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6-2-2_旋转体体积
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旋转体的体积计算_百度文库
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旋转体的体积计算
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第五章&& 定积分及其应用
第一节&& 定积分的概念与性质
定积分的定义、定积分的几何意义
定积分的定义
理解定积分概念及性质和定积分的几何意义
基&&& 本&&& 内&&& 容
定积分的产生背景，一方面是为了解决几何中一般平面区域的面积和空间立体的体积，另一方面是为了解决物理中变速直线运动的路程及变力做功等问题。
定积分是微积分学的重要内容之一，它与不定积分有着密切的内在联系，定积分的计算也主要是通过不定积分来解决。
一、问题的提出
1、曲边梯形的面积
面积的定义：边长为1个单位的正方形面积为1平方单位。
长为m单位、宽为n单位的长方形面积为：，即长方形面积=长×宽
平行四边形的面积=底高
三角形的面积
任意直边形的面积都可归为三角形的面积来求。
问题：对一般的由曲线围成的平面区域的面积如何来求？
一般的平面区域可归结为以下几种图形的面积：
其中，曲边三角形是曲边梯形的特例。
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线，直线、及轴所围成的平面图形叫做曲边梯形。即平面点集（如图）。
（1）分割：在区间内插入若干个分点，把区间分成个小区间，长度为；
(2)近似代替、求近似和：在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形面积为，曲边梯形面积的近似值为；
（3）取极限：当分割无限加细，即小区间的长度的最大值，令得曲边梯形面积为。
2、求变速直线运动物体的位移
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程。
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割：， ，
（2）近似代替、求近似和：，
（3）取极限：，路程的精确值
3、求变力所作的功
设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动至点b。求物体在位移区间[a, b]上力F对物体所做的功W。
思路：把区间[a, b]分割成若干个小区间，每个小区间上力F看作不变，求出各小区间上力F对物体所做的功再相加，便得到力F对物体所做的功W的近似值，最后通过对区间[a, b]的无限细分过程求得功W的精确值。
(1）分割：， ，
（2）近似代替、求近似和：，
(3）取极限：，功W的精确值
二、定积分的定义
1、定义：设函数在上有界，在中任意插入个分点
把区间分成个小区间，各小区间的长度依次，，在各小区间上任取一点（），作乘积 并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称函数在区间上可积，极限称为函数在区间上的定积分，记为
按定积分的定义，有
&(1) 由连续曲线，直线、及轴所围成的曲边梯形的面积为
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
(2) 设物体运动的速度，则此物体在时间区间内运动的距离s为
(3) 变力在区间内对物体所作的功W为
（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。
（2）定义中区间的分法和的取法是任意的.
（3）无界函数是不可积的，即函数有界是可积的必要条件。
(4)有限区间上的连续函数是可积的，有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的。&&&&&&&
(5)在定积分的定义中，我们假定，如果，我们规定。特别地，当a = b 时，有。
2、定积分的几何意义
&曲边梯形的面积
&曲边梯形的面积的负值
几何意义：定积分是介于轴、函数的图形及
两条直线，之间的各部分面积的代数和。在轴上方的面积取正号；在轴下方的面积取负号。
3、定积分的近似计算
如果对区间[a,b]进行等分，则，
如果取（右端点），则
特别地，当 [ a, b ] = [0,1] 时，
对一确定的n,记 ,则
例1 &求抛物线 直线 和轴所围成的曲边梯形的面积。
解： 1）取将区间[0，1]分成n个小区间，记
第i个窄条的面积用长为，高为的小矩形面积来近似代替。
2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：
3) 取的极限，得曲边梯形面积：
三、定积分的性质
性质1（被积函数的可加性）：若f、g在[a, b]上可积，则 f±g在[ a, b]上也可积，且
（根据定义证明）
此性质可推广到有限个函数。以下假定所给函数的积分都是存在的。
性质3（积分区间的可加性）：& &（为的分点）
推广：不论a，b，c 的相对位置如何都有
