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[plural]∶表示多数的变化形式或多数形式的词
number]∶形式为
的数或表达式,其中
=-1。亦称复量
某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个以上的数量。如英语中的book(书，单数)，books(书，复数)。
数学上指含有实数和虚数两部分的数。
【结构】ab式
【造句】用复数造句,含有复数的句子和短语◎重复数次之后仍然存在误差。◎口语中可以用复数名词。◎Fish作可数名词时有两个复数形式fish和fishes。◎用复数算术推导了正弦，余弦的加法公式。◎这个图立即指出定义两个表征复数Z的量。◎这里有关于用复数来讲二维力学的简短讨论。◎如果允许这种情况出现，则波函数X也都是复数。◎ρa＝KV／I是一个复数物理量。◎变通一下说法，可以改变句子的措辞，使用复数名词。◎自动压缩可以在关闭文件时，自动压缩和修复数据库。◎第三种可能是修改句子以使主语变为复数，这样避开这个问题。◎凡具实数分量或复数分量的n-维向量x的欧氏范数被定义如下。◎自动压缩可以自动进行压缩，如果有必要的话，会在文件关闭时修复数据库。◎如果硬盘上的原始数据因为磁盘故障意外地被删除、覆盖或变得不可访问，就可以容易地从存档的副本中恢复数据。◎圆楔形模糊复数及其运算◎老师：答得好。那“孩子”的复数形式呢？◎"勿忘我“的复数是"勿忘我们“◎锤子和锯都是有用的工具. (两样物体,作为复数。◎"一个男孩"是单数; "两个男孩"是复数。◎对一种消息恢复数字签名的注记◎恢复数据库后，不得再还原任何备份。◎对于集合引用的名称采用复数形式。◎一种复数球形译码算法的仿真◎一种求复数矩阵逆的迭代方法◎用好的备份映像联机恢复数据库。◎（名词变成复数时有哪几种变化形式？ ）◎一种新的扩展复数正交空时分组码◎单数包括复数，反之亦然；◎，可以使用前滚恢复来恢复数据库。◎“我想要啊”小王在谈到复数年合约时说道。◎他觉得他有可能可以恢复数据◎一对支持复数算术的浮点数◎老师：汤姆， “男人”这个词的复数形式是什么？◎在希伯来语中,天堂这个词是复数名词◎安娜：复数形式与单数形式相同。◎答得好。那“孩子”的复数是什么呢？◎通过例子，学习如何恢复数据库。◎您可以在矩阵中填充随机整数和复数。◎英语的复数名词多以“ s ”结尾。◎复数学习的心理分析◎比如恢复数据库直到更改87643 。◎双曲复数与时空球◎如果按其组成成员看待时，谓语动词用复数形式。例如：◎单复数互转的语用功能◎在单词之间使用下划线，而且是英文复数。◎表示只取复数的实数部分。◎社会福利署：康复数码网络◎一种超复数鲁棒相关图像配准算法◎今年加州有多次停电的经验。 （名词复数） 。◎Export特别适合于从删除的表中恢复数据复数英汉互译例句<rmally , it is possible to use a plural noun .口语中可以用复数名词。2.ρa=kv/i is a complex physical quantity. aKVI是一个复数物理量。3.If we allow this, then the wavefunction x will also be complex .如果允许这种情况出现，则波函数X也都是复数。4.Fish as a countable noun has two plural forms : fish and fishes .Fish作可数名词时有两个复数形式fish和fishes。5.Alternatively , the sentence can be rephrased , using a plural noun .变通一下说法，可以改变句子的措辞，使用复数名词。6.There is a brief discussion of two dimensional mechanics in terms of complex numbers .这里有关于用复数来讲二维力学的简短讨论。7.We derive the addition formulas for sine and cosine from the arithmetic of complex numbers .用复数算术推导了正弦，余弦的加法公式。8.This diagram immediately suggests defining two quantities which characterize the complex number z .这个图立即指出定义两个表征复数Z的量。9.The euclidean norm of an n-vector x with real or complex components is defined as following .凡具实数分量或复数分量的n-维向量x的欧氏范数被定义如下。10.A third possibility is to rephrase the sentence to make the subject plural , thus avoiding the problem .第三种可能是修改句子以使主语变为复数，这样避开这个问题。11.Circular wedge fuzzy comlex numbers and their operations圆楔形模糊复数及其运算12.Teacher ： good . and the plural of child老师：答得好。那“孩子”的复数形式呢？ 13.The plural of " forget - me - not " is " forget - us - not ."勿忘我“的复数是"勿忘我们“ 14.A hammer and a saw are useful tools锤子和锯都是有用的工具. (两样物体,作为复数。 15." one boy " " two boys " is plural"一个男孩"是单数; "两个男孩"是复数。 16.Pluralize the names of collection reference对于集合引用的名称采用复数形式。 17.Simulation of a complex sphere decoding algorithm一种复数球形译码算法的仿真18.A iteration method to seek the complex matrix inversion一种求复数矩阵逆的迭代方法19.Why is bra singular and panties plural胸罩为什麽是单数，内裤为什麽是复数20.How to form the plural form of nouns（名词变成复数时有哪几种变化形式？ ） 21.A new generalized complex orthogonal space - time block一种新的扩展复数正交空时分组码22.The singular includes the plural and vice versa单数包括复数，反之亦然； 23." i want to , " said wang of a multi - year deal“我想要啊”小王在谈到复数年合约时说道。 24.A pair of floats supporting complex arithmetic一对支持复数算术的浮点数25.Teacher ： what is the plural of man , tom老师：汤姆， “男人”这个词的复数形式是什么？ 26.In hebrew the word heaven is in the plural heavens在希伯来语中,天堂这个词是复数名词27.Anna : the plural form is the same as the singular form安娜：复数形式与单数形式相同。 28.Teacher : good ! and the plural of child答得好。那“孩子”的复数是什么呢？ 29.You can fill a matrix with random ints and complexes您可以在矩阵中填充随机整数和复数。 30.Most plural nouns in english end in " s "英语的复数名词多以“ s ”结尾。 31.The mental analyzing in learning of complex number复数学习的心理分析32.The hyperbolic complex number and spacetime spheroid双曲复数与时空球33.Eating too much is bad for your health如果按其组成成员看待时，谓语动词用复数形式。例如： 34.The pragmatics ' function of mutual convert between singular and plural单复数互转的语用功能35.A french fry . often used in the plural一种法国油炸食品。常用复数36.Use underscores between words and are english plurals在单词之间使用下划线，而且是英文复数。 37.Takes the real part of the complex only表示只取复数的实数部分。 38.And , at meantime , the other set同时设另一平面观测系s为一个复数39.The points allotted to these cards . often used in the plural牌的总点数以上牌的点数。常为复数40.A picture matching algorithm of robust hypercomplex correlation一种超复数鲁棒相关图像配准算法41.California has experienced many black - outs this year今年加州有多次停电的经验。 （名词复数） 。 42.Most plural nouns in english end in s '英语的复数名词多以s结尾43.Give out the plural form of the nouns给出下列名词的复数形式。 44.Consider using plural namespace names where appropriate适当的时候可考虑使用复数命名空间名称。 45.Well , it ' s minae . minae . that ' s the plural应该是米尼,那是复数46.Which party pays for specific activities这个名词的复数形式尤指47.A suit made of such fabric . often used in the plural细条子衣服这种织物做成的衣服，常用复数形式48.A proper noun in the plural form复数形式的专有名词。例如， 49.Mr jones : and there isn ' t a different form for plural nouns琼斯先生：名词没有单复数形式的区别。 50.In more formal usage the plural noun can be put in front在比较庄重的用语中，复数名词可放在前面。 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数i是虚数单位在复数a+bi中a称为复数的实部b称为复数的虚部i称为虚数单位当虚部等于零时这个复数就是实数当虚部不等于零时这个复数称为复数复数的实部如果等于零则称为纯虚数由上可知复数集包含了实数集并且是实数集的扩张 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入经过达朗贝尔棣莫弗欧拉高斯等人的工作此概念逐渐为数学家所接受复数的四则运算规定为a+bi+c+di=a+c+b+dia+bi－c+di=a－c+b－dia+bi?c+di=ac－bd+bc+adi例如[a+bi+c+di]-[(a+c+b+di]=0最终结果还是0也就在数字中没有复数的存在[a+bi+c+di]-[(a+c+b+di]=Z是一个函数最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦他考虑的是平顶金字塔不可能问题16世纪意大利米兰学者卡当Jerome Cardan45年发表的重要的艺术一书中数系中发现一颗新星虚数于是引起了数学界的一片困惑很多大数学家都不承认虚数德国数学家莱布尼茨02年说虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所它大概是存在和虚妄两界中的两栖物然而真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验最终占有自己的一席之地法国数学家达朗贝尔47年指出如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算那么它的结果总是a+bi的形式ab都是实数法国数学家棣莫弗30年发现了著名的棣莫佛定理欧拉在1748年发现了有名的关系式并且是他在微分公式1777年一文中第一次用i来表示-1的平方根首创了用符号i作为虚数的单位虚数实际上不是想象出来的而它是确实存在的挪威的测量学家成塞尔79年试图给于这种虚数以直观的几何解释并首先发表其作法然而没有得到学术界的重视十八世纪末复数渐渐被大多数人接受当时卡斯帕尔?