仿射变换应用Q&A_百度文库
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仿射变换应用Q&A
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<em id="authorposton11-4-2 22:07
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本帖最后由 老封 于
08:56 编辑 前面一帖（）中发展方向太多, 我整理一些内容, 单独再开一帖.所谓平面上的仿射变换, 是指这样的变换, 它将直线仍变为直线, 并且保持共线三点的简单比.根据这个定义, 任意给定平面上的两个三角形ABC和A'B'C',&&则有唯一的一个仿射变换, 使得A, B, C分别被变为A', B', C'.相似变换是仿射变换的特例. 在相似变换下, 图形变换前后的面积比为常数. 对于仿射变换, 这个性质仍然成立, 我们称这个常数为变积系数(如果采用有向面积, 则变积系数可正可负. 如果变积系数为负数, 则称该仿射变换是反定向的; 否则称为保定向的).有一种特殊的仿射变换, 非常基本, 称为切变(shear).&&它有点类似于镜面反射: 保持一条直线上的每个点不动(这条直线称为切变轴), 将直线一侧的点翻转到另一侧.& &只不过, 翻转时不一定是沿着 垂直于 切变轴 的方向.&&更具体地, 考虑一个三角形ABC, 将它变为三角形ACB,这个仿射变换就是切变.&&BC边上的中线就是切变轴,&&平行于BC的方向就是翻转的方向.可以证明: 变积系数为1的仿射变换, 一定是两个切变的复合.变积系数为-1的仿射变换, 一定是三个切变的复合还有一种特殊的仿射变换, 可能在后续的讨论中用到, 称为正压缩. 它也保持一条直线上的每个点不动(这条直线称为压缩轴), 而将其他点 向着 垂直于这条直线的方向 以一定的比例压缩(这个比例称为压缩系数).可以证明: 任何仿射变换都是一个相似变换和一个正压缩的复合.
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<em id="authorposton11-4-2 22:41
我们来探索一下1楼最后那句话的证明.&&它无非就是说, 对于给定的三角形, 只要适当选取压缩轴, 则我们可以把它压缩成任意想要的形状(的三角形).探索的办法是利用圆型集!&&我们把得到的每个三角形都作一个相似形, 使得其中两个顶点固定, 而第三个顶点就完全决定了它的形状. 要说明的无非就是, 这第三个顶点能布满整个平面.为此, 我们先取定一条直线为压缩轴, 尝试各种不同的压缩系数, 看看能得到怎样的三角形. 不难发现, 此时所得的三角形集合是圆型集.&&也就是说, 只是改变压缩系数的话, 第三个顶点的轨迹恰好是一个圆(老封称之为特征圆).然后, 我们平移这条直线, 容易发现, 所得的圆型集不变(特征圆不变, 换句话说, 没有产生新的形状).再然后, 我们改变这条直线的方向, 就会发现, 新的圆型集开始产生, 特征圆发生了变化. 而且, 当这条直线转动一周时, 所有的特征圆构成共轴圆系.熟知, 共轴圆系上的点能布满整个平面. 于是, 结论得证.
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<em id="authorposton11-4-3 07:28
有两个细节需要先补充一下:1. 压缩轴的方向并不唯一.&&容易发现, 互相垂直的两个方向, 生成的圆型集是一样的.2. 只要这个仿射变换不是相似, 则压缩轴的方向只有互相垂直的两个.&&而在相似的情形, 压缩轴可以是任意的(压缩系数为1或-1, 即恒等变换或镜面反射).&&这一点其实很容易解释,想象一下, 要把一个圆压缩成椭圆, 自然可以有两个不同的方向可以拿来做压缩轴. (顺便可以看出, 其中只有一个方向, 其压缩系数的绝对值小于1.)为了后面讨论起来方便, 从现在开始, 我们所提到的仿射变换, 都不是相似.这时, 我们可以把它写成一个正压缩和一个相似的复合. 其中, 如果限定压缩系数的绝对值小于1, 则压缩轴的方向就唯一确定了; 如果限定这个相似是保定向的(顺相似), 则这个相似变换也唯一确定.&&假设这个相似变换不是全等, 那么, 它有唯一的不动点, 我们令压缩轴经过这个不动点, 那么, 压缩轴也就唯一确定了.这样一来, 我们就得到了仿射变换的特征构形:&&四边形OABC,&&其中O是仿射不动点, OA是压缩轴,BC垂直于OA (垂足为D).对于任意一点X, 我们可以这样得到它的像: 先作三角形OXY 相似于 OAB,&&然后将Y点向着OA的方向, 以比例(CD : BD)压缩,&&得到Z点.&&那么Z就是X经过仿射变换的像.
