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小学优秀教学论文：培养几何直观能力的教学思考
关键词：几何直观&&直观感知&&合情转换&&数形结合
《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》提出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。《普通高中数学课程标准》也提出要培养和发展学生的几何直观能力以及借助几何直观进行推理论证的能力。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。在小学数学教学中，教师应该选择适当的教学内容，培养学生几何直观的能力。
一、对几何直观的本质把握
数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。蒋文蔚先生指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。（《数学教育学报》，1997年第4期）徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。
这些数学家对直观包括几何直观下了定义。综合这些定义，我们认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。直观是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。
二、培养几何直观能力的教学方法
在小学数学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。
1．重视直观感知，突出画图策略的教学。
苏教版四年级（下册）《解决问题的策略》主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。在教学面积计算的问题时，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。首先可以向学生呈现纯文字的例题，面对比较复杂的数学问题，引导学生想到用画图的方法整理条件和问题。接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清楚地理解题意。然后借助示意图分析数量关系，明确先求什么，再求什么，列式解答后，要再结合算式和图说说解题思路。最后反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题的重要作用，感受画图策略的价值。“试一试”和“想想做做”的题目与例题相比有一定变化，解决这些问题后，要引导学生思考：“不画图能准确解决这些问题吗？画图时要注意什么？”加深学生对应用画图策略价值的直观体验。
在小学数学教学中，要重视直观化的教学手段，通过画图（线段图、面积图、示意图等）将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。例如：教学计算题：1+3+5+7+…+99=(& &&&)时，可以设计两个教学层次：第一层次，鼓励学生尝试解答，学生一般会按照等差数列求和的方法进行计算；第二层次，教师介绍画正方形点阵图表示题目的意思，并引导学生看着图，寻找算式与点阵图之间的关系，从中发现规律，得出1+3+5+7+…+99=502=2500。最后，回顾解题过程，使学生体会到，解决复杂问题时，可以换个思路，借助直观图，把复杂的数学问题变得简单，从而找到解决问题的方法。 2．重视直观图形与数学符号的合情转换。教学苏教版六年级（下册）《正比例的意义》，在学生认识正比例的意义后，教材安排了正比例图像的初步认识，借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，为以后的学习作适当孕伏。教学时，根据例1表中的数据，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例关系的图像。在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的数值。再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例的意义。画出图像后，让学生根据图像来判断行驶路程和时间，进一步认识图像上任意一点所表示的实际意义，初步体会正比例图像的实际应用。通过正比例图像与正比例关系式的转换，加深对正比例意义的理解，为今后进一步学习函数知识打下初步的基础。再如，教学《用假设的策略解决实际问题》时，可以提示学生根据自己的假设画出示意图，并根据画出的图分析假设后乘船人数的变化以及产生这种变化的原因，引导学生根据数量发生的变化及时进行调整，推算出每种船的只数，最后进行检验。