高等数学论文；论文题目：级数敛散性判别方法的归纳；姓名：冯菲菲院系：电气信息学院专业：电子信息工程；时间：2013年5月；摘要：无穷级数是《高等数学》中的一个重要组成部分；关键词：级数；收敛；判别；发散；引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判；一.级数收敛的概念和基本性质；给定一个数列｛un｝，形如；u1?u2???un?①；称为无穷级数(常简称级
高等数学论文
论文题目：级数敛散性判别方法的归纳
名：冯菲菲
系：电气信息学院
业：电子信息工程
指导老师：费
时间：2013年5月
要：无穷级数是《高等数学》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散
引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.
一.级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛un｝，形如
u1?u2???un?
称为无穷级数(常简称级数),用?un表示。无穷级数①的前n项之和，记为
sn??un=u?u???u
称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛s｝收敛于s.则称无穷级数?un收敛，若级数的部分和发散则称级数?vn发
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数?un和?vn都收敛，则对任意的常数c和d，级数?(cun?dvn)亦收敛，且?(cun?dun)=c?un+d?vn
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给?＞0，总存在自然数N，使得当m
＞N和任意的自然数p，都有um?1?um?2???um?p＜?
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二.正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{sn}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有sn＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设?un和?vn是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有
（i）级数?vn收敛，则级数?un也收敛； （ii）若级数?un发散，则级数?vn也发散。 例 1 . 设?an收敛，证明：?
收敛（an&0）. nlnn
) 证明：因为
0&?an&(an?2
易知：?收敛（积分判别法），又收敛，所以aa?)n??n22
nlnnn?2n?2nlnnn?22
由比较判别法知?
收敛（an&0）. nlnn
例 2 . 证明：级数?(?1)sin(?x?0)都是条件收敛的。
证： 不妨设x&0,则?Nx&0，当n&Nx时，0&&,此时sin?0,且{sin}
为单调递减数列，且limsin=0。
由莱布尼茨判别法知?(?1)sin(?x?0)收敛。
而当n&Nx时，(?1)nsin
=sin&0，lim
又?发散，由比较判别法知?sin也发散。
所以?x?0，级数?(?1)sin(?x?0)都是条件收敛的。
例 3. 证明级数?[e?(1?????)]收敛
证： 0& an= e?(1????)& = bn.
n?n!1!2!n!
bn(n?1)?(n?1)!
lin?1= lim= lim=0
n??(n?1)2n??bn??1n
由比值判别法知?bn收敛，再由比较判别法知?an收敛，即有：
级数?[e?(1?????)]收敛。
根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。
2 柯西判别法（根式判别法）
设?un为正项级数，且存在某正整数N0及正常数l，（i）若对一切n＞N0，成立不等式un?l＜1，则级数?un收敛。（ii）若对一切n＞N0，成立不等式
n?1则级数?un发散。
例 1 . 判别级数?n的敛散性。
limun?li=?1
所以由根式判别法知级数?n收敛。
3 达朗贝尔判别法（比值判别法）
设?un为正项级数，且存在某正整数N0及常数q（0＜q＜1）. （i）若对一切n＞N0，成立不等式
（ii）若对一切n＞N0，?q，则级数?un收敛。
成立不等式
?1则级数?un发散。 un
例 1 .判别级数?n的敛散性。
3un?13n?1(n?1)!nn3
li? lim= = &1 ?limnn??un??(n?1)n?1n??e3n!n(1?)n
所以由比式判别法知级数?n发散。
4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f为[1，+ ?)上非负减函数，那么正项级数?f(n)与反常积分?f(x)dx
同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数? 解：设f(x)=
的敛散性。 pq
n?3n(lnn)(lnlnn)
,则f(x)在[3，+ ??上非负递减。 pq
n(lnn)(lnlnn)
若p?1，这时有?
