七个千僖年数学难题和希尔伯特二十三个问题
最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
“千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
希尔伯特的23个问题
希尔伯特（Hilbert
D,~）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
（15）注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
可见，希尔伯特提出的问题是相当艰深的。正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大的努力。
自从《２１世纪１００个科学难题》出版之后，希尔伯特的名字也逐渐为更多的人知道，由于数学，特别是现代数学，很难为一般人所理解，自然，数学在媒体上难得有什么地位，而数学家的名字听起来也格外陌生了。无论国外国内，稍有科学素养的人都知道牛顿和爱因斯坦。无疑，牛顿应该是有史以来最伟大的科学家，而爱因斯坦是２０世纪最伟大的物理学家。但是，谈起２０世纪的数学，我想，至少应该记住三个人的名字：庞加莱、希尔伯特和冯·诺伊曼，他们是２０世纪最有影响的数学家。庞加莱是非线性数学（如现代时髦的浑沌理论）的奠基人以及当代数学女王——拓扑学的创建者。冯·诺伊曼被称为"计算机之父"和现代计算数学的奠基人，而数理经济学和对策论（一译博奕论）也由他首先取得突破的。而对２０世纪主流数学——结构数学有巨大影响的当属希尔伯特。　
希尔伯特通过两条途径对２０世纪数学施加影响：一条是通过自己遍及数论、代数、几何、分析以及数学基础的工作，一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学发展的方向。他之所以能做到这点，除了他的天才和格廷根的优美环境之外，就要归结为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望，不断地去深入理解数学的任何一个部门。总之，使数学成为生活中不可或缺的东西。笔者在格廷根的档案馆中发现他的记录和笔记中，有一部分是他取得博士学位以后，访问国内国外知名数学家的记录；另有三大本笔记，详细记录他提出的各种问题以及对各种问题的思考；而他在１９００年８月８日关于《数学问题》的报告显然不是急就章，而是长年思考积累的结果。　
　　希尔伯特的报告不是大会报告，而是数学史组的分组报告，从这个意义上来讲，那时人们的确重视科学发展的历史，而也正是这种重视历史的心态，才使这些最伟大的数学家成就其历史的伟业。从另外一个意义上来讲，希尔伯特的２３个问题是一个继往开来的文献，说它继往，是它总结了１９世纪几乎所有未解决的重要问题；说它开来，是这些问题的确推动了２０世纪数学的进步。因此各数学大国，美国、前苏联、日本以及法国、德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状，并进一步提出新的问题。这里我们也极简单地概括一下，欲知其详，则有待于专著的问世。　
　　希尔伯特的２３个问题分属四大块：第１到第６问题是数学基础问题；第７到第１２问题是数论问题；第１３到第１８问题属于代数和几何问题；第１９到第２３问题属于数学分析。从顺序上讲，显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上，他自己的工作也正为缔造数学大厦牢固的基础而努力。从１９世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他还是集合论最早的少数支持者之一，把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以解释他为什么把集合论头号问题——连续统假设列为自己的第１问题。希尔伯特通过自己的工作包括他的基础问题对于２０世纪数理逻辑的发展起了决定性的影响。但是希尔伯持的纲领却由于哥德尔１９３０年的不完全性定理而不能实现，从此数理逻辑走向独特的发展道路。从新的观点看，第１、第２以及第１０问题属于数理逻辑的范围，第３、第４、第５、第６属于较为具体的学科。从某种意义来讲，这些问题可以说都在不同程度上得到解决。　
　　数论这一块是希尔伯特本人在１９００年之前最为关注的领域，他本人的工作对这领域的发展也有决定性的影响。出乎他本人的预料，第７问题在他在世时已经解决，而第８问题的黎曼猜想却至今还距离完全解决尚远，成为未来世纪数学家的头号难题。由第１２问题衍生出的朗兰兹（ＬａｎｇＬａｎｄｓ）纲领，更是远未解决，而其它４个问题可以说已经基本解决。　
　　２０世纪的代数学已由方程论和不变式论发展为抽象代数学或近世代数学，这条发展路线虽然同希尔伯特问题关系不大，但的确是在希尔伯特本人工作的影响之下发展起来的。１３、１４和１７这三个代数问题可以说基本解决，它们也给２０世纪数学带来新的方向。几何的三个问题中，第１５问题对于代数几何学的严格化有重要影响，而代数几何学在２０世纪是一门对各方面都有巨大影响的主流学科，它的基础已经建立在交换代数学的基础上。与此相反，１６问题前半的实代数几何学进展不大，尽管希尔伯特的问题有很大进步。１６问题后半的极限环问题经过一个世纪的努力可以说进展甚微，具体讲每一个重要进展在多年之后都发现不对。１８问题共有三问，前两问已经圆满解决，而第三问则发展成一个十分活跃的领域，特别是开普勒（就是发现行星运动的三定律的那位）猜想终于在本世纪结束之前完全证明。　