这一解决问题的过程就涉及直观图与算式的转换，学生借助直观图，抽象出解题思路：假设—比较—调整—检验。在培养学生几何直观能力的教学中，可以通过直观图像与数学符号的互相转换，引导学生逐步学会利用图形描述和分析数学问题。3．重视数与形的结合。苏教版六年级（下册）安排了《用转化的策略解决实际问题》。例1之后的“试一试”是一个有关计算的问题，给出的算式是有规律的：几个分数的分子都是1，分母分别是2、4、8、16，要计算出这几个分数连加的和是多少。为了启发学生运用转化的策略，培养学生初步的几何直观能力，教材呈现了直观图，用大正方形表示1，用正方形中的相关部分分别表示每个分数，整个图形中的涂色部分表示这些加数的和。同时，教材还提示学生“看图想一想，可以把这个算式转化成怎样的算式计算。”& &&&实际教学时，可以分三个层次进行教学，在解决问题的过程中培养几何直观能力。第一层次：指导看图，学会转化。呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法，当学生思维受阻时，出示直观图，先结合各个分数理解直观图中各部分的意义，再启发学生将其转化为1-1/16进行计算。第二层次：适当拓展，突出直观。教师将算式拓展到1+1/2+1/4+1/8+…+1/128，要求学生选择上面的方法进行计算，学生一般会根据画直观图的方法，将算式转化为1－1/128进行计算。这时，教师要引导学生思考：为什么喜欢用画直观图的方法？使学生体会到数与形的完美结合，可以帮助我们将复杂的算式转化成简单的算式进行计算。第三层次：深度思考，强化直观。教师可以启发学生观察分母的特点：分母分别是2、2个2相乘、3个2相乘、4个2相乘……在直观图上先把正方形平均分成2份，取其中的1份；再把剩下的图形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的图形与剩下的图形相等，借助直观图，要求涂色部分的大小，只要用单位“1”减去剩下图形的大小。在应用转化策略解决问题的同时，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，可以培养学生初步的几何直观能力。4．将几何直观能力的培养自觉融入相应的教学过程之中。在教学中，教师可以根据教学内容，适当安排几何直观的教学。例如，三年级教学“平均数”时，可以利用条形统计图，直观理解移多补少的方法，理解平均数的意义。高年级可以补充一些关于“平均数”的问题，如，小明前三次数学考试的平均成绩是93分，第四次数学考试的成绩比四次数学考试的平均成绩高3分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？组织教学时，教师可以根据平均数的意义，通过画面积图帮助学生学会用移多补少的方法解决一些复杂的平均问题，突出直观图在解决数学问题中的作用。根据平均数的意义，阴影部分面积相等，所以第四次考试成绩是：3×1÷3＝1（分），93＋1＋3＝97（分）。当然，在进行几何直观的教学中，离不开合情推理和演绎推理。在利用直观图解决数学问题时，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。几何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程中。
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深刻领会新课标精神,着力培养几何直观能力
2012年第12期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　《义务教育数学课程标准》指出：应注重学生几何直观能力的培养。几何直观能力主要是指借助图形来描述和分析数学问题的能力。它不仅是一种学习方法，更是一种重要的数学思想，在数学学习中具有十分重要的作用。通过利用几何直观的方式，能够将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。因此，我们应该高度重视几何直观能力的培养。下面，笔者联系工作实践，就“小学高年级数学教学中培养学生的几何直观能力”这一问题与各位同仁交流探讨。 中国论文网 /9/view-4174313.htm　　一、准确了解“几何直观”，明白几何直观能力培养的重要性 　　新修订的数学课程标准明确提出了“几何直观”这一概念。几何直观就是指：借助几何图形的形象关系，来描述和分析数学关系。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于找到解决问题的思路。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在数学学习中发挥着重要的作用。概念是反映客观事物本质属性的思维形式，数学概念一般是用定义来揭示其本质属性，用数学符号表示概念的名称。一些数学概念的定义表述或符号表示较为抽象，这给学生在理解上产生了一定的困难，通过几何直观，可以帮助学生突破概念理解上的难点，真正把握概念的实质内涵。 　　