韦塞尔提出复数可看作平面上的一点数年后高斯再提出此观点并大力推广复数的研究开始高速发展诧异的是早于1685年约翰?沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点卡斯帕尔?韦塞尔的文章发表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上以当今标准来看也是相当清楚和完备他又考虑球体得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论1804年Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段1806年Buée的文章正式刊出同年让-罗贝尔?阿尔冈亦发表同类文章而阿冈的复平面成了标准1831年高斯认为复数不够普及次年他发表了一篇备忘录奠定复数在数学的地位柯西及阿贝尔的努力扫除了复数使用的最后顾忌后者更是首位以复数研究著名的复数吸引了著名数学家的注意包括库默尔1844年克罗内克1845年Scheffler年1880年Bellavitis年乔治?皮库克1845年及德?摩根1849年莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文约翰?彼得?狄利克雷将很多实数概念例如素数推广至复数德国数学家阿甘得06年公布了复数的图象表示法即所有实数能用一条数轴表示同样复数也能用一个平面上的点来表示在直角坐标系中横轴上取对应实数a的点A纵轴上取对应实数b的点B并过这两点引平行于坐标轴的直线它们的交点C就表示复数 象这样由各点都对应复数的平面叫做复平面后来又称阿甘得平面高斯在1831年用实数组 代表复数 并建立了复数的某些运算使得复数的某些运算也象实数一样地代数化他又在1832年第一次提出了复数这个名词还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中并把数轴上的点与实数一一对应扩展为平面上的点与复数一一对应高斯不仅把复数看作平面上的点而且还看作是一种向量并利用复数与向量之间一一对应的关系阐述了复数的几何加法与乘法至此复数理论才比较完整和系统地建立起来了经过许多数学家长期不懈的努力深刻探讨并发展了复数理论才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱显现出它的本来面目原来虚数不虚虚数成为了数系大家庭中一员从而实数集才扩充到了复数集随着科学和技术的进步复数理论已越来越显出它的重要性它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据数集拓展到实数范围内仍有些运算无法进行比如判别式小于0的一元二次方程仍无解因此将数集再次扩充达到复数范围形如我们将复数实数b称为复数z的虚部imaginary part记作 Imz=b.已知当b=0时z=a这时复数成为实数当且仅当a=b=0时它是实数0当a=0且b≠0时z=bi我们就将其称为纯虚数将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模记作OzO.即对于复数复数的集合用C表示实数的集合用R表示显然R是C的真子集复数集是无序集不能建立大小顺序对于复数根据定义若共轭复数有些有趣的性质在复变函数中自变量z可以写成任意一个不为零的复数指数形式加法法则复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数两者和的实部是原来两个复数实部的和它的虚部是原来两个虚部的和两个复数的和依然是复数即乘法法则复数的乘法法则把两个复数相乘类似两个多项式相乘结果中i2= -1把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数即除法法则复数除法定义满足运算方法将分子和分母同时乘以分母的共轭复数再用乘法法则运算即开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ则z=n√r[cos(2kπ+θ/n+isin(2kπ+θ/n]k=0123……n-1运算律加法交换律z1+z2=z2+z1乘法交换律z1*z2=z2*z1加法结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法结合律(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)分配律z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3i的乘方法则i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1其中n∈Z棣莫佛定理对于复数z=r(cosθ+isinθ有z的n次幂z^n=(r^n)*[cos(nθ+isin(nθ]　其中n是正整数复数三角形式设复数z1z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1和r2(cosθ2+isinθ2那么z1z2=r1r2[cosθ1+θ2)+isinθ1+θ2)]在复数平面内为模相乘角相加z1÷z2=(r1÷r2)[cosθ1－θ2)+isinθ1－θ2)]在复数平面内为模相除角相减复数集不同于实数集的几个特点是开方运算永远可行不包括纯虚数集一元n次复系数方程总有n个根重根按重数计复数不能建立大小顺序复平面的横轴上的点对应所有实数,故称实轴,纵轴上的点(原点除外)对应所有纯虚数故称虚轴　在复平面上复数还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应因此复数z也能用向量Z来表示如右图向量的长度称为Z的模或绝对值记作　|z|=r= √(x^2+y^2 ) 　除未塞尔()阿工()的工作外科兹()棣美弗()欧拉()范德蒙()也曾认识到平面上的点可与复数一一对应这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.