x(lnx)(lnlnx)
(q?1)du?q?1
q?1(lnln3)=
当小q＞1时级数收敛；当小q ?1时级数发散；
若p?1,这时有?时，取t&1,有
= 对任意的q，当p?1?0(p?1)uqpq?lnln3eux(lnx)(lnlnx)
包含各类专业文献、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、应用写作文书、高等教育、外语学习资料、行业资料、90高数下论文-无穷级数收敛性等内容。　
　重庆三峡学院毕业设计(论文) 题目:数项级数收敛方法综述 专年学作 业:数学与...首先,引言部分描述无穷级数 的由来、重要性,然后进一步说明研究无穷级数的收敛方法... 　暂无评价|0人阅读|0次下载反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文_理学_高等教育_教育专区。黄冈师范学院本科生毕业论文 本科生毕业论文论文题目: 反常积分与无穷... 　暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高等数学同济六版讲义 第十二章 无穷级数 § 12? 1 常数项级数的概念和性质 教学目的:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数... 　高等数学(无穷级数)习题及解答_理学_高等教育_教育专区。练习 11?1 练习 11?2 练习 11?3 练习 11-4 练习 11-5 总习题十一 求下列级数的收敛域 ... 　暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数_理学...例 1 讨论等比级数(几何级数) ? aqn (a?0)的敛散性? n ?0 ? 解 如果... 　高等数学--无穷级数(二)_数学_小学教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高等数学--无穷级数(二)_数学_小学教育_教育专区。1 2 3 4 5 6 7 8... 　反常积分与无穷级数收敛关系的讨论_数学_自然科学_专业资料。本文从反常积分的背景...2015 郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独 立研究... 　19页 1下载券 高数-无穷级数2 22页 免费 高数-无穷级数3 35页 免费 ...x ? 3 此函数项级数的收敛域为(-1,3)。 知识点解析: 1. ? ? n 3n ... 　暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017考研高等数学:无穷级数_研究生入学考试_...本章重要题型有:1、关于常数项级数敛散性判定的选择题;2、幂级数的收 敛域...工具类服务
编辑部专用服务
作者专用服务
一种无穷级数收敛性的定义及其性质
对形式级数?ui收敛性的定义进行了推广,给出蔡查罗收敛的概念,讨论了其与一般收敛性之间的关系,讨论了正项级数、交错级数以及一般项有周期的级数的蔡氏收敛性.
作者单位：
中国民航学院理学院,
年，卷(期)：
机标分类号：
在线出版日期：
本文读者也读过
相关检索词
万方数据知识服务平台--国家科技支撑计划资助项目（编号：2006BAH03B01）(C)北京万方数据股份有限公司
万方数据电子出版社1、考试内容
(1)几何级数与级数及其收敛性;
(2)常数项级数的收敛与发散的概念;
(3)收敛级数的和的概念;
(4)交错级数与莱布尼茨定理;
(5)级数的基本性质与收敛的必要条件;
(6)正项级数收敛性的判别法;
(7)函数项级数的收敛域与和函数的概念;
(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛;
(9)幂级数的和函数;
(10)简单幂级数的和函数的求法;
(11)幂级数在其收敛区间内的基本性质;
(12)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;
(13)初等函数的幂级数展开式;
(14)狄利克雷(Dirichlet)定理;
(15)&无穷级数&考点和常考题型上的正弦级数和余弦级数。(其中14-17只要求数一考生掌握，数三考试不要求掌握)。
(16)函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;
(17)&无穷级数&考点和常考题型上的傅里叶级数;
2、考试要求
(1)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;
(2)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;
(3)掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法;
(4)掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;
(5)掌握交错级数的莱布尼茨判别法;
(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;
(7)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和;
(8)理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
(9)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件;
(10)了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.(其中11只要求数一考生掌握，数二、数三考试不要求掌握)
(11)掌握&无穷级数&考点和常考题型的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;
3、常考题型
(1)把函数展开成傅立叶级数、正弦级数、余弦级数;
(2)求幂级数的和函数;
(3)狄利克雷定理
(4)判定级数的敛散性;
(5)把函数展开成幂级数;
(6)求幂级数的收敛域和收敛半径;
(7)特殊的常数项级数的求和;
复试分数线
如今已进入4月，2017年的考生已经开始了紧张的复习，你是否还在纠结目标、复习无方向、心态没有调整好，那么到底如何进行考研这场大战，并且在这场大战中取得胜利呢？为了帮助各位考生，特在跨考教育上市周年庆时期，推出，4月29号&5月2号，免学费；免住宿费；免资料费；送T恤衫、考研日历、优惠券、大礼包、总裁免单！
【关注微信：kkkaoyan，找研友、找干货、找名师，百万考研人都在用】
会不定时赠送免费课程，供考生参考复习。也可与研友进行交流，共享考研信息与方法。
400-883-2220