性质5（非负性）：若则
推论1（不等式性质）： 若则
推论3：若则
性质6（积分中值定理）：若则在上至少存在以一点，使得下式成立
例2 不计算定积分的值，比较的大小。
&&&&&&&&&&&&&
1.定积分概念
2.定积分的实质：特殊和式的极限
3.定积分的思想和方法：
作业 ：P212&&&& 1;2;3;7;8。
第五章&& 定积分及其应用
第二节&& 微积分基本公式
掌握积分上限函数的求导定理，牛顿—莱布尼茨公式。
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
理解积分上限的函数及其求导定理，掌握牛顿——莱布尼兹公式。
基&&& 本&&& 内&&& 容
引例：变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程。
变速直线运动中路程为，另一方面这段路程可表示为，故
一、积分上限函数及其导数：
1、定义1：设函数在区间上连续，并且设为上的任一点，考察定积分
如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记称为积分上限函数。
同样可定义积分下限函数：
2、积分上限函数的导数
定理１ 如果在上连续，则积分上限的函数在上可导，且
由积分中值定理得,
推论：如果连续，、可导，则的导数为
解：（型未定式，应用洛必达法则）
定理2（原函数存在定理）如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数。
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）如果是连续函数在区间上的一个原函数，则。
证：& 已知是的一个原函数，又 也是的一个原函,,
注意当时，仍成立。
例2计算 （n为正整数）
解：为的一个原函数，
例3 计算曲线在上与轴所围成的平面图形的面积。
例4计算由曲线、直线以及二坐标轴所围图形的面积S。
解：两曲线的交点坐标为(1, 2)。
例5 汽车以每小时36km速度行驶，到某处时要减速停车。设加速度为。问从开始刹车到停车，汽车共驶过多少距离？
解：设开始刹车的时刻为,此时速度为。经过时刻t 时的速度为，汽车停止时的速度为0，即t =2。
例6 设在[0,+∞)内连续且。证明函数在(0, +∞)内单调增加。
所以，在( 0, +∞)内单调增加。
1.积分上限函数
2.积分上限函数的导数
3.微积分基本公式
思考题：设在上连续，则与是的函数还是与的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
作业：P217&&& 1. 、 2、3 (1)(3)(5)、5
第五章&& 定积分及其应用
第三节& 换元法和分部积分法
掌握定积分的换元法和分部积分法。
第一类换元及第二类换元法。
掌握定积分的换元法与分部积分法
基&&& 本&&& 内&&& 容
上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，因此求定积分的主要方法也是换元积分法和分部积分法。
解一：先用换元法求不定积分。令，则 ，
将t换成x, 得：
解二：用换元法直接求定积分。
当 从0连续地增加到4时，相应地从1连续地增加到3。
由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量。
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式。
一、换元积分法
定理 设函数在上连续，若函数满足下列条件：
（2）在(或)上具有连续导数，且其值域。
证：设是的一个原函数，
是的一个原函数.
注意：当时，换元公式仍成立，应用换元公式时应注意:
（1）用把变量换成新变量时，积分限也相应的改变。
（2）求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入然后相减就行了.
解一：由定积分的几何意义, 的
值等于半径为a的圆在第一象限部分的面积，
解三：利用定积分换元法。令 ，，
注：令仍可得到上述结果。
解：令，，
解二：接解一。对，令，
例6当在上连续，则有且
①为偶函数，则 ；
&②为奇函数，则.
①为偶函数，则
②为奇函数，则
即：奇函数在对称区间上的积分等于0，偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍，由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的。
例8 若在上连续，证明：
（2）.由此计算
证：（1）设
例9 设 是以L为周期的连续函数，证明与a 的值无关。
与a 的值无关。
二、分部积分法
设函数、在区间上具有连续导数，则有
例10& 计算
例11& 计算
解：令，则
例12& 计算
解：因为没有初等形式的原函数，无法直接求出，所以采用分部积分法
例15证明：定积分公式
积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1止
1、定积分换元法：
2、定积分的分部积分公式
思考题：1、指出求的解法中的错误，并写出正确的解法。
2、设在上连续，且，，，求.