几何直观能力的培养具有十分重要的意义：一是有利于描述问题，使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化；二是借助几何直观，有利于发现问题，帮助学生更加容易地找到解题的正确思路；三是几何直观有利于对结果进行表述，有利于学生对表述结果进行记忆。知识并不是通过教师传授灌输给学生，而是由学生依据各自已有的知识和经验，主动地加以建构而获取的。新课程标准强调学生对知识的主动建构，要实现这一过程，必须建立在学生对数学理解的基础上。将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，这样做，有助于加强学生对知识的理解， 　　进而促进学生对数学的理解。 　　教师在对“几何直观”概念进行准确理解后，还应该明白几何直观如何在小学高年级数学教学中的巧妙运用。在具体的教学中，教师应注意以下几点：（1）要充分发挥图形带来的好处。（2）要让学生养成画图的好习惯。（3）重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系。（4）要在学生的头脑中留住些图形。（5）教师应该引导学生学会借助几何图形的关系看到与之相应的自然数字之间的数量关系，让学生经历从具体到抽象的思维训练过程。（6）准确把握几何直观运用的尺度。任何方法都不是万能的，几何直观也是如此。因此，教师应该让学生明白：运用几何直观的根本目的是让学生懂得从具体到抽象的数学思想。 　　二、注重数与形相互结合，培养学生的几何直观意识 　　在解答数学问题时，通常需要用到数字与图形的相互结合，充分借助几何直观来化难为易，较容易地解决相关的问题。因此，在小学高年级数学教学中，我们应该充分利用几何直观的优势，加强数与形的相互结合，让学生体验到几何直观的重要作用，从而培养学生的几何直观能力。在苏教版六年级“解决问题的策略——转化”中安排了一个计算题目。这个计算题是有一定的规律的，这几个分数的分子均为1，分母则依次为2，4，8，16，求这几个分数相加的结果是多少。在进行教学时，应该将几何直观的理念渗透到学生解题的过程中，可以分三个层次进行： 　　1.引导学生仔细看图，学会借助几何直观进行转化 　　3.注重思考的深度，强化直观性 　　教师应该引导学生自学观察分母具有的特点，要求学生在直观图上进行相应的表示，学生借助直观图，很容易看出：涂色部分的大小等于单位“1”，减去剩下图形所占的大小，就是所求图形的大小。 　　总之，在指导学生如何运用转化策略来解决问题时，应该注重对几何直观的运用，从而使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，以此增强学生运用几何直观的意识。 　　三、合理借助几何直观，引导学生进行空间想象 　　在数学教学中，我们应该充分运用几何直观，引导学生进行空间想象，从而提升学生运用几何直观的能力。例如，在教学《长方体长、宽、高的认识》（苏教版六年级上册）时，一般而言，教师只是将这个内容作为一个基本知识点，只是简要地做一下介绍就算完成任务了。下面，我们来看一个教学案例。 　　教师先引导学生分组观察长方体的框架后，再进行小组讨论。然后，教师要求学生去掉其中的一条棱，提问：你能想出它的大小吗？继续对棱进行拆除工作，提问：至少必须保留哪几条棱，才能让你猜想到它的大小呢？学生一边想象，一边交流，最后，大多学生留下了三条棱（相交于一点）。这时，教师再提问：还可以去掉其中的一条棱吗？学生看看留下的三条棱，再想象并比划这个长方体的大小。最后，学生都认识到不能够再去掉一条棱。这时，教师引导学生认识这三条棱分别是长方体的长、宽、高。在这个活动中，教师让学生在经过观察、操作、想象和交流后，不仅让学生认识了长方体的长、宽、高，而且还明白了长方体的大小是由长方体的长、宽、高所决定的，让学生在空间思维的过程中锻炼了几何直观能力。 　　四、让学生多动手操作，提高几何直观能力 　　在小学高年级数学教学中，教师应该注重引导学生通过动手操作实践，让学生在实践中充分借助几何直观的作用，降低教学难度，突破教学难点，提升学生的几何直观能力。 　　很多教师在教学三角形的面积公式时，在学生计算出公式后就不再去思考图形的作用了，而只是一味地侧重于计算。其实，如果教师能够适时地引导学生由公式想象到推导过程，在脑海中形成相关的图形变换推导过程，就能够让学生更加深刻地理解、掌握三角形面积公式的由来，明白图形之间可以在一定条件下相互转化的道理。因此，教师在教学三角形面积公式时，可以这样处理： 　　一是让学生亲自动手，在实践中借助图形变换，推导出三角形面积的计算公式，体验知识形成的过程。可以让学生测一测、折一折、量一量、算一算等，让学生在操作中充分感受到几何直观的重要作用。 　　二是注重还原，加深对公式的理解和巩固。在进行巩固练习时，不应仅仅停留在让学生套用公式计算的层面上，而应该引导学生由公式进行逆向思维，想象三角形面积计算公式的由来以及图形的转化过程，从而进一步加深对三角形面积公式的理解，进一步巩固三角形面积的计算公式。 　　总之，几何直观是一种十分重要的数学解题方法，更是一种重要的数学思想。因此，在小学高年级的数学教学中，教师应该引导学生充分认识到几何直观能力培养的重要意义，培养学生学会借助几何直观的作用，将抽象的问题直观形象化，使复杂的问题变得更加简单，从而不断提升学生的几何直观能力。 　　（作者单位 江苏省泰州师专泰兴附属实验小学）