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<em id="authorposton11-4-3 23:47
本帖最后由 老封 于
22:51 编辑 回复
finsler & & 请finsler先生有机会讨论一下仿射变换背后一条深刻的“特征二次曲线Ω”。我先后有三次从不同途径得到过它：第一次是2004年4月，当时是考虑仿射变换下两个对应线束的交点轨迹，发现这条二次曲线形状及方向是由仿射变换自身决定的，而与线束中心的选取无关；而且总经过仿射不动点。（注：如果Ω是双曲线，则可能在渐近线方向不变的意义下在两对角区域内切换，故不能简单以“位似”来概括。）不解的是：对应平行线交点的轨迹却是直线（也经过仿射不动点）。按理平行线是中心为无穷远点的线束。为何此时它就与Ω形状不同了？第二次是同年10月，讨论的是一个比较重要的专题——“与一个三角形位似，而与另一个三角形透视”，主要写在了与dianlinchen的邮件中，又一次深刻涉及了这条曲线。在那里Ω是作为“透视中心集”出现的。所谓“透视中心集”是指：与第一个三角形位似，且与第二个三角形透视的全体三角形的透视中心的集合（注：这里最好不要用轨迹，因为自由度更大）。如其中有一个有趣结论是： 23:10 上传如果把A，B，C和D，E，F作为仿射变换三组对应点，则上图中的两条二次曲线也同时与Ω“位似”。（双曲线时同上面注）第三次2006年4月，是讨论下面问题：“在某一变换下（可以是欧氏变换，也可以是更一般的仿射或射影变换），为使对应点的连线通过定点，对应点必须满足什么性质？”又一次遇到了Ω，部分邮件链接在了第二页的顶部。发现的契机就见：反相似的“特征二次曲线Ω”是等轴双曲线，而且应该是充要的。（注：并不充要）
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<em id="authorposton11-4-4 02:37
可以用圆锥曲线中的共圆性质得出3个白色三角形的外接圆交点的在此圆锥曲线上，且由此可推出它们的对称诌平行。
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<em id="authorposton11-4-4 08:13
本帖最后由 老封 于
08:22 编辑 回复
李燕飞 & & 果然三圆共点在此圆锥曲线上！不过对称轴平行如何理解？ 08:22 上传
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<em id="authorposton11-4-4 17:39
老封 & & 我正准备接下来解释这个问题. 它事实上与前面提到的压缩轴有关.试想, 给定两个三角形ABC和DEF, 就决定了一个仿射变换.&&这个仿射变换的不动点是容易作图的, 那么, 它的压缩轴又如何作图?答案就是: 压缩轴平行于那一对位似圆锥曲线的主轴.有一种情况最容易解释. 当ABC和DEF定向一致时, 它们的外接位似圆锥曲线一定是椭圆. 这时, 只要取平行于主轴方向的直线作压缩轴, 将这两个位似的椭圆同时压缩成圆, 则相应的两个三角形一定变成相似的.而当ABC和DEF的定向不一致时, 它们的外接位似圆锥曲线为双曲线. 这时......
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<em id="authorposton11-4-4 18:40
为了更好地解释老封所提的三个现象, 我需要修改一下3楼的几句话.&&当时我提到, 任意仿射变换都可写为一个正压缩和一个相似的复合, 而且, 只要加上一定的限制条件, 可以唯一确定出这个正压缩和这个顺相似.&&与老封所提的三个现象加以印证, 我发觉似乎应该限制压缩系数为正数,而不必限制该相似变换为顺相似.好了, 现在来看老封所说的三个现象.第一个, 仿射变换下对应线束之交点轨迹.&&如果这两个线束是&同向对应&, 那么, 压缩后这两个线束是相似的, 也就是说, 对应直线的夹角相等, 从而交点轨迹是圆, 而且经过相似不动点. 再把这个结果还原, 反压缩回去, 就是经过仿射不动点的椭圆了.&&同样, 如果这两个线束是&反向对应&, 那么, 压缩后这两个线束是反相似的, 从而交点轨迹是等轴双曲线, 而且经过反相似不动点..... 平行线的情形, 其实轨迹应该是两条直线, 只不过另一条在无穷远....第二个也可同上处理: 先通过正压缩, 把原来两个三角形变为相似或反相似的, 然后就可直接看出答案了.第三个, 在仿射变换的情形, 也是照样解决: 先转化为相似或反相似.所以, 特征圆锥曲线Ω所蕴含的主要信息, 就是压缩轴的方向, 以及压缩系数.