但是,在这方面高斯的复数②向量形式复数z=a+bi用一个以原点O为起点点Zab为终点的向量OZ表示这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释③三角形式复数z=a+bi化为三角形式z=rcosθ+isinθ式中r= √a^2+b^2是复数的模即绝对值θ 是以x轴为始边射线OZ为终边的角叫做复数的辐角辐角的主值记作arg(z)这种形式便于作复数的乘除乘方开方运算④指数形式将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ复数就表为指数形式z=rexp(iθ用直线将复平面内任一点z与N相连 必与球面相交于P点则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系而N点本身可代表无穷远点 记作 这样的球面称作复球面除了复数的平面表示方法外 还可以用球面上的点来表示复数扩充复数域---引进一个新的数∞扩充复平面---引进一个理想点 无穷远点 ∞约定a/0=∞a/∞=0(an∞)∞/a=∞(an∞)a*∞=∞*a(an0)a±∞=∞±a(an∞)注 若无特殊说明平面均指有限复平面⑤复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数x,y)唯一确定所以对于平面上给定的直角坐标系复数的全体与该平面上点的全体成一一对应关系从而复数z=x+iy可以用该平面上坐标为x,y)的点来表示此时x轴称为实轴y轴称为虚轴两轴所在的平面称为复平面或z平面这样复数与复平面上的点一一对应并且把点z作为数z的同义词乘积与商定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2e i(θ1+θ2)因此 |z1z2|=r1r2Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2再将其伸缩到|z2|倍定理1可推广到n 个复数的乘积定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的乘幂定义 n个相同的复数z 的乘积称为z 的n次幂记作z^n即z^n=z*z*???*z共n个设z=re iθ由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 z^n=r^n(cos nθ+isin nθ)=r^n einθ特别当|z|=1时即z^n=cosnθ+isin nθ则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(De Moivre)公式复数的方根问题 给定复数z=re i 求所有的满足ω^n=z 的复数ω复数运算的几何意义复数a+bic+di分别对应复平面上以原点为起点的向量(a,b)与(c,d)两者相乘相当于如下变换在复平面上将向量(a,b)伸长或缩短复数c+di的模倍然后逆时针转过复数c+di辐角的度数得到的新向量即是两复数乘积对应的向量如(1+i)*(1+i)=2i将向量(1,1)伸长为复数1+i的模倍(即根2倍)然后逆时针转过1+i的辐角度数(即45B)得到向量(0,2)即乘积2i所对应的向量除法与乘法正好相反加法与减法的几何意义复数对应的向量在复平面上进行平行四边形或三角形法则运算由此可见复数的运算可以表示二维平面上的伸缩和旋转变换邻域复平面上以z 0为中心任意δ& 0为半径的圆| z -z 0|&δ(或0 &| z Cz 0|&δ) 内部的点的集合称为点z 0 的δ去心邻域 设G是一平面上点集内点对任意z0属于G若存在U(z 0 ,δ) 使该邻域内的所有点都属于G则称z 0是G的内点开集若G内的每一点都是内点则称G是开集连通是指D中任意两点均可用完全属于D的折线连接边界与边界点已知点P不属于D若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点则称P是D的边界点闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,记为Dˉ有界区域与无界区域若存在R & 0 对任意z ∈D, 均有z∈G={z | |z|&R}则D是有界区域否则无界重点设连续曲线Cz=z(t)a≤t≤b对于t1∈(ab) t2 ∈[a, b定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线 Cz=z(t)t∈[ab]把复平面唯一地分成三个互不相交的部分一个是有界区域称为C的内部一个是无界区域称为C的外部还有一个是它们的公共边界单连/多连通域定义复平面上的一个区域B 如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内就称B为单连通域非单连通域称为多连通域1. 复变函数的定义与实变函数定义相类似在几何上 w=f(z)可以看作复变函数的几何意义是一个映射变换在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 uv 与 xy 之间的对应关系以便在研究和理解复变函数问题时可借助于几何直观.3. 反函数或逆映射定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*1. 函数的极限几何意义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中(1) 意义中Z→Z0的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.(2) A是复数.(3) 若f(z)在Z0处有极限,其极限是唯一的.2. 运算性质导数定义(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)例1如图所示② (zn)=nzn-1 (n是自然数).(2) 在高等数学中要举出一个处处连续但处处不可导的例题是很困难的,可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 则w=f (z) 点 z0 处连续.证明如图所示可微定义:如图所示3. 积分存在的条件及其计算法证明如图所示例题如图册所示 4. 积分性质由积分定义得如图所示柯西积分定理1实变函数的线积分: 如图所示2柯西定理的来由与基本定理推论如图所示定理2 如图所示4原函数的定义如图所示不定积分与积分计算公式如图所示实例如图册所示5小结 求积分的方法解析函数的概念定义 如果 注(1) w=f (z) 在 D 内解析≡在D内可导(2) 函数f (z)在 z0 点可导未必在z0解析定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数则 f (z)±g(z)f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)均是D内的解析函数见图定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合∈G则复合函数w=f [g(z)]在D内处解析如果复变函数 w = f (z) = 问题 如何判断函数的解析性呢我们将从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性探求函数w=f (z) 的可导性从而给出判别函数解析的一个充分必要条件并给出解析函数的求导方法见图定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微且满足Cauchy-Riemann方程见图注1.