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浅谈小学生数学几何空间思维能力的培养
【内容摘要】几何初步知识是小学数学基础知识的主要内容之一，本文对小
学数学几何知识教学的特点进行了分析，并介绍了如何在教学过程中，采用丰富的感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象；运用运动变化的观点和几何综合运用，培养学生的空间观念和积累水平；并展开发散思维训练，不断丰富学生的空间思维能力。
【关键字】几何初步，表象，空间观念，空间思维
数学通常概括来说可以分成数和形，小学数学的内容同样也包括数和形两个部分，其中形就是指几何初步知识。几何初步知识是小学数学的基础知识的主要内容之一，在日常生活中有广泛的应用。在小学阶段，学生们主要学习简单的几何基础知识，认识一些常见的图形，了解它们的特征，并学会计算他们的周长、面积、体积等。
由于受传统观念与“应试教育”思想的影响，学校教学中往往只重视求积的计算教学，重视概念教学或者过分强调抽象思维能力的培养，而忽视直观和表象的作用，以至于造成学生对形成几何图形的表象不深刻，空间观念淡漠。因此，在教学过程中，我们就要注意多层次、多渠道地培养和发展学生的空间观念和空间思维。
一、通过丰富的感知活动，让学生形成几何形体的表象
小学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求我们要重视引导学生进行观察等感知活动，通过丰富的感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念，形成一定的空间观念。
对于简单的长方体和正方体，教材的介绍并不容易让学生对此形成直观的感知。往往由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所
以在教学时，老师可以通过学生日常生活中熟悉的实物，如纸盒、铅笔盒、砖块等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。
例如采用常见的纸盒子，我们把空纸盒展开成平面图（见图1.1），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。在这个认识过程中引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，区分长方体和正方体的特点，突出正方体概念所具有的、区别于其它形体的性质是长、宽、高都相等，并充分了解了正方体和长方体之间的关系。
图1.1 长方形纸盒展开平面图 对于几何形体的概念，我们可以进一步通过物体形体间的变换来加深学生对它的理解，形体之间的变换往往还可以激发学生的好奇心，由此产生了强烈的求知欲望和主动探索的兴趣。 比如在学习平行四边形面积时，一般都是采用将平行四边形割补转化为长方形而得出“底×高等于平行四边形面积”的教法。我们可以换一个方式，通过亲手制作道具，用四根木条钉成一个平行四边形，让学生观察平行四边形后，把它拉成一个长方形，提出问题：“这时长方形与原平行四边形相比，面积相等吗？”这一问题的提出，会引发出学生的不同答案：相等、增大了、减小了。争论十分激烈，进而引发学生主动探求，最终得出结论：当平行四边形与长方形底边即长相等时，拉动平行四边形成为长方形，其高变化了，面积相应增大了。这样直观的展现，不仅加深了学生对几何形体的表象，还引发和培养了学生用动态的观点研究平行四边形与长方形面积之间关系的主动探索欲望和求知精神。
图1.2 平行四边形和长方形的变换
二、采用运动变化的观点，培养学生初步的空间观念
对于几何空间这部分知识，学生往往较难建立空间观念，我们就要多创设机会，让学生通过画、量、摆、拼等动手活动，在活动中巩固与加深对抽象知识的理解，进一步培养学生的空间观念。如在接触圆柱的侧面积和体积时，可以设计这样的题：用一张A4的长方形纸张，先让学生用尺量出其长和宽，然后记录下来。接下去将纸卷成圆柱形，那么圆柱的高是（ ）或（ ），底面直径是（ ）或（ ），圆柱形的（ ）是相同的，体积最大会是（ ）。此题有一定的综合性和灵活性。让学生用长方形纸卷一卷，就会发现有两种不同的卷法，但无论哪种卷法，只有侧面积是相同的，体积是不同的，只有以最大的数为底面周长时，体积才会最大。这样就使学生在动手操作的过程中，初步理解几何概念。