作业：P223& 1.(3)(5)(7)；2.(1)(2)(5)(7)(8);3.(5)(6);4。
第五章&& 定积分及其应用
第四节& 反常积分
掌握无穷限以及无界函数的两种反常积分。
反常积分的敛散性
了解反常积分的概念以及会计算反常积分
基&&& 本&&& 内&&& 容
一、无穷限的广义积分的概念
1、问题的提出
引例：在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要有多大？
解: 设地球半径为R,火箭质量为M。
在距地心处火箭所受引力为
火箭在地球引力场中从地面上升到距离地心为
处所作的功为
当时，把积分上限写成。
由能量守恒定理，初速度至少使
（公里/秒），即为第二宇宙速度。
2、无穷限广义积分的定义
设函数在的任何有限子区间上可积，则，定积分存在。现把上限看作变量，考虑积分上限的函数，则当时，可能有极限，也可能没有极限。为了将这种情况以一般的数学形式表达出来，我们借用定积分的记号，引入如下的形式记号：，并把它称为在无穷区间上的反常积分（improper integral）.
定义1：（1）设函数在的任何有限子区间上可积，如果极限存在，则称反常积分收敛，并把此极限称为反常积分的值，即有。如果上式表示的极限不存在，则称反常积分发散。
（2）类似地，若函数在的任何有限子区间上可积，我们把记号称为在无穷区间上的反常积分。如果极限存在，则称反常积分收敛，并把此极限称为反常积分的值，即有。如果上式的极限不存在，则称反常积分发散。
（3）若函数在的任何有限子区间上可积，我们把记号称为在无穷区间上的反常积分。如果反常积分与均收敛，则称反常积分收敛，且定义其值为
否则就称反常积分发散。
上述三类反常积分统称为无穷限的反常积分。
例1计算反常积分
这个反常积分值的几何意义是：
当时，虽然图形向右无限延伸，
但是它与轴所围成的面积却是有限值1。
例2计算反常积分
解：由=得到
例3计算反常积分(p为大于0的常数)
例4证明反常积分
证明：当时，
因此，反常积分
二、无界函数的广义积分(瑕积分）
1、问题的提出
引例:圆柱形小桶，内壁高为h,内半径为R，桶底有一小洞，半径为r。试问在盛满水的情况下，从把小洞开放起直至水流完为止，共需多少时间？
解: 当水面下降距离为x时，水在洞口的流速为
单位时间内减少的水量等于流出的水量，所以有：
被积函数在时无界，很自然地认为：
2、无界函数的广义积分的定义
把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。如果函数在点的任一邻域内无界，则称是的瑕点。对在区间的任一闭区间可积，而点为瑕点的函数，我们借用定积分的记号，引入如下的形式记号，并把它称为无界函数在上的反常积分。
定义2：（1）设函数在区间的任一闭子区间上可积，是的瑕点。取，如果极限存在，那么称反常积分收敛，并把此极限称为反常积分的值，即有。否则就称反常积分发散。
（2）对在区间的任一闭子区间上可积，而以点为瑕点的函数，根据积分，当时是否存在极限来称在上的反常积分收敛或发散，并在收敛时，把此极限称为反常积分的值，即有。
（3）设点，函数以点为瑕点，那么当两个反常积分和均收敛时，称反常积分收敛，且定义其值为
否则称反常积分发散。
例6计算反常积分
解：因为，所以是被积函数的无穷间断点，故为瑕点。于是，。
例7讨论反常积分的敛散性。
解：被积函数内连续，为它的瑕点。由于，即反常积分发散，所以反常积分发散。
例8证明反常积分
证明：当时，；
因此，反常积分
例9 判断广义积分的敛散性。
时，发散；时，发散。
所以，对任意的P，都发散。
例10计算反常积分
解：，令，
1、无穷限的反常积分：
2、无界函数的反常积分：
作业：P228&&&& 1.(3)(5)(6) 2. (1)(2)(5)
第五章&& 定积分及其应用
第五节& 定积分在几何学上的应用
掌握用定积分表达一些几何量（面积、体积、弧长）的方法
用微元法计算几何量
掌握用定积分表达一些几何量（面积、体积、弧长）的方法
基&&& 本&&& 内&&& 容
一、元素法
曲边梯形求面积的问题：
曲边梯形由连续曲线、
轴与两条直线、所围成。
面积表示为定积分的步骤如下：
（1）分割：把区间分成个长度为的小区间
（2）近似代替，求近似和：计算的近似值，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则，，。
（3）取极限，得A的精确值
提示：若用 表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取，于是
当所求量符合下列条件：
（1）是与一个变量的变化区间有关的量；
（2）对于区间具有可加性，就是说，如果把区间分成许多部分区间，
则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和；
（3）部分量的近似值可表示为；就可以考虑用定积分来表达这个量。
元素法的一般步骤：
①根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；