由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 2.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.推论见图解析函数退化为常数的几个充分条件(a) 函数在区域内解析且导数恒为零(b) 解析函数的实部虚部模或辐角中有一个恒为常数(c) 解析函数的共轭在区域内解析 定理如图所示对定理的证明过程如图所示共轭调和函数定义如图所示定义的相关知识如图册所示定理 定理公式推导过程如图所示例1如图册所示数的分类拓展到复数范围后我们对复数范围的数集做以下分类复数a+bi集合符号C实数b=0集合符号R有理数集合符号Qp/q)一正有理数集合符号Q+正整数集合符号N+或N*1--质数--合数正分数--0－负有理数集合符号Q-－负整数集合符号Z-－负分数二整数集合符号Z自然数集合符号N--奇数--偶数--分数--无理数--正无理数--负无理数－－虚数b≠0)－－纯虚数a=0)－－混虚数a≠0在系统分析中系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域因此可在复平面上分析系统的极点和零点分析系统稳定性的根轨迹法奈奎斯特图法Nyquist plot和尼科尔斯图法Nichols plot都是在复平面上进行的无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面根轨迹法都很重要如果系统极点位于右半平面则因果系统不稳定 都位于左半平面则因果系统稳定 位於虚轴上则系统为临界稳定的如果系统的全部零点和极点都在左半平面则这是个最小相位系统如果系统的极点和零点关於虚轴对称则这是全通系统信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号模值|z|表示信号的幅度辐角arg(z表示给定频率的正弦波的相位利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示其中ω对应角频率复数z包含了幅度和相位的信息电路分析中引入电容电感与频率有关的虚部可以方便的将电压电流的关系用简单的线性方程表示并求解有时用字母j作为虚数单位以免与电流符号i混淆在应用层面复分析常用以计算某些实值的反常函数藉由复值函数得出方法有多种见围道积分方法量子力学中复数是十分重要的因其理论是建基於复数域上无限维的希尔伯特空间如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程应用数学实际应用中求解给定差分方程模型的系统通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示复函数於流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基於复平面上的点的一分解质数源数[开拓]函数[]18rr+1]1r*6218rr--r*6+1=0二整形第一部分1[r1+r2]*6*1/2=1218*[r1]*[r2]-[r1+r2]*6+1*1/2=0三黎曼猜想化为[素数分布球体模式]数系理论的历史发展表明数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成负数早在九章算术中就已被中国数学家所认识然而15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义四元数的发明打开了通向抽象代数的大门同时也宣告在保持传统运算定律的意义下复数是数系扩张的终点人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力中国古代数穷则变的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义数是数学中的基本概念也是人类文明的重要组成部分数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃一个时代人们对于数的认识与应用以及数系理论的完善程度反映了当时数学发展的水平今天我们所应用的数系已经构造的如此完备和缜密以致于在科学技术和社会生活的一切领域中它都成为基本的语言和不可或缺的工具在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时是否想到在数系形成和发展的历史过程中人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢人类在进化的蒙昧时期就具有了一种识数的才能心理学家称这种才能为数觉perception of number动物行为学家则认为这种数觉并非为人类所独有人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法周易?系辞下记载上古结绳而治后世圣人易之以书契东汉郑玄称事大大结其绳事小小结其绳结之多少随物众寡以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地如希腊波斯罗马巴勒斯坦伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本直到1826年英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器随着人类社会的进步数的语言也在不断发展和完善数系发展的第一个里程碑出现了位置制记数法所谓位置制记数法就是运用少量的符号通过它们不同个数的排列以表示不同的数引起历史学家数学史家兴趣的是在自然环境和社会条件影响下不同的文明创造了迥然不同的记数方法如巴比伦的楔形数字系统埃及象形数字系统希腊人字母数字系统玛雅数字系统印度阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统最早发展的一类数系应该是简单分群数系simple grouping system如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例它是10进的但却不是位置的在公元前年之间巴比伦人发展了60进位的定位数系positional numeral