若垂足三角形最短证明ABC中，角ACB=60度，BC>1,AB+AB+1/2,当垂足三角形最短证明ABC的周长最短时，

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-16 08:47 标签： 垂足三角形周长最短
如图把一个直角三角形acb角acb等于90度饶点b顺时针旋转60度，在三角形abc中角c等于90度，ad是角bac的平分线，de垂直ab，f在ac上，bd等于df证明，1：cf=eb2：ab=af＋2eb
var sogou_ad_id=731547;
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var sogou_ad_width=690;已知：在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°
（1）如图1，求证：∠BAC=30°；
（2）分别以AB、AC为边，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结DE，交AB于点F如图2．求证：DF=EF．
（1）如图1，取AB中点D，连结CD，则AB=2BD．易证△BCD为等边三角形，则根据等边三角形的性质推知：CD=BD，∠BDC=60°；所以由等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，即∠BAC=30°；
（2）如图2，作DG∥AE，交AB于点G，由等边三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠DGF=90°，再根据∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到∠DBG=60°，从而得到两角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”证得△DGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到DG=AC，再由△AEC为等边三角形得到AE=AC，等量代换可得DG=AE，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得△DGF≌△EAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
（1）证明：如图1，取AB中点D，连结CD，则AB=2BD．
∵AB=2BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BD，∠BDC=60°，
∴∠A=∠ACD，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，
∴∠BAC=30°；
（2）证明：如图2，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
在△DGF和△EAF中，，
∴△DGF≌△EAF（AAS），

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