②设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；
③以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式。这个方法通常叫做元素法。
二、求平面图形的面积
1、直角坐标系情形
（1）曲线与直线，所围成的曲边梯形的面积。
&&&&& 一般情形：
&(2)曲线 、与直线，所围成的平面图形的面积。
(3)曲线 与所围成的平面图形的面积
先联立方程,解出：
例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
解：两曲线的交点选为积分变量
例2计算由曲线和直线所围成的图形的面积。
解:曲线的交点
方法1：以x为积分变量，
方法2：以y为积分变量，
2、参数函数的面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积
（其中和对应曲线起点与终点的参数值）在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续。
例3 求椭圆的面积。
解:椭圆的参数方程，由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。
例4 求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积。
3、极坐标系下的面积公式
设由曲线及射线、围成一曲边扇形，
求其面积．这里，在上连续，且．
面积元素，
故曲边扇形的面积
例5 求心形线所围平面图形的面积。
解：由对称性，
1、已知截面面积求体积
如图，Ω为三维空间一几何体，建立坐标轴后，
其介于平面与之间，
作平面垂直于x 轴，截面面积为A(x)，
求这几何体的体积。在取微元dx，
则体积微元取积分得：
例6半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成a角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
解一：截面积
解二：截面积
例7 求两个圆柱面所围立体的体积。
解：所围立体在第一卦限的截面面积为：
所以所围立体的体积
例8求由椭球面所围立体的体积。
解：用平面截椭球面得一椭圆：
其面积为：
于是椭球体积为：
显然当时，得到球的体积为：。
由公式知：两个高相同的立体，如果等高处的横截面面积相同，则其体积也相等。这个原理早为我国梁代数学家祖暅发现，称之为祖暅原理：夫叠棋为立体，缘幂势既同，则积不容异。幂——截面面积，势——高。
2、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。
设在上连续，
是由曲线、直线
、及轴所围的曲边梯形
绕x轴旋转一周所得的旋转体,
则其截面面积为：
所以旋转体的体积公式为：
例9 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积．
解：直线 方程为，取积分变量为，
在上任取小区间，以为底的窄边梯形
绕轴旋转而成的薄片的体积为
圆锥体的体积
例10 计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
解：该旋转椭球体可以看作是由和x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体。
例11求圆绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解：圆的上下圆周分别为： &
所以圆环的体积为：
注：1、若Ω是由在[c, d ]连续曲线直线、及y轴所围的曲边梯形绕y轴旋转一周所得的旋转体，则截面面积为：，
所以旋转体的体积公式为：
2、当旋转曲线由参数式 给出时，
旋转体的体积公式为：（绕x轴）
或（绕y轴）
例12计算由摆线，的一拱，直线y =0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。
解：绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
绕y轴旋转而成的旋转体的体积为
四、求平面曲线的弧长
1、弧长的概念
设、是曲线弧上的两个端点，
在弧上插入分点
并依次连接相邻分点得
一内接折线，当分点的数目无限增加
且每个小弧段都缩向一点时，此折线
的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长。
2、直角坐标方程曲线弧长公式
设曲线弧为&& ，其中
在上有一阶连续导数取积分变量为，在上
任取小区，以对应小切线段的长代替小弧段
的长，小切线段的长
弧长元素，弧长。
例13 计算曲线相应于x从a到b上的一段弧的长度。
所求弧长为
3、参数方程下曲线弧长公式
曲线弧为 其中在上具有连续导数
例14求星形线的全长.