system它采用了位置制却不是10进的而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法法国著名数学家拉普拉斯Laplace,1749 C 1827曾经写道用十个记号来表示一切的数每个记号不但有绝对的值而且有位置的值这种巧妙的方法出自印度这是一个深远而又重要的思想它今天看来如此简单以致我们忽视了它的真正伟绩但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时我们更感到这成就的伟大了拉普拉斯的这段评论十分精彩只可惜他张冠李戴把这项发明归之于印度现已有充分而确凿的史料证明10进位位置制记数法最先产生于中国这一点也为西方的一些数学史家所主张李约瑟就曾指出在西方后来所习见的印度数字的背后位置制已在中国存在了两千年不过10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧记数法的进步是与计算工具的改进相联系的研究表明10进位位置制记数之产生于中国是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的0作为记数法中的空位在位置制记数的文明中是不可缺少的早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法都是留出空位而没有符号印度人起初也是用空位表示零后来记成点号? 最后发展为圈号印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家13世纪初意大利的商人斐波那契Leonado Fibonacci,1175 - 1250编著算经Liber Abacci,1202把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色古代希腊人曾经提出一个问题他们认为世界上的沙子是无穷的即使不是无穷也没有一个可以写出来的数超过沙子的数阿基米德Archimedes,BC287 - 212的回答是不在数沙术中阿基米德以万myriad为基础建立新的记数法使得任何大的数都能表示出来他的做法是从1起到1亿原文是万万myriad myriads这里按照中文的习惯改称为亿叫做第1级数以亿10^8为第2 级数的单位从亿起到亿亿即10^16叫做第2级数在以亿亿为单位直到亿亿亿10^24叫做第3级数直到第1亿级数的最后一数亿亿阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10^51即使扩充到恒星宇宙即以太阳到恒星的距离为半径的天球也不过只能容纳10^63个沙粒同样的问题也出现在中国古代汉代以前数皆10进以10万为亿韦昭解国语?郑语第十六计亿事材兆物收经入行垓极注称计算也材裁也贾唐说皆以万万为亿郑后司农云十万曰亿十亿曰兆从古数也数术记遗中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法数术记遗称黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万亿曰兆万兆曰京上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍数术记遗中的大数之法的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数起初对一些较大的数人们还可以理解它还能够利用已有的记数单位去表示它但是随着人们认识的发展这些大数也在迅速的扩张原有的记数单位难以为用人们不禁要问数有穷乎这是数系发展中的需要回答的重大命题数术记遗中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话精彩的阐明了数穷则变的深刻道理徐岳问曰数有穷乎会稽刘洪答曰吾曾游天目山中见有隐者世莫知其名号曰天目先生余亦以此意问之先生曰世人言三不能比两乃云捐闷与四维数不识三妄谈知十不辨积微之为量讵晓百亿于大千黄帝为法数有十等……从亿至载终于大衍会稽问曰先生之言上数者数穷则变既云终于大衍大衍有限此何得无穷先生答曰数之为用言重则变以小兼大又加循环循环之理且有穷乎天目先生的做法是借助以小兼大的循环之理以有限来认识无限而指引这一途径的重要思想是言重则变即便是今日数穷则变这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思位置制记数法的出现标志着人类掌握的数的语言已从少量的文字个体发展到了一个具有完善运算规则的数系人类第一个认识的数系就是常说的自然数系但是随着人类认识的发展自然数系的缺陷也就逐渐显露出来首先自然数系是一个离散的而不是稠密的数系[2] 因此作为量的表征它只能限于去表示一个单位量的整数倍而无法表示它的部分同时作为运算的手段在自然数系中只能施行加法和乘法而不能自由地施行它们的逆运算这些缺陷由于分数和负数的出现而得以弥补有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征巴比伦的分数是60进位的埃及采用的是单分数unit fraction阿拉伯的分数更加复杂单分数主分数和复合分数这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂所以欧洲分数理论长期停滞不前直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献原始的分数概念来源于对量的分割如说文?八部对分的解释分别也从八从刀刀以分别物也但是九章算术中的分数是从除法运算引入的其合分术有云实如法而一不满法者以法命之这句话的今译是被除数除以除数如果不能除尽便定义了一个分数中国古代分数理论的高明之处是它借助于齐同术把握住了分数算法的精髓通分刘徽在九章算术注中所言众分错杂非细不会乘而散之所以通之通之则可并也凡母互乘子谓之齐群母相乘谓之同同者相与通同共一母也齐者子与母齐势不可失本数也有了齐同术就可将分数化异类为同类变相违为相通刘徽深得其中奥秘称然则齐同之术要矣错综度数动之斯谐其犹佩?