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1.75亿学生的选择
(2014o莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.(1)求抛物线的表达式;(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.
zhangying01185
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1.75亿学生的选择
(1)由题意,可得C(1,3),D(3,1).∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y=ax2+bx.∴,解得,∴抛物线的表达式为:y=-x2+x.(2)存在.设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入,求得k=,∴直线OD解析式为y=x.设点M的横坐标为x,则M(x,x),N(x,-x2+x),∴MN=|yM-yN|=|x-(-x2+x)|=|x2-4x|.由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.∴|x2-4x|=3.若x2-4x=3,整理得:4x2-12x-9=0,解得:x=或x=;若x2-4x=-3,整理得:4x2-12x+9=0,解得:x=.∴存在满足条件的点M,点M的横坐标为:或或.(3)∵C(1,3),D(3,1)∴易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为y=x.如解答图所示,设平移中的三角形为△A′O′C′,点C′在线段CD上.设O′C′与x轴交于点E,与直线OD交于点P;设A′C′与x轴交于点F,与直线OD交于点Q.设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),则图中AF=t,F(1+t,0),Q(1+t,+t),C′(1+t,3-t).设直线O′C′的解析式为y=3x+b,将C′(1+t,3-t)代入得:b=-4t,∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t.∴E(t,0).联立y=3x-4t与y=x,解得x=t,∴P(t,t).过点P作PG⊥x轴于点G,则PG=t.∴S=S△OFQ-S△OEP=OFoFQ-OEoPG=(1+t)(+t)-otot=-(t-1)2+当t=1时,S有最大值为.∴S的最大值为.
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(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.设点M的横坐标为x,则求出MN=|43x2-4x|;解方程|43x2-4x|=3,求出x的值,即点M横坐标的值;(3)设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),利用平移性质求出S的表达式:S=-16(t-1)2+13;当t=1时,s有最大值为13.
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二次函数综合题;平行四边形的判定与性质;坐标与图形变化-平移.
考点点评:
本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点,有一定的难度.第(2)问中,解题关键是根据平行四边形定义,得到MN=AC=3,由此列出方程求解;第(3)问中,解题关键是求出S的表达式,注意图形面积的计算方法.
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>>>已知圆C的方程为:x2+y2=4(1)求过点P(2,1)且与圆C相切的直线l的方..
已知圆C的方程为:x2+y2=4(1)求过点P(2,1)且与圆C相切的直线l的方程;(2)直线l过点D(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=23,求直线l的方程;(3)圆C上有一动点M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点Q的轨迹方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详
(1)当k不存在时,x=2满足题意;当k存在时,设切线方程为y-1=k(x-2),由|2-k|k2+1=2得,k=-34,则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0;(2)当直线l垂直于x轴时,此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,3)和(1,-3),这两点的距离为23,满足题意;当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d,∴d=22-(232)2=1,即|2-k|k2+1=1,解得:k=34,此时直线方程为3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1;(3)设Q点的坐标为(x,y),∵M(x0,y0),ON=(0,y0),OQ=OM+ON,∴(x,y)=(x0,2y0),∴x=x0,y=2y0,∵x02+y02=4,∴x2+(y2)2=4,即x24+y216=1.
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据魔方格专家权威分析,试题“已知圆C的方程为:x2+y2=4(1)求过点P(2,1)且与圆C相切的直线l的方..”主要考查你对&&直线与圆的位置关系,动点的轨迹方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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直线与圆的位置关系动点的轨迹方程
直线与圆的位置关系:
由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 其图像如下: 直线和圆的位置关系的性质:
(1)直线l和⊙O相交d<r(2)直线l和⊙O相切d=r;(3)直线l和⊙O相离d>r。直线与圆位置关系的判定方法:
(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由&推出mx2+nx+p=0,利用判别式△进行判断.△&0则直线与圆相交;△=0则直线与圆相切;△&0则直线与圆相离.(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆,圆心到直线的距离 d&r则直线和圆相交;d=r则直线和圆相切;d&r则直线和圆相离.特别提醒:(1)上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷,而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.(2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.
直线与圆位置关系的判定方法列表如下:
直线与圆相交的弦长公式:
(1)几何法:如图所示,直线l与圆C相交于A、B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长。设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|= (2)代数法:直线l与圆交于直线l的斜率为k,则有当直线AB的倾斜角为直角,即斜率不存在时,|AB|=&动点的轨迹方程:
&在直角坐标系中,动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法:
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法:利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件;3、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x′,y′表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。一般地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。 4、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少)。 5、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤:
(l)建系,设点建立适当的坐标系,设曲线上任意一点的坐标为M(x,y);(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)};(3)列式用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,&
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