　　希尔伯特的５个分析问题，可以说都基本解决。希尔伯特从１９００年起研究分析，特别是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之，希尔伯特２３个问题有４个问题仍是下世纪的大问题（第８、第１２、１６Ｂ、１８Ｃ），而其他问题则应在基本解决的基础上提出更多更新的问题。　
　　回顾一个世纪数学的发展，我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的问题，把２０世纪数学带上一条健康发展的道路。当然，即使像希尔伯特这样的数学巨人，也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作，Ｅ·嘉当关于李代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是，他的工作和他的问题同２０世纪特别是上半世纪一半以上的数学研究有联系。而到２０世纪末，数学已发展成如此庞大的领域，已经找不到一个人来提出全面数学问题的清单，他的工作需要几十人来代替。这些领袖人物虽然不像希尔伯特那样广博，但决不是狭窄领域的专家，他们都多少继承希尔伯特的基因，在学科交叉上看到数学未来的前沿。而这正预示着下一世纪数学辉煌的前景，也是解决老问题，提出新问题的关键所在。　
希尔伯特的２３个问题简介
希尔伯特的２３个问题希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ　Ｄ·，１８６２．１．２３￣１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
　　１９００年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特２３个问题"。
　　１９７５年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
　　１９７６年，在美国数学家评选的自１９４０年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
世界数学中心的转移
数学研究在古代只是在少数地方，由少数学者所从事的活动，到了17、18世纪，由于数学教育的发展，数学知识的传播，数学迅速地在英国、法国、德国、意大利、俄国等国发展起来．其中最突出的有一个是法国数学学派，他们中的大多数来自巴黎理工科大学，另一个是以哥廷根大学为中心的德国数学学派．发展成为一个广阔的分析领域，并得到广泛的应用．接着活跃在数学界的是法国的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒让德．拉格朗日在方程论方面丰富了代数学的内容，在数论、连分数、微积分、微分方程、变分法等方面都写了大量的论文．傅立叶和柏松是19世纪初叶的法国两颗数学明星，他们都从事应用数学的研究，并且在巴黎高等理工科大学任教．1822年，傅立叶发表了著名的《热的解析理论》，这是数学理论应用于物理的典范，它开辟了近代数学的一个巨大分支——傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换，这些统称为傅立叶分析．在数学分析的发展史上，极限理论的建立具有划时代的意义，这一工作是由大数学家柯西、外尔斯特拉斯等人完成的．柯西出生于巴黎，1805年入巴黎高等理工科大学，并获得拉格朗日和拉普拉斯的赏识．柯西兴趣广泛，他的数学专著、讲义和论文据统计超过七百种，有
26卷之多，在数量上仅次于欧拉．柯西是数学分析方面集大成的人物，数学分析方面主要著作有三本：《分析教程》、《无穷小计算概要》和《微分学讲义》．这几部著作具有划时代的价值，给出分析学一系列基本概念的严格定义，奠定了以极限论为基础的现代数学分析体系．
19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大师．庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献的最后一个人．他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学的研究方面部具有开创性的工作，并产生深远的影响．到本世纪初，法国数学渐渐集中在函数论方面，出现了波莱尔、勒贝格、毕卡等大数学家．由于第一次世界大战法国把年青的数学家和大学生都送到前线大批死亡，这个函数论的王国后继乏人，加上过份狭窄的研究领域，法国数学失去了世界数学中心的地位．