解结无往而不理焉乘以散之约以聚之齐同以通之此其算之纲纪乎容易证明分数系是一个稠密的数系它对于加乘除三种运算是封闭的为了使得减法运算在数系内也同行无阻负数的出现就是必然的了盈余与不足收入与支出增加与减少是负数概念在生活中的实例教科书在向学生讲授负数是也多循此途这就产生一种误解似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的历史的事实表明负数之所以最早为中算家所引进这是由中国古代传统数学中算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的负数的概念和算法首先出现在九章算术方程章因为对方程进行两行之间的加减消元时就必须引入负数和建立正负数的运算法则刘徽的注释深刻的阐明了这点今两算得失相反要令正负以名之正算赤负算黑否则以斜正为异方程自有赤黑相取左右数相推求之术而其并减之势不得广通故使赤黑相消夺之……故赤黑相杂足以定上下之程减益虽殊足以通左右之数差实虽分足以应同异之率然则其正无入负之负无入正之其率不妄也负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数或者即使承认了也并不认为它们是方程的根如丘凯Nicolas Chuquet 和斯蒂费尔Stifel, 都把负数说成是荒谬的数是无稽之零下卡丹Cardan,) 把负数作为方程的根但认为它们是不可能的解仅仅是一些记号他把负根称作是虚有的韦达(Vieta,) 完全不要负数帕斯卡Pascal, 则认为从0减去4纯粹是胡说负数是人类第一次越过正数域的范围前此种种的经验在负数面前全然无用在数系发展的历史进程中现实经验有时不仅无用反而会成为一种阻碍我们将会看到负数并不是惟一的例子无理数的发现击碎了毕达哥拉斯Pythagoras学派万物皆数的美梦同时暴露出有理数系的缺陷一条直线上的有理数尽管是稠密但是它却漏出了许多孔隙而且这种孔隙多的不可胜数这样古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想就彻底的破灭了它的破灭在以后两千多年时间内对数学的发展起到了深远的影响不可通约的本质是什么长期以来众说纷纭两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释而被认为是不可理喻的数15世纪达芬奇Leonardo da Vinci, 把它们称为是无理的数irrational number开普勒J. Kepler,称它们是不可名状的数这些无理而又不可名状的数找到虽然在后来的运算中渐渐被使用但是它们究竟是不是实实在在的数却一直是个困扰人的问题中国古代数学在处理开方问题时也不可避免地碰到无理根数对于这种开之不尽的数九章算术直截了当地以面命之予以接受刘徽注释中的求其微数实际上是用10进小数来无限逼近无理数这本是一条完成实数系统的正确道路只是刘徽的思想远远超越了他的时代而未能引起后人的重视不过中国传统数学关注的是数量的计算对数的本质并没有太大的兴趣而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了既然不能克服它那就只好回避它此后的希腊数学家如欧多克斯Eudoxus欧几里得Euclid在他们的几何学里都严格避免把数与几何量等同起来欧多克斯的比例论见几何原本第5卷使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍但就在这以后的漫长时期中形成了几何与算术的显著分离1718世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力恰恰是人们对微积分基础的关注使得实数域的连续性问题再次突显出来因为微积分是建立在极限运算基础上的变量数学而极限运算需要一个封闭的数域无理数正是实数域连续性的关键无理数是什么法国数学家柯西A.Cauchy,给出了回答无理数是有理数序列的极限然而按照柯西的极限定义所谓有理数序列的极限意即预先存在一个确定的数使它与序列中各数的差值当序列趋于无穷时可以任意小但是这个预先存在的数又从何而来呢在柯西看来有理序列的极限似乎是先验地存在的这表明柯西尽管是那个时代大分析学家但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响变量数学独立建造完备数域的历史任务终于在19世纪后半叶由维尔斯特拉斯Weierstrass,戴德金R.Dedekind康托G.Cantor,等人加以完成了1872年是近代数学史上最值得纪念的一年这一年克莱因F.Kline,提出了著名的埃尔朗根纲领Erlanger Programm维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子也正是在这一年实数的三大派理论戴德金分割理论康托的基本序列理论以及维尔斯特拉斯的有界单调序列理论同时在德国出现了努力建立实数的目的是为了给出一个形式化的逻辑定义它既不依赖几何的含义又避免用极限来定义无理数的逻辑错误有了这些定义做基础微积分中关于极限的基本定理的推导才不会有理论上的循环导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来免去任何与感性认识联系的性质几何概念是不能给出充分明白和精确的这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明因此必要的严格性只有通过数的概念并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到这里戴德金的工作受到了崇高的评价这是因为由戴德金分割定义的实数是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义从而建立了完备的实数域实数域的构造成功使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平无理数不再是无理的数了古希腊人的算术连续统的设想也终于在严格的科学意义下得以实现复数概念的进化是数学史中最奇特的一章那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性人们没有等待实数的逻辑基础建立之后才去尝试新的征程在数系扩张的历史过程中往往许多中间地带尚未得到完全认识而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地1545年此时的欧洲人尚未完全理解负数无理数然而他们智力又面临一个新的怪物的挑战例如卡丹在所著重要的艺术1545中提出一个问题把10分成两部分使其乘积为40这需要解方程x (10-x) = 40他求得的根是5-√-15 和5+√-15然后说不管会受到多大的良心责备把5+√-15和5-√-15相乘得到25-(-15)=40于是他说算术就是这样神妙地搞下去它的目标正如常言所说是有精致又不中用的笛卡尔Descartes,也抛弃复根并造出了虚数imaginary number这个名称对复数的模糊认识莱布尼兹Leibniz,的说法最有代表性圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示这就是那个理想世界的端兆那个介于存在与不存在之间的两栖物那个我们称之为虚的1的平方根直到18世纪数学家们对复数才稍稍建立了一些信心因为不管什么地方在数学的推理中间步骤中用了复数结果都被证明是正确的特别是1799年高斯Gauss,关于代数基本定理的证明必须依赖对复数的承认从而使复数的地位得到了近一步的巩固当然这并不是说人们对复数的顾虑完全消除了甚至在1831年棣莫甘De