解：星形线的参数方程为
根据对称性(第一象限部分的弧长)
例15& 计算摆线的一拱()的长度。
解：弧长微元为
4、极坐标方程下曲线弧长公式
曲线弧为 其中在上具有连续导数.
例16求极坐标系下曲线的长
例17求阿基米德螺线 上相应于从到的弧长.
一、元素法
元素法的一般步骤
二、平面图形的面积：
1、直角坐标系情形
2、极坐标系情形：设由曲线及射线、，曲边扇形的面积
1、平行截面面积为已知的立体的体积
2 旋转体的体积
四、平面曲线弧长
1、直角坐标情形：
2、参数方程情形：
3、极坐标情形：
作业：P235 &1、 (1)(3) ;2(1)(2); 3;4;5
第五章&& 定积分及其应用
第六节& 定积分在物理上的某些应用
变力作功、压力及引力
变力作功、压力及引力
掌握用定积分表达一些物理量（功、引力等）的方法
基&&& 本&&& 内&&& 容
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为。
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那么采用“微元法”的思想。
例1把一个带电量为+的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围电荷产生作用力。由物理学知道，如果有一个单位的正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为是常数）。当这个单位正电荷在电场中从处沿r轴移动到处时，计算电场力对它所作的功。
解：在上任取一个小区间，从而得到功元素为
，于是所求的功为
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,
例2已知弹簧的自然长度为0.6，10力使它伸长到1。问使弹簧从0.9伸长到1.1时需要作的功。
例3在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到点b处。计算在移动过程中气体压力所作的功。
解：在等温条件下，压强p与体积V乘积为常数，设，又，
所以，在x处作用在活塞上的力为
活塞从x处移动到x+dx处气体压力所作的功为
活塞从a移动到b气体压力所作的功为
例4一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系，如图所示，取x为积分变量，
取任一小区间,这一薄层水的重力为
，功的微元为
例5一锥形水池，池口直径为20米，深15米，池中盛满了水。求将全部池水抽到池口外所作的功。
解：抽出相同深度处的单位体积的水所作的功相等，即为水的密度乘以深度。
抽出dT体积之水所作的功为：
二、水压力
由物理学知道，在水深为h处的压强为，这里是水的比重。如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为。
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想。
例6& 一直径为6米的圆形管道，有一道闸门，问盛水半满时，闸门所受的压力为多少？
解：如图，闸门在x到x +Δx之间各点所受的压强
闸门在x到x+Δx之间所受的压力为
所以，闸门所受的压力为18吨。
由物理学知道，质量分别为、相距为r的两个质点间的引力的大小为，其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向。
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算，而采用“微元法”思想。
例7 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M。试计算该棒对质点M的引力。
解：如图建立坐标系，位于y 轴上。棒的中心为原点O。在区间[y,y +dy]上，棒的质量为μdy，与M相距，
dF在水平方向的分力为：
由对称性知，dF在垂直方向的分力。当时，
小结：这一节是利用定积分来解决物理上的问题，本节是采用微元法得到功或引力元素，进而采用定积分来求变力沿直线所作的功、水压力及引力问题。
作业：P240&& 1、3.登录网易通行证
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习题课说明，各助教露面say hi。
导数定义，仔细讨论导数的定义。
讨论导数的图像。
利用导数使得分段函数保持光滑性。
介绍了求导的一个法则。
多项式函数的求导。
正弦函数和余弦函数的求导。
讨论n个函数情况的乘法法则。
用除法法则求正切函数的导数。
应用链式法则求包含三个函数的复合函数的导数。
应用线性逼近求隐式函数在某一特定点的值。