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<em id="authorposton11-4-4 18:46
可以用圆锥曲线中的共圆性质得出3个白色三角形的外接圆交点的在此圆锥曲线上，且由此可推出它们的对称诌平行 ...李燕飞 发表于
02:37 我体会李燕飞兄所说&共圆性质&, 是指&圆锥曲线上四点A、B、C、D若共圆, 则AB和CD与主轴的夹角相等&吧.
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<em id="authorposton11-4-4 20:01
回复6楼老封：我其实想说的是那两个圆锥曲线位似，但由于仓促之间没搞得明白，所以就写成了对称轴平行，之后就想明白了，和7楼想法差不多。回复9楼finsler：不止那个，还有一个我发现的重要引理，由这个引理可以得出圆锥曲线中一系列的共圆性质和作图方法，我下次详说.引理：设A是圆锥曲线ε上一点，BC是ε上一条可平行移动的弦，则ABC的外接圆过定点，此点正好在ε上.[/b]
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<em id="authorposton11-4-5 22:21
本帖最后由 老封 于
22:48 编辑 回复
finsler 是否可这样归结：如果A，B，C和A’，B’，C’是仿射的三组对应点，当△ABC和△A’B’C’定向相同时，可通过“正压缩”将仿射变换转化为“顺相似”；而当△ABC和△A’B’C’定向相反时，则可通过“正压缩”将仿射变换转化为“反相似”。“正压缩”的压缩率应该就是“特征二次曲线”长轴和短轴之比。当仿射变换定向相同时，由于可压缩成顺相似，“仿射夹角”应该就是仿射成顺相似后的“旋转角”。故它应该就等于仿射变换“圆型集”的“特征三角形”之顶角。（注：顺相似的“特征圆”退化成点，这时特征三角形的顶角就是旋转角）当仿射变换定向相反时，“圆型集”特征圆与基线段相交，此时“特征三角形”不存在，“仿射夹角”是虚的。“圆型集”的“偏离率”想必和仿射的压缩率直接相关吧，Finsler兄能否考虑试试其间的定量关系？把正定向的仿射变换“压”为顺相似；把反定向的仿射变换“压”为反相似。—— 看来这确是研究仿射的有效模式。例如对应线束交点轨迹问题，采取新办法对付，只需对“顺相似”及“反相似”分别加以考虑即可。又如“与一个三角形位似，而与另一个三角形透视”这个课题亦可如法炮制，只需分两三角形“顺相似”以及两三角形“反相似”这两种情形详加讨论，其余情况由于可转化故可不必再多顾及，这样便可以大大简化难度。
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<em id="authorposton11-4-6 00:19
本帖最后由 老封 于
00:47 编辑 现将“与一个三角形位似，而与另一个三角形透视”一文最后的小结部分转载如下：…… 00:17 上传 00:17 上传&& 00:18 上传&& 00:18 上传 00:18 上传
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<em id="authorposton11-4-6 09:26
本帖最后由 老封 于
11:18 编辑 上面提到的猜测至今还未得证明。不过由现在的讨论就可知道，只需对△ABC和△DEF顺相似以及反相似这两种情况进行证明就够了，而这时所谓的“仿射不动点”Q1、Q2就成了顺相似或反相似的相似不动点，问题就变简单了。& &&&令人振奋的是，今晨已利用几何画板验证了最近得到的这些新想法，一切都在预料中！得到如下基本关系：
(63.84 KB) 09:03& &&&若A，B，C → A'，B'，C'是平面上正定向的仿射变换，△LMN是这一仿射变换“圆型集”的特征三角形，△A1B1C1和△A1'B1'C1'是对△ABC和△A'B'C'按仿射变换“特征二次曲线”的长、短轴之比作为“压缩率”，经正压缩所得到的一对顺相似三角形，∠B1OB1'是两者对应边的夹角（即这一仿射变换的“仿射夹角”），而∠MLN为特征三角形的顶角，则两者的确相等；& &&&又设λ＝PL/PL'为仿射变换“圆型集”的偏离率，μ＝TT'/SS'为上述压缩率，则两者存在如下深刻关系：
而这正意味着仿射变换的“特征二次曲线”和其“圆型集”之间的关系终于搞清楚了！
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<em id="authorposton11-4-6 09:31
老封 附上相关的几何画板文件供大家一试：(27.24 KB, 下载次数: 17) 09:27 上传点击文件名下载附件下载积分: 金币 -1 & & 图中A，B，C ，A'，B'，C'可独立拖动，A1和A1'两点也可拖动。P是“特征圆”上任意点。
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<em id="authorposton11-4-6 17:30
本帖最后由 老封 于
18:08 编辑 接下来就该考虑那条内切圆锥曲线ω了。 这也就归结为我在“”一帖中提到的第4个问题:两个动点A, B分别在两个圆上以相同的角速度运动，则直线AB的包络是一个圆锥曲线。如何用两圆的半径、圆心距，以及A,B之间的&相对角度差&来刻画这个圆锥曲线的离心率、主轴方向?