Morgan, 在他的著作论数学的研究和困难中依然认为&……已经证明了记号 是没有意义的或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的然而通过这些记号代数中极其有用的一部分便建立起来的它依赖于一件必须用经验来检验的事实即代数的一般规则可以应用于这些式子复数……&我们知道18世纪是数学史上的英雄世纪人们的热情是如何发挥微积分的威力去扩大数学的领地没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的那又何必去自找麻烦呢1797年挪威的韦塞尔C. Wessel, 写了一篇论文关于方向的分析表示试图利用向量来表示复数遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后才被人们重视瑞士人阿甘达J. Argand, 给出复数的一个稍微不同的几何解释他注意到负数是正数的一个扩张它是将方向和大小结合起来得出的他的思路是能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系在使人们接受复数方面高斯的工作更为有效他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a,b而且阐述了复数的几何加法和乘法他还说如果1-1 和 原来不称为正负和虚单位而称为直反和侧单位那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法他引进术语复数complex number以与虚数相对立并用 i 代替在澄清复数概念的工作中爱尔兰数学家哈米尔顿Hamilton,1805 C 1865 是非常重要的哈米尔顿所关心的是算术的逻辑并不满足于几何直观他指出复数a+ bi 不是 2 + 3意义上的一个真正的和加号的使用是历史的偶然而 bi 不能加到a 上去复数a+ bi 只不过是实数的有序数对ab并给出了有序数对的四则运算同时这些运算满足结合律交换率和分配率在这样的观点下不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了回顾数系的历史发展似乎给人这样一种印象数系的每一次扩充都是在旧的数系中添加新的元素如分数添加于整数负数添加于正数无理数添加于有理数复数添加于实数但是现代数学的观点认为数系的扩张并不是在旧的数系中添加新元素而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系其元素在形式上与旧的可以完全不同但是它包含一个与旧代数系同构的子集这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造当人们澄清了复数的概念后新的问题是是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢答案是否定的当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时他发现自己被迫要做两个让步第一他的新数要包含四个分量第二他必须牺牲乘法交换律这两个特点都是对传统数系的革命他称这新的数为四元数四元数的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束1878年富比尼F.Frobenius,1849 C 1917) 证明具有有限个原始单元的有乘法单位元素的实系数先行结合代数如果服从结合律那就只有实数复数和实四元数的代数数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱便会产生无可估量的创造力哈米尔顿的四元数的发明使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义有作用的新数系那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造数系的扩张虽然就此终止但是通向抽象代数的大门被打开了我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数使得定义的各种复变初等函数当z变为实变数x(y=0时与相应的实变初等函数相同注意根据这些定义在z为任意复变数时①哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来②哪些相应的实变初等函数的性质不再成立③出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质e^(a+bi)=e^a*e^bi=e^a*(cosb+isinb)证明把yi代入泰勒级数借助sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x和cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... +Rn(x来化简即可同理可得a^ix=cos(xlna)+isin(xlna)= (e^ix)^lna.借助e^ix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理虚数单位i一出数集扩大到复数一个复数一对数横纵坐标实虚部对应复平面上点原点与它连成箭箭杆与X轴正向所成便是辐角度箭杆的长即是模常将数形来结合代数几何三角式相互转化试一试代数运算的实质有i多项式运算i的正整数次幂四个数值周期现一些重要的结论熟记巧用得结果虚实互化本领大复数相等来转化利用方程思想解注意整体代换术几何运算图上看加法平行四边形减法三角法则判;乘法除法的运算逆向顺向做旋转伸缩全年模长短三角形式的运算须将辐角和模辨利用棣莫弗公式乘方开方极方便辐角运算很奇特和差是由积商得四条性质离不得相等和模与共轭两个不会为实数比较大小要不得复数实数很密切须注意本质区别“复数”相近或相关的词语复线复明复职复合函数复穴复辅音复调音乐复正复光复阁复合量词复嶂复意复字复本位制复塞复陈复履复仇主义复式教学复始复音词复下复名数复分钱复合判断复任复结复活节复韵母最大公约数逆数商数上岁数衍数小数点倍数命数函数辈数儿算术级数地数数米而炊中数够数数墨数表得数光电计数器成数数学分析半数期数推数辄作数日恶数墨寻行讲数趣数地理数据数学
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