22ì?x+y=1?．从z轴正向往z轴负向看，C；三、(本题满分10分)；设xn&0，且xn+四、(本题满分12分)；设函数f(x)在[a,b]上存在n+1阶导数，满；(k)；4x；n+1；&3,n=1,2,鬃，证明数列{xn}收敛；(a)=f(k)(b)=0，证明：存在；x?(a,b)，使f(x)=f(n+1)(x)．；五、(本题满分12分)；
22ì?x+y=1?．从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的． í???x-y+z=2
三、(本题满分10分)
设xn&0，且xn+四、(本题满分12分)
设函数f(x)在[a,b]上存在n+1阶导数，满足f
&3,n=1,2,鬃 ，证明数列{xn}收敛．
(a)=f(k)(b)=0，证明：存在
x?(a,b)，使f(x)=f(n+1)(x)．
五、(本题满分12分)
讨论反常积分
，其中p?R． 的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛）p
六、(本题满分12分)
ì1q??,x=(p,q为互质的正整数)?p在[0,1]上定义函数f(x)如下：f(x)=íp ??0，x=0或无理数???
(1)求该函数的连续点与间断点；
(2)讨论不连续点的类型，能否重新定义函数在其不连续点的值，使之在[0,1]上连续？ 七、(本题满分12分)
设f(x)在[0,1]上连续，证明：lim
f(x)dx=f(0)．
八、(本题满分12分)
设连续函数序列{fn(x,y)}在有界闭区域D上一致收敛于f(x,y)，证明：
蝌f(x,y)dxdy=
lim蝌fn(x,y)dxdy．
一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)
1．区间I上的一致连续的函数总是有界的．
2．若有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上至多有有限个间断
３．若续．
４．若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不可微，则函数z=f(x,y)在该点的所有方向导数不可能都存在．
二、(本题共6小题，每小题8分，满分48分) 5．求极限lim(1+2x)
anx的收敛半径为R&0，且?anR收敛，则?anxn在[0,R]上一致连
６．求函数f(x)=
ln(1+x2)+arctan的极值及曲线y=f(x)的拐点． 2x
骣z÷骣12抖z2÷７．令x=uv,y=(u-
v)，变换方程+?÷÷÷÷桫2抖x桫y
８．求二重积分
x2e-ydxdy，其中D由x=0,x=y与y=1围成．
９．设曲线G是由球面x+y+z=1与平面x+y+z=1的交线，求积分
(x+y)ds． ò?G
其中S为抛物面z=(x+z)dydz+(z+x)dxdy，蝌S
(x+y2)在平面z=22
下面的部分，方向去下侧．
三、证明题(本题共6小题，每小题10分，满分60分)
11．设f(x)在[0,4]上连续，在(0,4上可导，假定f(0)=1，且
，证明存在一点x?(0,4)，使f(x)=0． =(3f)=
excosnxdx=0．
13．设f(u)为连续偶函数，试证明
f(x-y)dxdy=2
[2a-u]f(u)du，
其中D为正方形：x＃a,y
14．证明：f(x)=?在[0,+ )上连续，在(0,+ )上可微． 2
15．设f(x)是R上连续可微函数，证明：曲面ax+by+cz=f(x+y+z)上任一点
M(x(x0,y0,z0)及(a,b,c)共面． 0,y0,z0处的法向量与向量
16．设AìR是非空集合，定义R2上的函数f为，
f(x,y)=u,v) A}
称它为点(x,y)到集A的距离．证明
(1) 当且仅当(x,y)?A(这里A表示A的闭包)时，f(x,y)=0． (2) 对
(y，,有R不)等式
f(x,y)-f(x,y)?
四、讨论题(本题共2小题，每题9分，满分18分)
17．讨论级数
11111+-+鬃?-+鬃
的敛散性，其中p为实数． 18．讨论反常积分
2009年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题6分，满分24分)
1．[a,b]上每个单调函数至多有可列个间断点．
2．在有界闭区间[a,b]上Riemann可积的函数必在[a,b]上有原函数． 3．若an非负、单调递减，且limnan=0，则级数
． (p30)的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）p
4．曲线x+y=1上每一点的某邻域内都可确定隐函数y=y(x)．
二、计算题(本题共6小题，每小题8分，满分48分) 5．求极限 lim犏x+xln(1-x
．求极限limn７．求幂级数
的和函数．(x30)．
８．求曲线x+y+z=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线方程． ９．计算曲线积分I=一段．
１０．计算曲面积分
，其中为曲线x=cost,y=sint(0＃tC22
x2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy，其中?是由曲线
x=ey(0＃ya)绕x轴旋转所成的旋转曲面，取外侧．
三、解答题(本题共8小题，前6小题每题10分，后2小题每题9分，满分78分)
． 11．给定实数x0,a及b，0&b&1，令xn=a+bsinxn-1,n=1,2,鬃
(1)证明极限limxn存在，记为x；
(2)证明x是开普勒方程x=a+bsinx的唯一解．
(3)记x=x(a)是由开普勒方程确定的，试证明x=x(a)是a的连续可微函数，并求出
12．设函数f:[a,b]??是上半连续的，即对任意给定的x?[a,b]及e&0，存在一个
d&0，使得若y?[a,b],yx&d，则f(y)&f(x)+e．
证明：f在[a,b]上有上界，且在某个点c?[0,1]处达到它的最大值．
13．设f(x)在开区间I=(a,+ )内可导，且limf(x)=
，证明f(x)在I内必定
是非一致连续的．
若I=(a,b)是有限开区间，且limf(x)=
，问f(x)在I内也必定是非一致连续的？
(2)极限limnIn存在，并求出此极限值．
15．设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内有二阶导数，且
f(0)?f(1)证明：
(1) 函数f(x)在(0,1)内恰有两个零点； (2) 至少存在一点x?(0,1)，使得f(x)=
0,f(x)&0,òf(x)dx=0．
16．设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且lim
0．证明：级数x
()绝对收敛．
ì??x,y)1(0,0)?17．
设f(x,y)=í，讨论f在原点的连续性、可微性???(x,y)=(0,0)??0,
以及两个一阶偏导数是否存在． 18．证明反常积分
dx关于p?[a, )一致收敛，其中a&0为常数．
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记曲面∑为平面x+y+z=0上以t为边界的圆，其半径是a。取上侧。由斯托克斯公式，∮t ydx+zdy+xdz=-∫∫dydz+dzdx+dxdy，∑的法向量是(1,1,1)，3个方向余弦都是1/√3，所以∮t ydx+zdy+xdz=-∫∫dydz+dzdx+dxdy=-∫∫(1/√3+1/√3+1/√3)dS=-√3∫dS=-√3πa^2
大家好不好
令r^2=x^2+y^2，易得交线为r^2+(1+r^2)=5，即 r^4+3r^2－4＝0，r^2＝1，即 x^2+y^2=1，z＝1+x^2+y^2=2为交线，也即是 交线是z＝2平面上的一个半径为1的圆周。 其参数方程为x＝cosa，y＝sina，z＝2，0
超越另一个自我
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不必费心结束
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