时觉得数学难真是naive！我更怀疑我的智商当时是发生了什么！）最后一次考试上了九十，不过也是九十二而已（“呵呵”）。那次考试我们班四个满分（…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/7a8c2ea24ee32d660422efb096e0c206_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&366& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/7a8c2ea24ee32d660422efb096e0c206_r.jpg&&&/figure&&br&数学虐我千百遍，我待数学如初恋！
初高中数学学习有着极大的差异，正视问题，解决问题！当然你还必须有强大的毅力与耐性！（本文阅读需要一定时间，不知道即将成为高中生的你，是否有足够的耐性？挑战一下自己吧！！！也希望你们可以多多关注微信公众号jbbjsx！最全的高中数学视频讲解！）
——金爸爸；&br&一、高中教材简介&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f4fc3a5c35dd48ffebd31_b.jpg& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&298&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/9eedbf63e7c7b_b.jpg& data-rawwidth=&555& data-rawheight=&565& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&555& data-original=&https://pic4.zhimg.com/9eedbf63e7c7b_r.jpg&&&/figure&&br&二、知识的差异 &br&初中数学知识少、浅、难度容易。高中数学知识广，难度大，是对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善——例如函数，将会陆续学到指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，甚至抽象函数等；例如几何，将由初中的平面几何推广到立体几何。 &br&1.抽象与具体的差异——高中知识抽象程度完爆初中！
高中学生普遍感到数学公式枯燥难记忆、数学符号抽象难想象、数学习题晦涩难理解，以函数的概念为例，初中的“变量说”是以生活中的事例为依托通过文字的叙述给出的，抽象程度较低，而高中教材采用了抽象程度更高的“函数映射说”通过引进函数符号f(x)，使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明。初高中课本的函数定义的对比：
初中的定义：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b0ff7b4d793ee34eff1c5a138ce7e7f3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&92& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b0ff7b4d793ee34eff1c5a138ce7e7f3_r.jpg&&&/figure&高中的定义：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/e09cf110d0ab179cbfb74f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&407& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/e09cf110d0ab179cbfb74f_r.jpg&&&/figure&&br&你觉得这样的定义抽象么？而且数学研究对象的抽象性还有逐层递进的特点，如果不能理解抽象程度较低的知识，学习抽象程度较高的知识就会有困难。有一个问题没听懂，后面不懂的就越来越多，致使学生丧失学习的激情，失去学习的兴趣，从而形成数学学习的恶性循环。&br& 2.动态与静态的差异——变才是唯一不变的！
在初中阶段往往习惯于“静态”思维，而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高．所以，为了更好地感知高初中数学的区别，我们先复习圆的以下五个定理．&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/755d4ab5d2c017d4beca1fc_b.jpg& data-rawwidth=&508& data-rawheight=&356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&508& data-original=&https://pic1.zhimg.com/755d4ab5d2c017d4beca1fc_r.jpg&&&/figure&&br&从运动的观点看 P点，如果我们允许P点可以在一条弦上自由运动，当P点运动到使圆中两弦垂直，且其中一条为直径时，其线段间的关系为定理(1)，若P点运动到圆外，则两弦变成割线，即为定理(3)，若其中一条割线变成切线的位置，即为定理(4) ，若另一条割线也变成切线，则成定理(5)了．尽管它们表述的内容不一，但都有△APC∽△DP