中小学生会员制学习成长俱乐部必修2第二单元圆与圆的方程圆的标准方程在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r&0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点M?r ①化简可得：(x?a)?(y?b)?r
②222证明(x?a)?(y?b)?r为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为A(2,?3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?1)是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的关系的判断方法：（1）(x0?a)2?(y0?b)2&r，点在圆外（2）(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上（3）(x0?a)2?(y0?b)2&r，点在圆内 1德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部例（2）： ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),求它的外接圆的方程分析：从圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2
可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.例(3):已知圆心为C的圆l:x?y?1?0经过点A(1,1)和B(2,?2),且圆心在l:x?y?1?0上,求圆心为C的圆的标准方程.分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。圆的一般方程问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究：请写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．取D??2a,E??2b,F?a?b?r得x?y?Dx?Ey?F?0
①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 22222D2E2D2?E2?4F把x＋y＋Dx＋Ey＋F=0配方得(x?)?(y?)?
② (配方过程由学生去完成)22422这个方程是不是表示圆？2德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D?E?4F?0时，表示以（-为半径的圆；22（2）当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??22DE1，-）为圆心,D2?E2?4F222DEDE，y??，即只表示一个点（-，-）； 2222（3）当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形22综上所述，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 只有当D?E?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为2圆的一般方程?x?1??y?4 222圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。（三）、知识应用与解题研究例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0 22?2?4x?4y?4x?12y?11?0 例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于22D,E,F的三元一次方程组，?F?0?即?D?E?F?2?0解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0?4D?2E?F?20?0? 3德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部∴所求圆的方程为：x2?y2?8x?6y?0r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3222得圆心坐标为（4，-3）.或将x2?y2?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)2?(y?3)2?25,从而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 归纳得出使用待定系数法的一般步骤：①根据提议，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。2例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，求线段AB的中点M的轨迹2方程。2分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程?x?1??y?4。建立点M2与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是x0?4y?3,y?0,①
3?且M是线段AB的重点，所以22?x0,y0?.由于点B的坐标是?4，于是有x0?2x?4,y0?2y?3x?因为点A在圆?x?1?2?y2?4上运动，所以点A的坐标满足方程2?x?1?2?y2?4,即?x0?1?2?y02?42?x0?1??y02?4
把①代入②，得 223??3?x-?y??2x?4?1???2y?3??4,整理，得??????1 2??2??2?33?所以，点M的轨迹是以??为圆心，半径长为1的圆 ?22? 4德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部空间直角坐标系直线与方程小结与复习5德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部（二）．典例解析1．例1.下列命题正确的有⑤①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α&180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2．例2.若直线l1:ax?2y?6?0与直线l2:x?(a?1)y?a2?1?0，则l1与l2相交时，a_________;l1//l2时，a=__________;这时它们之间的距离是________;l1?l2时，.答案：a?2且a??1;a??12a? 33．例3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等； 答案： (1)2x+3y-1=0； (2)2x-y+5=0；(3)x+y-1=0或3x+2y=0； (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=04．例4．已知直线L过点（1,2），且与x，y面积为4时L的方程。解：设Ａ(a,0)，B(0,b)
∴a,b&0∴L的方程为xy??1
∴b?a?1ab(1) S△AOB=12a1 =4
∴当a=2，b=4时S△AOB为4 ab=a?2a?12xy??1即2x+y-4=0 24 此时直线L的方程为（2）求L在两轴上截距之和为3?时L的方程． 解： a?2a?3?
这时a?1b?2?L在两轴上截距之和为3+22时，直线L的方程为y=-2x+2+25．例5．已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．
解: ∵kBH?2?41?2
∴kAC?? 5?621(x?10)
26 ∴直线AC的方程为y?2??德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部即x+2y+6=0
(1)又∵kAH?0
∴BC所在直线与x轴垂直
故直线BC的方程为x=6
(2)解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6)圆与方程小结与复习（二）．典例解析：1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程?2x0?y0?3?0解：(1)设圆心P(x0,y0),则有?, 2222?(x0?5)?(y0?2)?(x0?3)?(y0?2)解得
x0=4, y0=5,
∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式2．例2。设A（－c，0）、B（c，0）（c&0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a&0），求P点的轨迹分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题(x?c)2?y2|PA|解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a&0）得=a， 22|PB|(x?c)?y化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=02ac1?a22c)?y2 =(2)2 当a=1时，方程化为x=0a≠1时，方程化为(x?2a?1a?1a2?12ac所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（2c，0）为圆心，|2|为半径的圆 a?1a?1点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求3．例3。已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？ 解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC| 7德智教育
中小学生会员制学习成长俱乐部∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴x2?y2?9=|y+3| 化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程注意4．例4。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程;
(2)求两圆C1和C2相交弦的方程解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,4x4?y??3=0, 1??1??22?22?圆心为 (,),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴──4=0,
λ=─1/3 1??1??1??1??即
(1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,即
x?y?22所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程5．例5。求圆x?y?4x?12y?39?0关于直线3x?4y?5?0的对称圆方程 解：圆方程可化为?x?2???y?6??1, 圆心O(-2,6),半径为1 2222设对称圆圆心为O(a,b)，则O与O关于直线3x?4y?5?0对称， ‘'32b?6??a?2a?3??4??5?0????522因此有?解得? b?6326?b??????1??5?a?24?32??26??∴所求圆的方程为?x??y?????155????22注意：圆的对称问题可以转化为点(圆心)8
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授课老师：靳宪品
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姓名：靳宪品
教龄：26年
老师介绍：1986年参加工作，山东省高级教师。1987年4月获县级教学新秀;1990年5月市级教学能手;1996年5月 省数学辅导二等奖，优秀教师;2002年12月 罗庄区教学能手;2003年7月获罗庄区“骨干教师”称号。曾任教于人大附网校的高三数学把关讲课教师，解题绝招课程主讲教师，教学课堂生动，善于用形象化的语言说明抽象的数学概念，独到的解题分析法，学生听来自然、明白！确保了良好的教学效果，深得学生一致好评。
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