　　对20世纪数学的开创和发展起着核心作用的是德国哥廷根数学学派．20世纪哥廷根学派的全盛时期是从克莱因、希尔伯特开始的．克莱因以其著名的《埃尔朗根纲领》闻名于世，他从变换群的观点出发，把当时已有的各种几何学加以分类，他是哥廷根学派的组织者和领导者．希尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一连串无与伦比的数学成就，使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的领袖人物．
1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表示他将领导新世纪的数学新潮流．从1900年到1933年，德国的哥廷根大学成为世界数学的中心．在哥廷根，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；女数学家诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路．以上极不完全的列举，已足以证明，德国的哥廷根确是国际数学中心．
　　1933年希特勒法西斯上台，把哥廷根学派全毁了．疯狂的排犹，使得哥廷根的主要数学家移居美国．这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了(/4522480.html)．
　　爱因斯坦(，伟大的物理学家)
　　弗兰克(J．Franck，．1925年获诺贝尔物理学奖)
　　冯·诺依曼(，本世纪杰出数学家之一)
　　柯朗(，哥廷根数学研究所负责人)
　　哥德尔(，数理逻辑学家)
　　诺特(，抽象代数奠基人之一)
　　费勒(W．Feller，，随机过程论的创始人之一)
　　阿廷(，抽象代数奠基人之一)
　　费里德里希(K．Friedrichs，，应用数学家)
　　外尔(，本世纪杰出的数学家之一)
　　德恩(，希尔伯特第3问题解决者)
　　此外还有波利亚、舍荀(Szeg&)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)．
　　外尔和冯·诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，诺特则在普林斯顿附近的Max
Bown女子学院，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所．从此以后，美国数学居世界领先地位，普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心，一直至今．
　　俄罗斯是当今的又一数学大国．俄国的数学有良好的传统，早在18世纪，欧拉这位大数学家在彼得堡工作过31年，19世纪俄国出现了创立非欧几何蜚声全球的数学家罗巴切夫斯基．19世纪后半叶，切比雪夫培养了马尔柯夫、李雅普诺夫等优秀数学家，形成了以切比雪夫为首的彼得堡学派．进入20世纪以后，莫斯科学派发展迅速，在函数论方面作出巨大世界贡献，自20年代以来，莫斯科的函数论学派取代法国跃居首位．该学派的创始人是叶戈洛夫和鲁金．莫斯科学派人才济济，亚历山大洛夫是本世纪拓扑学奠基人之一；柯尔莫戈洛夫是一位数学天才人物，他将概率论公理化尤为人所称道；邦德里雅金是著名的拓扑学专家等．康脱洛维奇也是苏联著名数学家．他最出名的工作是在研究国民经济计划上提出的线性规划解法，目前已成为经济数学最基本的课题，具有强大的生命力．为此获得1975
年诺贝尔经济奖．60年代以后，苏联数学更有重大进展，阿诺德(Arnold)、诺维科夫(Novikov)、曼宁(Mannin)等年轻人在拓扑学上有重要成就．现在的莫斯科也被人们视为世界的数学中心之一．
在本世纪20年代末30年代初，法国的一批年青的数学家迪多内
(Dieudonnē，1906～)，威伊(A．Weil，1906～)，亨利·嘉当(H．Cartan，1904～)，薛华荔(C．
Chxxxxley，)，组成了名为布尔巴基(Bourbaki)的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义，研究整个数学，编著《数学原本》，在二次大战后风靡一时，对20世纪数学有深远影响．“布尔巴基”现在还活着，但是已经老了，更年轻的法国数学家在开拓新领域．现在巴黎又恢复了西欧数学中心的地位．
值得一提的是波兰数学．这个曾被瓜分的小国，在1920年开始数学起飞，他们集中在一个相对狭窄的领域里：集合论与泛函分析，形成了自己的特色，出现了一批杰出的数学家如巴拿赫(Banach，)，夕尔宾斯基(Sierpinski，
)等人．他们的学生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人后来移居美国等地，在世界数坛著称．
日本，在1898年派遣高木贞治到德国哥廷根随希尔伯特学习代数数论．1920年他创立实域论，使日本数学挤身于先进之列．第二次大战后，小平邦彦、广中平祐等人又获世界最高数学奖——菲尔兹奖，与世界水平的差距不断缩小．
数学大国美国和俄罗斯继续领先，西欧紧随其后，日本正在迎头赶上．
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