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求仿射变换的不变点和不变直线．
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仿射几何就是把欧几里得几何学中的长度、面积、和角度测量都去掉以后剩下的东西，但是平行的概念和直线上点的比例仍然保留。两个仿射空间的X和Y之间的仿射变换是X和Y之间的双射，把m维的子空间映射为m维的子空间，把平行的子空间映射为平行的子空间，并保持等价的仿射坐标不变。判断一个变换是否是仿射变换也可以使用它所具有的把直线映射到直线且不改变平行线段之间带符号长度比例关系的性质决定。仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（即：直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（即：二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变），仿射变换是不保角度和距离的。仿射变换包括：平移变换，旋转变换，错切变换，比例变换。不共线的三对对应点决定了一个唯一的仿射变换，在仿射变换下图形的不变性质和不变的量称作仿射性质，是仿射几何中的重要研究内容，仿射变换使用齐次坐标表示如下：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
刚体：不会产生形变；刚体变换：在变换中不会改变图形的形状。平移，旋转都是刚体变换；缩放，错切会改变物体的形状，不是刚体变换。
1.平移变换：将一点移动到另一点，变换矩阵为：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &&
2.旋转变换变换：将图形进行旋转，变换矩阵为：
3.缩放变换：
4.错切变换：也叫剪切变换
#include&iostream&
#include&opencv2/highgui/highgui.hpp&
#include&opencv2/imgproc/imgproc.hpp&
int main()
Mat src = imread(&d://aaa.jpg&);
Mat dst_warp,dst_warpRotateS
Point2f srcPoints[3];//创建二维点数组，用来存放原图中的三个点
Point2f dstPoints[3];//创建二维点数组，用来存放目标图中的三个点
//分别在原图中和要变换的目标图中取三个点，形成对应的三对点对。
srcPoints[0] = Point2f(0,0);
srcPoints[1] = Point2f(0,src.rows-1);
srcPoints[2] = Point2f(src.cols-1,0);
dstPoints[0] = Point2f(0,src.rows*0.3);
dstPoints[1] = Point2f(src.cols*0.2,src.rows*0.7);
dstPoints[2] = Point2f(src.cols*0.7,src.rows*0.2);
Mat M1 = getAffineTransform(srcPoints,dstPoints);//根据三对点对对计算仿射变换矩阵
warpAffine(src,dst_warp,M1,src.size());//根据仿射变换矩阵进行仿射变换，变换结果保存在dst_warp中。
//进行旋转和缩放变换
Point2f center(src.cols/2,src.rows/2);//设定旋转中心
double angle = 60;//设定逆时针旋转45度
double scale = 0.6;//设定缩放比例值为0.6
Mat M2 = getRotationMatrix2D(center,angle,scale);//计算旋转加缩放的变换矩阵
warpAffine(dst_warp,dst_warpRotateScale,M2,src.size());//进行仿射变换
namedWindow( &原图&, CV_WINDOW_AUTOSIZE );
imshow( &原图&, src );
namedWindow( &仿射变换&, CV_WINDOW_AUTOSIZE );
imshow( &仿射变换&, dst_warp );
namedWindow(&旋转+缩放&, CV_WINDOW_AUTOSIZE );
imshow( &旋转+缩放&,dst_warpRotateScale );
waitKey(0);
cvDestroyWindow(&原图&);
cvDestroyWindow(&仿射变换&);
cvDestroyWindow(&旋转+缩放&);
但是在第二次仿射变换时，如果将图像的缩放比例变为3或是以上，将会出现如图（我们不远看到的情况）情况：
这是我们不愿意看到的！我们应该通过计算放大图像尺寸，博客：小魏的修行路给了我们相应的方法：
参考知识库
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排名：千里之外
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转载：81篇
(25)(14)(25)(5)(12)(4)(7)(3)(18)(10)(1)(4)(9)(15)(7)(4)(1)(8)> 问题详情
求一仿射变换，它使直线χ＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点（1，－1)变为点（－1，2)．
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