在学生运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体的感知，培养初步的空间观念，把丰富的图形变换运动运用到解题中。
1) 化静为动，领会运动变化观点
这是一道求图形阴影部分面积的题目（见图2.1左图），已知图2.1中四块小阴影部分的形状大小面积都相等。空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，或按步就班地先算出一块阴影部分的面积，再算出四块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积。
图2.1 具有四小块相同形状大小阴影部分的长方形
如果化静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中空白十字的移动，合并四个阴影部分，使它们变换成图2.2的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积。
图2.2 长方形阴影部分的变换
2) 多角度变换，启发空间思考
如在涉及到立体图形时，针对立体的表面积计算，我们就可以设计出一些巧妙、具有较高思维价值的题目，通过多角度的空间变换，组合和分离，来启发学生的空间思考：
（1）把一个长15厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体木条沿横截面切2段后，表面积增加了多少？
（2）一个底面直径9厘米，高6厘米的圆柱体沿底面直径切开后，表面积增加了多少？把这个圆柱截成两个小圆柱后，表面积又有什么变化？
（3）把3个棱长为6厘米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少了多少？
分解、组合平面图形和进行图形的变换，在学习几何概念和几何图形计算时具有重要的意义。一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，为将来学习图形的变换积累一些感性经验，另一方面有助于发展学生的空间观念。如果学生掌握了图形的本质特征，通过领会几何空间运动变化的观点，不论图形的形状、大小、方位等如何变化，都能方便正确地求解。
三、联系几何知识综合运用，提高空间观念的积累水平
在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，我们需要帮助学生进一步贯通几何知识内在的联系。我们可以把学过的几何知识和具有代表性的题目通过变式，强化综合运用知识解题的灵活性，引导学生的空间思考能力，以利于提高空间观念的积累水平。
1) 在学生具有初步几何空间知识后，我们可以设计综合几何题型来锻炼学生的空间分析能力。这是一道圆柱体和长方体组合的题目：在一只底面半径是10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块：
（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？
（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
对于此题的解答，我们可以对学生进行实验演示，或者先让学生大胆地想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。
图3.1 圆柱形玻璃瓶和长方体铁块
第（1）小题，学生可以很容易地理解，把铁块横放在水中，铁块将会全部浸没。上升的容积就是铁块的体积。
若用算术方法解：则水面上升部分的容积（也就是铁块体积）÷圆柱底面积=水面上升的高度，即15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）；
第（2）小题，我们首先要让学生思考，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。因为横放在水中，水面只上升了约3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。
若用方程解：我们假设把铁块竖放在水中，水面上升到x厘米，则当前水面的总容积-铁块浸没在水中的体积=原来水面的总容积，即：102×3.14×x- 82×x= 102×3.14×8。
解得：x≈10（厘米），得到水面上升为：10-8＝2（厘米）。
2) 对于很多几何应用题，解题所需的条件并不是完全已知的，需要学生通过分析提炼出隐蔽的数据，这部分需要学生具有一定的综合分析能力。我们设
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、行业资料、各类资格考试、专业论文、外语学习资料、浅谈小学生数学几何空间思维能力的培养53等内容。　
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