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初中数学审核员
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二次根式的乘除
ab （a≥0，b≥0），
b （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和
由具体数据，发现规律，导出
ab （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，
b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
教学重难点关键
ab （a≥0，b≥0），
b （a≥0，b≥0）及它们的运用．
难点：发现规律，导出
ab （a≥0，b≥0）．
关键：要讲清
ab （a<0,b、0）和
（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利
用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
1．重点：理解
（a≥0，b>0），
（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
=________，
=_________；
=________，
=________；
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
（老师点评）
二、探索新知
（a≥0，b>0），
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（a≥0，b>0）
四、应用拓展
x2 ? 5x ? 4
例 3．已知
x 为偶数，求（1+x）
分析：式子
时才能成立．
6<x≤9，又因为
x 为偶数，所以
?9 ? x ? 0
解：由题意得
?x ? 6 ? 0
（a≥0，b>0）及其运用．
21.2 二次根式的乘除(3)
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最
简二次根式的要求．
重难点关键
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
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一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）
1．计算（1）
老师点评：
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是
h1km，h2km，那么它们的传播半
径的比是_________．
它们的比是
二、探索新知
观察上面计算题
1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐
3～4 个人到黑板上板书．
老师点评：不是．
四、应用拓展
3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
2 ?1)( 2 ?1)
同理可得：
4 - 3 ，……
五、归纳小结
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
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21.3 二次根式的加减(1)
二次根式的加减
理解和掌握二次根式加减的方法．
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用
它来指导根式的计算和化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
一、复习引入
学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系
数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
8 -3 8 +5 8
老师点评：
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（1）如果我们把
x，不就转化为上面的问题吗？
2 +3 2 =（2+3）
8 +5 8 =（2-3+5）
7 +2 7 +3 7 =（1+2+3）
3 看为 x，
3 -2 3 + 2
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如
8 表面上看是不相同的，但它们可以合
并吗？可以的．
3 +3 3 =6 3
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行
例 1．计算
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行
18 =2 2 +3 2 =（2+3）
x +8 x =（4+8）
例 2．计算
48 + 20 ）+（
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解：（1）3
3 -3 3 +6 3 =（12-3+6）
48 + 20 ）+（
20 + 12 - 5
5 +2 3 - 5 =6
三、巩固练习
四、应用拓展
例 3．已知
4x2+y2-4x-6y+10=0，求（
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即
y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2=0
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行
六、布置作业
1、2、3、5．
2．选作课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1．以下二次根式：①
3 是同类二次根式的是（
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2．下列各式：①3
3 +3=6 3 ；②
2 ，其中错误
二、填空题
3a 是同类二次根式的
有________．
2．计算二次根式
a +9 b 的最后结果是________．
三、综合提高题
5 ≈2.236，求（
45 ）的值．（结果精确到
2．先化简，再求值．
xy3 ）-（4x
36xy ），其中
三、1．原式=4
×2.236≈0.45
xy +3 xy -（4
xy ）=（6+3-4-6）
xy =- xy ，
时，原式=-
21.3 二次根式的加减(2)
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
运用二次根式、化简解应用题．
通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
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重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
一、复习引入
上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式
化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例 1．如图所示的
Rt△ABC 中，∠B=90°，点
BA 边以 1 厘米/秒的速度向点
2 厘米/秒的速度向点
C 移动．问：几秒后△PBQ
的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
x 秒后△PBQ
35 平方厘米，那么
PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出
35 平方厘米．
PB=x，BQ=2x
依题意，得：
35 秒后△PBQ
35 平方厘米．
PB2 ? BQ2 ?
x2 ? 4x2 ? 5x2 ?
35 秒后△PBQ
35 平方厘米，PQ
5 7 厘米．
例 2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到
分析：此框架是由
AB、BC、BD、AC
组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．
解：由勾股定理，得
AD2 ? BD2 ?
42 ? 22 ? 20 =2 5
BD2 ? CD2 ?
22 ?12 = 5
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所需钢材长度为
AB+BC+AC+BD
5 + 5 +5+2
≈3×2.24+7≈13.7（m）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要
13.7m 的钢材．
三、巩固练习
四、应用拓展
例 3．若最简根式
3a?b 4a ? 3b 与根式
2ab2 ? b3 ? 6b2 是同类二次根式，求
a、b 的值．（同类二
次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式
2ab2 ? b3 ? 6b2 不是最简二次根式，因此把
2ab2 ? b3 ? 6b2 化简成|b|·
2a ? b ? 6 ，才由同类二
次根式的定义得
3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式
2ab2 ? b3 ? 6b2 化为最简二次根式：
2ab2 ? b3 ? 6b2 = b2 (2a ?1? 6) =|b|· 2a ? b ? 6
?4a ? 3b ? 2a ? b ? 6
?3a ? b ? 2
?2a ? 4b ? 6
?3a ? b ? 2
∴a=1，b=1
五、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
六、布置作业
2．选用课时作业设计．
一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为
5 和 5，那么斜边的长应为（
）．（结果用最简二
D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为
30cm 和 20cm 的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方
形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（
）米．（结果同最简二次根式表示）
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的
2 倍，它的面积是
1600m2，鱼塘的宽是
_______m．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为
2 ，那么这个等腰直角三角形的周长是
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________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1．若最简二次根式
3m2 ? 2 与 n ?1 4m2 ?10 是同类二次根式，求
m、n 的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式
a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们
又学习了二次根式，那么所有的正数（包括
0）都可以看作是一个数的平方，如
5 ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
2 -1）2=（
2 ）2-2·1·
2 +12=2-2 2 +1=3-2 2
4 ? 2 3 ；
（3）你会算
a ? 2 b = m ?