应用反函数理论对反正切函数作图。
求反余弦函数的图像与导数。
通过三个例题强化训练对数和指数的求导方法。
四个对数法则及其应用。
通过和三角函数的对比，更直观地理解双曲三角函数。
应用隐式微分法则求由隐式方程给出曲线上某点的切线。
求复合函数的二次逼近的两种方法。
给出求两个函数乘积在某点的二次逼近的简单方法。
运用导数知识进行曲线作图。
优化问题——求曲线上距离原点最近的点。
优化问题——求过定点的直线与坐标轴围成三角形的最小面积。
优化问题——对体积固于定圆柱体，求使得表面积最小的半径与高之比。
对于一个膨胀的球体，求其半径和表面积关于时间的变化率。
利用微分求瞬时速度。
用牛顿法求方程的近似解。
用中值定理证明tanx&x。
用中值定理证明分析问题。
求一个不连续函数的反微商，并作出其图像。
计算多项式和三角函数的微分。
通过微分的方法求√21的近似值
求一个函数的不定积分
应用换元法和“猜想法”求不定积分
求解一个无初值条件的微分方程
求满足带有两个初值条件的微分方程的函数
关于求和号使用的三道习题。
利用子区间及相应的左端点估计定积分的值。
用积分就算抛物面所围成立体的体积。
利用积分的黎曼和定义解决实际问题。
用微积分基本定理计算正切函数的定积分。
用两种变量替换的方法解定积分。
应用第二微积分基本定理求函数在定点的值。
求d/dx(∫costdt)[从0到x^2]。
用f表示F(x)=∫f(t)dt[从0到x]的二次逼近。
用积分计算sin和cos在π/4和5π/4之间围成区域的面积。
用积分计算函数y=x^3和y=3x-2围成区域的面积。
用圆盘法求抛物面的体积。
用壳层法求旋转体的体积。
利用积分计算变速运动过程中某段时间内的平局速率。
利用积分求给定区域的x坐标的平均值，并计算一个随机点落入给定区域的概率。
Simpson法则中的系数的由来。
利用梯形法则和辛普森法则近似y=sinx在区间[0,π]的积分。
计算带有三角函数的积分。
[第54课]三角积分和旋转体的体积
用三角积分计算旋转体的体积。
用替换的方法求偶数次幂正切函数的积分。
用双曲三角变量替换计算图形的面积。
用配方法求积分：用配方法求不定积分∫(1/(x^2-8x+1))dx。
部分分式分解：应用部分分式分解方法将分式化成容易积分的形式。
通过四道分部积分法的习题体会函数u和v'的选取。
求解积分Fn=∫sin^(n)dx。
利用弧长公式计算曲线y=x^(3/2)在[0,4]上的弧长。
通过积分球圆环面的表面积。
介绍了计算用参数表示的曲线弧长的计算方法。
通过计算两个例子，介绍了极坐标和直角坐标（笛卡尔坐标）的变换。
对r=1+cos(θ/2)进行作图并计算其包围图形的面积。
熟悉积分技巧，包括部分积分法、三角换元等。
熟悉积分技巧，包括对三角函数的积分以及分部积分法。
熟悉积分技巧，包括分部积分法和换元法。
熟悉积分技巧，包括分部积分法、换元法、部分积分法等。
通过一些例子来熟悉洛必达法则的应用。
用例子说明，应用洛必达法则的时候并不是适用于所有情况。
介绍了几种常见的不定式，特别计算了1^∞型的一个例子。
介绍了令人惊讶的f（x）=1/x绕x轴旋转得到的几何体的结论——体积有限，但截面面积无限。
积分学习的深入，介绍了反常积分的概念。
计算x^ne^(-x)的积分。
介绍了级数的敛散性。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——比较判别法。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——比值判别法（又名达朗贝尔判别法）。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——积分判别法。
积分判别法除了可以判别级数的敛散性，还可以作为一种工具估计级数的大小。
利用比值判别法，探究“收敛半径”。
求解一些幂级数问题。
求解一些函数的泰勒级数。
探究多项式的泰勒级数。
求解sec(x)的泰勒级数。
泰勒级数与积分相结合的联系。
黎曼和作为积分的定义手段，它也是一个无穷级数。
学校：麻省理工学院
讲师：多人
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：这是MIT数学课程单变量微积分的配套习题课。内容涉及了单变量微积分课堂上教授布置的习题，也补充讲解了课堂上没有涉及的内容。因此，本课程不仅只是原课堂的补充，而且是它的内容拓展。课程安排参照了单变量微积分内容的顺序，循序渐进地为观看者提供了完整的微积分入门所需的必要主题，包括：1、微分；2、微分应用；3、定积分及其应用；4、积分技巧；5、“无穷”观点。
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