的关系是什么？并说明理由．
答案:一、1．A
??3m2 ? 2 ? 4m2 ?10
??m ? ?2 2
三、1．依题意，得
??n ?1 ? 2
??m ? ?2 2
??m ? ?2 2
( 2 ?1)2 = 2 +1
4 ? 2 3 = ( 3 ?1)2 = 3 +1
4 ? 2 3 ? (
3 ?1)2 = 3 -1
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?m ? n ? a
理由：两边平方得
?a ? m ? n
21.3 二次根式的加减(3)
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、
相除；乘法公式的应用．
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
（1）（2x+y）·zx
（2）（2x2y+3xy2）÷xy
（1）（2x+3y）（2x-3y）
（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项
式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的
改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的
是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次
根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例 1．计算:
6 + 8 ）×
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（
24 =3 2 +2
6 -3 2 ）÷2
例 2．计算
5 +6）（3-
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分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（
5 +6）（3-
5 ）2+18-6
10 - 7 ）=（
三、巩固练习
P20 练习 1、2．
四、应用拓展
例 3．已知
a、b 是实数，且
，并求值．
分析：由于（
x ?1 + x ）（
x ?1 - x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通
过解含有字母系数的一元一次方程得到
x 的值，代入化简得结果即可．
x ?1 ? x)2
x)( x ?1 ? x)
x ?1 ? x)( x ?1 ?
( x ?1 ? x)2
(x ?1) ? x
(x ?1) ? x
=（x+1）+x-2
x(x ?1) +x+2 x(x ?1)
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作业
2．选用课时作业设计．二次根式练习题；____班姓名__________分数_____；一、选择题（每小题3分，共30分）；1．若3?m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤；2．下列式子中二次根式的个数有（）；1⑴3；⑵?3；⑶?x2?1；⑷8(?1；⑸；3)2；；⑹?x(x?1)；⑺x2?2x?3.A．2个B；a?2；3．当a?2有意义时，a的取值范围是（）A．a≥；4．下列计
二次根式练习题
____班 姓名__________ 分数__________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若3?m为二次根式，则m的取值为
） A．m≤3
2．下列式子中二次根式的个数有
⑴3；⑵?3；⑶?x2?1；⑷8(?1；⑸
；⑹?x(x?1)；⑺x2?2x?3. A．2个
3．当a?2有意义时，a的取值范围是
） A．a≥2
4．下列计算正确的是
(?4)(?9)??4??9?6
?4)(?9)?4?9?6
③52?42?5?4?5?4?1；④
52?42?52?42?1； A．1个
D．4个 5．化简二次根式
6．对于二次根式
?9，以下说法不正确的是
） A．它是一个正数
B．是一个无理数
C．是最简二次根式
D．它的最小值是3
7．把ab分母有理化后得
ax?by的有理化因式是
9．下列二次根式中，最简二次根式是
110．计算：b
二、填空题（每小题3分，共分）
11．当x___________时，?3x是二次根式．
12．当x___________时，3?4x在实数范围内有意义． 13．比较大小：?32______?23．
____________；252?242?__________． 15．计算：35a?2b?___________．
16．计算：
a2=_________________． 17．当a=3时，则
?___________． x?2
3?x成立，则x满足_____________________．
三、解答题（46分）
19．(8分)把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
⑶16y2?15；
20．（12分）计算：
⑴?3??16)(?36)
35?23?(?1⑶2)
⑷x?10?1y?z．
21．（12分）计算：
⑵0.25?144；
23?213?123a5?(b?21)⑶
22．（8分）把下列各式化成最简二次根式：
23．（6分）已知：x?
初中数学二次根式拓展提高综合题
一、单选题(共8道，每道12分) 1.设a,b,c都是实数,且满足A.-5
5.在如图所示的数轴上,点B和点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是
和-1,则点C所对应的
实数是()A.C.
6.比较大小:
D.无法判断
7.化简A.C. 8.若
的结果是()
,则代数式=()
参考答案： 一、选择题
1．A；2．C；3．B；4．A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．D；10．A． 二、填空题
11．≤3；12．≤4；13．＜；14．3，7；15．302ab；16．a；17．32；18．2≤x＜3．
三、解答题
19．⑴(x?)(x?)；⑵(2a?7)(2a?)；⑶(4y?)(4y?)；
⑷(3x?2y)(3x?2y)；20．⑴?243；⑵2；⑶?43；⑷10xyz
3c221．⑴?
4；⑵20；⑶1；⑷4；22．⑴33；⑵ ?4a2bc；23．18．
拓展提高综合题答案
一、单选题(共8道，每道12分)
试题难度：三颗星
知识点：二次根式的双重非负性
试题难度：三颗星
知识点：二次根式的双重非负性
试题难度：三颗星
知识点：二次根式的双重非负性
试题难度：三颗星
知识点：二次根式的化简求值
试题难度：三颗星
知识点：数轴表示无理数
试题难度：三颗星
知识点：比较大小
试题难度：三颗星
知识点：完全平方式的应用
试题难度：三颗星
知识点：完全平方公式的运用
三亿文库包含各类专业文献、应用写作文书、中学教育、各类资格考试、生活休闲娱乐、高等教育、文学作品欣赏、行业资料、71初中数学二次根式练习题等内容。　
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